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牛吃草问题-五年级奥数
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一眼水井,用功率一样的3台抽水机抽水,40分钟可以抽干；用6台同样的抽水机去抽,只要16分钟就可以抽干,现想10分钟就将井水抽干需要投入多少台抽水机?
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设一台抽水机一分钟可抽水一个单位 从 用功率一样的3台抽水机抽水,40分钟可以抽干 这可以得出40分时总水量1×3×40＝120（单位）从 用6台同样的抽水机去抽,只要16分钟就可以抽干 可以得出16分时总水量1 × 6×16＝96（单位） 为什么二个总水量不同呢?这是因为水井每分钟都会自动喷出相同数量的水 120-96＝24（单位）这是在多出40-16＝24（分）所喷出来的水 那么就可以算出一分钟水井喷出 24÷24＝1（单位）的水 现在我们可以算出水井原来的水：120－1×40＝80（单位） 要10分钟抽干 水井就会多喷10分钟的水 1×10＝10　　到10分时水井就总共有90+10＝90（单位）的水了 最后把总量除以时间 90÷10＝9（台）如有不明可再问
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下面的过滤等设备没弄好,打井,不仅仅是挖洞,还会在下面放些鹅卵石,木炭等等用来过滤,用水泵抽水,抽到一定时间确实会出现这些情况.一个多小时过去了么,泥沙都被抽走了,自然干净了,但是泥沙还是会跟水一样还会到井里来的.试着弄个过滤设备吧,而且水最好别抽太快,细水长流嘛
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扫描下载二维码[local]1[/local]认真看例题 有问题大家一起讨论
第一讲 抽屉放苹果……………………………………………（3）
第二讲 列举法解题……………………………………………（8）
第三讲 谈容斥原理……………………………………………（13）
第四讲 判断与推理……………………………………………（17）
第五讲 数的奇偶性……………………………………………（24）
第六讲 立体图形的计算………………………………………（28）
第七讲 旋转体的计算…………………………………………（36）
第八讲 长方体和正方体………………………………………（49）
第九讲 简便与巧算……………………………………………（59）
第十讲 分数、百分数应用题…………………………………（63）
第十一讲 工程问题……………………………………………（69）
第十二讲 包含与排除…………………………………………（74）
第十三讲 比和比例应用题……………………………………（77）
第十四讲 简易一次不定方程…………………………………（82）
第十五讲 平面图形的面积……………………………………（84）
第十六讲 牛吃草问题…………………………………………（90）
第十七讲 方阵问题……………………………………………（95）
第十八讲 立体图形的接、割…………………………………（98）
第十九讲 倒推法解题………………………………………（105）
第二十讲 对应法解题………………………………………（111）
第二十一讲 综合练习一……………………………………（117）
第二十二讲 综合练习二……………………………………（122）
第二十三讲 综合练习三……………………………………（127）
第二十四讲 综合练习四……………………………………（132）
第二十五讲 综合练习五……………………………………（137）
第二十六讲 综合练习六……………………………………（143）
第二十七讲 综合练习七……………………………………（148）
第二十八讲 综合练习八……………………………………（152）
第一讲&&抽屉放苹果
抽屉放苹果，问题很简单，然而，简单的问题却能变化出很多复杂的数学问题。例如，给你3个苹果，让你把它们放到2个抽屉里，那么可以肯定有一个抽屉至少有2个苹果。这个问题看似简单，但要完全清楚地说明白，就需给出证明。反证法：如果命题的结论不成立，这就是说，每个抽屉里至少多放1只苹果。于是，2只抽屉里至少共有2只苹果。而已知有3个苹果放在2个抽屉里，这样与假设相矛盾。以上所证明的数学原理叫“抽屉原理”。基本的抽屉原理认为：
1、如果把x+1个物体放到x个抽屉里，那么至少有一个抽屉里有不止一个这种物体；
2、把xm+1个物体放到m个抽屉里，那么肯定有一个抽屉里至少有x+1个物体。通俗地可以这样说：“东西多，抽屉少，那么至少有两个东西放在同一个抽屉里。”&
例1：任意3个自然数，总有2个自然数的和是2的倍数。
例2：某学校有32名学生是在1月份出生的，那么其中至少有两个学生的生日是在同一天。为什么？
例3：班上有49个人，老师至少拿几本书，随意分给大家，才能保证至
少有一个同学能得到两本书？
例4：幼儿园买来不少猪、狗、马塑料玩具，每个小朋友任意选择两件，那么至少几个小朋友才能保证有两人选的玩具相同。
例5：把135块饼干分给16个小朋友，若每个小朋友至少要分到一块饼干，那么不管怎样分，一定会有两个小朋友得到的饼干数目相同。为什么？
例6：有一个布袋里有红色、黄色、蓝色袜子各10只，问最少要拿多少只才能保证其中至少有2双颜色不相同的袜子。
例7：一个幼儿班有40名小朋友，现有各种玩具125种。把这些玩具分给小朋友，是否有人会得到4件或4件以上的玩具？
例8：从、1002……中，任取498个数，其中定有两个数是互质数。
自&&己&&练
1、奥林匹克俱乐部四年级有三个班，一天四年级有5个同学在公园里相遇，这五个同学至少有几人是在同一班级？为什么？
2、有红、黄、蓝三种颜色的球各6个，混合后放在一个布袋里，一次至少摸出几只，才能保证有两只是同色的？
3、某校四（1）班学生56人都是同年生的，能否说明至少有2人在同一星期过生日？
4、抽屉里有4支红铅笔和3支蓝铅笔，如果闭着眼睛摸，一次必须拿几支，才能保证至少有1支蓝铅笔？
5、某校有370位1982年出生的同学，那么其中至少有几个同学的生日是同一天的？
6、在一只箱子里有4种形状相同、颜色不同的小木块若干个，一次最少要取多少块才能保证其中至少有10个木块的颜色相同？
7、学校组织去浏览狼山、江边、南郊公园，规定每人最少去一处，最多去两处游览，那么至少应有多少个同学才能保证有两个同学游览的地方一样？
8、有红、黄、蓝、黑四种颜色的小球若干个，每个人可以从中任意选择两个，那么需要多少人才能保证至少有4人选的小球颜色相同？为什么？
9、四（2）班共有学生42人开展第二课堂活动，他们从学校大队部借来图书212本，是否有人至少能借到6本或6本以上的图书？
10、把152本书分给17个同学，如果每个同学至少要拿一本书，那么不管怎样分，一定会有两个同学得到的本数相同，为什么？
11、有黑色、白色、黄色的筷子各8根，混杂地放在一起，黑暗中想从这些筷子中取出颜色不同的两双筷子，问至少要取多少根才能保证达到要求？
12、在一只箱子里放着红、白、黑三种颜色的手套各6副，如想闭着眼睛从中取出两副颜色不同的手套，问至少要取多少只才能达到要求？
第二讲&&列举法解题
例1：甲乙两人打乒乓球，谁先连胜头两局谁赢，如果没有人连胜头两局，谁先胜三局谁赢，问共有多少种可能？
例2：有黄、红、绿、蓝、黑五种颜色的铅笔，每两种颜色的铅笔为一组，最多可以配成不重复的几组？&
例3：从甲地到乙地可坐飞机、火车、汽车，从乙地到丙地可坐飞机、火车、汽车、轮船，某人从甲地经乙地到丙地可有几种走法？
例4：某月底，甲、乙、丙三人领取了数额不同的奖金，如果甲把自己的一部分资金分给乙、丙两人，使乙、丙两人的奖金数额各增加一倍，然后乙又拿出一部分奖金分给甲、丙两人，使甲、丙两人的奖金数额各增加一倍，接着丙再拿出一部分奖金分给甲、乙两人，使甲、乙两人奖金数额各增加一倍，这时三人的奖金数额都是24元。问甲、乙、丙三人原来各领奖金多少元？
例5：有一张伍元币，4张贰元币，8张壹元币，要拿出8元钱，可以有几种拿法？
例6：某校六年级有甲、乙、丙、丁四个班级开展“纪律”、“卫生”评比竞赛。学校制作了“纪律优胜”和“卫生优胜”两面锦旗，奖给卫生、纪律最好的班级。想一想，可能出现多少种不同的得奖情况，并叙述你的推理方法。
例7：新学期开学了，10个同学见了面，如果每两个同学都握一次手，那么共握手多少次？
自&&己&&练
1、有一个五分币，四个二分币，八个一分币，要取9分钱，有几种取法？
2、一个工人将弹子装进两种盒子中，每个大盒子装12颗，小盒子装5颗，恰好装完。如果弹子一共99颗，盒子数大于10，这两种盒子各有多少个？
3、从甲村到乙村有三条路可走，从乙村到丙村有两条路可走。问从甲村经乙村到再到丙村有几条不同的路可走？
4、两个人的年龄和是36岁，而各自的年龄数都是质数，他们各自的年龄可能分别是多少岁？
5、从“0、7、5、3”四张数字卡片中，选三张排成三位数，能排成多少个不同的三位数？其中能同时被动2、5整除的三位数有多少个？能同时被2、3、5整除的三位数是多少个？
6、用2张一角币，4张五角币可配成多少种不同的钱数？
7、两人同打一靶，各打五枪都命中。成绩都是三十一，红心每人中一枪。其余中环不重复，各枪成绩是多少。我请你来排仔细。
8、某铁路上有11个车站，有一个收集火车票的爱好者，决定收集这条线路上每个车站发售的通往其他各车站的火车票，他一共收集了多少张？
9、有2分、5分和1角的人民币各若干枚，要从中取出0.2元,有多少种取法?
