函数复习训练（附解析）
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函数复习训练（附解析）
作者：佚名 试题来源：网络 点击数：
函数复习训练（附解析）
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文章来源天添资源 网 w w w.tTz Y W.C oM 第二章　函数、导数及其应用第1讲　函数与映射的概念&　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．函数f(x)＝lg(x－1)的定义域是(　　)A．(2，＋∞)& B．(1，＋∞)C．[1，＋∞)& D．[2，＋∞)2．(2012年江西)下列函数中，与函数y＝13x定义域相同的函数为(　　)A．y＝1sinx& B．y＝lnxx& C．y＝xex& D．y＝sinxx3．设集合A和B都是平面上的点集{(x，y)|x∈R，y∈R}，映射f：A→B把集合A中的元素(x，y)映射成集合B中的元素(x＋y，x－y)，则在映射f下，象(2,1)的原象是(　　)A．(3,1)& B.32，12C.32，－12& D．(1,3)4．(2013年大纲)已知函数f(x)的定义域为(－1,0)，则函数f(2x＋1)的定义域为(　　)A．(－1,1)　　　& B.－1，－12C．(－1,0)　　　& D.12，15．若函数f(x)的定义域是[0,4]，则函数g(x)＝f2xx的定义域是(　　)A．[0,2]& B．(0,2)C．(0,2]& D．[0,2)6．函数y＝16－4x的值域是(　　)A．[0，＋∞)& B．[0,4]C．[0,4)& D．(0,4)7．已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a&0)，若∀x1∈[－1,2]，∃x2∈[－1,2]，使得f(x1)＝g(x2)，则实数a的取值范围是(　　)A.0，12& B.12，3C．(0,3]& D．[3，＋∞)8．已知函数f(x)，g(x)的函数值分别由下表给出：
x&1&2&3f(x)&1&3&1　　x&1&2&3g(x)&3&2&1
则f[g(1)]的值为________；满足f[g(x)]&g[f(x)]的x的值是________．&9．(1)求函数f(x)＝lg&#6x9－x2的定义域；(2)已知函数f(2x)的定义域是[－1,1]，求f(log2x)的定义域．
10．规定[t]为不超过t的最大整数，例如[12.6]＝12，[－3.5]＝－4，对任意实数x，令f1(x)＝[4x]，g(x)＝4x－[4x]，进一步令f2(x)＝f1[g(x)]．(1)若x＝716，分别求f1(x)和f2(x)；(2)求x的取值范围，使它同时满足f1(x)＝1，f2(x)＝3.
第2讲　函数的表示法
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1．设f(x＋2)＝2x＋3，则f(x)＝(　　)A．2x＋1& B．2x－1& C．2x－3& D．2x＋72．(2013年广东广州一模)已知函数f(x)＝log2x，x&0，3x，x≤0，则ff14的值是(　　)A．9& B.19& C．－9& D．－193．已知函数f(x)＝log2xx&0，2x　x≤0.若f(a)＝12，则实数a的值为(　　)A．－1或2& B.2C．－1& D．1或24．已知f(x)＝x＋1x－1(x≠±1)，则(　　)A．f(x)•f(－x)＝1& B．f(－x)＋f(x)＝0C．f(x)•f(－x)＝－1& D．f(－x)＋f(x)＝15．如图X2&2&1(1)，在直角梯形ABCD中，动点P从点B出发，由B→C→D→A沿边运动，设点P运动的路程为x，△ABP的面积为f(x)．若函数y＝f(x)的图象如图X2&2&1(2)，则△ABC的面积为(　　)&　　　　 (1)　　　　　　　　　　　　　 (2)图X2&2&1A．10& B．32& C．18& D．166．(2013年福建)已知函数f(x)＝2x3，x&0，－tanx，0≤x&π2，则ffπ4＝______.7．(2013年北京东城一模)对定义域内的任意x，若有f(x)＝－f1x的函数，我们称为满足“翻负”变换的函数，下列函数①y＝x－1x；②y＝logax＋1；③y＝x，0&x&1，0，x＝1，－1x，x&1中，满足“翻负”变换的函数是________．(写出所有满足条件的函数的序号)8．(2014年浙江)设函数f(x)＝x2＋2x＋2，x≤0，－x2，x&0，若f[f(a)]＝2，则a＝________.
&9．二次函数f(x)满足f(x＋1)－f(x)＝2x＋3，且f(0)＝2.(1)求f(x)的解析式；(2)求f(x)在[－3,4]上的值域；(3)若函数f(x＋m)为偶函数，求f[f(m)]的值；(4)求f(x)在[m，m＋2]上的最小值．
10．定义：如果函数y＝f(x)在定义域内给定区间[a，b]上存在x0(a&x0&b)，满足f(x0)＝fb－fab－a，则称函数y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0是它的一个“均值点”．如y＝x4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．(1)判断函数f(x)＝－x2＋4x在区间[0,9]上是否为平均值函数？若是，求出它的均值点；若不是，请说明理由；(2)若函数f(x)＝－x2＋mx＋1是区间[－1,1]上的平均值函数，试确定实数m的取值范围．
第3讲　函数的奇偶性与周期性&　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2013年山东)已知函数f(x)为奇函数，且当x&0时，f(x)＝x2＋1x，则f(－1)＝(　　)A．2& B．1& C．0& D．－22．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋3a＋b是定义域为[a－1,2a]的偶函数，则a＋b＝(　　)A．0& B.13& C．1& D．－13．(2014年重庆)下列函数为偶函数的是(　　)A．f(x)＝x－1& B．f(x)＝x2＋xC．f(x)＝2x－2－x& D．f(x)＝2x＋2－x4．设f(x)为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋2x＋b(b为常数)，则f(－1)＝(　　)A．－3& B．－1& C．1& D．35．函数f(x)＝(1＋3tanx)cosx的最小正周期为(　　)A．2π& B.3π2& C．π& D.π26．(2013年广东广州一模)已知f(x)是奇函数，g(x)＝f(x)＋4，g(1)＝2，则f(－1)＝________.7．(2013年上海奉贤一模)设f(x)是定义在R上以2为周期的偶函数．已知x∈(0,1)，f(x)＝log (1－x)，则函数f(x)在(1,2)上的解析式是___________________________．8．(2013年安徽)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝______________.&9．已知定义在R上的函数f(x)＝－2x＋a2x＋1＋b(a，b为常数)．(1)当a＝b＝1时，证明：f(x)不是奇函数；(2)设f(x)是奇函数，求a与b的值．
10．已知奇函数f(x)＝－x2＋2x，x&0，0，x＝0，x2＋mx，x&0.(1)求实数m的值，并在如图X2&3&1所示的平面直角坐标系中画出函数f(x)的图象；(2)若函数f(x)在区间[－1，a－2]上是增函数，结合函数f(x)的图象，求实数a的取值范围；(3)结合图象，求函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值．&图X2&3&1
第4讲　函数的单调性与最值&　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2014年北京)下列函数中，定义域是R，且为增函数的是(　　)A．y＝e－x& B．y＝x3C．y＝lnx& D．y＝|x|2．(2012年广东)下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)A．y＝ln(x＋2)& B．y＝－x＋1C．y＝12x& D．y＝x＋1x3．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式fx－f－xx&0的解集为(　　)A．(－1,0)∪(1，＋∞)B．(－∞，1)∪(0,1)C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)D．(－1,0)∪(0,1)4．(2014年湖南)下列函数中，既是偶函数又在区间(－∞，0)上单调递增的是(　　)A．f(x)＝1x2& B．f(x)＝x2＋1C．f(x)＝x3& D．f(x)＝2－x5．(2013年新课标Ⅱ)若存在正数x使2x(x－a)&1成立，则a的取值范围是(　　)A．(－∞，＋∞)& B．(－2，＋∞)C．(0，＋∞)& D．(－1，＋∞)6．(2013年广东广州海珠一模)已知函数f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a&0)，对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是(　　)A.0，12& B.12，3C．[3，＋∞)& D．(0,3]7．(2014年天津)函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是________．8．(2013年广东肇庆一模)已知函数f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1,1)，若f(1－m)＋f(1－m2)&0，则m的取值范围是______________．
&9．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a.(1)求f(x)的单调递减区间；(2)若f(x)在区间[－2,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值．
10．函数f(x)＝ax＋b1＋x2是定义在(－1,1)上的奇函数，且f12＝25.(1)确定函数f(x)的解析式；(2)用定义证明：f(x)在(－1,1)上是增函数；(3)解不等式：f(t－1)＋f(t)&0.
