日七年级上整式加减数；学组卷；一．解答题（共30小题）；1．已知a+b=5，ac=4，求（b+c）+2；2．已知+5（x；3．a，b为有理数，且|a5|+（2b+5）=；4．已知x=2时，ax+bx+3的值为8，求x；5．在横线上填入“+”或“”号，使等式成立．；2（1）ab=_________（ba）；（；2（ba）；2
日七年级上整式加减数
一．解答题（共30小题）
1．已知a+b=5，ac=4，求（b+c）+2（b+c）1的值．
2．已知+5（x
3．a，b为有理数，且|a5|+（2b+5）=0，求3a2b的值．
4．已知x=2时，ax+bx+3的值为8，求x=2时，ax+bx5的值．
5．在横线上填入“+”或“”号，使等式成立．
2（1）ab= _________ （ba）；（2）a+b= _________ （b+a）；（3）（ab）=
2233（4）（a+b）=（b+a）；（5）（ab）=（ba）；（6）（33ab）=b+a）．
6．观察下列各式：
=，==，==，
= _________ ； 3322）=，求代数式3+90（x）的值． （1）请思考：= _________ ，
（2）你能发现上面各式的规律吗？请描述出来．
（3）设n为正整数，请你用含有字母n的等式表示上面的规律．
7．有若干根火柴棍，其长为1，摆成如图一系列三角形图案，按这种方式摆下去，它的规律是什么？
8．下列各式哪些是单项式？为什么？
a，πr，x+1，3xyz，23．
9．指出下列各单项式的系数和次数．
3（1）3x；
（2）xyz；
（3）0.12s；
10．已知单项式abc的次数是5，求m的值．
11．多项式ax+ax9x+3xx+1是关于x的二次多项式，求
12．如果多项式4x+4x与3x+2+5x的次数相同，求代数式3n4的值．
13．当k为何值时，多项式4x
|2k1|42n23232m22的值． y+xy5是四次多项式？此时是关于x的几次式？
2m14．已知关于x、y的多项式mx+2xyx3x+2nxy3y合并后不含有二次项，求n的值．
15．已知多项式3x+mx+nxx+3的值与x取值无关，求（2mn）
16．多项式2+xy+xnxy是关于x，y的四次三项式．
（1）求m和n的值；
（2）将这个多项式按字母x降幂顺序排列．
17．如果关于x的多项式x（m2）x+6x（n+1）x+7不含三次项和一次项，求mn+mn．
18．已知多项式5xy+（m2）xy（n+3）xy+5xy中不含xy与xy的项，求m，n的值．
19．一个三位数，百位数是a，十位数是b，个位数是c，且a＞b，把百位数与个位数的位置交换得到一个新的三位数．试说明：原三位数与新三位数的差一定是99的倍数．
20．已知有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简|a|2|a+b|+3|ca|+|b+c|．
21．已知x+xy=2，y+xy=5，求x+xy+y的值．
22．已知a＜0，化简：|a|a|||a1|．
23．已知a、b在数轴上如图所示，化简：2|a+b||ab||ba|+|ba|．
24．已知关于x的整式A、B，且A=3x2mx+3x+2，B=2x+mx+1，如果2A3B的值与x的取值无关，求m的值．
25．马虎在计算A（ab+2bc4ac）时，由于粗心将“A”抄成了“A+”，得到的结果是3ab2ac+5bc，请问正确的结果是多少？
26．已知，一列火车上原有（6a2b）人，中途下车一半人，又上车若干人，使车上共有乘客（10a6b）人．
（1）问上车的乘客是多少人？
（2）当a=200，b=100时，上车的乘客是多少人．
27．已知关于x的方程3a+x=
28．（2012?通州区二模）已知：x5x=6，请你求出代数式10x2x+5的值．
29．已知a、b互为相反数，c、d互为倒数，m的倒数等于它本身，则
的值是多少？
为何值时，
y+xy3是四次多项式． 的解为：x=4，求：a2a+3a4a+5a6a+…+99a100a
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学年云南省昆明一中高三（上）第一次双基检测数学试卷（理科） （Word版含解析）
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学年云南省昆明一中高三（上）第一次双基检测数学试卷（理科）