10、甲、乙、丙三人照相，如果乙一定要站在中间，可以照多少张不同的相片？如果没有规定，可照几张不同的照片？
11、有糖块144颗，平均分成若干份，每份不得少于是10颗，也不能多于40颗，共有几种分法？
12、从1~100的自然数中，每次取出两个不同的自然数相加，使其和大于100，共有几种不同的取法？
13、今有长度为2厘米、3厘米、4厘米、5厘米、6厘米的线路各一条，如果以其中的三条作为三边作三角形：
&&（1）三边中一边为3厘米的三角形有几个？
&&（2）三边中两边分别是3厘米、4厘米的有几个？
&&（3）一共可以作几个不同的三角形？
第三讲&&容斥原理
在数的计算中，有这样一类问题。如：六（1）班同学在《少年报》和《儿童世界》两种报刊中，至少要订一份。其中，订阅《少年报》的有25人，订《儿童世界》的有31人，订阅两种报刊的有4人，求六（1）班学生数。要求六（1）班学生数，不能简单地用25+31直接求得，这是因为重复包含的4人加了两次，所以，六（1）班人数应为25+31－4=52（人）。
以上例题告诉我们，这种有重复包含的问题，解题时应考虑排除由于相互包含而多计算的部分。这一原理，我们称为包含排除原理。即容斥原理。正确运用这一原理，可以帮助我们解答抽象的数学问题。
例1：求50以内5的倍数和7的倍数的数的个数。
例2：在1到500这500个数中，不能被7和9整除的数共有多少个？
例3：某班50个学生，每人至少参加一个兴趣小组，其中有37人参加科技组，25人参加作文组，求同时参加两个兴趣小组的人数相当于全班人数的百分之几？
例4：50名同学参加兴趣小组，参加生物组的40人，参加数学组28
人，两个兴趣小组均参加的有几人？只参加生物组跟只参加数学组人数的比是多少？
例5：一家电维修站，有80%的人精通彩电修理业务，有70%的人精通
冰箱修理业务，10%的人两项业务都不熟悉，求两项业务都精通的人占总数的百分之几？
例6：全班同学对作文、数学、自然三科中至少有一门感兴趣，其中30人喜欢作文，32人喜欢数学，21人喜欢自然，既喜欢作文又喜欢数学的15人，既喜欢数学又喜欢自然的12人，既喜欢作文又喜欢自然的14人，三门都喜欢的有8人，求全班总人数？&&
例7：某班有52人，其中会下棋的有48人，会画画的有37人，会跳舞的有39人，这个班三项都会的至少有几人？
自&&己&&练
1、六（1）班54名学生都订了报纸，其中订阅《儿童报》的有34人，订阅《少年报》的有30人，有多少人订阅了两种报纸？
2、1～200中，能被3和5整除的数共有几个？
3、1～1000中不能被5和7整除的数共有几个？
4、六（1）班有58人参加三项课外活动小组，其中32人参加文学组，24人参加美术组，30人参加音乐组，既参加文学组又参加美术组的有13人，既参加美术组又参加音乐组的有12人，既参加文学组又参加音乐组的有11人，三项活动小组都参加的有几人？
5、两辆汽车从A、B两地同时出发相向而行，客车每小时行32千米，货车每小时行30千米，两车相遇后又离去。已知出发5小时后两车相距93千米，求AB两地相距多少千米？
6、100个学生中，每人至少懂一种外语，其中75人懂法语，83人懂英语，65人懂日语，懂三种语言的有50人，懂得两种外语的有几人？
7、100个青年中，会骑自行车的83人，会游泳的75人，两样都不会的有10人，两样都会的有几人？
8、通师二附第14届秋季运动会中，参加100米短跑的共156人，比参加200米短跑的少40人，比参加50米短跑的多26人，同时参加50米和100米短跑的有74人，同时参加200米和100米的有80人，是同时参加50米和200米人数的2倍，同时参加50米、100米和200米的有30人，求这界运动会中参加50米、100米和200米的共有多少人？
9、五（6）有54人参加秋游活动，其中35人喜欢玩“捉特务”，45人喜欢玩“老鹰捉小鸡”，40人喜欢踢足球，50人喜欢跳牛皮筋，你是否可以肯定这班至少有多少学生对这四项都喜欢。
10、某班学生参加语文、数学、英语三科考试，90分以上的语文有21人，数学有19人，英语有20人，语文、数学都在90分以上的有9人，数学、英语在90分以上的有7人，语文、英语都在90分以上的有8人，另有5人三科都在90分以下，这个班最多能有多少人？
11、分母是385的最简真分数共有多少个？
第四讲&&判断与推理
分析推理是运用已知的若干判断去获得一个新判断的思维方法。在推理过程中,常常需要否定一些错误的可能性,去获得正确的结论。正确的逻辑推理必须遵循同一律、矛盾律、排中律和理由充足律四条基本规律。
同一律:指的是在同一论证过程中,每一个概念和判断都应具有同一种意义。
矛盾律:指的是在同一论证过程中,对同一对象的两个互相矛盾的判断至少有一个是错误的。例如"所有的小学生都喜欢打球"与"有的小学生不喜欢打球"这两个互相矛盾的判断中,必有一个是错误的。值得指出的是,矛盾律只指出两个互相矛盾的判断不能同时成立。
排中律:指的是在同一论证过程中,对同一对象互相否定的两个判断中,有一个且只有一个是正确的。例如“这个数等于8”与“这个数不等于8”是两个互相否定的判断,其中必有一个且只有一个是正确的,不可能两者都对,也不可能两者都错。
理由充足律:指的是在同一论证过程中,正确的判断必须有充足的理由。
运用分析,推理方法去解决某些问题时,要经过认真思考,理清头绪,选准突破口,把条件条理化,有时还需通过图表或一些计算去获得所需要的结论。
例1：在一桩盗窃案中，有两个嫌疑犯甲和乙,另有四个证人正在受到询问。&&
& & 第一个证人说:“我只知道甲未盗窃。”
& & 第二个证人说:“我只知道乙未盗窃。”
第三个证人的证词是:“前面两个证词中至少有一个是真的。”
第四个证人最后说:“我可以肯定第三个证人的证词是假的。”
通过调查研究,已证实第四个证人说了实话,那么盗窃犯是谁?
例2：一位法官在审理一起盗窃案中,对涉及到的四名嫌疑犯甲、乙、丙、丁进行了审问,四人分别供述如下:
& & 甲说:“罪犯在乙,丙,丁三人中。”
& & 乙说:“我没有作案,是丙偷的。”
& & 丙说:“在甲和丁中间有一个是罪犯。”
& & 丁说:“乙说的是事实。”
通过调查研究,已证实四人中有两人说了假话,另外两人说的是真话,那么罪犯是谁?
例3：一位学者在几年前逝世,逝世时的年龄是他出生年数的1/29,如果这位学者在1955年主持过一次学术讨论会,求他当时的年龄。
例4：甲、乙、丙三人被蒙上眼睛，告诉他们每个人头上都带了一顶帽子，帽子的颜色不是红的就是绿的，在这以后，就去掉蒙眼睛的布，要求每个人如果看见别人（一个人或两个人）戴的红帽子就举起手，并且谁能断定自己头上的帽子的颜色，谁就马上离开房间。三人碰巧戴的都是红帽子，因此三个人都举了手，几分钟后，丙首先走开了，他是怎么推导出自己头上帽子的颜色的？
例5：三只口袋里分别装有两个红球、两个白球、一红一白球，但口袋外贴的标签都是错的，请从一只口袋里取出一只球，使你能根据这个球的颜色说出三只口袋里球的颜色。
例6：有100个人，其中至少有1人说假话，这100人里任意2个人总有1个说真话，问说真话的有多少人？说假话的有多少人？
例7：有9只乒乓球，它们的大小形状一样，其中有一个次品比其它正品的重量轻一点。你能不能用一台天平称两次（不用砝码），就把次品挑出来。
例8：在国际饭店的宴会桌旁，甲、乙、丙、丁四位朋友进行有趣的交谈，用了中、英、法、日四种语言，知道的情况如下：
（1）甲、乙、丙各会两种语言，丁只会一种语言；
（2）有一种语言四人中有三人都会；
（3）甲会日语，丁不会日语，乙不会英语；
（4）甲与丙，丙与丁不能直接交谈，乙与丙可以直接交谈；
（5）没有人既会日语、又会法语。
问：甲、乙、丙、丁各会什么语言？& &
自&&己&&练
1、小黄和小兰都想买一本&&从算术到代数&&的书,小黄缺一分钱,小兰缺六角五分钱,用他们俩人的钱合起来买一本,钱还是不够,问这本书的价格是多少？
2、小华用四角六分买了几支铅笔,铅笔的支数不知道,只知道分两种,一种是七分钱一支的,另一种是五分钱一支的,请你算算小华共买了几支铅笔?
3、红,黄，蓝三种颜色的小球各10个,混放在一只口袋里,蒙上眼睛,要求用手从袋子里取红、蓝球各一个,问至少要取多少个才能保证达到要求?
4、有A,B,C,D,E,F六个人坐在圆桌周围打牌,已知E与C相隔一人,并坐在C的右面,D坐在A的对面,B与F相隔一人并坐在F的右面,F与A不相邻。请将A,B,C,D,E,F的位置画图标出。
5、要分配A、B、C、D、E五人中的若干人去执行任务,分配时考虑到下列条件:
(1)若A去,则B去；
(2)B、C两人中去一人；
(3)D、E两人中至少去一人；
(4)C、D 两人都去或都不去；
(5)若E去,则A、D都去。
试问:应该让哪些人去?要说明理由。
6、甲、乙、丙、丁四人比赛乒乓球，每两人都要赛一场，结果甲胜了丁，并且甲、乙、丙三人胜的场数相同，问丁胜了几场？
7、现在有甲、乙、丙三人同时说了如下三句话：
甲说：“乙正在说谎。”
乙说：“丙正在说谎。”
丙说：“甲、乙都在说谎。”
请判断三人中谁说的是真话，谁说的是假话？
8、某校数学竞赛，A、B、C、D、E这五位同学取得了前五名，老师对他们说：“祝贺你们取得了好成绩，你们猜一下名次结果。”
A说：“B是第三，C是第五。”
B说：“D是第二，E是第四。”
C说：“A是第一，E是第四。”
D说：“C是第一，B是第二。”
E说：“D是第二，A是第三。”
老师说他们每个都只猜对了一半，那么这五个人实际名次顺序如何呢？
9、甲、乙、丙三队参加田径对抗赛，赛前约定，各项比赛第一、二、三名分别记5分、2分、1分；累计得分最多者，就是优胜者。现在知道甲获百米赛跑第一名；丙获得优胜，累计得分22分，甲、乙各得9分，判断三队在比赛中所得名次个数的情况。
10、如果在81个零件中混杂了一个重量较轻的次品，用天平（不用砝码）最少称几次才能把次品找出来？若240个呢？
11、一台天平，只有30克和5克的两只砝码，如何将300克药粉分成150克、100克和50克三份？
12、甲、乙
、丙三人各说一句话，甲说：乙、丙都说假话；乙说：我从不说假话；丙说：乙说的是假话。你能确定谁说的是假话，谁说的是真话吗？
13、有三名工人，一名是电工，一名是车工，一名是钳工，又知道下面三种说法只有一种是对的。
（1）甲是车工；（2）乙不是车工；（3）丙不是钳工。请问他们各是什么工种？
14、张、王、李三个人在甲、乙、丙三个工厂里，分别当车工、钳工、电工。已知：（1）张不在甲厂；（2）王不在乙厂；（3）在甲厂的不是钳工；（4）在乙厂的是车工；（5）王不是电工。这三个人分别在哪个厂？干什么工种？
15、李老师，王老师，张老师在语文、数学、思想品德、自然、音乐和图画六门课中，每人分别都教两门。已知：
（1）& & &
& 思想品德老师与数学老师是好朋友；
（2）& & &
& 王老师最年轻；
（3）& & &
& 自然老师比语文老师年纪大；
（4）& & &
& 李老师常向自然老师和数学老师说起他的学生；
（5）& & &
& 王老师、音乐老师和语文老师常在一起下棋。
请分析一下，三位老师各教哪两门功课？
第五讲&&数的奇偶性
能被2整除的数叫偶数，不能被2整除的数叫奇数。自然数中，不是奇数就是偶数，是偶数就不可能是奇数，一个数是奇数还是偶数是这个数自身的属性，称为奇偶性。在自然数中，我们可以发现奇数、偶数是按着一定次序交替出现的，同时，我们可以证明以下几条规则：