第5讲　指数式与指数函数&　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．若点(a,9)在函数y＝3x的图象上，则tanaπ6的值为(　　)A．0& B.33& C．1& D.32．(2013年广东揭阳二模)函数y＝1－2x的定义域为(　　)A．[0，＋∞)& B．(－∞，0]C．(0，＋∞)& D．(－∞，0)3．(2015年广东深圳一模)若函数y＝ax＋b的部分图象如图X2&5&1，则(　　)&图X2&5&1A．0&a&1，－1&b&0& B．0&a&1,0&b&1C．a&1，－1&b&0&& D．a&1,0&b&14．下列函数中值域为正实数的是(　　)A．y＝－5x&&&& B．y＝131－xC．y＝12x－2& 　　　D．y＝1－2x5．若函数f(x)＝ax＋b－1(a&0，且a≠1)的图象经过第二、三、四象限，则一定有(　　)A．0&a&1，且b&1& B．a&1，且b&0C．0&a&1，且b&0& D．a&1，且b&06．(2014年山东)已知实数x，y满足ax&ay(0&a&1)，则下列关系式恒成立的是(　　)A．x3&y3& 　　　　　　B．sinx&sinyC．ln(x2＋1)&ln(y2＋1)& D.1x2＋1&1y2＋17．(2014年新课标Ⅰ)设函数f(x)＝ 则使得f(x)≤2成立的x的取值范围是________．8．(2013年上海)方程93x－1＋1＝3x的实数解为x＝________.&9．(2014年广东惠州二模)设函数f(x)＝ax－(k－1)a－x(a&0，且a≠1)是定义域为R的奇函数．(1)求k的值；(2)若f(1)&0，试判断函数单调性，并求使不等式f(x2＋tx)＋f(4－x)&0恒成立的t的取值范围；(3)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x＋a－2x－2mf(x)在[1，＋∞)上的最小值为－2，求m的值．
10．已知函数f(x)＝2x－12x＋1.(1)求f(x)的定义域；(2)求f(x)的值域；(3)证明：f(x)在(－∞，＋∞)上是增函数．
第6讲　对数式与对数函数
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1．(2013年四川)lg5＋lg20的值是(　　)A．1& B．2　　C．0& D.122．(2014年辽宁)已知a＝2 ，b＝log213，c＝log 13，则(　　)A．a&b&c& B．a&c&b　　C．c&a&b& D．c&b&a3．函数f(x)＝log2(3x＋1)的值域为(　　)A．(0，＋∞)& B．[0，＋∞)C．(1，＋∞)& D．[1，＋∞)4．已知A＝{x|2≤x≤π}，定义在A上的函数y＝logax(a＞0，且a≠1)的最大值比最小值大1，则底数a的值为(　　)A.2π　& 　　B.π2　　C．π－2& D.π2或2π5．(2013年北京房山一模)为了得到函数y＝lgx10的图象，只需把函数y＝lgx的图象上(　　)A．所有点向右平移1个单位长度B．所有点向下平移1个单位长度C．所有点的横坐标缩短到原来的110(纵坐标不变)D．所有点的纵坐标缩短到原来的110(横坐标不变)6．已知0&a&1，loga(1－x)&logax，则(　　)A．0&x&1& B．x&12C．0&x&12& D.12＜x&17．(2014年陕西)已知4a＝2，lgx＝a，则x＝________.8．(2013年湖北黄冈一模)已知函数f(x)＝ ,则f[f(2)]＝________.&9．已知函数f(x)＝log2(x＋1)－log2(1－x)．(1)求f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)求使得f(x)&0成立的x的解集．
10．已知函数f(x)＝lnkx－1x－1(k&0)．(1)求函数f(x)的定义域；(2)若函数f(x)在区间[10，＋∞)上是增函数，求实数k的取值范围．
第7讲　一次函数、反比例函数及二次函数
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1．函数f(x)＝x2＋mx＋1的图象关于直线x＝1对称的充要条件是(　　)A．m＝－2& B．m＝2C．m＝－1& D．m＝12．设abc&0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　)&　　 　　 　　　 A 　　　　　B 　　　　　C 　　　　D
3．若f(x)＝－x2＋2ax与g(x)＝ax＋1在区间[1,2]上都是减函数，则a的取值范围是(　　)A．(－1,0)∪(0,1)& B．(－1,0)∪(0,1]C．(0,1)& D．(0,1]4．设b&0，二次函数y＝ax2＋bx＋a2－1的图象为如图X2&7&1所示的四个图中的一个，则a＝(　　)&图X2&7&1
A．1& &&B.－1&C.－1－52&& D.－1＋525．(2013年广东惠州一模)生产一定数量商品的全部费用称为生产成本．某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C(x)＝12x2＋2x＋20(单位：万元)，一万件售价是20万元，为获取最大利润，则该企业一个月应生产该商品的数量为(　　)A．36万件& B．18万件C．22万件& D．9万件
6．(2013年重庆)y＝3－aa＋6(－6≤a≤3)的最大值为(　　)A．9& B.92& C．3& D.3 227．若函数f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)(常数a，b∈R)是偶函数，且它的值域为(－∞，4]，则该函数的解析式f(x)＝____________.8．(2014年浙江)已知实数a，b，c满足a＋b＋c＝0，a2＋b2＋c2＝1，则a的最大值为______．
&9．已知函数f(x)＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．(1)当a＝－1时，求f(x)的最大值和最小值；(2)求实数a的取值范围，使y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数．
10．已知二次函数f(x)＝ax2＋x，若对任意x1，x2∈R，恒有2fx1＋x22≤f(x1)＋f(x2)成立，不等式f(x)&0的解集为A.(1)求集合A；(2)设集合B＝{x||x＋4|&a}，若集合B是集合A的子集，求a的取值范围．
第8讲　幂函数
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1．已知点33，39在幂函数y＝f(x)的图象上，则f(x)的表达式是(　　)A．f(x)＝3x& B．f(x)＝x3C．f(x)＝x－2& D．f(x)＝12x2．(2013年上海)函数f(x)＝x 的大致图象是(　　)&　 　　 　　 A　　　　　　B　　　　　　C　　　　　　D3．在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax－1a的图象可能是(　　)&A　　　　　　　　　B&C　　　　　　　　　D4．已知函数y＝(m2－m＋1)• 是幂函数，且f(－x)＝f(x)，则实数m的值为(　　)A．0或1& B．1C．0& D.1±725．(2013年广东江门一模)已知幂函数f(x)＝xα，当x&1时，恒有f(x)&x，则α的取值范围是(　　)A．0&α&1& B．α&1C．α&0& D．α&06．设α∈－1，1，12，3，则使函数y＝xα的定义域为R，且该函数为奇函数的所有α的值为(　　)A．1,3& B．－1,1C．－1,3& D．－1,1,37．(2013年广东惠州一模)已知幂函数y＝f(x)的图象过点12，22，则log4f(2)＝(　　)A.14& B．－14& C．2& D．－28．(2014年上海)若f(x)＝x －x ，则满足f(x)&0的x的取值范围是______．
&9．将下列各数从小到大排列起来：&
10．已知函数f(x)＝(m2－m－1)x－5m－3，求m的值：(1)f(x)为幂函数；(2)f(x)为幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数；(3)f(x)为正比例函数；(4)f(x)为反比例函数；(5)f(x)为二次函数．
第9讲　函数的图象&　　　　　　　　　　　　　　　　　
1．(2014年浙江)在同一坐标系中，函数f(x)＝xa(x≥0)，g(x)＝logax的图象可能是(　　)&　　 　　 　　 A 　　　　　　B　　　　　　 C 　　　　　　D2．函数y＝lnxx的图象大致是(　　)&　　 　　 　　 A 　　　　　B 　　　　　　　C　　　　 D3．(2014年福建)若函数y＝logax(a&0，且a≠1)的图象如图X2&9&1，则下列函数图象正确的是(　　)&图X2&9&1
&　　 　　　 　　　 A 　　　　　B 　　　　　C 　　　　　　　　D4．已知函数y＝f(x)(x∈R)满足f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,1]时，f(x)＝x2，则方程y＝f(x)与y＝log5x的实数根的个数为(　　)A．2个& B．3个& C．4个& D．5个5．(2013年湖南)函数f(x)＝lnx的图象与函数g(x)＝x2－4x＋4的图象的交点个数为(　　)A．0个& B．1个& C．2个& D．3个6．(2013年湖北黄冈一模)当a&0时，函数f(x)＝(x2－2ax)ex的图象大致是(　　)&　　 　　 　　 A　　　　　　 B　　　　 C　　　　　　 D
7．(2013年天津)函数f(x)＝2x|log0.5x|－1的零点个数为(　　)A．1个　　& B．2个　　& C．3个　　& D．4个8．已知定义在区间－π，π2上的函数y＝f(x)的图象关于直线x＝－π4对称，当x≤－π4时，f(x)＝sinx，如果关于x的方程f(x)＝a有解，记所有解的和为S，则S不可能为(　　)A．－54π& B．－π& C．－34π& D．－π2
&9．(1)已知f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4，①若f(x)有且仅有一个零点，求m的值；②若f(x)有两个零点且均比－1大，求m的值．(2)若函数f(x)＝|4x－x2|＋a有4个零点，求实数a的取值范围．
10．已知函数f(x)＝13x3＋mx2，其中m为实数．(1)若函数f(x)在x＝－1处的切线斜率为13，求m的值；(2)求f(x)的单调区间；(3)若f(x)在x＝－2处取得极值，直线y＝a与y＝f(x)的图象有3个不同的交点，求a的取值范围．
第10讲　函数与方程
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1．设函数f(x)＝－xx≤0，x2x&0.若f(a)＝4，则实数a＝(　　)A．－4或－2　& B．－4或2C．－2或4　& D．－2或22．(2013年北京东城一模)根据表格中的数据，可以断定函数f(x)＝lnx－3x的零点所在的区间是(　　)&1&2&e&3&5lnx&0&0.69&1&1.10&1.613x3&1.5&1.10&1&0.6A.(1,2)& B．(2，e)& C．(e,3)& D．(3,5)3．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　)A．(－2，－1)& B．(－1,0)C．(0,1)& D．(1,2)4．若方程lnx＋x－4＝0在区间(a，b)(a，b∈Z，且b－a＝1)上有一根，则a＝(　　)A．1& B．2& C．3& D．45．(2013年广东广州华附一模)已知函数f(x)＝12x－sinx，则f(x)在[0,2π]上的零点个数为(　　)A．1个& B．2个& C．3个& D．4个6．(2013年天津)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝lnx＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则(　　)A．g(a)&0&f(b)& B．f(b)&0&g(a)C．0&g(a)&f(b)& D．f(b)&g(a)&07．(2013年广东深圳一模)如图X2&10&1所示的是用二分法求方程x2－2＝0近似解的程序框图．若输入x1＝1，x2＝2，ε＝0.3，则输出m的值是______________．(注：框图中的“＝”，即为“←”或为“：＝”)&图X2&10&1
8．关于x的一元二次方程5x2－ax－1＝0有两个不同的实根，其中一个根位于区间(－1,0)上，另一个根位于区间(1,2)上，则实数a的取值范围为__________．&9．(2014年湖北)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f(x)＝x2－3x，求函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点．
10．(2014年广东广州调研)已知函数f(x)＝4－kxk－x，且f(1)＝2.(1)求k的值；(2)判断并用定义证明y＝f(x)在区间(2，＋∞)上的单调性；(3)若函数g(x)＝f(x)－mx有2个零点，求实数m的取值范围．
第11讲　抽象函数
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1．下列四类函数中，有性质“对任意的x&0，y&0，函数f(x)满足f(x＋y)＝f(x)f(y)”的是(　　)A．幂函数　　& B．对数函数　　　　C．指数函数　　　& D．余弦函数2．(由2015年广东惠州三模改编)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，若对于任意两个实数x1≠x2，不等式fᥑ－fᥑx1－x2&0恒成立，则不等式f(x＋3)&0的解集为(　　)A．(－∞，－3)　　& B．(4，＋∞)C．(－∞，1)　& D．(－∞，－4)3．(2014年陕西)下列函数中，满足“f(x＋y)＝f(x)f(y)”的单调递增函数是(　　)A．f(x)＝x3& B．f(x)＝3xC．f(x)＝x&& D．f(x)＝12x4．已知函数f(x)满足：f(1)＝2，f(x＋1)＝1＋fx1－fx，则f(2015)＝(　　)A．2& B．－3& C．－12& D.135．给出下列三个等式：f(xy)＝f(x)＋f(y)，f(x＋y)＝f(x)f(y)，f(x＋y)＝fx＋fy1－fxfy.下列函数中，不满足其中任何一个等式的是(　　)A．f(x)＝3x& B．f(x)＝sinxC．f(x)＝log2x& D．f(x)＝tanx6．已知定义域为(－1,1)的奇函数y＝f(x)是减函数，且f(a－3)＋f(9－a2)&0，则a的取值范围是(　　)A．(3，10)& B．(2 2，3)C．(2 2，4)& D．(－2,3)7．(2015年广东广州调研)已知函数f(x)＝x＋sinπx－3，则f12015＋f22015＋f32015＋…＋f的值为(　　)A．4029　　　& B．－4029C．8058& D．－80588．函数f(x)在定义域R上不是常函数，且f(x)满足条件：对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，f(1＋x)＝－f(x)，则f(x)(　　)A．是奇函数但非偶函数& B．是偶函数但非奇函数C．既是奇函数又是偶函数& D．是非奇非偶函数&9．已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足fx1x2＝f(x1)－f(x2)，且当x&1时，f(x)&0.(1)求f(1)的值；(2)判断f(x)的单调性；(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)&－2.