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|﹣2≤x≤0}，则A∩?RB=（　　）
　 A． ? B． {x∈R|x≠0} C． {x|0＜x≤1} D． R
2．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）
　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（　　）
　 A． r2＜r4＜0＜r3＜r1 B． r4＜r2＜0＜r1＜r3
　 C． r4＜r2＜0＜r3＜r1 D． r2＜r4＜0＜r1＜r3
4．已知双曲线﹣=1的一条渐近线与直线l：2x+y+2=0垂直，则此双曲线的离心率是（　　）
5．有以下四个命题
p1：?x0∈（﹣∞，0），4＜5，
p2：在锐角三角形ABC中，若tanA＞tanB，则A＞B；
p3：?x∈R，cosx0≥1；
p4：?x∈R，x2﹣x+1＞0
其中假命题是（　　）
　 A． p1 B． p2 C． p3 D． p4
6．设x，y满足，则z=x+2y的最小值等于（　　）
　 A． ﹣3 B． 3 C． 6 D． 12
7．已知数列{lg（an+1）}为等差数列，且a1=9，a4=9999，则数列{an}的前3项和S3=（　　）
　 A． 1113 B． 1110 C． 1107 D． 999
8．一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
　 A． 16 B． 20 C．
9．执行如图所示的程序框图，若输出y=2，则输出的x的取值范围是（　　）
B． （12，25] C． （14，26] D．
10．已知四面体ABCD的棱长均为，则下列结论中错误的是（　　）
　 A． AC⊥BD
　 B． 若该四面体的各顶点在同一球面上，则该球的体积为3π
　 C． 直线AB与平面BCD所成的角的余弦值为
　 D． 该四面体的体积为
11．已知函数f（x）=|2x﹣2|，若m≠n，且f（m）=f（n），则m+n的取值范围是（　　）
　 A． （1，+∞） B． （2，+∞） C． （﹣∞，1） D． （﹣∞，2）
12．在△ABC中，D为BC边中点，O为△ABC内一点，且=2+，则=（　　）
C． 2 D． 1
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜），当x=π时，f（x）取最大值，则φ=　　　　　　．
14．现有5人坐成一排，任选其中3人相互调整位置（着3人中任何一人不能做回原来的位置），其余2人位置不变，则不同的调整的方案的种数有　　　　　　．
15．已知抛物线y2=2x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|+|BD|的最小值为　　　　　　．
16．已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+n（n∈N*），则an的最小值是　　　　　　．
三、解答题（共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，已知BC=2，=，sinC=，求BC边上的中线AD的长．
18．已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣2（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=2n+1．
（1）求出数列{an}的通项an和数列{bn}的前n项和Tn；
（2）求数列{}的前n项和Gn．
19．有A，B，C，D，E五位同学参加英语口语竞赛培训，现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次得到的两组数据，这两组数据的样本茎叶图如图所示．
（1）现要从A，B中选派一人参加英语口语竞赛，从平均水平个方差的角度考虑，你认为派哪位同学参加较合适？请说明理由；
（2）若从参加培训的5位同学中任选二人参加英语口语竞赛，求A，B二人都没有参加竞赛的概率．
20．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD是正三角形，AC=BD=2，AB=AD=，O为BC的中点．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A﹣DC﹣B的余弦值．