（1）& & &
& 两奇数之和是偶数；
（2）& & &
& 两奇数之差是偶数；
（3）& & &
& 两偶数之和是偶数；
（4）& & &
& 两偶数之差是偶数；
（5）& & &
& 奇数与偶数的和是奇数；
（6）& & &
& 奇数与偶数的差是奇数；
推而广之：奇数个奇数之和是奇数；偶数个奇数之和是偶数，同样，凭着我们以往的经验，会发现以下的规律是正确无疑的：
（7）& & &
& 奇数&奇数 = 奇数
（8）& & &
& 偶数&偶数 = 偶数
（9）& & &
& 奇数&偶数 = 偶数
（10）& & &
& 一个偶数，若能被奇数整除，商一定是偶数；
（11）& & &
& 如果一个奇数能被另一个奇数整除，商一定是奇数。
例1：1+2+2+3+3+3+4+4+4+4+5+5+5+5+5+┄┄+19+┄┄+19的和是奇数还是偶数？
例2：1-2+3-4+5-6+┄┄+91的结果是奇数还是偶数？
例3：33个小朋友做游戏戏，每一次均有8个小朋友向后转，问能不能经过这样若干次的向后转，使所有的小朋友全部转过身去？
例4：A、B、C是三个任意的自然数，你能否证明：A—B，B—C，
A—C中定有一个差数能被2整除？
例5：养鸡户养白鸡和黑鸡各201只，这些鸡上下午在201个鸡窝中下蛋。请你说明：有这样一个鸡窝，每天上下午在这鸡窝里下蛋的是不同颜色有两只鸡（若每只鸡每天下一只蛋）。
例6：50盏红灯排成一排，按顺序分别编上号码，1，2，3，4┄┄50，
每盏灯装有按钮，只要一按按钮，红灯就变成绿灯，再一按，绿灯又成了红灯。有50个人，第一个人走过来把凡是号码为1的倍数的按钮按一下，接着第2个人把凡是号码为2的倍数的按钮按一下，第3个人把号码为3的倍数的按钮按一下，这样继续下去┄┄当第50个人走过来。把号码为50的倍数的按钮按一下，问最后有几盏灯是绿灯？
例7：证明是否存在着这样的整数A、B、C，使得：
A&B&C+A=111┄┄1
&&&1993个1
例8：数学奥林匹克竞赛初赛试题共22题，计分方法是：起点分11
分，答对1题加5分，不答1题倒扣1分，答错1题倒扣3分。试问：1993个同学参赛，则所有参赛学生得分的总和一定是奇数。
自&&己&&练
1、1+4+7+10+13+┄┄+331+334的和，是奇数还是偶数？
2．（1+2+3+4+┄┄+99+100）&（1+2+2+3+3+3+┄┄+11）的积，是奇数还是偶数？
3．自然数M计有115个约数，请你证明M是一个平方数。
4．某班49个同学坐成7行7列，要让49位同学中，每一个人都离开自己的座位坐到邻座上去，此种方案能否实现？为什么？
5．5只杯子全部杯口朝下，每次翻动其中的4只杯子，能否用这种方法将5只杯子翻过来，使得杯口全部朝上？
6．111┄┄1&999┄┄9的积里共有多少个数字是偶数？
& &1993个1&
&&&1993个9
7．在、1951┄┄这45个自然数中，所有偶数和与所有奇数和相差多少？
8．把4粒棋子放在3只玻璃杯中，使每个玻璃杯中的棋子数都是奇数而且不允许有损坏，它该怎样放？
9．1—100这100个数的所有约数的个数和是奇数还是偶数？
10．从1—9这8张牌中任选4张，这4个数所组成的和或是奇数或是偶数，哪种可能性大？
第六讲&&立体图形的计算
　　在小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下．见下图．
　　在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来．
例1：下图是由18个边长为1厘米的小正方体拼成的，求它的表面积．
　　分析与解答
求这个长方体的表面积，如果一面一面地去数，把结果累计相加可以得到答案，但方法太繁．如果仔细观察，会发现这个立体的上下、左右、前后面的面积分别相等．因此列式为：
　　（9＋8＋7）&2＝48（平方厘米）．
　　答：它的表面积是48平方厘米．
例2：一个圆柱体底面周长和高相等．如果高缩短了2厘米，表面积就减少12.56平方厘米．求这个圆柱体的表面积．
一个圆柱体底面周长和高相等，说明圆柱体侧面展开是一个正方形．解题的关键在于求出底周长．根据条件：高缩短2厘米，表面积就减少12.56平方厘米，用右图表示，从图中不难看出阴影部分就是圆柱体表面积减少部分，值是12.56平方厘米，所以底面周长C＝12.56&2＝6.28（厘米）．这个问题解决了，其它问题也就迎刃而解了．
　　解：底面周长（也是圆柱体的高）：
　　　　12.56&2＝6.28（厘米）．
　　侧面积：
　　　　6.28&6.28＝39.4384（平方厘米）
　　两个底面积（取π＝3.14）：
　　表面积：
　　　　39.＝45.7184（平方厘米）
　　答：这个圆柱体的表面积是45.7184平方厘米．
例3：一个正方体形状的木块，棱长为1米．若沿正方体的三个方向分别锯成3份、4份和5份，如下图，共得到大大小小的长方体60块，这60块长方体的表面积的和是多少平方米？
如果将60个长方体逐个计算表面积是个很复杂的问题，更何况锯成的小木块长、宽、高都未知使得计算小长方体的表面积成为不可能的事．如果换一个角度考虑问题：每锯一次就得到两个新的切面，这两个面的面积都等于原正方体一个面的面积，也就是，每锯一次表面积增加1＋1＝2平方米，这样只要计算一下锯的总次数就可使问题得到解决．
　　解：原正方体表面积：1&1&6＝6（平方米），
　　一共锯了多少次：（次数比分的段数少1）
　　（3－1）＋（4－1）＋（5－1）＝9（次），
　　表面积： 6＋2&9＝24（平方米）．
　　答：60块长方体表面积的和是24平方米．
例4：一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图．已知它的容积为26.4π立方厘米．当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米．瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米．问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？
　　分析 由题意，液体的体积是不变的，瓶内空余部分的体积也是不变的，因此可知液体体积是空余部分体积的3倍（6&2）．
　　　　62.172立方厘米＝62.172毫升
　　　＝0.062172升．
　　答：酒精的体积是62．172立方厘米，合0．062172升．
例5：一个稻谷囤，上面是圆锥体，下面是圆柱体（如下图）．圆柱的底面周长是9.42米，高2米，圆锥的高是0.6米．求这个粮囤的体积是多少立方米？
　　分析 按一般的计算方法，先分别求出锥、柱的体积再把它们合并在一起求出总体积．但我们仔细想一想，如果把圆锥形的稻谷铺平，把它变成圆
圆柱体，高是（2＋0.2）米．这样求出变化后直圆柱的体积就可以了．
　　解：圆锥体化为圆柱体的高：
　　底面积：
　　体积：
　　　　7.065&（2＋0.2）＝15.543（立方米）．
　　答：粮囤的体积是15.543立方米．
例6：皮球掉在一个盛有水的圆柱形水桶中．皮球的直径为12厘米，水桶底面直径为 60厘米．皮球有
2/3的体积浸在水中（下图）．问皮球掉进水中后，水桶的水面升高多少厘米？
皮球掉进水中后排挤出一部分水，使水面升高．这部分水的体积的大小等于皮球浸在水中部分的体积，再用这个体积除以圆柱形水桶底面积，就得到水面升高的高度．
　　解：球的体积：
　　　　　　
　　　　 　＝288π（立方厘米）．
　　水桶的底面积：π&302＝900π（平方厘米）．
例7：下图所示为一个棱长6厘米的正方体，从正方体的底面向内挖去一个最大的圆锥体，求剩下的体积是原正方体的百分之几？（保留一位小数）．
　　分析 直圆锥底面直径是正方体的棱长，高与棱长相等．
　　剩下体积等于原正方体体积减去直圆锥体积．
　　解：正方体体积：63＝216（立方厘米）．
　　　　　　　　＝56.52（立方厘米）．
　　剩下体积占正方体的百分之几．
　　（216－56.52）&216≈0.738≈73.8％．
　　答：剩下体积占正方体体积的73.8％．
例8：有一个圆柱体的零件，高10厘米，底面直径是6厘米，零件的一端有一个圆柱形的直孔，如下图．圆孔的直径是4厘米，孔深5厘米．如果将这个零件接触空气部分涂上防锈漆，一共需涂多少平方厘米？
解题时，既要注意圆柱体的外表面积，又要注意圆孔内的表面，同时还要注意到零件的底面是圆环．由于打孔的深度与柱体的长度不相同，所以在孔内还要有一个小圆的底面需要涂油漆，这一点不能忽略．但是，我们可以把小圆的底面与圆环拼成一个圆，即原圆柱体的底面．
　　解：涂漆面积：
　　　　　
　　＝3.14&（18＋60＋20）
　　＝3.14&98＝307.72（平方厘米）．
　　答：涂油漆面积是307．72平方厘米．
自&&己&&练
1．一根圆柱形钢材，沿底面直径割开成两个相等的半圆柱体，如下图．已知一个剖面的面积是960平方厘米，半圆柱的体积是3014.4立方厘米．求原来钢材的体积和侧面积．
2．在一只底面直径是40厘米的圆柱形盛水缸里，有一个直径是10厘米的圆锥形铸件完全浸于水中．取出铸件后，缸里的水下降0.5厘米，求铸件的高．
3．在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞．洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）．求挖洞后木块的表面积和体积．
4．如下图所示的一个零件，中间一段是高为10厘米，底面半径为2厘米圆柱体，上端是一个半球体，下端是一个圆锥，它的高是2厘米．求这个零件的体积．
5．塑料制的三棱柱形的筒里装着水（如下页图（1）是这个筒的展开图，图中数字单位为厘米）．把这个筒的A面作为底面，放在水平桌面上，水面的高度是2厘米（如下页图（2））．问①若把B面作为底面，放在水平的桌面上，水面的高度是多少厘米？
　　②若把C面作为底面，放在水平桌面上，水面高度是多少厘米？
为4分米、3分米、2分米．把两堆碎石分别沉浸在中、小水缸的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉浸在大水缸中，大水缸中水面将升高多少厘米？
7．如下图是一个正方体，H、G、F分别为棱AB、AD、AE的中点．现沿三角形GFH的面锯掉一个角，问锯掉这块的体积是整个立方体体积的几分之几？
　　（提示：V棱柱＝S&h，
　　　　　　S为底面积，h为高．
　　　　　　
可见棱锥的体积是等底等高的棱柱体积的三分之一．）
第八讲&&旋转体的计算
　　分别以矩形、直角三角形、直角梯形的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台（下图）．
　　旋转轴叫做它们的轴，在轴上这条边的长度叫做它们的高，垂直于轴的边旋转而形成的圆面叫做它们的底面，不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做它们的侧面，这条边无论旋转到什么位置，都叫做旋转体的母线．
　　圆柱的侧面展开后是个矩形，它的宽是圆柱的母线，长是圆柱底面的周长．由此可得