10．设f(x)是定义在[－1,1]上的奇函数，且对任意a，b∈[－1,1]，当a＋b≠0时，都有fa＋fba＋b&0.(1)若a&b，比较f(a)与f(b)的大小；(2)解不等式fx－12&fx－14；(3)记P＝{x|y＝f(x－c)}，Q＝{x|y＝f(x－c2)}，且P∩Q＝∅，求c的取值范围．
第12讲　函数模型及其应用
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1．一根弹簧的原长为12 cm，它能挂的重量不能超过15 kg 并且每挂重1 kg就伸长12 cm，则挂重后的弹簧长度y cm与挂重x kg之间的函数关系式是(　　)A．y＝12x＋12(0＜x≤15)&&& B．y＝12x＋12(0≤x＜15)C．y＝12x＋12(0≤x≤15)&&& D．y＝12x＋12(0＜x＜15)2．用长度为24的材料围一个矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(　　)A．3　　　& B．4　　　　& C．6　　　　& D．123．(2013年湖北武汉调研)某汽车销售公司在A，B两地销售同一种品牌车，在A地的销售利润(单位：万元)为y1＝4.1x－0.1x2，在B地的销售利润(单位：万元)为y2＝2x，其中x为销售量(单位：辆)．若该公司在两地共销售16辆这种品牌车，则能获得的最大利润是(　　)A．10.5万元& B．11万元C．43万元& D．43.025万元4．(2014年北京)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：分钟)满足的函数关系为p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图X2&12&1记录了三次实验的数据．根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(　　)&图X2&12&1A．3.50分钟& B．3.75分钟C．4.00分钟& D．4.25分钟5．(2013年上海闸北一模)某商场在节日期间举行促销活动，规定：①若所购商品标价不超过200元，则不给予优惠；②若所购商品标价超过200元，但不超过500元，则超过200元的部分给予9折优惠；③若所购商品标价超过500元，其500元内(含500元)的部分按第②条规定给予优惠，超过500元的部分给予8折优惠．某人来该商场购买一件家用电器共节省330元，则该件家电在商场的标价为(　　)A．1600元& B．1800元C．2000元& D．2200元6．有一批材料可以建成200 m长的围墙，如果用此批材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样材料隔成三个面积相等的矩形(如图X2&12&2)，则围成场地的最大面积为________(围墙的厚度不计)．&图X2&12&27．(2012年广东广州二模)某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额：①若不超过200元，则不予优惠；②若超过200元，但不超过500元，则按标价给予9折优惠；③若超过500元，其中500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．某两人去购物，分别付款170元和441元，若他们合并去一次购买上述同样的商品，则可节约________元．&8．A，B两城相距100 km，在两地之间距A城x km处的D地建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站与城市距离不得少于10 km.已知供电费用与供电距离的平方和供电量之积成正比，比例系数λ＝0.25.若A城供电量为20亿度/月，B城为10亿度/月．(1)求x的范围；(2)把月供电总费用y表示成x的函数；(3)核电站建在距A城多远，才能使供电费用最小？
9．(2013年广东汕头一模)某种上市股票在30天内每股的交易价格P(单位：元)、日交易量Q(单位：万股)与时间t(单位：天)的对应关系分别如下：有序数对(t，P)落在如图X2&12&3所示的折线上，日交易量Q与时间t的部分数据如下表：&图X2&12&3
第t天&4&10&16&22Q/万股&36&30&24&18(1)根据如图X2&12&3所示的图象，写出该种股票每股交易价格P与时间t所满足的函数关系式；(2)根据表中数据确定日交易量Q与时间t的一次函数关系式；(3)用y(单位：万元)表示该股票日交易额，写出y关于t的函数关系式，并求这30天中第几天日交易额最大？最大值为多少？(注：各函数关系式都要写出定义域)
第13讲　导数的意义及运算
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1．已知函数f(x)＝a3＋sinx，则f′(x)＝(　　)A．3a2＋cosx& B．a3＋cosxC．3a2＋sinx& D．cosx2．已知函数f(x)＝2lnx＋8x，则limΔx→0 f1＋Δx－fǡΔx的值为(　　)A．－10& B．－20C．10& D．203．设函数f(x)＝g(x)＋x2，曲线y＝g(x)在点(1，g(1))处的切线方程为y＝2x＋1，则曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线斜率为(　　)A．4& B．－14C．2& D．－124．(2015年广东广州一模)已知e为自然对数的底数，则曲线y＝xex在点(1，e)处的切线斜率为__________．5．(2014年江西)若曲线y＝xlnx上点P处的切线平行于直线2x－y＋1＝0，则点P的坐标是________．6．(2014年江西)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝1，则点P的坐标是________．7．物体的运动方程是s＝－13t3＋2t2－5，则物体在t＝3时的瞬时速度为________，加速度为________．8．如图X2&13&1，函数y＝f(x)的图象在点P(5，f(5))处的切线方程是y＝－x＋8，则f(5)＋f′(5)＝________.&图X2&13&1
&9．设定义在(0，＋∞)上的函数f(x)＝ax＋1ax＋b(a&0)．(1)求f(x)的最小值；(2)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y＝32x，求a，b的值．
10．已知曲线y＝13x3＋43.(1)求曲线在x＝2处的切线方程；(2)求曲线过点(2,4)的切线方程．
第14讲　导数在函数中的应用
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1．函数y＝12x2－lnx的单调递减区间为(　　)A．(－1,1]& B．(0,1]C．[1，＋∞)& D．(0，＋∞)2．(2013年广东广州二模)已知函数y＝f(x)的图象如图X2&14&1，则其导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　)&图X2&14&1
&&&&&&&& A　　　　&&&&&&&& B&&&&&&&&&&&&&&& C　　　　&&&&&&& D3．函数y＝f(x)在定义域－32，3内可导，其图象如图X2&14&2，记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为(　　)&图X2&14&2A.－32，12∪[1,2)&&&&&& B.－1，12∪43，83C.－13，1∪[2,3)&&&&&& D.－32，－1∪12，43∪83，34．(2014年新课标Ⅱ)若函数f(x)＝kx－lnx在区间(1，＋∞)上单调递增，则k的取值范围是(　　)A．(－∞，－2]& B．(－∞，－1]C．[2，＋∞)& D．[1，＋∞)5．(2013年辽宁营口二模)若函数f(x)＝x3－3x＋m有三个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　)A．(1，＋∞)& B．(－∞，－1)C．[－2,2]& D．(－2,2)6．设函数f(x)＝2x＋lnx，则(　　)A．x＝12为f(x)的极大值点B．x＝12为f(x)的极小值点C．x＝2为f(x)的极大值点D．x＝2为f(x)的极小值点7．(2014年湖南)若0&x1&x2&1，则(　　)A．e －e &lnx2－lnx1& B．e －e &lnx2－lnx1C．x2e &x1&& D．x2e &x1e &8．(2013年广东惠州一模)已知f(x)＝lnx，g(x)＝13x3＋12x2＋mx＋n，直线与函数f(x)，g(x)的图象都相切于点(1,0)．(1)求直线的方程及g(x)的解析式；(2)若h(x)＝f(x)－g′(x)[其中g′(x)是g(x)的导函数]，求函数h(x)的极大值．
9．(广西百所示范性中学2015届高三第一次大联考)已知函数f(x)＝ex＋ax－1(a∈R，且a为常数)．(1)求函数f(x)的单调区间；(2)若对所有x≥0都有f(x)≥f(－x)，求a的取值范围．
第15讲　导数在生活中的优化问题举例
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1．从边长为10 cm×16 cm的矩形纸板的四角截去四个相同的小正方形，做成一个无盖的盒子，则盒子容积的最大值为(　　)A．12 cm3& B．72 cm3& C．144 cm3& D．160 cm32．函数f(x)＝x3－ax2－bx＋a2在x＝1处有极值10，则点(a，b)为(　　)A．(3，－3)& B．(－4,11)C．(3，－3)或(－4,11)& D．不存在3．已知某生产厂家的年利润y(单位：万元)与年产量x(单位：万件)的函数关系式为y＝－13x3＋81x－234，则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为(　　)A．13万件& B．11万件C．9万件& D．7万件4．已知函数y＝xf′(x)的图象如图X2&15&1[其中f′(x)是函数f(x)的导函数]．下列四个图象中，y＝f(x)的图象大致是(　　)&图X2&15&1
&&&&&&&&&& A&&&&&&&&& B&&&&&&&&&&& C&&&&&&&&& D5．某厂生产某种产品x件的总成本C(x)＝(单位：万元)，又知产品单价的平方与产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则总利润最大时，产量为(　　)A．10件& B．25件C．30件& D．40件6．已知函数f(x)＝13x3＋ax2－bx＋1(a，b∈R)在区间[－1,3]上是减函数，则a＋b的最小值是(　　)A.23& B.32C．2& D．37．要制作一个圆锥形的漏斗，其母线长为20 cm，要使其体积最大，则高为(　　)A.33 cm& B.10 33 cm& C.16 33 cm& D.20 33 cm8．已知函数f(x)的定义域为[－1,5]，部分对应值如表，f(x)的导函数y＝f′(x)的图象如图X2&15&2.&图X2&15&2
x&－1&0&2&4&5f(x)&1&2&1.5&2&1下列关于函数f(x)的命题：①函数f(x)的值域为[1,2]；②函数f(x)在[0,2]上是减函数；③如果当x∈[－1，t]时，f(x)的最大值是2，那么t的最大值为4；④当1&a&2时，函数y＝f(x)－a最多有4个零点．其中正确命题的序号是______________．&9．(2014年湖北)π为圆周率，e＝2.718 28…为自然对数的底数．(1)求函数f(x)＝lnxx的单调区间；(2)求e3,3e，eπ，πe,3π，π3这6个数中的最大数与最小数．
10．(2013年北京昌平二模)已知函数f(x)＝12x2－alnx(a&0)．(1)若a＝2，求f(x)在(1，f(1))处的切线方程；(2)求f(x)在区间[1，e]上的最小值；(3)若f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点，求a的取值范围．
第16讲　定积分及其应用举例
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1．设f(x)＝x2　　0≤x&1，2－x　1&x≤2，则 (x)dx＝(　　)　 　　　　　　 　　　　　　 　　　
A.34& B.45& C.56& D．不存在2．函数f(x)＝x＋1　－1≤x&0，cosx　0≤x≤π2 的图象与x轴所围成的封闭图形的面积为(　　)A.32& B．1& C．2& D.12 3．一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始做变速直线行驶(汽车与人的前进方向相同)，汽车在时刻t的速度为v(t)＝t米/秒，那么，此人(　　)A．可在7秒内追上汽车&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& B．可在9秒内追上汽车& C．不能追上汽车，但其间最近距离为14米D．不能追上汽车，但其间最近距离为7米4．由曲线y＝x2，y＝x3围成的封闭图形的面积为(　　)A.112 &&&&&& B.14& &&&&& C.13 &&&&&& D.712 5．由曲线y＝x，直线y＝x－2及y轴所围成的图形的面积为(　　)A.103&&&&&&&&&&&& B．4&&&&&&&&&&&& C.163&&&&&&&&&&& D．66．由直线x＝－π3，x＝π3，y＝0与曲线y＝cosx所围成的封闭图形的面积为(　　)A.12&&&&&&&& B．1&&&&&&&& C.32&&&&&&&& D.37．已知函数f(x)＝3x2＋2x＋1，若 (x)dx＝2f(a)成立，则a＝________________.8．(2014年福建)如图X2&16&1，在边长为e(e为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒黄豆，则它落在阴影部分的概率为________．&图X2&16&1
&9．(2014年广东揭阳一模)在如图X2&16&2所示的程序框图中，任意输入一次x(0≤x≤1)与y(0≤y≤1)，则能输出数对(x，y)的概率为(　　)A.14& B.13& C.34& D.23&图X2&16&2
10．(2013年福建)当x∈R，|x|＜1时，有如下表达式：1＋x＋x2＋…＋xn＝11－x.两边同时积分，得 dx＋ dx＋ 2dx＋…＋ ndx＝ 11－xdx，从而得到如下等式：1×12＋12×122＋13×123＋…＋1n＋1×12n＋1＝ln2.请根据以上材料所蕴含的数学思想方法，计算：C0n×12＋12C1n×122＋13C2n×123＋…＋1n＋1Cnn×12n＋1＝____________.