21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点F为椭圆C的右焦点，过 点F的直线交该椭圆于P，Q两点（P，Q不是长轴的端点），线段PQ的垂直平分线交y轴于点M（0，y0），求y0的取值范围．
22．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x﹣1（a为常数，且a≠0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，e]时，f（x）≤0，求实数a的取值范围．
学年云南省昆明一中高三（上）第一次双基检测数学试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知集合A={x|x2﹣x≤0}，B={x|﹣2≤x≤0}，则A∩?RB=（　　）
　 A． ? B． {x∈R|x≠0} C． {x|0＜x≤1} D． R
考点： 交、并、补集的混合运算．
专题： 集合．
分析： 分别求出关于集合A，集合B的补集，再取交集即可．
解答： 解：∵集合A={x|x2﹣x≤0}={x|0≤x≤1}，
B={x|﹣2≤x≤0}，?RB=（0，+∞）∪（﹣∞，﹣2），
则A∩?RB={x|0＜x≤1}，
点评： 本题考查了集合的交、补集的混合运算，是一道基础题．
2．复数（i是虚数单位）在复平面上对应的点位于（　　）
　 A． 第一象限 B． 第二象限 C． 第三象限 D． 第四象限
考点： 复数代数形式的乘除运算．
专题： 计算题．
分析： 将复数的分子分母同乘以1+i，利用多项式的乘法分子展开，求出对应的点的坐标，判断出所在的象限即可．
解答： 解：由题，所以在复平面上对应的点位于第一象限．
点评： 本题主要考查了复数代数形式的乘除运算，复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，属于基础题．
3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（　　）
　 A． r2＜r4＜0＜r3＜r1 B． r4＜r2＜0＜r1＜r3
　 C． r4＜r2＜0＜r3＜r1 D． r2＜r4＜0＜r1＜r3
考点： 相关系数．
专题： 概率与统计．
分析： 根据题目给出的散点图，先判断是正相关还是负相关，然后根据点的集中程度分析相关系数的大小．
解答： 解：由给出的四组数据的散点图可以看出，
图1和图3是正相关，相关系数大于0，
图2和图4是负相关，相关系数小于0，
图1和图2的点相对更加集中，所以相关性要强，所以r1接近于1，r2接近于﹣1，
由此可得r2＜r4＜r3＜r1．
点评： 本题考查了两个变量的线性相关，考查了相关系数，散点分布在左下角至右上角，说明两个变量正相关；分布在左上角至右下角，说明两个变量负相关，散点越集中在一条直线附近，相关系数越接近于1（或﹣1），此题是基础题．
4．已知双曲线﹣=1的一条渐近线与直线l：2x+y+2=0垂直，则此双曲线的离心率是（　　）
考点： 双曲线的简单性质．
专题： 计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 由双曲线的渐近线斜率即可计算该双曲线的离心率，本题中已知渐近线与直线2x+y+2=0垂直，故=，再利用c2=a2+b2，e=即可得双曲线的离心率．
解答： 解：双曲线﹣=1的一条渐近线方程为y=±x，
∵渐近线与直线2x+y+2=0垂直，故渐近线的斜率为，
即a2=4b2=4（c2﹣a2），即5a2=4c2，e2=
双曲线的离心率e==
点评： 本题考考查了双曲线的标准方程及其几何性质，双曲线渐近线与离心率间的关系，求双曲线离心率的一般方法．
5．有以下四个命题
p1：?x0∈（﹣∞，0），4＜5，
p2：在锐角三角形ABC中，若tanA＞tanB，则A＞B；
p3：?x∈R，cosx0≥1；
p4：?x∈R，x2﹣x+1＞0
其中假命题是（　　）
　 A． p1 B． p2 C． p3 D． p4
考点： 命题的真假判断与应用．
专题： 简易逻辑．
分析： 根据全称命题和特称命题的性质分别进行判断即可．
解答： 解：p1：当x0∈（﹣∞，0），幂函数f（x）=x在（0，+∞）上为减函数，∴4＞5，错误．命题为假命题
p2：在锐角三角形ABC中，函数y=tanx为增函数，若tanA＞tanB，则A＞B；正确，命题为真命题．