　　S圆柱侧＝2πrl，
　　其中l是圆柱侧面的母线长，r是底面半径（下左图）．
　　圆锥的侧面展开图是一个扇形，如上页下角图这个扇形的半径是圆锥的母线，弧长是圆锥底面的周长，于是可得
　　其中l是圆锥侧面的母线，C是圆锥底面的周长，r是圆锥底面的半径．
　　圆台是用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥而得到的，所以圆台的侧面展开图是两个扇形的差，常叫扇环形．这个扇环形的宽是圆台侧面的母线，外弧长和内弧长分别是圆台的下底面和上底面的周长，于是可得
　　其中l是圆台侧面母线长， C上、 C下分别是圆台上底和下底周长， r上、 r下分别是圆台上底和下底的半径（如下图）．
　　圆柱的体积等于它的底面积S与高h的乘积，即
　　V圆柱＝Sh＝πr2h，其中r为圆柱底面的半径．
　　圆锥的体积等于它的底面积S与高h的积的三分之一，
　　圆台的体积是
　　其中，r上、r下分别是上底和下底的半径．
例1：甲、乙两个圆柱形水桶，容积一样大，甲桶底圆半径是乙桶的1.5倍，乙桶比甲桶高25厘米，求甲、乙两桶的高度．
　　分析与解答 如下图．
　　由题意，设乙桶半径为r，则甲桶半径为1.5r；
　　甲桶高度为h，则乙桶高度为h＋25，
　　则π（1.5r）2h＝πr2（h＋25），
　　 　　　2.25r2h＝r2（h＋25），
　　　　　　2.25h＝h＋25，
　　∴h＝20（厘米），h＋25＝45（厘米）．
　　答：甲桶高度为20厘米，乙桶高度为45厘米．
例2：一块正方形薄铁板的边长是22厘米，以它的一个顶点为圆心，边长为半径画弧，沿弧剪下一个扇形，用这块扇形铁板围成一个圆锥筒，求它的容积（结果取整数部分）．
　　筒底的周长＝2πr＝11π，解得r＝5.5厘米．
　　因为母线长是22厘米，所以圆锥的高
　　答：所求圆锥筒的容积约为674立方厘米．
为2米，圆锥的高为1米，这堆谷重约多少公斤（谷的比重是每立方米重720公斤，结果取整数部分）？
　　答：这堆谷子重约306公斤．
例4：有一个倒圆锥形的容器，它的底面半径是5厘米，高是10厘米， 再把石子全部拿出来，求此时容器内水面的高度．
　　解：如上页图，设石子取出后，容器内水面高度为x厘米，则倒圆锥容器的容积等于水的体积加上石子的体积．根据体积公式有
　　x3＝(52&10－196）&4＝54&4＝27&8＝33&23，
　　∴x＝6．
　　答：石子取出后，容器内水面的高为6厘米．
例5：有一草垛，如下图，上部是圆锥形，下部是圆台形，圆锥的高为0．7米，底面圆周长为6.28米，圆台的高为1.5米，下底面周长为4.71米．如果每立方米草约重150公斤，求这垛草的重量（结果取整数部分）．
　　分析与解答
　　圆锥的体积：
　　圆台上底半径：r上＝r＝1米，
　　　　　 　
　　∴草垛体积为：
　　V圆锥＋V圆台＝0.73＋3.63＝4.36（立方米），
　　故草垛的重量为：150&4.36＝654（公斤）．
　　答：草垛约重654公斤．
例6：如下右图，在长为35厘米的圆筒形管子的横截面上，最长直线段为20厘米，求这个管子的体积．
　　分析 如上左图，AB是截面圆环的最长直线段，O是截面圆环的圆心．过O作AB的垂线，垂足是C，以
O为圆心，以OC为半径作圆，即管截面的内圆周．连结AO，根据勾股定理有：AO2＝AC2＋CO2，
　　∴AO2－OC2＝AC2，同理AO2－OC2＝BC2，
　　∴S圆环＝π&AO2－π&OC2＝π&（AO2－OC2）
　　　　&&
　　解：先求出管子横截面的圆环面积为
　　则管子的体积为：
　　π&r2外径&h－πr2内径h＝圆环面积&h
　　＝100π&35＝3500π（立方厘米）
　　答：这个管子的体积为3500π立方厘米．
例7：一个长方形的长为16厘米，宽为12厘米．以它的一条对角线为轴旋转此长方体，得到一个旋转体．求这个旋转体的体积．（结果中保留π，即不用近似值代替π．）
　　分析与解答 如下图，
　　记这个长方形为ABCD，对角线AC的中点为O．过O作EF垂直于AC，分别交 BC、 AD于 E、 F．由对称性知道：
　　EO＝OF．
　　设P为AO上的任一点，过P作AO的垂线，分别交折线ABE和线段 AF于 M和N，那么
　　MP＞PN．
　　因此，四边形ABEF绕AC旋转得到的立体即为四边形ABEO绕AC旋转得到的立体．同样，四边形CDFE绕AC旋转得到的立体即为四边形CDFO绕AC旋转得到的立体．并且，由于对称性，四边形ABEO与CDFO是完全一样的，因此由它们绕AC旋转得到的立体也是完全一样的．这样，这两个立体的体积相等．所以，长方形ABCD绕AC旋转得到的立体的体积等于四边形ABEO绕AC旋转得到的立体的体积的两倍．
　　记由长方体ABCD绕AC旋转得到的立体为W，由四边形ABEO绕AC旋转得到的立体为U，由△ABB'（B'在AO上，BB'垂直于AO）、四边形BEOB'绕AC旋转得到的立体分别记为U1、U2．显然，U1与U2有一条公共的边界（由BB'旋转而成的圆），且U1与U2合成U．
　　因此Vw＝2VU＝2（VU1＋VU2）．
　　由AB＝12厘米，BC＝16厘米及勾股弦定理得：
　　BB'＝9.6厘米．
　　在直角三角形ABB'中再用勾股弦定理，得
　　AB'＝7.2厘米，所以B'O＝AO－AB'＝2.8厘米．
　　U1是一个圆锥，底面半径BB'＝9.6厘米，高AB'＝7.2厘米，所以
　　U2是一个圆台，它是大、小两个圆锥的差，大圆锥以
BB'为底面半径，CB'为高，小圆锥以EO为底面半径，CO为高，容易知道
　　CB'＝CO＋OB'＝12.8厘米，
　　由EO：OC＝AB：BC可以求出EO＝7.5厘米．
　 　　＝853.8π（立方厘米）
　　答：所求的旋转体体积为853.8π立方厘米．
自&&己&&练
一、填空题：
1．一个圆柱体的侧面积是m平方厘米，底面半径是2厘米，它的体积是___立方厘米．
2．一个圆锥的母线长为8厘米，底面直径为12厘米，那么这个圆锥的侧面积等于____平方厘米．
3．圆台的上、下底面半径分别为2厘米和5厘米，母线长为4厘米，那么这个圆台的表面积等于____．
4．用半径为2厘米的半圆形铁皮卷成的圆锥形容器，则它的底面半径为____厘米，容积是____立方厘米．
5．一个圆锥的高是10厘米，侧面展开图是半圆，那么圆锥的侧面积等于____．
二、选择题：
1．一个圆柱体高80厘米，侧面积为1.5平方米，它的全面积是____（精确到0.01平方米）．
　　（A）1.78平方米 （B）2.06平方米
　　（C）3.74平方米 （D）5.25平方米
2．圆锥的侧面积为427．2平方厘米，母线长为17厘米，那么圆锥的高是___（精确到0．01厘米）．
　　（A） 5.75厘米　（B）15厘米
　　（C） 16.52厘米 （D）5.25厘米
3．圆柱的一个底面积是S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是___．
　　（A）4πS　　　（B）2πS
4．母线和底面直径相等的圆锥叫做等边圆锥，一个等边圆锥的底面半径是5厘米，那么它的侧面积是_______．
　　（A） 25平方厘米　 （B） 50π平方厘米
　　（C） 100π平方厘米 （D） 250π平方厘米
5．把一个底面半径是1厘米的圆柱体侧面展开，得到一个正方形，这个圆柱体的体积是立方厘米（取r＝3.14）．
　　（A） 1 　　　　（B） 3.14
　　（C） 3.14&3.14 （D） 3.14&6.28
6．长、宽分别为6寸、4寸的长方形铁片，把它围成一个圆桶，另加一个底，形成圆柱形的杯子，这个杯子的最大容积是____．
三、解答题：
1、一个底面直径是20厘米的圆柱形容器中装着水，水中放置一个底面半径是9厘米，高20厘米的铁质圆锥体，当圆锥从桶中取出后，桶内的水将下降多少厘米？
2、在一只底面半径为20厘米的圆柱形小桶里，有一半径为10厘米的圆柱形钢材浸在水中．当钢材从桶里取出后，桶里的水下降了3厘米．求这段钢材的长．
3、有A、B两个容器，如下页图，先将A容器注满水，然后倒入B容器，求B容器的水深．（单位：厘米）
4、从一个底面半径为3厘米，高为4厘米的圆柱中，挖去一个以圆柱上底面为底，下底面中心为顶点的圆锥，得到一个如下图的几何体．求这个几何体的表面积和体积．
5、圆锥形烟囱帽的底的半径是40厘米，高是30厘米，计算它的侧面面积．若烟囱表面要涂油漆，已知每平方米需要油漆150克，问需油漆多少克？
6、一个圆台的母线长为25厘米，而两个底面半径之比为1：3，已知圆台的侧面积等于1000π平方厘米，求这个圆台的全面积．
7、把一条导线以螺旋状绕在圆柱管上，绕成十圈，圆柱管的外圆周长4厘米，导线的两端点位于圆柱的同一条母线上，每线长（两端点之间的距离）为9厘米．试求导线的长度．
8、在长为1米的圆筒形管子的横截面上，最长直线段为12厘米，求此管子的体积．
9、如下页图，长方形纸片ABCD中，AB＝3厘米，BC＝4厘米，
　　①如果以BC为底边，折成一个底面为正方形的长方体，加盖后其体积为V1；如果以AB为底边，同样折成一个长方体，其体积为V2
，求V1∶V2．
　　②如果以 BC为底边，把纸卷成一个圆柱，其体积为V3；如果以
AB为底边，把纸片卷成一个圆柱，其体积为V4，求V3∶V4（取π＝3.14）．
③这四个不同形状的形体，加盖后其表面积之比又分别是多少（即求S1∶S2和S3∶S4）？
10、一个几何体如下图，求它的表面积．
第十讲&&长方体和正方体
　　长方体和正方体在立体图形中是较为简单的，也是我们较为熟悉的立体图形．
　　如下图，长方体共有六个面（每个面都是长方形），八个顶点，十二条棱．
　　在六个面中，两个对面是全等的，即三组对面两两全等（叠放在一起能够完全重合的两个图形称为全等图形．两个全等图形的面积相等，对应边也相等）．
　　长方体的表面积和体积的计算公式是：
　　长方体的表面积：S长方体＝2（ab＋bc＋ac）；
　　长方体的体积：V长方体＝abc．
　　正方体是各棱相等的长方体，它是长方体的特例，它的六个面都是正方形．如果它的棱长为a，那么：
　　S正方体=6a2，V正方体=a3．
例1：有一个长方体，它的底面是一个正方形，它的表面积是190平方厘米，如果用一个平行于底面的平面将它截成两个长方体，则两个长方体表面积的和为240平方厘米，求原来长方体的体积．
　　解：设原来长方体的底面边长为a厘米，高为h厘米，则它被截成两个长方体后，两个截面的面积和为2a2平方厘米，而这也就是原长方体被截成两个长方体的表面积的和比原长方体的表面积所增加的数值，因此，根据题意有：
　　190＋2a2＝240，可知，a2＝25，故a＝5（厘米）．
　　又因为2a2＋4ah＝190，
　　所以，原来长方体的体积为：
　　V＝a2h＝25&7＝175（立方厘米）．
如下图，一个边长为3a厘米的正方体，分别在它的前后、左右、上下各面的中心位置挖去一个截口是边长为a厘米的正方形的长方体（都和对面打通）．如果这个镂空的物体的表面积为2592平方厘米，试求正方形截口的边长．　
　　解：原来正方体的表面积为：
　　6&3a&3a＝6&9a2（平方厘米）．
　　六个边长为a的小正方形的面积为：
　　6&a&a＝6a2（平方厘米）；