&第二章　函数、导数及其应用第1讲　函数与映射的概念1．B　解析：x－1&0，得x&1.2．D　解析：函数y＝13x的定义域为{x|x≠0}，y＝1sinx的定义域为{x|sinx≠0}＝{x|x≠kπ，k∈Z}，y＝lnxx的定义域为{x|x&0}，y＝xex的定义域为R，y＝sinxx的定义域为{x|x≠0}．故选D.3．B　解析：由题意，得x＋y＝2，x－y＝1.解得x＝32，y＝12.4．B　解析：－1&2x＋1&0，－1&x&－12，函数f(2x＋1)的定义域为－1，－12.故选B.5．C　解析：由0≤2x≤4，x≠0，得0&x≤2.故选C.6．C　解析：∵4x&0，∴0≤16－4x&16.∴16－4x∈[0,4)．7．D　解析：f(x)＝x2－2x在[－1,2]上的值域为[－1,3]，而g(x)＝ax＋2(a&0)在[－1,2]上单调递增，则g(x)＝ax＋2的值域为[2－a,2a＋2]．由题意，得[－1,3]⊆[2－a,2a＋2]，即2－a≤－1，2a＋2≥3，解得a≥3.8．1　2　解析：由表中对应值知，f[g(1)]＝f(3)＝1.当x＝1时，f[g(1)]＝1，g[f(1)]＝g(1)＝3，不满足条件；当x＝2时，f[g(2)]＝f(2)＝3，g[f(2)]＝g(3)＝1，满足条件；当x＝3时，f[g(3)]＝f(1)＝1，g[f(3)]＝g(1)＝3，不满足条件，∴满足f[g(x)]&g[f(x)]的x的值是2.9．解：(1)要使函数有意义，只需x2－2x&0，9－x2&0，即x&2，或x&0，－3&x&3.解得－3＜x＜0或2＜x＜3.故函数f(x)的定义域是(－3,0)∪(2,3)．(2)∵y＝f(2x)的定义域是[－1,1]，即－1≤x≤1.∴12≤2x≤2.∴对于函数y＝f(log2x)，有12≤log2x≤2，即log2 2≤log2x≤log24.∴2≤x≤4.故函数f(log2x)的定义域为[2，4]．10．解：(1)∵当x＝716时，4x＝74，∴f1(x)＝74＝1，g(x)＝74－74＝34.∴f2(x)＝f1[g(x)]＝f134＝[3]＝3.(2)∵f1(x)＝[4x]＝1，g(x)＝4x－1，∴f2(x)＝f1(4x－1)＝[16x－4]＝3.∴1≤4x&2，3≤16x－4&4.∴716≤x&12.
第2讲　函数的表示法1．B2．B　解析：ff14＝f(－2)＝3－2＝19.3．A　解析：当a&0时，log2a＝12，a＝2；当a≤0时，2a＝12，a＝－1.故选A.4．A
&图D555．D　解析：由y＝f(x)的图象，得当x＝4和x＝9时，△ABP的面积相等．∴BC＝4，BC＋CD＝9，即CD＝5.易知AD＝14－9＝5.如图D55，过点D作DE⊥AB于点E.∵∠B＝90°，∴DE＝BC＝4.在Rt△AED中，AE＝AD2－DE2＝3.∴AB＝AE＋EB＝3＋5＝8.∴S△ABC＝12AB×BC＝12×8×4＝16.6．－2　解析：∵f(x)＝2x3，x&0，－tanx，0≤x&π2，∴fπ4＝－tanπ4＝－1.∴ffπ4＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.7．①③　解析：f(x)＝x－1x，－f1x＝－1x－x＝x－1x＝f(x)；f(x)＝logax＋1，－f1x＝－loga1x＋1＝logax－1≠f(x)；③显然满足．8.2　解析：若a≤0，则f(a)＝a2＋2a＋2＝(a＋1)2＋1&0，∴f[f(a)]＝－(a2＋2a＋2)2＝2，无解；若a&0，则f(a)＝－a2&0，∴(－a2)2＋2(－a2)＋2＝2，解得a＝2或a＝－2(舍去)，若a＝0(舍去)．故a＝2.9．解：(1)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则f(x＋1)－f(x)＝[a(x＋1)2＋b(x＋1)＋c]－(ax2＋bx＋c)＝2ax＋a＋b＝2x＋3.则2a＝2，a＋b＝3.解得a＝1，b＝2.又f(0)＝c＝2，∴f(x)＝x2＋2x＋2.(2)f(x)＝(x＋1)2＋1，x∈[－3,4]，则f(x)min＝f(－1)＝1，f(x)max＝f(4)＝26.∴f(x)在[－3,4]上的值域为[1,26]．(3)若函数f(x＋m)为偶函数，则f(x＋m)＝(x＋m＋1)2＋1为偶函数．∴m＝－1.∴f[f(m)]＝f[f(－1)]＝f(1)＝5.(4)f(x)＝(x＋1)2＋1，①当m＋2&－1，即m&－3时，f(x)在[m，m＋2]上单调递减．f(x)min＝f(m＋2)＝m2＋6m＋10.②当m&－1时，f(x)在[m，m＋2]上单调递增，f(x)min＝f(m)＝m2＋2m＋2.③当m≤－1≤m＋2，即－3≤m≤－1时，f(x)min＝f(－1)＝1.10．解：(1)由定义知，关于x的方程－x2＋4x＝fǡ－fǡ9－0在(0,9)上有实数根时，函数f(x)＝－x2＋4x是[0,9]上的平均值函数．而－x2＋4x＝fǡ－fǡ9－0，即x2－4x－5＝0.解得x1＝5或x2＝－1.又x1＝5∈(0,9)[x2＝－1&#)．故舍去]，∴f(x)＝－x2＋4x是[0,9]上的平均值函数，5是它的均值点．(2)∵f(x)＝－x2＋mx＋1是[－1,1]上的平均值函数，∴关于x的方程－x2＋mx＋1＝fǡ－f－11－－1在(－1,1)内有实数根．由－x2＋mx＋1＝fǡ－f－11－－1，得x2－mx＋m－1＝0.解得x1＝m－1或x2＝1.又x2＝1∉(－1,1)，∴x1＝m－1必为均值点，即－1&m－1&1.∴所求实数m的取值范围是0&m&2.第3讲　函数的奇偶性与周期性1．D　解析：f(－1)＝－f(1)＝－12＋11＝－2.2．B　解析：由函数f(x)是定义域为[a－1,2a]的偶函数，得b＝0，且a－1＝－2a，即a＝13.故a＋b＝13.3．D　解析：f(x)＝x－1及f(x)＝x2＋x都是非奇非偶函数；f(x)＝2x－2－x，有f(－x)＝2－x－2x＝－f(x)，∴此函数为奇函数；f(x)＝2x＋2－x，有f(－x)＝2－x＋2x＝f(x)，∴此函数为偶函数．故选D.4．A　解析：∵f(x)为定义在R上的奇函数，∴有f(0)＝20＋2×0＋b＝0，解得b＝－1.∴当x≥0时，f(x)＝2x＋2x－1，∴f(－1)＝－f(1)＝－(21＋2×1－1)＝－3.5．A6．2　解析：g(1)＝f(1)＋4＝2，f(1)＝－2，f(x)是奇函数，则f(－1)＝－f(1)＝2.7．f(x)＝log (x－1)　解析：当x∈(－1,0)时，－x∈(0,1)，f(－x)＝log (1＋x)，又f(x)是定义在R上的偶函数，f(－x)＝f(x)＝log (1＋x)，x∈(－1,0)；当x∈(1,2)时，x－2∈(－1,0)，f(x)是定义在R上以2为周期的函数，∴f(x)＝f(x－2)＝log (1＋x－2)＝log (x－1)．8．－xx＋12　解析：当－1≤x≤0时，0≤x＋1≤1，f(x)＝fx＋12＝x＋1[1－x＋1]2＝－xx＋12.9．(1)证明：当a＝b＝1时，f(x)＝－2x＋12x＋1＋1.f(1)＝－2＋122＋1＝－15，f(－1)＝－12＋12＝14，∴f(－1)≠－f(1)．∴f(x)不是奇函数．(2)解：方法一：当f(x)是奇函数时，f(－x)＝－f(x)，即－2－x＋a2－x＋1＋b＝－－2x＋a2x＋1＋b对任意x∈R恒成立．化简整理，得(2a－b)•22x＋(2ab－4)•2x＋(2a－b)＝0对任意x∈R恒成立．∴2a－b＝0，2ab－4＝0⇒a＝－1，b＝－2(舍去)或a＝1，b＝2.∴a＝1，b＝2.方法二：∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴fǡ＝0，f－1＋fǡ＝0.∴a＝1，b＝2.验证满足题意．∴a＝1，b＝2.10．解：(1)当x&0时，－x&0，则f(－x)＝－(－x)2＋2(－x)＝－x2－2x.又函数f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)＝－f(－x)＝－(－x2－2x)＝x2＋2x.又当x&0时，f(x)＝x2＋mx，对任意x&0，总有x2＋2x＝x2＋mx，∴m＝2.函数f(x)的图象如图D56.&图D56
(2)由(1)知，f(x)＝－x2＋2x，x&0，0，x＝0，x2＋2x，x&0.由图象知，函数f(x)在区间[－1,1]上是增函数．要使f(x)在[－1，a－2]上是增函数，需有a－2&－1，a－2≤1，解得1&a≤3，即实数a的取值范围是(1,3]．(3)由图象知，函数f(x)的图象在区间[－2,2]上的最高点是(1，f(1))，最低点是(－1，f(－1))．又f(1)＝－1＋2＝1，f(－1)＝1－2＝－1，∴函数f(x)在区间[－2,2]上的最大值是1，最小值是－1.第4讲　函数的单调性与最值1．B　解析：y＝e－x＝1ex在R上单调递减；y＝lnx定义域为(0，＋∞)；y＝|x|＝x，x≥0，－x，x&0，当x&0时，函数单调递减；只有函数y＝x3定义域是R，且为增函数．2．A　解析：函数y＝ln(x＋2)在区间(0，＋∞)上为增函数；函数y＝－x＋1在区间(0，＋∞)上为减函数；函数y＝12x在区间(0，＋∞)上为减函数；函数y＝x＋1x在区间(0，＋∞)上先减后增．故选A.3．D　解析：由fx－f－xx＝2fxx＜0，得xf(x)＜0.4．A　解析：函数f(x)＝1x2是偶函数，且在区间(－∞，0)上单调递增；函数f(x)＝x2＋1是偶函数，但在区间(－∞，0)上是单调递减的；函数f(x)＝x3是奇函数；函数f(x)＝2－x是非奇非偶函数．故选A.5．D　解析：若存在正数x使2x(x－a)&1成立，即存在正数x使x－a&12x，a&x－12x成立，即a&x－12xmin.又x－12x在(0，＋∞)上单调递增，x－12xmin＝0－120＝－1.故a&－1.故选D.6．A　解析：若x∈[－1,2]，则f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1∈[－1,3]，g(x)＝ax＋2∈[－a＋2,2a＋2](a&0)．