p3：?x=2kπ，k∈Z，有cosx0≥1成立；正确，命题为真命题．
p4：?x∈R，x2﹣x+1=（x﹣）2+＞0，正确，命题为真命题．
故p1是假命题，
点评： 本题主要考查命题的真假判断，根据全称命题和特称命题的性质是解决本题的关键．
6．设x，y满足，则z=x+2y的最小值等于（　　）
　 A． ﹣3 B． 3 C． 6 D． 12
考点： 简单线性规划．
专题： 不等式的解法及应用．
分析： 作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．
解答： 解：作出不等式组对应的平面区域，
由z=x+2y，得y=，平移直线y=，由图象可知当直线经过点C时，
直线y=的截距最小，此时z最小，
由，得，即C（1，1）
此时z=1+2×1=3．
点评： 本题主要考查线性规划的应用，利用图象平行求得目标函数的最小值，利用数形结合是解决线性规划问题中的基本方法．
7．已知数列{lg（an+1）}为等差数列，且a1=9，a4=9999，则数列{an}的前3项和S3=（　　）
　 A． 1113 B． 1110 C． 1107 D． 999
考点： 等差数列的前n项和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： 根据等差数列的通项公式进行求解即可．
解答： 解：∵数列{lg（an+1）}为等差数列，
∴设数列{lg（an+1）}为等差数列的公差为d，
则lg（a4+1）=lg（a1+1）+3d，
即lg10000=lg10+3d，
则4=1+3d，解得d=1，
则lg（an+1）=lg10+n﹣1=1+n﹣1=n，
则an+1=10n，
则an=10n﹣1，
则数列{an}的前3项和S3=10﹣1+102﹣1+103﹣1=7，
点评： 本题主要考查数列求和的计算，根据等差数列求出数列的通项公式是解决本题的关键．
8．一个组合体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（　　）
　 A． 16 B． 20 C．
考点： 由三视图求面积、体积．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 由已知中的三视图，可知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和四棱柱的组合体，求出它们的体积，相加可得答案．
解答： 解：由已知中的三视图，可知该几何体是以俯视图为底面的四棱锥和四棱柱的组合体，
其底面面积S=2×2=4，
棱柱的高h=4，
棱锥的高h=5﹣4=1，
∴棱柱的体积为4×4=16，
棱锥体积为×4×1=，
故组合体的体积V=16+=，
点评： 本题考查的知识点是由三视图求体积和表面积，解决本题的关键是得到该几何体的形状．
9．执行如图所示的程序框图，若输出y=2，则输出的x的取值范围是（　　）
B． （12，25] C． （14，26] D．
考点： 程序框图．
专题： 图表型；算法和程序框图．
分析： 由框图知，此程序输出的y是循环次数，循环退出的条件是x＞51，由此关系得出不等式，求出x的取值范围即可．
解答： 解：当输出y=2时，应满足，得12＜x≤25．
点评： 本题考查循环结构，解题的关键是根据框图得出其运算律，从而得到x所满足的不等式，解不等式求出要求的范围，由运算规则得出不等式组是本题的难点．
10．已知四面体ABCD的棱长均为，则下列结论中错误的是（　　）
　 A． AC⊥BD
　 B． 若该四面体的各顶点在同一球面上，则该球的体积为3π
　 C． 直线AB与平面BCD所成的角的余弦值为
　 D． 该四面体的体积为
考点： 棱锥的结构特征．
专题： 空间位置关系与距离．
分析： 分别对A、B、C、D各个选项进行判断即可．
解答： 解：对于A，如图②：
在等边三角形BCD中，BM为CD边上的高，再在四面体ABCD中，过A作AH⊥平面BCD于点H，
则H为底面正三角形BCD的重心，
∴DB⊥AH，BD垂直于过CH的直线，CH、AH交于H，
∴BD⊥平面ACH，
∴BD⊥AC，
对于选项B，如图①：
将四面体补成正方体，则正方体的棱长是1，
正方体的对角线长为：，
则此球的体积为：π×（）3=π，
对于选项C，如图②：
在等边三角形BCD中，BM为CD边上的高，再在四面体ABCD中，过A作AH⊥平面BCD于点H，