　　挖成的每个长方体空洞的侧面积为：
　　3a&a&4＝12a2（平方厘米）；
　　三个长方体空洞重叠部分的校长为a的小正方体空洞的表面积为：
　　a&a&4＝4a2（平方厘米）．
　　根据题意：6&9a2－6a2＋3（12a2－4a2）＝2592，
　　化简得：54a2－6a2＋24a2＝2592，解得a2＝36（平方厘米），故a＝6厘米．
　　即正方形截口的边长为6厘米．
例3：有一些相同尺寸的正方体积木，准备在积木的各面上粘贴游戏所需的字母和数目字．但全部积木的表面总面积不够用，还需增加一倍，请你想办法，在不另添积木的情况下，把积木的各面面积的总和增加一倍．
　　解：把每一块积木锯三次，锯成8块小立方体（如下图）．这样，每锯
（倍），因此全部小积木的表面总面积就比原积木表面总面积增加了一倍．
例4：有大、中、小三个正方形水池，它们的内边长分别为4米、3米、2米，把两堆碎石分别沉没在中、小水池的水中，两个水池的水面分别升高了4厘米和11厘米．如果将这两堆碎石都沉没在大水池中，大水池水面将升高多少厘米？　
　　解：水池中水面升高部分水的体积就是投入水中的碎石体积．
　　沉入中、小水池中的碎石的体积分别是：
　　3&3&0.04＝0.36立方米，
　　2&2&0.11＝0.44立方米．
　　它们的和是：
　　0.36＋0.44＝0.8立方米．
　　把它们都沉入大池里，大池水面升高部分水的体积也应当是0.8立方米，而大池的底面面积是4&4＝16平方米，所以，大水池的水面升高：
例5：下图是正方体的展开图之一，当用它组成立方体时，图中的哪一边与带★记号的边相接触呢？
　　解：对于这个问题，考虑将各面拼凑成正方体是一种方法，但如只考虑边的连接会更简洁：首先☆和G连接，其次H和I连接，且X、Y、Z三点重合为正方体的一个顶点，因此与★连接的是K边．
例6：下图是正方体的11种展开图和2种伪装图（即它们不是正方体的展开图）．请你指出伪装图是哪两个？
　　解：无论哪一个图中都有六个小正方形，都好像有道理，但当我们把相邻两边逐一拼合后，不能变成正方体的是（10）和（12），这两个图形，都是有五面在拼合时不成问题，但是最后一面总是挤在外面而成不了正方体．
例7：如下面的各图中均有若干个六面体，每小题图中的几个六面体上A、B、C、D、E、F六个字母的排列顺序完全相同（即每个小题中六面体上刻字母的方式是完全一样的）试判断各小题的图中A、B、C三个字母的对面依次是哪几个字母？
　　解：（1）由图中可知，A与B、C、E、F都相邻，故A的对面是D．E、F的位置可按右手关系得出，伸出右手，伸直大拇指按（1）中右图所示，让四指方向从A转动而指向F，此时大拇指正好指向E（向上）．如果，判断为F在C对面，由（1）中左图所示，让四指的方向从A向F，此时大拇指指向B，与（1）中右图矛盾，故F在B的对面，E在C的对面．
　　（2）～（6）按A、B、C顺序给出对面的字母：
　　（2）E、D、F；（3）F、E、D；（4）D、F、E；
　　（5）E、D、F；（6）F、E、D．
　　例8：有一块正方体的蛋糕．用刀子将它一刀切成两半，为了使切口成正六边形，应该怎样切呢？
　　一般地，按照平常习惯的切法切下去，得到的切口成为上图中（1）的正方形或者像（2）、（3）那样的长方形．如果斜切下去时样子就不一样了，比如像（4）那样，以打算切的顶点作一方，将不相邻的某一边的中点作另一方，沿它的连接线来切，切口变成菱形．
　　如果再进一步，连接相邻边的中点，沿着它的连线来切，如上图中（5）所示，因为切口的各边都是连接边和边的中点的直线，所以长度都相等，相邻边夹角也相等，边数是六，故是正六边形．
自&&己&&练
一、填空题：
1．一块矩形纸板，长8厘米，宽6厘米，把它折成底面为正方形的长方体的侧面，则这个长方体的底面面积为______平方厘米．
2．有一个棱长为6厘米的正方体木块，如果把它锯成棱长是2厘米的正方体若干块，表面积增加了______平方厘米．
3．把一根2米长的方木锯成两段，表面积增加 288平方厘米，原来这根方木的体积是______立方厘米．
4．把棱长为a厘米的两个正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是
5．把棱长1厘米的正方体2100个，堆成一个实心的长方体，它的高是10厘米，长和宽都大于高，这个长方体的长与宽的和是______厘米．
二、选择题：
1．一个正方体的体积是343立方厘米，它的全面积是__平方厘米．
　　（A）42 （B）196 （C）294 （D）392
2．把棱长为3分米的正方体锯成两个长方体，这两个长方体表面积的和是______平方分米．
　　（A）54 （B）72 （C）108 （D）以上都不对
3．如下图，一个木制的正方体的棱长为2分米，每个面的正中有一个正方形的孔通到对边，边长为1分米，孔的各棱平行于正方体相对的棱，那么这个镂空几何体的总表面积的平方分米数是____．
　　（A）24 （B）30 （C）36 （D）42
4．如下页图立方体的每个角都被切下去（图中仅画了两个）．问所得到的几何体有__条棱？
　　（A）24（B）30 （C）36 （D）42
5．立方体各面上的数字是连续的整数（如图）．如果每对对面上的两个数的和相等，那么，这三对数的和是__．
　　（A）75 （B）76 （C）78 （D）81
三、解答题：
1、一个木盒从外面量长10厘米，宽8厘米，高5厘米，木板厚1厘米．问①做这个木盒最少需要1厘米厚的木板多少平方厘米？②这个木盒的容积是多少立方厘米？
2、长9厘米，宽8厘米，高3厘米的长方体木块锯成若干个小正方体（锯痕宽度忽略不计），然后再拼成一个大正方体，求这个大正方体的表面积．
3、一个边长为6厘米的正方体铁盒装满了水，将水倒入一个长9厘米，宽8厘米的长方形水槽内，若铁皮厚度不计，求水深．
4、把19个边长为2厘米的正方体重叠起来，作成如下图那样的组合形体，求这个组合形体的表面积．
5、将表面积为54平方厘米、96平方厘米、150平方厘米的三个铁质正方体熔铸成一个大正方体（不计损耗）．求这个大正方体的体积和表面积．
6、用字母标出一个正方体的各面，下图中是三个不同方位的这一个正方体，问字母A、B、C的对面是什么字母？
7、下图是一个正方体及其两个展开图．这个正方体还有九种不同的展开图（下图），请把这九个展开图填上相应的数字（注意数字的方向）．
8、下左图中的立方体，被两个平面所截，你能在这个正方体的展开图中画出相应的截线吗？（下右图）
9．在下页图所示的12个展开图中，哪些可以做成没有顶盖的五个面的小方盒？
10．下页图是一张3&5的方格纸，在保持每个方格完整的条件下，将它剪成三部分，使每部分都可以折成一个棱长为1的没有顶盖的小方盒，怎样剪？
第十一讲&&简便与巧算
数量关系公式：
总和＝（首项＋末项）&项数&2
项数＝（末项－首项）&公差＋1
在计算中运用某些运算定律可以进行简算。
例1：求1＋3＋5＋……＋
例2：有200个数排成一列，已知左起第一个数是9，从第二个数开始，后一个数都比前一个数多2，求这200个数的和。
例3：梯子的最高一级宽32厘米，最低一级宽110厘米，中间还有9级，各级的宽度成等差数列。计算当中一级的宽度。
例4：在12和60之间插入3个数，使这5个数成等差数列。
例5：计算：17.48&37－174.8－1.9＋17.48&82
例6：计算：6.25&0.16＋264&0.&6.25＋0.625&20
例7：计算：0.125&0.25&0.5&64
例8：（4.8&7.5&8.1）&(2.4&2.5&2.7)
例9：(99＋99)&2.0002
例10：(0.523& ＋0.227& )&11－ &11
自&&己&&练
& 12&86.4＋1.136&12
& 1.25&67.875＋125&6.&53.375
& 0.＋495&0.24＋51&4.95
& 8&(3.1－2.85)&12.5&(1.62＋2.38)
& (4.5&7.5&4.8)&(1.5&2.5&2.4)
7、两数相加，小明错算成相减了，结果是8.6，比正确答案小10.4，其中较大数是多少？
8、大小两数的差是7.02，较小数的小数点向右移动一位就等于较大数，求这两个数。
9、电影院有30排座位，后一排都比前一排多2个座位，最后一排有90个座位，问这个电影院一共有多少座位？
10、一个物体从空中落下，第一秒钟下落4.9米，以后每秒多下落9.8米，经过10秒钟落到地面，问物体原来离地面多高？
11、一个等腰梯形的两个底边的长分别是12厘米与22厘米，将梯形的两腰10等分，过每个分点画平行于梯形底边的直线，这些加在梯形两腰间的线段的长度和是多少？
第十二讲&&分数、百分数应用题
分数、百分数应用题有以下三种基本类型：
（1）& & &
& 求一个数的几分之几（或百分之几）是多少？
（2）& & &
& 已知一个数的几分之几（或百分之几）是多少，求这个数？
（3）& & &
& 求一个数是另一个数的几分之几（或百分之几）？
以上三类问题的基本关系式是：
（1）& & &
& 单位“1”&几分之几（或百分之几）＝对应量
（2）& & &
& 对应量&几分之几（或百分之几）＝单位“1”
（3）& & &
& 对应量&单位“1”＝几分之几（或百分之几）
有了以上三种类型和三个关系式，便可解答有关分数（或百分数）应用题了。
例1：某化肥厂把生产45吨化肥的任务分配格桑额车间，第一车间分到40％，第二车间分到总数的
，其余的分给第三车间，第三车间分到花费多少吨？
例2：从甲地到乙地，小张走了三天。第一天走了全程的
，第二天走了剩下的30％，第三天走的是第一天的75％加6千米。全程多少千米？
例3：小明放风筝，不小心断去线长的 ，再接上11米，也只有原来线长的 ，原来线长多少米？
例4：一根铁丝，第一次用去它的 又 米，第二次用去剩下的 又 米，第三次用去剩下的 又 米，还剩 米，这根铁丝有多长？
例5：两队合修一条公路。第一队修了全路的 又11千米，第二队修了全路的 后，还剩22千米没修，这条公路有多长？
例6：木器厂采购的木料分三批运到，第一批运到的比全部木料的 多400立方米，第二批运到的等于第一批的
，第三批运到410立方米。全部木料有多少立方米？
例7：用拖拉机耕一块地，第一天耕了这块地的 又30公亩，第二天耕的比余下的
少15公亩，这时还剩下585公亩，这块地共有多少公亩？
例8：五年级共有学生152人，选出男生的 和5个女生去开会，剩下的男、女生人数正好相等。这个年级男、女生各有多少人？
例9：某校男生人数比全校总人数的 少25人，女生人数比全校学生总人数的 多15人，全校有学生多少人？
例10：有一瓶酒精，第一次倒出
，这时瓶内还剩90克，原来瓶内有酒精多少克？
例11：某工厂有三个车间，第一车间的人数占三个车间总人数的 ，第二车间的人数是第三车间人数的
，第一车间比第三车间少21人，第一车间有多少人？
例12：某校六年级数学小组中，女生人数占 ，后来又吸收了4个女生参加，这时女生人数占小组人数的 ，这个小组现在有几人？
例13：有一块菜地和一块麦地。菜地的一半和麦地的 放在一起是13公亩。麦地的一半和菜地的
放在一起是12公亩，菜地是几公亩？
自&&己&&练
1、化肥厂生产一批化肥，分三次运出，第一次运出的比总数的 还多200吨，第二次运出的是第一次的