对任意的x1∈[－1,2]都存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，有[－a＋2,2a＋2]⊆[－1,3]，有－a＋2≥－1，2a＋2≤3，解得a≤12.又a&0，故0&a≤12.7．(－∞，0)　解析：因为函数定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，所以当x∈(－∞，0)，u＝x2单调递减，函数f(x)＝lgx2的单调递减；当x∈(0，＋∞)，u＝x2单调递增，函数f(x)＝lgx2的单调递增．故函数f(x)＝lgx2的单调递减区间是(－∞，0)．8．(1，2)　解析：函数f(x)＝x3＋sinx，x∈(－1,1)，是奇函数又是增函数，f(1－m)＋f(1－m2)&0，f(1－m)&－f(1－m2)＝f(m2－1)，有－1&1－m&1，－1&m2－1&1，1－m&m2－1.解得1&m&2.9．解：(1)f′(x)＝－3x2＋6x＋9.令f′(x)&0，解得x&－1或x&3.∴函数f(x)的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞)．(2)∵f(－2)＝8＋12－18＋a＝2＋a，f(2)＝－8＋12＋18＋a＝22＋a，∴f(2)&f(－2)．∵在(－1,3)上f′(x)&0，∴f(x)在[－1,2]上单调递增．又由于f(x)在[－2，－1]上单调递减，∴f(2)和f(－1)分别是f(x)在区间[－2,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a＝20，解得a＝－2.　　∴f(x)＝－x3＋3x2＋9x－2，∴f(－1)＝1＋3－9－2＝－7.∴函数f(x)在区间[－2,2]上的最小值为－7.10．(1)解：由题意知，fǡ＝0，f12＝25，即b1＋02＝0，a2＋b1＋14＝25.解得a＝1，b＝0.∴f(x)＝x1＋x2.(2)证明：任取－1&x1&x2&1，则x2－x1&0，f(x2)－f(x1)＝x21＋x22－x11＋x21＝x2－x11－x1x21＋x211＋x22.∵－1&x1&x2&1，∴－1&x1x2&1,1－x1x2&0.于是f(x2)－f(x1)&0.∴f(x)在(－1,1)上是增函数．(3)解：由题意，得f(t－1)&－f(t)＝f(－t)．∵f(x)在(－1,1)上是增函数，∴－1&t－1&－t&1.解得0&t&12.第5讲　指数式与指数函数1．D　解析：因为点(a,9)在函数y＝3x的图象上，所以9＝3a.所以a＝2.即tanaπ6＝tan2π6＝tanπ3＝3.故选D.2．B　解析：1－2x≥0,2x≤1＝20，x≤0.故选B.3．A　解析：由图象可以看出，函数为减函数，故0＜a＜1.因为函数y＝ax的图象过定点(0,1)，函数y＝ax＋b的图象过定点(0，b)，∴－1＜b＜0.4．B　5.C6．A　解析：由ax&ay(0&a&1)知，x&y，所以x3&y3.故选A.7．(－∞，8]　解析：当x&1时，由ex－1≤2，解得x≤1＋ln2，则x&1；当x≥1时，由x ≤2，解得x≤23＝8，则1≤x≤8.综上所述，x∈(－∞，8]．8．log34　解析：由93x－1＋1＝3x，得9＋3x－1＝(3x)2－3x，(3x)2－2×3x－8＝0，(3x－4)(3x＋2)＝0.又3x&0，则3x＝4，x＝log34.9．解：(1)∵f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(0)＝a0－(k－1)a0＝1－(k－1)＝0.∴k＝2.(2)由(1)，得f(x)＝ax－a－x(a&0，且a≠1)．∵f(1)&0，∴a－1a&0.又a&0，且a≠1，∴0&a&1.而y＝ax在R上单调递减，y＝a－x在R上单调递增，故f(x)＝ax－a－x在R上单调递减．不等式化为f(x2＋tx)&f(x－4)，∴x2＋tx&x－4.∴x2＋(t－1)x＋4&0恒成立．∴Δ＝(t－1)2－16&0.解得－3&t&5.(3)∵f(1)＝a－1a＝32，即2a2－3a－2＝0，∴a＝2或a＝－12(舍去)．∴g(x)＝22x＋2－2x－2m(2x－2－x)＝(2x－2－x)2－2m(2x－2－x)＋2.令t＝f(x)＝2x－2－x，由(2)可知：f(x)＝2x－2－x为增函数，∵x≥1，∴t≥f(1)＝32.令h(t)＝t2－2mt＋2＝(t－m)2＋2－m2t≥32，若m≥32，当t＝m时，h(t)min＝2－m2＝－2，∴m＝2(m＝－2，舍去)；若m&32，当t＝32时，h(t)min＝174－3m＝－2，∴m＝2512&32(舍去)．综上所述，m＝2.10．(1)解：对于任意实数x，函数f(x)＝2x－12x＋1都有意义，∴函数的定义域为R.(2)解：方法一：f(x)＝2x－12x＋1＝2x＋1－22x＋1＝1－22x＋1，又2x&0,2x＋1&1,0&22x＋1&2，－1&1－22x＋1&1，∴f(x)的值域为(－1,1)．方法二：f(x)＝y＝2x－12x＋1⇔y(2x＋1)＝2x－1⇔2x(y－1)＝－y－1⇔2x＝1＋y1－y.由2x&0，得1＋y1－y&0，解得－1&y&1.∴f(x)的值域为(－1,1)．(3)证明：任取x1，x2∈R，设x1&x2，则2 &2 ，2 ＋1&0,2 ＋1&0，f(x1)－f(x2)＝ &0，即f(x1)&f(x2)．因此f(x)＝2x－12x＋1在(－∞，＋∞)上是增函数．第6讲　对数式与对数函数1．A　解析：lg5＋lg20＝lg100＝lg10＝1.2．C　解析：a＝2 ＝ ∈(0,1)，b＝log213&0，c＝log 13&log 12＝1，所以c&a&b.故选C.3．A4．D　解析：分0&a&1和a&1两种情况进行讨论．5．B　解析：y＝lgx10＝lgx－1，只需把函数y＝lgx的图象上所有点向下平移1个单位长度即可．6．C　解析：∵当0&a&1时，y＝logax为减函数，∴原不等式化为1－x&0，x&0，1－x&x.解得0&x&12.7.10　解析：由4a＝2，得a＝12.由lgx＝a＝12，得x＝1012＝10.8.12　解析：f[f(2)]＝f(－1)＝1－2－1＝12.9．解：(1)f(x)＝log2(x＋1)－log2(1－x)，则x＋1&0，1－x&0.解得－1&x&1.故所求函数f(x)的定义域为{x|－1&x&1}．(2)由(1)知，f(x)的定义域为{x|－1&x&1}，且f(－x)＝log2(－x＋1)－log2(1＋x)＝－[log2(x＋1)－log2(1－x)]＝－f(x)，故f(x)为奇函数．(3)∵f(x)＝log2x＋11－x，2&1，∴f(x)在定义域{x|－1&x&1}上是增函数．∴f(x)&0⇔x＋11－x&1.解得0&x&1.∴使f(x)&0成立的x的解集是{x|0&x&1}．10．解：(1)由kx－1x－1&0，得(kx－1)(x－1)&0.又∵k&0，∴x－1k(x－1)&0.当k＝1时，函数f(x)的定义域为{x|x≠1}；当0&k&1时，函数f(x)的定义域为xx&1，或x&1k；当k&1时，函数f(x)的定义域为xx&1k，或x&1.(2)f(x)＝lnkx－1＋k－1x－1＝lnk＋k－1x－1.∵函数f(x)在区间[10，＋∞)上是增函数，∴由复合函数的单调性知，k－1&0，即k&1.又∵当x＝10时，10k－110－1&0，∴k&110.综上所述，实数k的取值范围为110&k&1.第7讲　一次函数、反比例函数及二次函数1．A　解析：函数f(x)＝x2＋mx＋1的对称轴为x＝－b2a＝－m2＝1，∴m＝－2.故选A.2．D　解析：在A中，a&0，－b2a&0，b&0，c&0，∴abc&0，错误；在B中，a&0，－b2a&0，b&0，c&0，∴abc&0，错误；在C中，a&0，－b2a&0，b&0，c&0，∴abc&0，错误；在D中，a&0，－b2a&0，b&0，c&0，∴abc&0.故选D.3．D　4.B5．B　解析：利润L(x)＝20x－C(x)＝－12(x－18)2＋142.当x＝18时，L(x)有最大值．故选B.6．B　解析：y＝3－aa＋6＝－a2－3a＋18＝－a＋322＋814，当a＝－32时，ymax＝92.故选B.7．－2x2＋4　解析：f(x)＝(x＋a)(bx＋2a)＝bx2＋(2a＋ab)x＋2a2是偶函数，则其图象关于y轴对称，∴2a＋ab＝0⇒b＝－2.∴f(x)＝－2x2＋2a2.又f(x)的值域为(－∞，4]，∴当x＝0时，2a2＝4，即a2＝2.∴f(x)＝－2x2＋4.8.63　解析：因为a＋b＋c＝0，所以c＝－(a＋b)．所以a2＋b2＋[－(a＋b)]2＝1，即2b2＋2ab＋2a2－1＝0.由Δ＝4a2－4×2×(2a2－1)≥0，解得－63≤a≤63.故实数a的最大值为63.9．解：(1)当a＝－1时，f(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，x∈[－5,5]，所以f(x)min＝f(1)＝1，f(x)max＝f(－5)＝37.(2)y＝f(x)的对称轴为x＝－a，若函数在区间[－5,5]上是单调函数，则－a≥5或－a≤－5.解得a≤－5或a≥5.10．解：(1)f(x)＝ax2＋x，对任意x1，x2∈R，有f(x1)＋f(x2)－2fx1＋x22＝ax21＋x1＋ax22＋x2－2ax1＋x222＋x1＋x22＝12a(x1－x2)2≥0.要使上式恒成立，∴a≥0.由f(x)＝ax2＋x是二次函数知，a≠0，故a&0.由f(x)＝ax2＋x＝axx＋1a&0，∴不等式f(x)&0的解集为A＝－1a，0.(2)解得B＝(－a－4，a－4)．∵B⊆A，∴a－4≤0，－a－4≥－1a.解得0&a≤－2＋5.第8讲　幂函数1．B　解析：幂函数f(x)＝xα的图象过点33，39，∴39＝33α.解得α＝3.∴幂函数为f(x)＝x3.2．A　解析：f(x)＝x ＝1x，其定义域为(0，＋∞)．故选A.3．C4．B　解析：因为函数y＝(m2－m＋1)• 是幂函数，所以m2－m＋1＝1.解得m＝1或m＝0.