则H为底面正三角形BCD的重心，则∠ABH=α，就是AB在平面BCD所成角，
棱长为，由BM为CD边上的高，
则BM=，在Rt△ABH中，则BH=BM
∴cosα===，
对于D，如图②：
由选项C得：AH==，
S△BCD=×BM×DC=××=，
VA﹣BCD=××=，
点评： 本题是中档题，考查空间想象能力，考查四面体的体积公式，选项B的判断较难，正四面体的外接球转化为正方体外接球，使得问题的难度得到降低，问题得到解决，注意正方体的对角线就是球的直径，也是比较重要的，选项D和选项C联合判断即可．
11．已知函数f（x）=|2x﹣2|，若m≠n，且f（m）=f（n），则m+n的取值范围是（　　）
　 A． （1，+∞） B． （2，+∞） C． （﹣∞，1） D． （﹣∞，2）
考点： 指数函数的图像变换．
专题： 函数的性质及应用；不等式的解法及应用．
分析： 由题意f（x）=|2x﹣2|，由f（m）=f（n），可得2﹣2m=2n﹣2，故2m+2n=4，
再利用基本不等式求解．
解答： 解：不妨设m＜n，
由f（m）=f（n），可得2﹣2m=2n﹣2，
∴2m+2n=4，
∴4=2m+2n=≥，
当且仅当2m=2n时，即m=n时取等号，而m≠n，故上述等号不成立，
∴2m+n＜4，
∴m+n的取值范围是（﹣∞，2）
点评： 此题考查了利用绝对值的性质脱去绝对值，同时考查基本不等式的应用，注意，利用基本不等式要验证等号成立的条件．
12．在△ABC中，D为BC边中点，O为△ABC内一点，且=2+，则=（　　）
C． 2 D． 1
考点： 向量在几何中的应用；向量加减混合运算及其几何意义．
专题： 平面向量及应用．
分析： 先根据所给的式子进行变形，再由题意和向量加法的四边形法则，得到 ，即：．结合三角形的面积关系判断四个小三角形的面积都相等即可．
解答： 解：由=2+，得﹣=2，
∵D为BC边中点，
即O是AD的中点，
则S△AOB=S△ODB，S△AOC=S△ODC，S△OBD=S△ODC，
即四个小三角形的面积都相等，
点评： 本题主要考查向量在几何中的应用，根据向量的加法法则，求出O是AD的中点是解决本题的关键．
二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）
13．已知函数f（x）=Asin（x+φ）（A＞0，|φ|＜），当x=π时，f（x）取最大值，则φ=　﹣　．
考点： 正弦函数的图象．
专题： 三角函数的图像与性质．
分析： 由题意可得+φ=2kπ+，k∈Z，再结合|φ|＜，可得φ 的值．
解答： 解：由题意可得+φ=2kπ+，k∈Z，即 φ=2kπ﹣，再结合|φ|＜，可得φ=﹣，
故答案为：﹣．
点评： 本题主要考查正弦函数的最值，属于基础题．
14．现有5人坐成一排，任选其中3人相互调整位置（着3人中任何一人不能做回原来的位置），其余2人位置不变，则不同的调整的方案的种数有　20　．
考点： 计数原理的应用．
专题： 排列组合．
分析： 先考虑从5人中任选3人的方法数，再考虑3人位置全调的方法数，利用分步计数原理可求．
解答： 解：从5人中任选3人有C53种，3人位置全调，由于不能是自己原来的位置，因此有A22种，故有C53A22=20种．
故答案为：20．
点评： 本题主要考查排列组合知识，关键是问题的等价转化．
15．已知抛物线y2=2x，过焦点F的直线与抛物线交于A，B两点，过A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D，则|AC|+|BD|的最小值为　1　．
考点： 抛物线的简单性质．
专题： 圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： 求得抛物线的焦点和准线方程，由抛物线的定义，可得|AC|+|BD|=|AF|+|BF|﹣1=|AB|﹣1，求得|AB|的最小值即可．
解答： 解：抛物线y2=2x的焦点F（，0），准线方程为x=﹣，
由抛物线的定义可得，|AF|=|AC|+，|BF|=|BD|+，
即有|AC|+|BD|=|AF|+|BF|﹣1
=|AB|﹣1，
当直线AB⊥x轴时，|AB|最小．
令x=，则y2=1，解得y=±1，
即有|AB|min=2，
则|AC|+|BD|的最小值为1．
故答案为：1．
点评： 本题考查抛物线的定义、方程和性质，主要考查定义法及运算能力，属于中档题．
16．已知数列{an}满足a1=2，an+1=an+n（n∈N*），则an的最小值是　2　．