，第三次运出450吨，这批化肥有多少吨？
& 工厂改进生产设备和生产技术后，生产人员减少了 ，而产量却增长了
40％，现在的生产效率比改进全提高了百分之几？
& 使含盐15％的盐水30千克的浓度变成40％，需加盐多少千克？
4、甲、乙、丙三只木箱中共有零件若干个。其中甲箱中有303个零件，乙箱中的零件是全部零件的 ，丙箱中的零件占全部零件的
（n是整数）甲、乙、丙三箱中共有零件多少个？
5、某校学生中，男生比全校总人数的 少5人，女生人数比全校总人数的 多11人，全校有多少人？
6、两队合修一条水渠，甲队完成的比全长的 还多7.2千米，乙队完成的相当于甲队的 ，这条水渠有多长？
7、甲、乙、丙三人共运一批水泥，甲运了总数的 ，比乙多运9.94吨，乙运的吨数占丙的 ，求这批水泥的重量？
8、甲、乙二人共存款若干元，其中甲的存款占总数的60％，甲取出12元后，他的存款只占总数的56.25％，甲、乙二人原来共有存款多少元？
9、一堆糖果，其中奶糖占45％，再放入16块水果糖后，奶糖就只占25％，这堆糖中有奶糖多少块？
10、甲、乙两个仓库共有水泥84吨，如果从甲仓中取出 放入乙仓。那么乙仓的水泥是甲仓的 ，两个仓库原来各有水泥多少吨？
11、一个长方形，长增加25％，要使面积保持不变，宽应减少百分之几？
12、一筐苹果，先拿出140个，又拿出余下的60％，这时剩下的苹果正好是原来总个数的 ，这筐苹果原有多少个？
13、三个粮仓共存量120吨，如果从甲仓中取出10吨放入丙仓，再从乙仓中取出18吨放入甲仓，这时甲仓的 相当于丙仓的 ，乙仓比丙仓少
，三个粮仓原来各存粮食多少吨？
第十三讲&&工程问题
工程问题的特点是：问题里讲述的某项工程（或某项工作）常常不给出具体的数量。因此，解答这类问题的关键是，首先把全部工程看作整体“1”，用这个“1”表示整个工作总量，再求出一个单位时间的工作量占全工作量的几分之几，也就是工作效率，然后根据工作总量、工作效率和工作时间这三个量的关系解题。
工程问题有以下关系式：& & &
工作总量&工作效率＝工作时间
工作总量&工作时间＝工作效率
工作效率&工作时间＝工作总量
例1：某工程，甲、乙两队合作，30天可以完成。今两队合作12天后，剩下的由甲队独做，过24天完成。乙队独做全部工程需几天完成？
例2：一项工程，单独做甲队需20天，乙队需30天。在合作若干天后，乙队调出另分配任务。这项工程前后共用18天完成，求乙队调出了几天？
例3：某水池可以用甲、乙两个水管注水。单放甲管需12小时注满，单放乙管24小时注满。现在要求10小时注满水池，并且甲、乙两管合放的时间尽可能地少，那么，甲、乙两管合放最少需要几小时？
例4：一项工程，先由甲做10天完成了全部工程的 ；再有乙做5天完成了全部工程的 ；然后又丙做2天完成了全部工程的
。最后，甲、乙、丙合作余下的工程，还要几天可以完成？
例5：一个水池，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满，如果乙管先开6小时，还需要甲、丙两管同时开2小时才能灌满（这时乙管关闭）。那么乙管单独灌满水池需多少小时？
例6：一项工程，甲单独做完要50天，乙单独做完要60天。两人合作，甲每做3天休息1天，乙每做5天休息1天。完成全部工作要多少天？
例7：有一水池，单开甲管5分钟注满，单开乙管10分钟注满，单开丙管15分钟可将满池水放尽。现在甲、乙、丙三管齐开，2分钟后关闭乙管，再过3分钟后，还差0.8立方米的水注满全池。求水池的容量？
例8：两列火车同时从甲乙两地相向而行，货车从甲地开往乙地需要10小时，比客车从乙地开往甲地所需的时间多
，两车相遇时客车比货车多行60千米。甲、乙两地相距多远？
例9：一项工程，甲队独做24天完成，乙队独做30天。甲、乙两队合作8天后，余下的由丙队做，又做了6天才完成。这项工程由丙队独做需几天完成？
自&&己&&练
1、一件工作，甲独做需40天，乙独做需60天。现在两人合作，中间甲因生病休息了几天，所以经过27天采完成。甲休息了几天？
2、一项工程，甲乙两队合作12天完成，乙丙两队合作20天完成，甲丙两队合作15天完成。如果三队合作几天完成？
3、一项工程，单独做甲用6天，乙用8天。丙先做3天完成这项工程的 ，余下的由甲、乙、丙三人合作，还需要几天？
4、一项工程，甲乙两队合作12天完成，现在甲乙两队合作4天后，余下的乙队独做要20天完成。如果由甲队单独完成这项工程要用多少天？
5、某工程先由甲单独做63天，再由乙单独做28天即可完成，如果由甲乙两人合作需48天完成。现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成。那么，还需要做多少天？
6、一孔水池由甲乙两根进水管和一根排水管，单开甲管需5分钟注满水池，单开乙管需10分钟注满水池，满池水如单开排水管需6分钟流尽。某日池中没有水，打开甲管若干分钟后，发现排水管未关上，随即关上排水管，同时打开乙管，又过了同样长的时间，水池约
注了水。如果继续注满水池，前后一共要花多少时间？
7、某水池的容积是100立方米，它由甲乙两个进水管和一个排水管。甲乙两管单独灌满水池分别需要10小时和15小时。水池中原来有一些水，如果甲乙两管同时进水而排水管放水需要6小时讲水池中的水放完；如果甲管进水而排水管放水，需要2小时将水池中的水放完。那么水池中原来有水多少立方米？
8、蓄水池有甲丙两条进水管和乙丁两条排水管。要灌满一池水，单开甲管需要3小时，单开丙管需要5小时，要排光一池水，单开乙管需要4小时，单开丁管需要6小时，现在池内有
池水。如果按甲乙丙丁的顺序，循环开各水管，每次每管开1小时，多少时间后水开始溢出水池？
9、一条路，甲队20天完成，乙队12天完成。两队合修5天，由乙队又修了2天，还余210米。求全长有多少米？
10、快车从甲城到乙城需20小时，慢车从乙城到甲城需30小时。两车间同时从两城相对开出，相遇时慢车距甲城还有1080千米。甲乙两城相距多少千米？
第十四讲&&包含与排除
包含与排除问题也叫重叠问题。他实际上是一种集合方面的问题。解答这类问题的主要根据是容斥原理。
& 容斥原理：
（1）& & &
原理一：两个集合A、B相交合并成一个集合C，C的元素个数等于A、B的元素个数和，减去A、B的公共元素的个数。
即：C=A+B－AB或AB=＋B－C
（2）& & &
原理二、三个集合A、B、C两两相交合并成一个集合D，D的元素个数等于A、B、C的个数和，减去A、B、C两两公共的元素个数加上A、B、C公共元素的个数。
即：D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC
ABC=D－(A+B+C－AB－AC－BC)
& 包含与排除问题的例题：
（1）& & &
& 由容斥原理一&C=A+B－AB可计算两个集合圈的有关问题。
（2）& & &
& 由容斥原理二&D＝A＋B＋C－AB－AC－BC＋ABC可计算&
&三个集合圈的有关问题。
例1：某班学生每人至少订一种报纸，订《少年报》的有27人，订《科技报》的有21人，两种报纸都订的有8人。全班共有多少人？
例2：某班学生除5人没订报纸外，其余每人至少订1种报纸。订《少年报》的有27人，订《科技报》的有21人，两种都订的有8人。全班共有多少人？
例3：一个班有学生42人，参加体育队的有30人，参加文艺队的有25人，有5人什么队也没有参加，两队都参加的有几人？
例4：五年级有56名学生参加三项课外活动，每人至少参加一项。有32人参加数学班，有24人参加舞蹈班，有27人参加合唱队。其中既参加舞蹈班又参加数学班的有10人，既参加数学班又参加合唱队的有14人，既参加舞蹈班又参加合唱队的有9人。求三项活动都参加的有几人？
例5：分母是1001的最简真分数共有多少个？
自&&己&&练
1、一个班48名同学都订了杂志，订《齐鲁少年报》的有32人，订《儿童文学》的有29人。有多少人订了两种杂志？
2、数学测验38人参加，答对第一题的有25人，答对第二题的有23人，两题都答对的有15人。问有几人两题都没有答对？
3、在87人中，会下中国象棋的有68人，会下国际象棋的有50人，两种象棋都不会下的有10人。两种象棋都会下的有几人？
4、分母是1986的最简真分数共有几个？
5、一批教师，会英语的有235人，会俄语的有218人，会法语的有207人，既会英语，又会俄语的有112人，既会英语又会法语的有71人，既会俄语又会法语的有63人，三种语言都会的有19人，三种语言都不会的有17人。这批教师共有多少人？
6、在100名学生中，音乐爱好者53人，体育爱好者72人，那么两项都爱好者至少有几人，最多有几人？
第十五讲&&比和比例应用题
两个数相除又叫做两个数的比。
表示两个比相等的式子叫做比例。在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。
比和比例的应用题主要包括比、按比例分配和正、反比例等方面的应用题。它常常同分数应用题、工程问题以及行程问题等交织在一起，使数量关系变得较为复杂。
例1：把100毫升纯盐装在一个玻璃瓶里，正好装满。用去10毫升后，加满水；又用去10毫升后，再加满水。这时瓶子里水和盐的比是多少？
例2：甲乙两个仓库存放的货物重量比是4：3，把甲仓库货物的
运到乙仓库，这时乙仓库的货物重量比甲仓库多100吨，甲仓库原有货物多少吨？
例3：甲乙两个仓库原有粮食吨数的比是5：4，甲仓库运走36吨后，两仓库粮食吨数的比是3：4。甲仓库原有粮食多少吨？
例4：某工厂三个车间救灾捐款，甲车间捐款数是另外二个车间捐款数的 ，乙车间捐款数是另外两个车间捐款数的
，丙车间捐款数比乙车间捐款数少72元。三个车间共捐款多少元？
例5：大、小客车分别从甲乙两地同时相向开出。大、小客车速度的比是4：5，两车开出&&小时相遇。并继续前进，大客车比小客车晚机小时到达目的地？
例6：一段路程分成上坡、平路、下坡三段，各段路程长的比依次是1：2：3。某人走各段路程所用的时间之比依次是4：5：6。已知上坡的速度是每小时走3千米，路程全长50千米。此人走完全程用了多少时间？
例7：学校买来篮球、排球、足球共30个，篮球的个数是排球的 ，排球个数是足球的 。三种球各买了多少个？
例8：甲、乙二人，若甲行走的路程比乙多 ，而乙行走的时间比甲多 。那么甲和乙的速度比是多少？
例9：学校组织一次书法比赛，参赛人数不足50人。获一等奖的人数与总人数的比是1：7；获二等奖的人数与总人数的比是1：3；获三等奖的人数与总人数的比是3：7。没获奖的有多少人？
自&&己&&练
1、在3：5里，如果前项加上6，要使比值不变，后项应加上多少？
2、两个相同的瓶子装满酒精溶液，一个瓶子中酒精与水的体积比是3：1，而另一个瓶中酒精与水的比是4：1，若把两瓶酒精溶液混合，混合液中酒精和水的体积的比是多少？
3、甲乙两个仓库所存货物重量的比是7：5，如果从甲仓库运520千克到乙仓库，甲乙两个仓库所存货物重量的比就成为3：4，现在甲仓库有货物千克？
4、有一块菜地，计划种植白菜和萝卜，他们面积的比是11：4，如果将30平方米白菜地改种萝卜，那么种植白菜和萝卜面积的比是3：2。这块地共有多少平方米？
5、甲乙两人同时从A、B两地相向而行。两人相遇时，所行距离之比是3：2，这时甲比乙多行18千米，A、B两地相距多少千米？