因为f(－x)＝f(x)，所以函数是偶函数．当m＝0时，幂函数为y＝x－3，函数表示奇函数；当m＝1时，y＝x－4.函数是偶函数．故选B.5．B　解析：当0&α&1，α＝0，α&0时都合题意．故选B.6．A　解析：在函数y＝x－1，y＝x，y＝x ，y＝x3中，只有函数y＝x和y＝x3的定义域是R，且是奇函数．故α＝1或3.7．A　解析：设f(x)＝xα，由图象过点12，22，得12α＝22＝12 ⇒α＝12.log4f(2)＝log42 ＝log44 ＝14.8．(0,1)　解析：根据幂函数的性质，∵12&23，∴当0&x&1时，x &x ，当x&1时，x &x .∴f(x)&0的解集为(0,1)．9．解：(－2)3&0，560＝1，23 ＞1,3 ＞1，32 &1，0&35 ＜1,0＜25 ＜1,0＜53 &1.又∵ ＝2 &1，∴3 &32 &32& ＝23 .因此23 &32 &3 .同理可得到25 &35 &53 .∴(－2)3&25 &35 &53 &560&23 &32 &3 .10．解：(1)因为f(x)是幂函数，故m2－m－1＝1，即m2－m－2＝0.解得m＝2或m＝－1.(2)若f(x)是幂函数，且是(0，＋∞)上的增函数，则m2－m－1＝1，－5m－3&0.∴m＝－1.(3)若f(x)是正比例函数，则－5m－3＝1.解得m＝－45.此时m2－m－1≠0.故m＝－45.(4)若f(x)是反比例函数，则－5m－3＝－1，则m＝－25.此时m2－m－1≠0.故m＝－25.(5)若f(x)是二次函数，则－5m－3＝2，即m＝－1.此时m2－m－1≠0.故m＝－1.综上所述，当m＝2或m＝－1时，f(x)是幂函数；当m＝－1时，f(x)既是幂函数，又是(0，＋∞)上的增函数；当m＝－45时，f(x)是正比例函数；当m＝－25时，f(x)是反比例函数；当m＝－1时，f(x)是二次函数．第9讲　函数的图象1．D　解析：对A，没有幂函数的图象；对B，f(x)＝xa(x&0)中a&1，g(x)＝logax中0&a&1，不符合题意；对C，f(x)＝xa(x&0)中0&a&1，g(x)＝logax中a&1，不符合题意；对D，f(x)＝xa(x&0)中0&a&1，g(x)＝logax中0&a&1，符合题意．故选D.2．A3．B　解析：由函数logax(a&0，且a≠1)的图象知，a＝3，∴y＝3－x，y＝(－x)3＝－x3及y＝log3(－x)均为减函数，只有y＝x3是增函数．故选B.4．C　解析：由f(x＋1)＝f(x－1)知，函数y＝f(x)的周期为2.当x＝5时，f(x)＝1，log5x＝1；当x＞5时，f(x)∈[0,1]，log5x＞1，y＝f(x)与y＝log5x的图象不再有交点．函数图象如图D57.故选C.&图D57　 图D58
5．C　解析：如图D58，f(x)与g(x)的图象有2个交点．故选C.6．B　解析：f(x)＝(x2－2ax)ex＝0，x1＝0，x2＝2a，排除A，C；当x→－∞时，(x2－2ax)ex→0.故选B.&图D597．B　解析：f(x)＝2x|log0.5x|－1＝0，|log0.5x|＝12x，作函数y＝|log0.5x|，y＝12x的图象(如图D59)，有2个交点，故函数f(x)＝2x|log0.5x|－1有2个零点．8．A　解析：作函数y＝f(x)的草图，对称轴为x＝－π4，当直线y＝a与函数有两个交点(即有两个根)时，x1＋x2＝2×－π4＝－π2；当直线y＝a与函数有三个交点(即有三个根)时，x1＋x2＋x3＝2×－π4－π4＝－3π4；当直线y＝a与函数有四个交点(即有四个根)时，x1＋x2＋x3＋x4＝4×－π4＝－π.故选A.9．解：(1)①f(x)＝x2＋2mx＋3m＋4有且仅有一个零点⇔方程f(x)＝0有两个相等实根⇔Δ＝0，即4m2－4(3m＋4)＝0，即m2－3m－4＝0，∴m＝4或m＝－1.②方法一：设f(x)的两个零点分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2m，x1&#m＋4.由题意知，Δ＝4m2－43m＋4&0，&#6&#6&0，&#6＋&#6ʔm2－3m－4&0，3m＋4－2m＋1&0，－2m＋2&0⇔m&4或m&－1，m&－5，m&1.∴－5&m&－1.故m的取值范围为(－5，－1)．方法二：由题意知，Δ&0，－m&－1，f－1&0，即m2－3m－4&0，m&1，1－2m＋3m＋4&0.∴－5&m&－1.∴m的取值范围为(－5，－1)．(2)令f(x)＝0，得|4x－x2|＋a＝0，即|4x－x2|＝－a.&图D60令g(x)＝|4x－x2|，h(x)＝－a.如图D60，作出g(x)，h(x)的图象．由图象知，当0&－a&4，即－4&a&0时，g(x)与h(x)的图象有4个交点，即f(x)有4个零点．故a的取值范围为(－4,0)．10．解：(1)f′(x)＝x2＋2mx，f′(－1)＝1－2m，由1－2m＝13，解得m＝13.(2)f′(x)＝x2＋2mx＝x(x＋2m)．①当m＝0时，f(x)＝13x3，在(－∞，＋∞)上单调递增； ②当m&0时，x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x&(－∞，－2m)&－2m&(－2m,0)&0&(0，＋∞)f′(x)&＋&0&－&0&＋f(x)&递增&极大值&递减&极小值&递增函数f(x)的单调递增区间是(－∞，－2m)和(0，＋∞)，单调递减区间是(－2m,0)；③当m&0时，x变化时，f′(x)，f(x)的变化状态如下表：x&(－∞，0)&0&(0，－2m)&－2m&(－2m，＋∞)f′(x)&＋&0&－&0&＋f(x)&递增&极大值&递减&极小值&递增函数f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(－2m，＋∞)，单调递减区间是(0，－2m)．综上所述，当m＝0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)；当m&0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，－2m)和(0，＋∞)，单调递减区间是(－2m,0)；当m&0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，0)和(－2m，＋∞)，单调递减区间是(0，－2m)．(3)由题意f′(－2)＝0，解得m＝1.&图D61
所以f(x)＝13x3＋x2.由(2)知，f(x)在区间(－∞，－2)上单调递增，在(－2,0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以f(x)极大值＝f(－2)＝43，f(x)极小值＝f(0)＝0.如图D61，要使直线y＝a与y＝f(x)的图象有三个不同的交点只需0&a&43.第10讲　函数与方程1．B　解析：当a≤0时，f(a)＝－a＝4，a＝－4.当a&0时，f(a)＝a2＝4，a＝2(a＝－2，舍去)．2．C　解析：根据表中数据得f(1)&0，f(2)&0，f(e)&0，f(3)&0，所以零点所在的区间是(e,3)．3．B　解析：由f(－1)＝12－3&0，f(0)＝1&0及零点存在定理知，f(x)的零点在区间(－1,0)上．4．B　解析：∵a，b∈Z，b－a＝1，∴a，b是相邻的两个整数，令f(x)＝lnx＋x－4，则f(1)＝－3&0，f(2)＝ln2－2&0，f(3)＝ln3－1&0.∴f(x)在(2,3)上存在零点，即方程lnx＋x－4＝0在(2,3)上有根．又f(x)为递增函数，∴方程lnx＋x－4＝0在(2,3)上有且仅有一根，∴a＝2.5．B　解析：如图D62，y＝12x与y＝sinx的图象有2个交点，即f(x)在[0,2π]上有2个零点．&图D62
6．A　解析：由f(0)•f(1)&0，f(a)＝0，得0&a&1；由g(1)•g(2)&0，g(b)＝0，得1&b&2.显然f(b)&0，g(a)&0.故选A.7．1.25　解析：f(1)＝－1&0，f(2)＝2&0，f(1.5)&0，f(1.25)&0，|1.5－1.25|＝0.25&0.3，∴输出的m＝1.25.8.4，192　解析：设f(x)＝5x2－ax－1，依题意，得f－1＝5＋a－1&0，fǡ＝－1&0，fǡ＝5－a－1&0，fǡ＝20－2a－1&0.解得4&a&192.9．解：令x&0，则－x&0，∴f(－x)＝(－x)2－3(－x)＝x2＋3x.∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴当x&0时，f(x)＝－x2－3x.∴f(x)＝x2－3x，x≥0，－x2－3x，x&0.∴g(x)＝f(x)－x＋3＝x2－4x＋3，x≥0，－x2－4x＋3，x&0.∴x≥0，x2－4x＋3＝0.解得x＝1或x＝3；x&0，－x2－4x＋3＝0.解得x＝－2－7或x＝－2＋7(舍)．∴函数g(x)＝f(x)－x＋3的零点的集合为{－2－7，1,3}．10．解：(1)由f(1)＝2，得4－kk－1＝2，解得k＝2.(2)由k＝2，得f(x)＝2x2－x.设x2&x1&2，则f(x2)－f(x1)＝2x22－x2－2x12－x1＝4x2－x12－x22－x1.∵x2&x1&2，∴x2－x1&0,2－x1&0,2－x2&0.∴f(x2)－f(x1)&0，即当x2&x1&2时，f(x2)&f(x1)．∴函数y＝f(x)在区间(2，＋∞)上单调递增．(3)由g(x)＝f(x)－mx＝xmx－2m＋22－x，∵函数g(x)有2个零点，∴方程xmx－2m＋22－x＝0有2个不同的实根，解关于x的方程 x(mx－2m＋2)＝0，得当m＝0时，x＝0，只有1个实根，当m≠0时，x＝0或x＝2－2m，此时，若m＝1，则方程有2个重根x＝0，故m≠1；若m≠1，则方程有2个实根x＝0或x＝2－2m，且x≠2.故要求的实数m的范围为m∈(－∞，0)∪(0,1)∪(1，＋∞)．第11讲　抽象函数1．C　解析：假设f(x)＝ax，f(x)f(y)＝axay＝ax＋y＝f(x＋y)．2．