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已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．(1)证明：数列{an}是等比数列；(2)若数列{bn}满足bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，且b1＝2，求数列{bn}的通项公式．
题型：解答题难度：中档来源：不详
(1)见解析& (2) bn＝3×n－1－1(n∈N*)．解：(1)证明：由Sn＝4an－3可知，当n＝1时，a1＝4a1－3，解得a1＝1.因为Sn＝4an－3，则Sn－1＝4an－1－3(n≥2)，所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4an－4an－1，整理得an＝an－1，又a1＝1≠0，所以{an}是首项为1，公比为的等比数列．(2)由(1)知an＝n－1，由bn＋1＝an＋bn(n∈N*)，得bn＋1－bn＝n－1.可得bn＝b1＋(b2－b1)＋ (b3－b2)＋…＋(bn－bn－1)＝2＋＝3×n－1－1(n≥2，n∈N*)．当n＝1时上式也满足条件．所以数列{bn}的通项公式为bn＝3×n－1－1(n∈N*)．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝4an－3(n∈N*)．(1)证明：数列{an}..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的定义及性质
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。
发现相似题
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838024837714836503832541795218824165已知等比数列|an|的前n项,前2n项,前3n项的和分别为Sn,S2n,S3n,求证:Sn^2+S2n^2=(S2n+S3n)_百度知道
已知等比数列|an|的前n项,前2n项,前3n项的和分别为Sn,S2n,S3n,求证:Sn^2+S2n^2=(S2n+S3n)
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(q-1)][q^n-1][q^n+1+q^(2n)+q^n+1]=[a&#47,(q-1)][q^(2n)-1+q^(3n)-1]=[a&#47,s(n)不为1时, s(2n) = a[q^(2n) - 1]&#47,命题才成立哈。综合,(q-1),s(n)=na,a(n)=aq^(n-1), s(3n)
= a[q^(3n) - 1]&#47,(q-1)][q^n-1]=s(n)=1时,s(2n)+s(3n) = [a&#47,只有当[a&#47,命题不成立。,命题才成立。q不为1时, 只有当na=1=s(n)时,[s(n)]^2 + [s(2n)]^2 = [a&#47,[s(n)]^2 + [s(2n)]^2 = (na)^2 + (2na)^2 = 5(na)^2,q=1时,(q-1),有当s(n)=1时,s(n)=a[q^n - 1]&#47,总有[s(n)]^2 + [s(2n)]^2 = [s(2n) + s(3n)],(q-1)]^2[q^n-1]^2{1+[q^n + 1]^2},(q-1),(q-1)][q^n-1]{1+[q^n+1]^2},(q-1)]^2 {[q^n-1]^2 + [q^(2n)-1]^2} = [a&#47, s(3n)=3na,(q-1)][q^n-1][(q^n)^2 + 2q^n + 1 + 1]=[a&#47, s(2n)+s(3n)=5na, s(2n)=2na,
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＞＞＞已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2﹣2nx+bn=0（n∈N*）..
已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2﹣2nx+bn=0（n∈N*）的两实根，且a1=1．（1）求证：数列是等比数列；（2）设Sn是数列{an}的前n项和，求Sn；（3）问是否存在常数λ，使得bn＞λSn对任意n∈N*都成立，若存在，求出λ的取值范围，若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：偏难来源：江西省月考题
解：（1）证明：∵an，an+1是关于x的方程x2﹣2nx+bn=0（n∈N*）的两实根，∴∵．故数列是首项为，公比为﹣1的等比数列．（2）由（1）得，即∴=．（3）由（2）得要使bn＞λSn，对n∈N*都成立，即（*）①当n为正奇数时，由（*）式得：即∵2n+1-1＞0，∴对任意正奇数n都成立，故为奇数）的最小值为1．∴λ＜1．②当n为正偶数时，由（*）式得：，即∵2n-1＞0，∴对任意正偶数n都成立，故为偶数）的最小值为．∴．综上所述得，存在常数λ，使得bn＞λSn对n∈N*都成立，λ的取值范围为（﹣∞，1）．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知数列{an}的相邻两项an，an+1是关于x的方程x2﹣2nx+bn=0（n∈N*）..”主要考查你对&&等比数列的定义及性质，等比数列的前n项和&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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等比数列的定义及性质等比数列的前n项和
等比数列的定义：
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做公比，公比通常用字母q表示（q≠0）。 等比数列的性质：
在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
等差数列和等比数列的比较：
如何证明一个数列是等比数列：
证明一个数列是等比数列，只需证明是一个与n无关的常数即可（或an2=an-1an+1）。 等比数列的前n项和公式：
； 等比数列中设元技巧：
已知a1，q，n，an ，Sn中的三个量，求其它两个量，是归结为解方程组问题，知三求二。 注意设元的技巧，如奇数个成等比数列，可设为：…，…（公比为q），但偶数个数成等比数列时，不能设为…，…因公比不一定为一个正数，公比为正时可如此设。
等比数列前n项和公式的变形：q≠1时，（a≠0，b≠0，a+b=0）；
等比数列前n项和常见结论：一个等比数列有3n项，若前n项之和为S1，中间n项之和为S2，最后n项之和为S3，当q≠-1时，S1，S2，S3为等比数列。
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＞＞＞在等差数列{an}中，a1+a2=5，a3=7，记数列{1anan+1}的前n项和为S..
在等差数列{an}中，a1+a2=5，a3=7，记数列{1anan+1}的前n项和为Sn．（1）求数列{an}的通项公式；（2）是否存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S1、SntSn成等比数列？若存在，求出所有符合条件的m，n值；若不存在，请说明理由．
题型：解答题难度：中档来源：广州二模
（1）设等差数列{an}的公差为d，因为a1+a2=-5a3=7，即2a1+d=5a1+2d=7…2解得a1=1d=3…3∴an=a1+（n-1）d=1+3（n-1）=3n-2∴数列{an}的通项公式为an=3n-2（n∈N*）…4（2）∵1anan+1=1(3n-2)(3n+1)=13（13n-2-13n+1）…5∴数列{1anan+1}的前n项和Sn=1a1a2+1a2a3+…+1anan+1=13（1-14）+13（14-17）+13（17-110）+…+13（13n-5-13n-2）+13（13n-2-13n+1）=13（1-13n+1）=n3n+1…7假设存在正整数m、n，且1＜m＜n，使得S1、Sm、Sn成等比数列，则Sm2=S1oSn…8即(m3m+1)2=14×n3n+1…9∴n=4m2-3m2+6m+1，因为n＞0，所以-3m2+6m+1＞0，即3m2-6m-1＜0，因为m＞1，所以1＜m＜1+233＜3，因为m∈N*，所以m=2…12∴存在满意的正整数m=2，n=16，且只有一组解，即数m=2，n=16．
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在等比数列｛an｝中，有 （1）若m+n=p+q，m，n，p，q∈N*，则aman=apaq；当m+n=2p时，aman=ap2； （2）若m，n∈N*，则am=anqm-n； （3）若公比为q，则｛｝是以为公比的等比数列； （4）下标成等差数列的项构成等比数列； （5）1）若a1＞0，q＞1，则｛an｝为递增数列； 2）a1＜0，q＞1， 则｛an｝为递减数列； 3）a1＞0，0＜q＜1，则｛an｝为递减数列； 4）a1＜0， 0＜q＜1， 则｛an｝为递增数列； 5）q＜0，则｛an｝为摆动数列；若q＝1，则｛an｝为常数列。
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