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一次函数拔高题(含答案)
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一次函数知识点总结
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世上任何事物均在不停地运动和变化着，我们可用函数关系来表示这种种变化状态。其中最简单的一种变化方式就是线性关系，即随着自变量的增加其函数值也随之增加(减少)，此乃一次函数(含正比例函数)。一次函数概念源于对不定方程的研究和直角坐标系的建立。由于古希腊数学家丢番图(，约246-330)已对不定方程有相当研究，故一次函数萌芽在古希腊后期就萌发了。正是直角坐标系的创立方使得平面上的点与有序实数对、方程和曲线包括二元一次方程与一次函数之间建立了一一对应关系。中国古代的坐标系和一次函数 & 伏羲是神话传说的中华民族人文始祖，其创造了文字，结束了结绳记事的历史，据天地万物的变化创造了占卜八卦，开启了中华民族的文化之源。研究表明，伏羲创立了世界上最早的直角坐标系：两仪、四象与八卦。两仪是指一个数轴，阳爻为正，阴爻为负，阴阳交界处为原点，称之“无极”；四象是由两个坐标轴分成的四个象限；八卦则指空间的八个卦限。&一次函数关系表示最早出现在班昭约所编撰《汉书》之中。班昭是中国有史记载的第一位女数学家。其兄班固著写《汉书》，但未完成拟定的八表和《天文志》就去世了。为完成班固遗愿，汉和帝敦请班昭续写《汉书》、编撰年表。在其中一个年表中，班昭将多个传说人物和历史人物按照个品德级别进行了排列。她用矩形水平的一边作一轴，来表示时间跨度；用竖直一边作另一轴，表示人物的品德等级，故班昭可谓创立了第一个直角坐标系。按照班昭的人物排列方式，古人的品德等级近似形成一条直线即一次函数。其研究表明，越远古的人物其品德越是高尚。班昭是我国古代四大才女之一，汉和帝曾多次宣召其入宫，并让皇后和贵人们拜其为师，尊称“大家”。每逢各地贡献珍贵稀奇物品时，汉和帝就邀请班昭作赋赞扬。班昭知识渊博，品德俱优。当时的大学者马融，为请求班昭的指导，曾跪在东观藏书阁外，聆听班昭讲解。班昭去世后，皇太后也为之素服举哀。奥雷姆和一次函数西方关于坐标的概念可追溯到古希腊数学家阿波罗尼奥斯Apollonius of Perga，约公元前-前)，然而第一个给出一次函数关系者应是法国数学家奥雷姆(，)。此前人们一直认为真理(规律)只有在静止状态下才能总结出来，故而未能用函数图像表示出变量之间的关系。奥雷姆早年求学于巴黎大学。1348年始在纳瓦拉学院学习神学，并取得神学硕士学位。后奥雷姆成为牧师(后为主教)，同时也是一位大学教授。在西方中世纪的学者多半是神职人员，他们有着充分的研究时间，生活来源还有保障，又有机会接触各种典籍文献。而奥雷姆还有一个优越条件，其得到国王的大力支持。奥雷姆对变量问题进行了研究。他认为，可测量皆为模拟量，如时间或长度无论如何分割和截取其性质均不会改变。奥雷姆详细分析了匀加速直线运动，他用一条水平直线(相当于横坐标轴)表示时间，直线上每一点代表一个时刻。每个时刻对应着一个速度，该速度可用一条垂直于此点的线段来代表，其长度正比于速度的大小。速度随着时间均匀地增大，故线段长度也均匀增长，其端点构成一条直线(即一次函数)。该直线、水平直线和表示初速度、末速度的线段围成一个梯形。若初速度为0，则形成三角形时间，其面积就是物体运动在时间内所通过的距离。奥雷姆所应用的方法已接近现代解析几何，这在当时是个了不起的创造。笛卡儿坐标系有人认为，笛卡儿是个偶然的数学家，因其创立解析几何是受梦的启示。在我们的教科书上一般是把数字和图形区别开，但在数学发展史上两者不是对立的，甚至还会相互结合起来。故从某种意义上讲，二元一次方程与一次函数是一回事。笛卡儿于1637年给出其创立了解析几何的宗旨：我决心放弃那个仅仅是抽象的几何(指欧几里得几何)，即不再去考虑那些仅仅是用来练习思想的问题。这样做是为了研究另一种几何(指解析几何)，其根本目的是解释自然现象。笛卡儿分析和比较了当时几何学和代数学的研究方法。虽几何学的直观性易于展示某些事物的性质，但他对欧几里得几何的每个证明都要求某种奇巧想法而深感不安。笛卡儿看到了代数学具有作为普遍科学方法的潜力，认识到其程序机械化和减小工作量之价值。