A　解析：函数f(x)是定义在R上的奇函数，则有f(0)＝0.由对于任意的x1≠x2，且x1，x2∈R，满足不等式fᥑ－fᥑx1－x2&0知，函数f(x)在R上单调递增，所以由f(x＋3)&0＝f(0)，得x＋3&0.因此x&－3.故选A.3．B　解析：由f(x＋y)＝(x＋y)3，f(x)f(y)＝x3•y3＝(xy)3，得f(x＋y)≠f(x)f(y)，所以A错误；由f(x＋y)＝3x＋y，f(x)f(y)＝3x•3y＝3x＋y，得f(x＋y)＝f(x)f(y)．又函数f(x)＝3x是定义在R上的增函数．故选B.4．C　解析：方法一：由条件知，f(2)＝－3，f(3)＝－12，f(4)＝13，f(5)＝f(1)＝2，故f(x＋4)＝f(x)(x∈N*)．∴f(x)的周期为4，故f(2015)＝f(3)＝－12.方法二：严格推证如下：f(x＋2)＝1＋fx＋11－fx＋1＝－1fx，∴f(x＋4)＝f[(x＋2)＋2]＝f(x)，即f(x)的周期为4.故f(4k＋x)＝f(x)(k∈N*)．即f(2015)＝f(3)＝－12.5．B　解析：选项A，函数满足f(x＋y)＝f(x)f(y)；选项C，函数满足f(xy)＝f(x)＋f(y)；选项D，函数满足f(x＋y)＝fx＋fy1－fxfy.6．B　解析：由条件，得f(a－3)＜f(a2－9)，即－1&a－3&1，－1&a2－9&1，a－3&a2－9，∴a∈(2 2，3)．故选B.7．D　解析：f(x)＝x＋sinπx－3，f(2－x)＝2－x＋sinπ(2－x)－3＝－x－sin2πx－1，所以f(x)＋f(2－x)＝－4.f12015＋f22015＋f32015＋…＋f＝12f12015＋f22015＋…＋f＋f＋f＋…＋f12015＝12f12015＋f＋f22015＋f＋…＋f＋f12015＝12×(－4)×4029＝－8058.故选D.8．B　解析：∵对任意x∈R，有f(1＋x)＝－f(x)，∴f(2＋x)＝f[1＋(1＋x)]＝－f(1＋x)＝f(x)．∴f(x)的周期为2.又对任意x∈R，都有f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称．∴f(x)的图象关于y轴对称，即f(x)为偶函数．又f(x)不是常函数．故选B.9．解：(1)令x1＝x2&0，代入，得f(1)＝f(x1)－f(x1)＝0.故f(1)＝0.(2)任取x1，x2∈(0，＋∞)，且x1&x2，则x1x2&1.由于当x&1时，f(x)&0，∴fx1x2&0，即f(x1)－f(x2)&0，因此f(x1)&f(x2)．∴函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减．(3)由fx1x2＝f(x1)－f(x2)，得f93＝f(9)－f(3)，而f(3)＝－1，∴f(9)＝－2.由于函数f(x)在区间(0，＋∞)上单调递减，∴当x&0时，由f(|x|)&－2，得f(x)&f(9)，∴x&9；当x&0时，由f(|x|)&－2，得f(－x)&f(9)，∴－x&9，即x&－9.因此不等式的解集为{x|x&9，或x&－9}．10．解：设－1≤x1&x2≤1，则x1－x2≠0.∴fᥑ＋f－x2x1＋－x2&0.∵x1－x2&0，∴f(x1)＋f(－x2)&0.∴f(x1)&－f(－x2)．又f(x)是奇函数，∴f(－x2)＝－f(x2)．∴f(x1)&f(x2)．∴f(x)是增函数．(1)∵a&b，∴f(a)&f(b)．(2)由fx－12&fx－14，得－1≤x－12≤1，－1≤x－14≤1，x－12&x－14.∴－12≤x≤54.∴不等式的解集为x－12≤x≤54.(3)由－1≤x－c≤1，得－1＋c≤x≤1＋c.∴P＝{x|－1＋c≤x≤1＋c}．由－1≤x－c2≤1，得－1＋c2≤x≤1＋c2.∴Q＝{x|－1＋c2≤x≤1＋c2}．∵P∩Q＝∅，∴1＋c&－1＋c2或－1＋c&1＋c2.解得c&2或c&－1.∴c的取值范围是(－∞，－1)∪(2，＋∞)．第12讲　函数模型及其应用1．C2．A　解析：设隔墙的长为x(0＜x＜6)，矩形面积为y，y＝x×24－4x2＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，∴当x＝3时，y最大．3．C　解析：设在A地销售x辆汽车，则在B地销售(16－x)辆汽车，∴总利润y＝4.1x－0.1x2＋2(16－x)＝－0.1x2＋2.1x＋32＝－0.1x－×2124＋32.∵x∈[0,16]，且x∈N，∴当x＝10或11时，总利润ymax＝43万元．4．B　解析：由图形知，三点(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)都在函数p＝at2＋bt＋c的图象上，∴9a＋3b＋c＝0.7，16a＋4b＋c＝0.8，25a＋5b＋c＝0.5.解得a＝－0.2，b＝1.5，c＝－2.∴p＝－0.2t2＋1.5t－2＝－0.2t－.∵t&0，∴当t＝154＝3.75时，p取最大值．故此时的t＝3.75分钟为最佳加工时间．故选B.5．C　解析：不超过200元，则不给予优惠；200元至500元部分节省(500－200)×(1－90%)＝30元；超过500元的部分给予8折优惠，节省了330－30＝300元，则超过500元的部分为300÷(1－80%)＝1500元，故该件家电在商场标价为2000元．6．2500 m2　解析：方法一：设所围场地的长为x，则宽为200－x4，其中0&x&200，场地的面积为x×200－x4≤14x＋200－x22＝2500(m2)，当且仅当x＝100时等号成立．方法二：场地的面积为x×200－x4＝－14(x2－200x)＝－14(x－100)2＋2500，当x＝100时，有最大值2500.7．49　解析：170&200×0.9＝180,441&500×0.9＝450，不考虑优惠的实际价格为170＋0(元)，合并后实付款：500×0.9＋160×0.7＝562(元)，节约170＋441－562＝49(元)．8．解：(1)x的取值范围为[10,90]．(2)y＝0.25×20x2＋0.25×10(100－x)2＝5x2＋52(100－x)2(10≤x≤90)．(3)由y＝5x2＋52(100－x)2＝152x2－500x＋25 000＝152x－13.则当x＝1003 km时，y最小．故当核电站建在距A城1003 km时，才能使供电费用最小．9．解：(1)设P(t)＝k1t＋b10&t≤20，t∈N*，k2t＋b220&t≤30，t∈N*.依题意及图象，得b1＝2，20k1＋b1＝6，及20k2＋b2＝6，30k2＋b2＝5.解得b1＝2，k1＝15，及b2＝8，k2＝－110.故P(t)＝15t＋20&t≤20，t∈N*，－110t＋820&t≤30，t∈N*.(2)依题意，设Q(t)＝k3t＋b3,0&t≤30，t∈N*.把表中前两组数据代入，得4k3＋b3＝36，10k3＋b3＝30.解得k3＝－1，b3＝40.故Q(t)＝－t＋40,0&t≤30，t∈N*.(3)依题意，当0&t≤20，t∈N*时，y＝15t＋2(－t＋40)＝－15(t－15)2＋125；当20&t≤30，t∈N*时，y＝－110t＋8(－t＋40)＝110(t－60)2－40.故y关于t的函数关系式为y＝－15t－15&#50&t≤20，t∈N*，110t－60&#20&t≤30，t∈N*.若0&t≤20，t∈N*，则当t＝15时，ymax＝125(万元)；若20&t≤30，t∈N*，则y&110(20－60)2－40＝120(万元)．答：第15天日交易额最大，最大值为125万元．第13讲　导数的意义及运算1．D　解析：函数f(x)＝a3＋sinx的自变量为x，a为常量，所以f′(x)＝cosx.故选D.2．C3．A　解析：由已知，得g′(1)＝2，而f′(x)＝g′(x)＋2x，所以f′(1)＝g′(1)＋2×1＝4.故选A.4．2e5．(e，e)　解析：∵y′＝lnx＋1，设切点(a，b)，则k＝lna＋1＝2，a＝e.又b＝alna＝e，P的坐标是(e，e)．6．(－ln2,2)　解析：设切点P(a，b)，则由y′＝－e－x，得k＝－e－a＝－2，e－a＝2，a＝－ln2，b＝e－a＝2，所以点P的坐标是(－ln2,2)．7．3　－2　解析：∵s＝－13t3＋2t2－5，∴s′＝－t2＋4t.∴s′t＝3＝－32＋4×3＝3，即物体在t＝3时的瞬时速度为3；∵(s′)′＝(－t2＋4t)′＝－2t＋4，∴－2t＋4t＝3＝－6＋4＝－2，即物体在t＝3时的加速度为－2.8．2　解析：由条件知f′(5)＝－1，又∵在点P处的切线方程为y－f(5)＝－(x－5)，∴y＝－x＋5＋f(5)，即y＝－x＋8.∴5＋f(5)＝8.∴f(5)＝3.∴f(5)＋f′(5)＝2.9．解：(1)f(x)＝ax＋1ax＋b≥2 ax•1ax＋b＝b＋2，当且仅当ax＝1ax即x＝1ax＝－1a，舍去时，f(x)的最小值为b＋2.(2)由题意，得f(1)＝32⇔a＋1a＋b＝32，①f′(x)＝a－1ax2⇒f′(1)＝a－1a＝32.& ②由①②，解得a＝2，b＝－1a＝－12，b＝4，舍去.10．解：(1)当x＝2时，y＝13x3＋43＝4.∵y′＝x2，∴曲线在点P(2,4)处切线的斜率k＝y′|x＝2＝4.∴曲线在点P(2,4)处的切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0.(2)设曲线y＝13x3＋43与过点P(2,4)的切线相切于点Ax0，13x30＋43，则切线的斜率k＝y′|x＝x0＝x20.∴切线方程为y－13x30＋43＝x20(x－x0)，即y＝x20•x－23x30＋43.∵点P(2,4)在切线上，∴4＝2x20－23x30＋43，即x30－3x20＋4＝0.∴x30＋x20－4x20＋4＝0.∴x20(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0.∴(x0＋1)(x0－2)2＝0.解得x0＝－1或x0＝2.故所求的切线方程为x－y＋2＝0或4x－y－4＝0.