6、五年级甲、乙两班人数的比是5：4，在义务劳动中，如果从甲班掉21人到乙班后，甲乙两班的人数比是2：3，甲乙两班原来各有多少人？
7、甲乙两数的和是1.98，如果把乙数的小数点向右移动一位，这两个数的比是1：1，原来甲乙两数各是多少？
8、小明行走的路程比小红多 ，而小红行走的时间却比小明多 ，小明与小红速度比是多少？
9、加工一批零件，加工一天后，已加工个数与未加工个数的比是1：9。第二天加工了120个，这时已加工个数是这批零件的
。第一天加工了多少个？
10、生产一批零件，甲每小时可生产80个，乙单独做要12小时完成。现在有甲乙两人合作完成，乙甲生产零件数量的比是5：3，甲乙共生产零件多少个？
11、有两组数，第一组数的平均数是12.8，第二组数的平均数是10.2，而这两组数的总的平均数是12.02，那么第一组数的个数与第二组数的个数的比值是多少？
12、甲、乙两辆汽车从相距190千米的A、B两地相向开出，在途中相遇。已知甲、乙两车的速度比是4：3，相遇时所用时间的比为5：6。相遇时甲、乙两辆汽车各行了多少千米？
第十六讲&&简易一次不定方程
什么是不定方程：
我们先看下面两个方程（1）3x＋4y=65，（2） 7x＋9y＋11z=68
&5x＋7y＋9z=52
方程（1）是二元一次方程，含有两个未知数x和y，未知数的个数多于方程的个数。
方程（2）是一个三元一次方程组，有两个方程组成，这个方程组中含有三个未知数x、y和z，未知数的个数也多于方程的个数。
如果一个方程（组）的未知数的个数多于方程的个数，那么这个方程（组）叫做不定方程（组）。
一次不定方程的自然数解
一次不定方程往往有无数组解，但如果我们加进一些限制条件，如果：“自然数解”等，就会使解变得有限。
例1：求2x＋3y＝18的自然数解
例2：求5x－3y＝16的最小自然数解
例3：一只箱子里装有6只脚的蟋蟀和8只脚的蜘蛛，他们共有46只脚。问箱子里蟋蟀和蜘蛛各有多少只？
自&&己&&练
& 求4x＋5y＝37的自然数解
装水瓶的盒子有大小两种，大的盒子能装7个，小的盒子能装4个。要把41个水瓶装入盒内，问大小盒子各需要几个？
& 现有三条腿的圆桌和两条腿的方凳共23条腿，求圆凳和方凳各有多少个？
& 小红用3元6角钱去买2角和5角的邮票，若正好把钱用完，两种邮票可以各买几枚？
第十七讲&&平面图形的面积
计算平面图形的面积，包括两种情况，一是计算单一图形的面积，可以直接利用面积计算公式来计算。二是计算组合图形的面积，一般分为求面积和与面积差，要特别注意已知面积求长度的问题。
与平面图形有关的还有一种情况是已知面积求长度的问题。
总之，平面图形的有关计算必须熟练掌握单一几何图形的计算公式，在计算过程中灵活的运用知识。
例1：如果已知四边形ABCD中，∠B＝∠D＝90 ，∠A＝45
，AD＝12厘米，BC=4厘米。求四边形ABCD的面积是多少？
例2：如图，三角形ABC被分成了甲乙两部分。BD=DC=4，BE=3，AE=6。求乙部分面积是甲部分面积的几倍。
例3：如图，已知三角形ABC的面积为1，延长AB至D，使BD＝AB，延长BC至E，使CE＝2BC，延长CA至F，使AE＝3AC，求三角形DEF的面积。
例4：如图，在梯形ABCD中，三角形ABE的面积等于60平方厘米，AC是AE的3倍，梯形ABCD的面积是多少平方厘米？
例5：ABCD是一个长方形，三角形ADE比三角形CEF的面积小10平方厘米，问CF的长是多少厘米？（单位：厘米）
例6：右图中扇形的半径OA=OB=6厘米，∠AOB＝45 ，AC&OB于点C，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？
例7：求图中阴影部分的面积。（单位：厘米）
例8：如右图，已知直角三角形的面积是12平方厘米，求阴影部分的面积。
例9：如右图，O为圆心，CO&AB，三角形ABC的面积是45平方厘米。求阴影部分的面积。
自&&己&&练
1、右图中，AB=3厘米，让A点不动C把半圆逆时针转60 角，此时B点移动到B’点。图中阴影部分的面积是多少？
2、大圆半径为R，小圆半径为r，两个同心圆构成一个环形，以圆心O为顶点，半径R为边长做一个正方形，再以O为顶点，以r为边长做一个小正方形，阴影部分的面积为40平方厘米。求环形部分的面积。
3、已知正方形甲的边长为5厘米，正方形乙的边长为4厘米。求图中阴影部分的面积。
4、在右图梯形中，两个阴影部分的面积和是多少平方分米？（单位：分米）
5、如图，BCEF是平行四边形，三角形ABC，是直角三角形，BC长8厘米，AC长7厘米。阴影部分面积比三角形ADH的面积大12平方厘米，求HC的长。
6、在右图中，已知正方形ABCD的边长是5分米，求阴影三角形AEF的面积。
7、如图，在三角形ABC中，CD=2BD,CE=3AE，阴影部分的面积是20平方厘米。求三角形ABD与三角形EDC的面积和是多少平方厘米？
8、有两个等腰直角三角形，夹直角的边分别为7厘米和10厘米，现在把这两个直角三角形如图所示重合起来，试求阴影部分的面积。
9、如图，四边形ABCD是1平方厘米，AB=AE，BC=BF，DC=CG，AD＝DH，求四边形EFGH的面积。
10、如图，长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为AB、BC、CD的中点，H为AD边上任意一点，问阴影部分的面积是多少？
11、平行四边形ABCD的周长为75厘米，以BC为底时，高是14厘米；以CD为底时，高是16厘米。求平行四边形ABCD的面积。&
第十八讲&&牛吃草问题
牛顿在《普通算术》这一本书中有一道著名的题目：12头牛4周吃3格尔，同样牧草，21头牛9周吃18格尔，问24格尔牧草，多少头牛吃18周吃完？(格尔：牧场的面积单位)由于牧场的草是在不断的生长的，即使是同样大小的牧场草量也会随着天数不断变化，从而使这一类问题的解答比较复杂。人们通常把这一类问题称为“牛吃草”或“牛顿问题”。与它类似的问题还有抽水问题等等。解答这类题目实际上是很有规律的，我们可以先从比较简单的问题中寻找规律，再来解答比较复杂的“牛顿问题”。
例1：牧场上有一片青草，每天匀速生长，这片青草可供10头牛吃20天，可供15头牛吃10天，问供25头牛可以吃几天？
例2：有一口井，井底有泉水不断涌出，每分钟涌出的水量相等。如果用4台抽水机来抽水，40分钟可以抽完；如果用5台抽水机来抽水，30分钟可以抽完。现在要求24分钟内抽完井水，需要抽水机多少台？
例3：有一片青草，每天生产的速度相同，已知这片青草可以供15头牛吃20天，或者供76只羊吃12天，如果一头牛的吃草量等于4只羊的吃草量，那么8头牛与64只羊一起吃，可以吃多少天？
自&&己&&练
1、牧场上有一片牧草，可以供27头牛吃6天，供23头牛吃9天，如果每天牧草生长的速度相同，那么这片牧草可以供21头牛吃几天？
2、牧场的牧草匀速生长，已知15头牛10天可以吃完牧场的草，或者25头牛5天吃完牧场的草，那么30头牛几天可以吃完这片牧草？
3、有一个池塘不断有泉水不断涌出，每小时流出的水量都是相同的。如果用6台抽水机从池塘抽水，20个小时可以把池水抽干，如果用9台同样的抽水机抽水，10个小时可以把池水抽干。现在想要在5个小时内把池水抽干，那么至少要用几台这样的抽水机同时抽水？
4、有一片草地，草每天生长的速度相同。这片草地可供5头牛吃40天；或者供6头牛吃30天。如果4头牛吃了30天以后，又增加2头牛一起吃草，这片草地可以再吃几天？
5、一只船发现漏水时，已经进了一些水，水匀速进入船内。如果10人淘水，3小时淘完；如果5人淘水，8小时淘完，如果要2小时淘完，需要多少人？
6、某车站检票前若干分钟就开始排队，每分钟来的旅客人数一样多。若同时开4个检票口，从开始检票到等候检票的队伍消失，需30分钟；同时开5个检票口，需20分钟，如果同时打开7个检票口，需要多少分钟？
7、由于天气逐渐冷起来，牧场上的草不仅没有增加，反而以固定的速度在减少。已知某块草地上的草可以供20头牛吃5天或者供15头牛吃6天。按照这样计算，可以供多少头牛吃10天？
8、有3个牧场长满草，第一牧场33公亩，可以供22头牛吃54天，第二牧场28公亩，可以供17头牛吃84天，第三牧场40公亩，可以供多少头牛吃24天？（每块地每公亩草量相同而且都是匀速生长）
9、牧场上有一片匀速生长的草，可以供27头牛吃6周，或供23头牛吃9周，那么它可以供21头牛吃几周？
10、一只船有一个漏洞，水以均匀的速度进入船内，发现漏洞时已进入一些水，如果12个人一起舀水，3小时可以舀完；如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完，现在要2小时舀完，需要多少人？
11、一水库原有水量一定，河水每天均匀进入水库。5台抽水机连续20天可以抽干，6台抽水机连续15天可以抽干。若要求6天抽干，需要多少台同样的抽水机？
12、有一个酒槽，每天漏出等量的酒。如果让6人饮，则4天喝完。如果让4人饮，则5天喝完。若每人的饮酒量相同，问每天漏出的酒量为多少？
13、一个水池安装有排水量相等的排水管若干根，一根进水管不断地往水池里放水，平均每分钟进水量相等。如果开放3根排水管，45分钟可以把水池中的水放完。如果开放5根排水管，25分钟可以把水池中水排完。如果开放8根排水管，几分钟排完水池中的水？
14、某火车站的检票口，在检票开始前已经有一些人排队，检票开始后每分钟有10人前来排队检票。一个检票口每分钟能让25人检票进站。如果只有一个检票口，检票开始8分钟后酒没有人排队。如果有两个检票口，那么检票开始后多少分钟就没有人排队？
15、某游乐场在开门前400人排队等候，开门后每分钟来的人数是固定的，一个入口每分钟可以进10个游客。如果开放4个入口，20分钟就没有人排队。现在开放6个入口，那么开门后多少分钟就没有人排队？
16、一个大水坑，每分钟从四周流掉（四壁渗透）一定数量的水。如果用5台水泵，5小时就能抽干水坑的水；如果用10台水泵，3小时就能抽干水坑的水。现在要1小时抽干，需要多少台水泵？
第十九讲&&方 阵 问 题
　　同学们要参加运动会入场式,要进行队列操练,解放军排着整齐的方队接受检阅等,无论是训练或接受检阅&127;,都要按一定的规则排成一定的队形,于是就产生了这一类的数学问题,今天我们将共同研究和分析这类问题。
　　士兵排队,横着排叫行,竖着排叫列,若行数与列数都相等,正好排成一个正方形,这就是一个方队,这种方队也叫做方阵(亦叫乘方问题)。
方阵的基本特点:
(1)方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的 人数就少2。
(2)每边人(或物)数和四周人(或物)的关系;
四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]&4
每边人(或物)数=四周人(或物)数&4+1
(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数&每边人(或物)数
(4)空心方阵的总人(或物)数=（最外层每边人(或物)数－空心方阵的层数）&空心方阵的层数&4
例1：三年级一班参加运动会入场式,排成一个方阵,最外层一周的人数为20人,问方阵最外层每边的人数是多少?这个方阵共有多少人?