考点： 数列递推式．
专题： 点列、递归数列与数学归纳法．
分析： 通过an+1=an+n可知数列{an}是递增数列，进而可得结论．
解答： 解：∵an+1=an+n，∴an+1﹣an=n＞0，
∴数列{an}是递增数列，
∴an的最小值即为a1=2，
故答案为：2．
点评： 本题考查数列的简单性质，注意解题方法的积累，属于基础题．
三、解答题（共6小题，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
17．在△ABC中，已知BC=2，=，sinC=，求BC边上的中线AD的长．
考点： 解三角形．
专题： 解三角形．
分析： 首先利用余弦定理求出AC和AB的长度，然后在△ACD中利用余弦定理求出AD的长度．
解答： 解：因为sinC=，C是三角形的内角，所以cosC=，设AB=3x，AC=4x，3x+4x＞2，则＜x＜2，
所以由余弦定理得到16x2+4﹣16x×=9x2，解得x=1或x=，
所以AB=3，AC=4或者AB=，AC=；
当AC=4时，在△ACD中，AD2=AC2+CD2﹣2AC×CDcosC=16+1﹣=，所以AD=；
当AC=时，在△ACD中，AD2=AC2+CD2﹣2AC×CDcosC==，所以AD=．
点评： 本题主要考查了余弦定理在解三角形中的应用，关键是熟练运用余弦定理．
18．已知数列{an}的前n项和Sn=2an﹣2（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，且bn=2n+1．
（1）求出数列{an}的通项an和数列{bn}的前n项和Tn；
（2）求数列{}的前n项和Gn．
考点： 数列的求和．
专题： 等差数列与等比数列．
分析： （1）通过Sn=2an﹣2与Sn+1=2an+1﹣2作差、整理得an+1=2an，进而可知数列{an}的通项an=2n；利用等差数列的求和公式计算可得Tn=n（n+2）；
（2）通过（1）、裂项可知=（﹣），并项相加即得结论．
解答： 解：（1）∵Sn=2an﹣2（n∈N*），
∴Sn+1=2an+1﹣2，
两式相减得：an+1=2an+1﹣2an，
整理得：an+1=2an，
又∵a1=2a1﹣2，即a1=2，
∴an=2?2n﹣1=2n；
∵bn=2n+1，
∴Tn==n（n+2）；
（2）由（1）得==（﹣），
∴Gn=（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）
=（1+﹣﹣）
点评： 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．
19．有A，B，C，D，E五位同学参加英语口语竞赛培训，现分别从A，B二人在培训期间参加的若干次预赛成绩中随机抽取8次得到的两组数据，这两组数据的样本茎叶图如图所示．
（1）现要从A，B中选派一人参加英语口语竞赛，从平均水平个方差的角度考虑，你认为派哪位同学参加较合适？请说明理由；
（2）若从参加培训的5位同学中任选二人参加英语口语竞赛，求A，B二人都没有参加竞赛的概率．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；茎叶图．
专题： 概率与统计．
分析： （1）根据所给的数据做出两个人的平均数和方差，把平均数和方差进行比较，得到两个人的平均数相等，然后根据方差是反映稳定程度的，比较方差，越小说明越稳定；
（2）从5人中任意派两人的可能情况有10种，每种结果出现的可能性相同，记“A，B二人都没有参加竞赛”为事件M，则M包含的结果有3种，由等可能事件的概率可求．
解答： 解：（1）派B参加比较合适．理由如下：
=（75+80+80+83+85+90+92+95）=85，
=（78+79+80+83+85+90+92+95）=85，
∵=，S2B＜S2A，
∴B的成绩较稳定，派B参加比较合适．
（2）从参加培训的5位同学中任派两个共有：
（A，B），（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），
（B，D），（B，E），（C，D），（C，E），（D，E）共10种情况；
A、B两人都不参加（C，D），（C，E），（D，E）有3种．
所以A，B二人都没有参加竞赛的概率P=
点评： 对于两组数据，通常要求的是这组数据的方差和平均数，用这两个特征数来表示分别表示两组数据的特征，即平均水平和稳定程度．