第14讲　导数在函数中的应用1．B　解析：∵y＝12x2－lnx，∴y′＝x－1x.由y′≤0，解得0&x≤1.故选B.2．A　解析：由函数f(x)的图象看出，在y轴左侧，函数有两个极值点，且先增后减再增，在y轴右侧函数无极值点，且是减函数，根据函数的导函数的符号和原函数单调性间的关系可知，导函数在y轴左侧应有两个零点，且导函数值是先正后负再正，在y轴右侧无零点，且导函数值恒负，由此可以断定导函数的图象是A的形状．故选A.3．C4．D　解析：由于f′(x)＝k－1x≥0[x∈(1，＋∞)]，则k≥1x恒成立，即k≥1xmax.因为y＝1x在(1，＋∞)上单调递减，所以1xmax&1，所以k≥1.5．D　解析：由函数f(x)＝x3－3x＋m有三个不同的零点，则函数f(x)有两个极值点，极小值小于0，极大值大于0.由f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)＝0，解得x1＝1，x2＝－1.所以函数f(x)的两个极值点为x1＝1，x2＝－1.由于x∈(－∞，－1)时，f′(x)＞0；x∈(－1,1)时，f′(x)＜0；x∈(1，＋∞)时，f′(x)＞0，所以函数的极小值f(1)＝m－2和极大值f(－1)＝m＋2.因为函数f(x)＝x3－3x＋m有三个不同的零点，所以m＋2&0，m－2&0.解得－2&m&2.6．D7．C　解析：设函数f(x)＝ex－lnx，且g(x)＝exx，对函数求导可得f′(x)＝ex－1x，g′(x)＝x－1exx2.因为x∈(0,1)，所以f′(x)符号不确定，且g′(x)&0.所以函数f(x)的单调性不确定，函数g(x)在(0,1)上单调递减，则g(x1)&g(x2)⇒ .故选C.8．解：(1)直线是函数f(x)＝lnx在点(1,0)处的切线，故其斜率k＝f′(1)＝1.∴直线的方程为y＝x－1.又∵直线与g(x)的图象相切，且切于点(1,0)，由题意，得g′(x)＝x2＋x＋m.则gǡ＝0，g′ǡ＝1.解得m＝－1，n＝16.∴g(x)＝13x3＋12x2－x＋16.(2)∵h(x)＝f(x)－g′(x)＝lnx－x2－x＋1(x&0)，∴h′(x)＝1x－2x－1＝1－2x2－xx＝－2x－1x＋1x.令h′(x)＝0，得x＝12或x＝－1(舍)．当0&x&12时，h′(x)&0，h(x)单调递增；当x&12时，h′(x)&0，h(x)单调递减．因此，当x＝12时，h(x)取得极大值．∴[h(x)]极大值＝h12＝ln12＋14.9．解：(1)由已知，得f′(x)＝ex＋a，当a≥0时，f′(x)&0，f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．当a&0时，由f′(x)&0，得x&ln(－a)，f(x)在(ln(－a)，＋∞)上是单调递增函数；由f′(x)&0，得x&ln(－a)，f(x)在(－∞，ln(－a))上是单调递减函数．综上所述，当a≥0时，f(x)的单调递增区间是(－∞，＋∞)；当a&0时，f(x)的单调递增区间是(ln(－a)，＋∞)，单调递减区间是(－∞，ln(－a))．(2)当x≥0时，f(x)≥f(－x)恒成立，即得ex＋ax≥e－x－ax恒成立，即得ex－e－x＋2ax≥0恒成立．令h(x)＝ex－1ex＋2ax(x≥0)，即当x≥0时，h(x)≥0恒成立．又h′(x)＝ex＋e－x＋2a，且h′(x)≥2ex•e－x＋2a＝2＋2a，当x＝0时等号成立．①当a&－1时，h′(x)&0，所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0恒成立. ②当a＝－1时，若x＝0，h′(x)＝0，若x&0，h′(x)&0，所以h(x)在[0，＋∞)上是增函数，故h(x)≥h(0)＝0恒成立．③当a&－1时，方程h′(x)＝0的正根为x1＝ln(－a＋a2－1)，此时，若x∈(0，x1)，则h′(x)&0，故h(x)在该区间为减函数．所以，x∈(0，x1)时，h(x)&h(0)＝0，与x≥0时，h(x)≥0恒成立矛盾．综上所述，满足条件的a的取值范围是[－1，＋∞)．
第15讲　导数在生活中的优化问题举例1．C　解析：设盒子容积为y cm3，盒子的高为x cm.则y＝(10－2x)(16－2x)x＝4x3－52x2＋160x(0＜x＜5)．∴y′＝12x2－104x＋160.令y′＝0，得x＝2或203(舍去)．∴ymax＝6×12×2＝144 (cm3)．2．B　解析：据题意知，f′ǡ＝0，fǡ＝10⇒a＝3，b＝－3或a＝－4，b＝11.但当a＝3，b＝－3时，f′(x)＝3(x－1)2≥0，函数在x＝1处不存在极值．故选B.3．C　4.C5．B　解析：设单价为q&0，由题意q2＝kx，当x＝100时，q＝50，∴k＝q2x＝502×100＝250 000.q＝500x.∴总利润y＝xq－C(x)＝x&#x－.令y′＝500•12 x－275&#＝0，解得x＝25.当0&x&25时，y′&0；当x&25时，y′&0，∴当x＝25时，总利润最大．6．C　解析：f′(x)＝x2＋2ax－b在[－1,3]上有f′(x)≤0，∴f－1≤0，fǡ≤0.∴2a＋b≥1，6a－b≤－9.设u＝2a＋b≥1，v＝b－6a≥9.设a＋b＝mu＋nv＝m(2a＋b)＋n(－6a＋b)＝(2m－6n)a＋(m＋n)b，对照参数：2m－6n＝1，m＋n＝1，解得m＝78，n＝18.∴a＋b＝78u＋18v≥2，即a＋b的最小值为2.7．D　解：设圆锥的高为x，则底面半径为202－x2，其体积为V＝13πx(400－x2)，0＜x＜20，V′＝13π(400－3x2)，令V′＝0，解得x＝20 33.当0＜x＜20 33时，V′＞0；当20 33＜x＜20时，V′＜0，所以当x＝20 33 cm时，V取最大值．8．①②④　解析：由导数图象知，当－1&x&0或2&x&4时，f′(x)&0，函数单调递增；当0&x&2或4&x&5时，f′(x)&0，函数单调递减．当x＝0和x＝4，函数取得极大值f(0)＝2，f(4)＝2；当x＝2时，函数取得极小值f(2)＝1.5.又f(－1)＝f(5)＝1，∴函数的最大值为2，最小值为1，值域为[1,2]，①正确；②正确；∵当x＝0和x＝4时，函数取得极大值f(0)＝f(4)＝2，要使当x∈[－1，t]时，函数f(x)的最大值是2，即2≤t≤5，∴t的最大值为5，③不正确；由f(x)＝a知，极小值f(2)＝1.5，极大值为f(0)＝f(4)＝2，∴当1&a&2时，y＝f(x)－a最多有4个零点，④正确，∴真命题的序号为①②④.9．解：(1)函数f(x)的定义域为(0，＋∞)．因为f(x)＝lnxx，所以f′(x)＝1－lnxx2.当f′(x)&0，即0&x&e时，函数f(x)单调递增；当f′(x)&0，即x&e时，函数f(x)单调递减．故f(x)的单调递增区间为(0，e)，单调递减区间为(e，＋∞)．(2)因为e&3&π，所以eln3&elnπ，πlne&πln3，即ln3e&lnπe，lneπ&ln3π.于是根据函数y＝lnx，y＝ex，y＝πx在定义域上单调递增，得3e&πe&π3，e3&eπ&3π.故这6个数的最大数在π3与3π之中，最小数在3e与e3之中．由e&3&π，及(1)的结论，得f(π)&f(3)&f(e)，即lnππ&ln33&lnee.由lnππ&ln33，得lnπ3&ln3π，所以3π&π3；由ln33&lnee，得ln3e&lne3，所以3e&e3.综上所述，6个数中的最大数是3π，最小数是3e.10．解：(1)∵a＝2，f(x)＝12x2－2lnx，f′(x)＝x－2x，∴f′(1)＝－1，f(1)＝12.∴f(x)在(1，f(1))处的切线方程为2x＋2y－3＝0.(2)由题意，得f′(x)＝x－ax＝x2－ax.由a&0及定义域为(0，＋∞)，令f′(x)＝0，得x＝a.①若a≤1，即0&a≤1，在(1，e)上，f′(x)&0，f(x)在[1，e]上单调递增．因此，f(x)在区间[1，e]的最小值为f(1)＝12；②若1&a&e，即1&a&e2，在(1，a)上，f′(x)&0，f(x)单调递减；在(a，e)上，f′(x)&0，f(x)单调递增．因此，f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(a)＝12a(1－lna)；③若a≥e，即a≥e2，在(1，e)上，f′(x)&0，f(x)在[1，e]上单调递减．因此，f(x)在区间[1，e]上的最小值为f(e)＝12e2－a.综上所述，当0&a≤1时，f(x)min＝12；当1&a&e2时，f(x)min＝12a(1－lna)；当a≥e2时，f(x)min＝12e2－a.(3)由(2)知，当0&a≤1或a≥e2时，f(x)在(1，e)上是单调递增或递减函数，不可能存在两个零点．当1&a&e2时，要使f(x)在区间(1，e)上恰有两个零点，∴12a1－lna&0，fǡ＝12&0，fe＝12e2－a&0，即a&e，a&12e2.∴e&a&12e2.∴a的取值范围为e，12e2.&第16讲　定积分及其应用举例1．C　2.A　3.D　4.A　5.C　6.D7．－1或13　解析：－11&#＋2x＋1dx＝x3＋x2＋x&#＝4，∴2(3a2＋2a＋1)＝4.即3a2＋2a－1＝0，解得a＝－1或a＝13.8.2e2　解析：由对数函数与指数函数的对称性，可得两块阴影部分的面积相同.201(e－ex)dx＝2(ex－ex)|10＝2，所以落到阴影部分的概率p＝2e2.9．D　解析：依题意，得所求的概率为1－01x2dx＝1－13＝23.故选D.10.1n＋132n＋1－1　解析：由C0n＋C1nx＋C2nx2＋…＋Cnnxn＝(1＋x)n，两边同时积分，得C0n dx＋C1n dx＋C2n 2dx＋…＋Cnn ndx＝ 1＋x)ndx，12C0n＋12C1n122＋13C2n123＋…＋1n＋1Cnn•12n＋1＝1n＋11＋xn＋1 ＝1n＋11＋12n＋1－1n＋1＝1n＋132n＋1－1.
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