他认为当时的代数学严重受到了公式和法则之束缚，完全不像一门改进思想的科学。鉴此笛卡儿主张汲取代数学和几何学的精华，相互融会贯通。笛卡儿的一个创新思想是规定：因数字可用线段长度表示，故两个用线段表示的数字之间的计算结果也应是一段线段的长度。当时几何学普遍认为，线段×线段=面积，但笛卡儿创造出，线段×线段=线段。解析几何的出发点就是将变量数值化，即确定变量的问题。尽管笛卡儿未使用“函数”术语，但其解析几何思想引发了数学思维的重大变革。运动和变化是宇宙的本质特征。整个宇宙不可能是一支训练有素、步伐整齐的行进队伍，因而有些变化难以用一次函数来描述。宇宙是个无限过程，只有用适于一组有限事实的特殊概念，来推测适于全部事实的一般概念，才能真正从有限认识无限，从个别认识一般，从特殊认识普遍。故从线性到非线性，一次函数对数学的发展和认识大自然可谓功绩非凡。&
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设关于x的一次函数y=a1x +b1与y=a2x+ b2，则称函数y=m（a1x +b1）+n（a2x+b2）（其中m+n=1）为这两函数的生成函数。（1）当x=1时，求函数y=x+1与y=2x的生成函数的值； （2）若函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的图象的交点为P，判断点P是否在这两个函数的生成函数的图象上，并说明理由。
题型：解答题难度：中档来源：同步题
解：（1）设函数y=x+1与y=2x的生成函数为y=m（x+1）+n（2x）=（m+2n）x+m，当x=1时，两函数的生成函数值为y=（m+2n）×1+m=2m+2n=2（m+n），∵m+n=1，∴此两函数的生成函数的值为y =2×1=2；（2）点P是在此两个函数的生成函数的图象上，理由如下： 设点P的坐标为（e，f） 则由题意可得f=a1e+b1与f=a2e+b2，又知函数y=a1x+b1与y=a2x+b2的生成函数为y=m（a1x+b1）+n（a2x+ b2），∴当自变量x=e时，生成函数的值为y=m（a1e+b1）+n（a2e+ b2）=mf+nf=（m+n）f=1×f=f，即点P是在此两函数的生成函数的图象上。
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据魔方格专家权威分析，试题“设关于x的一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2，则称函数y=m（a1x+b1）+n（a..”主要考查你对&&求一次函数的解析式及一次函数的应用，一次函数的图像&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
求一次函数的解析式及一次函数的应用一次函数的图像
待定系数法求一次函数的解析式：先设出函数解析式，再根据条件确定解析式中的未知系数，从而得到函数的解析式的方法。一次函数的应用：应用一次函数解应用题，一般是先写出函数解析式，在依照题意，设法求解。（1）有图像的，注意坐标轴表示的实际意义及单位；（2）注意自变量的取值范围。 用待定系数法求一次函数解析式的四个步骤：第一步（设）：设出函数的一般形式。（称一次函数通式）第二步（代）：代入解析式得出方程或方程组。第三步（求）：通过列方程或方程组求出待定系数k，b的值。第四步（写）：写出该函数的解析式。 一次函数的应用涉及问题：一、分段函数问题分段函数是在不同区间有不同对应方式的函数，要特别注意自变量取值范围的划分，既要科学合理，又要符合实际。
二、函数的多变量问题解决含有多变量问题时，可以分析这些变量的关系，选取其中一个变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数