例2：明明用围棋子摆成一个三层空心方阵,如果最外层每边有围棋子15个,明明摆这个方阵最里层一周共有多少棋子?&127;摆这个三层空心方阵共用了多少个棋子?
例3：玲玲家的花园中,有一个如下图那样,由四个大小相同的小等边三角形组成的一个大三角形花坛,玲玲在这个花坛上种了若干棵鸡冠花,已知每个小三角形每边上种鸡冠花5棵,问大三角形的一周有鸡冠花多少棵?&127;玲玲一共种鸡冠花多少棵?
例4：五年级学生分成两队参加学校广播操比赛,他们排成甲乙两个方阵,其中甲方阵每边的人数等于8,如果两队合并,可以另排成一个空心的丙方阵,丙方阵每边的人数比乙方阵每边的人数多4人,甲方阵的人数正好填满丙方阵的空心五年级参加广播操比赛的一共有多少人?
例5：有杨树和柳树以隔株相间的种法,种成7行7列的方阵,问这个方阵最外一层有杨树和柳树各多少棵?方阵中共有杨树,柳树各多少棵?
自&&己&&练
1.有一队士兵,排成了一个方阵,最外层一周共有240人,问这个方阵共有多少人?
2.某校少先队员可以排成一个四层空心方阵如果最外层每边有&127;20个学生,问这个空心方阵最里边一周有多少个学生?&127;这个四层空心方阵共有多少个学生?
3.六一儿童节前夕,在校园雕塑的周围,用204&127;盆鲜花围成了一个每边三层的方阵求最外面一层每边有鲜花多少盆?
4.三年级(1)班的学生参加体操表演,排成队形正好是由每7个人为一边的6个三角形组成的一个正六边形,求正六边形一周共有多少名学生?三(1)&127;班参加体操表演的共有多少人?
5.现有松树和柏树以隔株相间的种法,种成9行9列的方阵,问这个方阵最外层有松树和柏树各多少棵?方阵中共有松树柏树各多少棵?
第二十讲&&立体图形的接、割
我们先看一个例题：
图86中的(1)、(2)分别是棱长为3厘米的正方体和底面边长为6厘米的正方形、高为3厘米的长方体。它们的体积和表面积分别是多少？若把它们拼接在一起(图86-(3))，则这个组合体的体积和表面积分别是多少？
很显然，拼接前、后的体积未变，均为
3&3&3+6&6&3
=135(立方厘米)。
拼接前，图86-(1)、(2)的表面积之和为
3&3&6+(6&6+6&3+6&3)&2
=198(平方厘米)。
拼接后，图86-(3)的表面积为
3&3&5+6&6+(6&6-3&3)+6&3&4
=45+36+27+72
=180(平方厘米)。
拼接前、后表面积相差
198-180=18(3&3)&2(平方厘米)。
也就是说，正方体和长方体拼接以后，表面积减少了，减少的面积正好是重叠部分面积的2倍。
由于截割的过程与此过程相反，结论自然也不相同。这里就不细讲了。请同学们自己去完成。
从以上观察、对比中，我们可以发现几何体拼接或截割后，体积、表面积的变化规律是：
1.两个或两个以上个几何体拼接组合成一个新的几何体，它的体积等于原来若干个几何体体积之和；而表面积却减少了，如果重叠部分面积为S，那么减少的面积就是2S。
2.把一个几何体截割后，各部分体积之和等于原来几何体的体积；截割后各部分表面积之和比原来几何体的表面积增加了，如果其中截面面积为S，那么增加的表面积就是2S。
光有以上的认识还不够，还必须全面地分析思考问题。如图87，把一块棱长为4厘米的木块锯成形状、大小完全相同的两个长方形，求表面积增加了多少平方厘米？
木块锯开后，表面积增加，因为截面积为4&4=16(平方厘米)，所以表面积增加了16&2=32(平方厘米)。
如图88，把长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体木块锯成形状、大小相同的两个长方体，求木块的表面积增加了多少平方厘米？
有的同学自以为已经熟练地掌握了几何体截割后表面积变化的规律，得出
4&6&2=48(平方厘米)。
这种解法虽然知道原木块锯成两个长方体后，木块表面积增加了两个截面的面积。但是，这种思考是不全面的，只答对了三分之一。
本题应分三种情况分别求出木块表面积增加了多少。
图89-(1)：4&6&2=24&2=48(平方厘米)；
图89-(2)：8&6&2=48&2=96(平方厘米)；
图89-(3)：8&4&2=32&2=64(平方厘米)。
自&&己&&练
计算下列各题：
1.下图是一个边长为4厘米的正方形，我们把它称为第一个正方形。依次联结四条边的中点，得到第二个正方形，继续这样下去，得到第三个、第四个、第五个正方形。求第五个正方形的面积是多少平方厘米？
2.如图，求阴影部分的面积(单位：厘米)。
3.在一块边长11米的正方形花圃里有一条1米宽的小道(如图)，请计算种花的面积。
4.如图，求阴影部分的面积(单位：厘米)。
5.求阴影部分的面积(单位：厘米)。
6.如图，求阴影部分的面积(单位：厘米)。
注：右图4个小圆的半径都是2厘米(这里只画了一个)。
7.用剪子把下面三角形分成三块，再拼成一个长方形。
8.下面左图是一个扇形和一个正方形构成的，扇形半径是6厘米，求阴影部分面积。
9.上面右图的正方形边长为2米，四个圆的半径都是1米，圆心分别是正方形的四个顶点。问正方形和4个圆盖住的面积是多少平方米？
10.如图，已知大正方形的边长是12厘米，小正方形的边长是10厘米，求阴影部分面积。
11.把长为9厘米，宽为6厘米的长方形，划分为如下图的四个三角形，其面积分别为S1、S2、S3、S4，如果S1=S2=S3+S4，求S4=？
12.如下左图，已知正方形面积为12平方厘米，求阴影部分面积。
13.如上右图，求阴影部分的面积(单位：厘米)。
14.一块底面30厘米见方，高为16厘米的蛋糕，如图所示切三刀。问把蛋糕切开后，表面积比原来增加了多少平方厘米？
第二十一讲&&倒推法解题
有些应用题如果按照一般方法，顺着题目的要求一步一步地列出算式求解，过程比较繁琐，解题时，我们就可以从这最后的结果出发，运用加与减、乘与除之间的互逆关系，从后到前一步一步地推算，这种思考问题的方法叫倒推法。如甲比乙大4，我们也可以说成是乙比甲小4，这种思考方法，在处理一些问题时经常要用到，有些题目正向去解决比较困难，或者会出现一些复杂的运算，如反向倒推过去，反而易于解决问题。
例1：张大爷提篮去卖蛋，第一次卖了全部的一半又半个，第二次卖了余下的一半又半个，第三次卖了第二次余下的一半又半个，第四次卖了第三次余下的一半又半个，这时，鸡蛋全部卖完，张大爷篮中原有鸡蛋多少个？
例2：一捆电线，第一次用去全长的一半多3米，第二次用去余下的一半少10米，第三次用去15米，最后还剩7米。这捆电线原有多少米？
例3：李白买酒：“无事街上走，提壶去买酒，遇店加一倍，见花喝一斗，三遇店和花，喝光壶中酒。”试问壶里原有多少酒？
例4：甲、乙、丙三人各有画片若干张，要求互相赠送，先由甲送给乙、丙，所送张数等于乙、丙原来的张数。再由乙送给甲、丙现在的张数，最后由丙送给甲、乙现在的张数，互送后每人各有32张，问原来各有画片多少张？
例5：3只猴子吃篮里的桃子，第一只猴子吃了 ，第二只猴子吃了剩下的 ，第三只猴子吃了第二只剩下的
，最后篮里还剩下6只桃子。问篮里原有桃子多少只？
例6：修一段路，第一天修全路的 还多2千米，第二天修余下的 少1千米，第三天修余下的
还多1千米，这样还剩下20千米没有修完，求公路的全长。
自&&己&&练
1、货场原有煤若干吨，第一次运出存煤的一半，第二次运进450吨，第三次又运出现有煤的一半又50吨，结果还剩600吨。货场原存煤多少吨？
2、小芳从家带来鸡蛋，第一天吃了全部的一半又半个，第二天吃了余下的一半又半个，第三天再吃余下的一半又半个，恰恰吃完，小芳从家带来几个鸡蛋？
3、仓库里的水泥要全部运走。第一次运走了全部的 又 吨，第二次运走了剩余的 又 吨，第三次运走了第二次余下的 又
吨，第四次运走了第三次余下的 又 吨，第五次运走了最后剩下的19吨。这个仓库原来共有水泥多少吨？
4、把180个苹果按每个人一个分给甲、乙、丙、丁四个幼儿班小朋友。如果甲班人数加2，乙班人数减2，丙班人数乘以2，丁班人数除以2，四个班人数则相等。这四个班各应分多少个？
5、甲、乙}