三、概括整合（1）简单的一次函数问题：①建立函数模型的方法；②分段函数思想的应用。（2）理清题意是采用分段函数解决问题的关键。生活中的应用：1.当时间t一定，距离s是速度v的一次函数。s=vt。2.如果水池抽水速度f一定，水池里水量g是抽水时间t的一次函数。设水池中原有水量S。g=S-ft。3.当弹簧原长度b（未挂重物时的长度）一定时，弹簧挂重物后的长度y是重物重量x的一次函数，即y=kx+b（k为任意正数）一次函数应用常用公式：1.求函数图像的k值：（y1-y2)/(x1-x2)2.求与x轴平行线段的中点：(x1+x2)/23.求与y轴平行线段的中点：(y1+y2)/24.求任意线段的长：√[(x1-x2)2+(y1-y2)2 ]5.求两个一次函数式图像交点坐标：解两函数式两个一次函数 y1=k1x+b1; y2=k2x+b2 令y1=y2 得k1x+b1=k2x+b2 将解得的x=x0值代回y1=k1x+b1 ; y2=k2x+b2 两式任一式 得到y=y0 则(x0,y0)即为 y1=k1x+b1 与 y2=k2x+b2 交点坐标6.求任意2点所连线段的中点坐标：[（x1+x2）/2，（y1+y2）/2]7.求任意2点的连线的一次函数解析式：（x-x1）/(x1-x2)=(y-y1)/(y1-y2) (若分母为0，则分子为0)（x,y）为 + ，+（正，正）时该点在第一象限（x,y）为 - ，+（负，正）时该点在第二象限（x,y）为 - ，-（负，负）时该点在第三象限（x,y）为 + ，-（正，负）时该点在第四象限8.若两条直线y1=k1x+b1//y2=k2x+b2，则k1=k2，b1≠b29.如两条直线y1=k1x+b1⊥y2=k2x+b2，则k1×k2=-110.y=k（x-n）+b就是直线向右平移n个单位y=k（x+n）+b就是直线向左平移n个单位y=kx+b+n就是向上平移n个单位y=kx+b-n就是向下平移n个单位口决：左加右减相对于x，上加下减相对于b。11.直线y=kx+b与x轴的交点：(-b/k，0) 与y轴的交点：(0，b)函数不是数，它是指某一变化过程中两个变量之间的关系一次函数的图象：一条直线，过（0，b），（，0）两点。 性质：（1）在一次函数图像上的任取一点P（x，y），则都满足等式：y=kx+b(k≠0)。（2）一次函数与y轴交点的坐标总是（0，b)，与x轴总交于（-b/k，0）。正比例函数的图像都经过原点。k，b决定函数图像的位置：y=kx时，y与x成正比例：当k&0时，直线必通过第一、三象限，y随x的增大而增大；当k&0时，直线必通过第二、四象限，y随x的增大而减小。y=kx+b时：当 k&0，b&0， 这时此函数的图象经过第一、二、三象限；当 k&0，b&0，这时此函数的图象经过第一、三、四象限；当 k&0，b&0，这时此函数的图象经过第一、二、四象限；当 k&0，b&0，这时此函数的图象经过第二、三、四象限。当b&0时，直线必通过第一、二象限；当b&0时，直线必通过第三、四象限。特别地，当b=0时，直线经过原点O（0，0）。这时，当k&0时，直线只通过第一、三象限，不会通过第二、四象限。当k&0时，直线只通过第二、四象限，不会通过第一、三象限。特殊位置关系：当平面直角坐标系中两直线平行时，其函数解析式中k的值（即一次项系数）相等；当平面直角坐标系中两直线垂直时，其函数解析式中k的值互为负倒数（即两个k值的乘积为-1）一次函数的画法：（1）列表：表中给出一些自变量的值及其对应的函数值。（2）描点：在直角坐标系中，以自变量的值为横坐标，相应的函数值为纵坐标，描出表格中数值对应的各点。一般地，y=kx+b(k≠0）的图象过（0，b）和（-b/k，0）两点即可画出。正比例函数y=kx(k≠0）的图象是过坐标原点的一条直线，一般取（0，0）和（1，k）两点画出即可。（3）连线： 按照横坐标由小到大的顺序把描出的各点用直线连接起来。
发现相似题
与“设关于x的一次函数y=a1x+b1与y=a2x+b2，则称函数y=m（a1x+b1）+n（a..”考查相似的试题有：
198504896362531122134159507809899317一次函数的基本知识点_百度文库
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一次函数的基本知识点
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&&一&#8203;次&#8203;函&#8203;数&#8203;比&#8203;较&#8203;简&#8203;单&#8203;,&#8203;在&#8203;这&#8203;里&#8203;做&#8203;了&#8203;简&#8203;要&#8203;的&#8203;分&#8203;析&#8203;与&#8203;概&#8203;括&#8203;。
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