20．在三棱锥A﹣BCD中，底面BCD是正三角形，AC=BD=2，AB=AD=，O为BC的中点．
（1）求证：AO⊥平面BCD；
（2）求二面角A﹣DC﹣B的余弦值．
考点： 直线与平面垂直的判定；棱锥的结构特征．
专题： 空间位置关系与距离；空间角．
分析： （1）由已知得AO⊥BD，AO⊥CO，由此能证明AO⊥平面BCD．
（2）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角A﹣DC﹣B的余弦值．
解答： 解：（1）证明：∵在三棱锥A﹣BCD中，
底面BCD是正三角形，O为BD的中点，
∴AO⊥BD，
连结CO，∵AC=BD=2，AB=AD=，
∴AO==1，CO=，
∴AO2+CO2=AC2，∴AO⊥CO，
又BD∩CO=O，∴AO⊥平面BCD．
（2）解：以O为原点，OB为x轴，
OC为y轴，OA为z轴，
建立空间直角坐标系，
A（0，0，1），D（﹣2，0，0），
C（0，，0），B（1，0，0），
=（﹣2，0，﹣1），=（0，，﹣1），
设平面ADC的法向量 =（x，y，z），
则 ，取x=1，得 =（1，﹣，﹣2），
平面BDC的法向量 =（0，0，1），
cos＜，＞==﹣，
∵二面角A﹣DC﹣B是锐二面角，
∴二面角A﹣DC﹣B的余弦值为．
点评： 本题考查直线与平面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意向量法的合理运用，属于中档题．
21．已知椭圆C：+=1（a＞b＞0）的短轴长为2，且离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）设点F为椭圆C的右焦点，过 点F的直线交该椭圆于P，Q两点（P，Q不是长轴的端点），线段PQ的垂直平分线交y轴于点M（0，y0），求y0的取值范围．
考点： 椭圆的简单性质．
专题： 直线与圆；圆锥曲线的定义、性质与方程．
分析： （1）由题意可得b=，e==，a2﹣b2=c2，解方程可得a=2，进而得到椭圆方程；
（2）分类讨论，设直线MN的方程为y=k（x﹣1）（k≠0），代入椭圆方程，求出线段MN的垂直平分线方程，令x=0，得y0==，利用基本不等式，即可求y的取值范围．
解答： 解：（1）由短轴长为2，且离心率为．
可得b=，e==，a2﹣b2=c2，
解得a=2，c=1．
则椭圆的方程为+=1；
（2）当PQ⊥x轴时，显然y0=0．
当PQ与x轴不垂直时，可设直线PQ的方程为y=k（x﹣1）（k≠0）．
由消去y整理得（3+4k2）x2﹣8k2x+4（k2﹣3）=0．
设P（x1，y1），Q（x2，y2），线段PQ的中点为D（x3，y3），
则x1+x2=．
所以x3==，y3=k（x3﹣1）=，
线段PQ的垂直平分线方程为y+=﹣（x﹣），
在上述方程中令x=0，得y0==
当k＜0时，+4k≤﹣4；当k＞0时，+4k≥4．
所以﹣≤y0＜0，或0＜y0≤．
综上y0的取值范围是．
点评： 本题考查椭圆的方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理的运用，考查基本不等式的运用，确定线段MN的垂直平分线方程是关键．
22．已知函数f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x﹣1（a为常数，且a≠0）．
（Ⅰ）当a=1时，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈（0，e]时，f（x）≤0，求实数a的取值范围．
考点： 利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
专题： 导数的综合应用．
分析： （Ⅰ）把a=1代入函数解析式，求其导函数，由导函数的符号确定原函数的单调区间；
（Ⅱ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点1和，然后分多种情况进行讨论，求出函数在（0，e]上的最大值，由最大值小于等于0求得a的范围，最后去并集得答案．
解答： 解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=lnx+x2﹣3x﹣1，
=（x＞0），
当x，（1，+∞）时，f′（x）＞0，
当x时，f′（x）＜0．
∴f（x）在上为增函数；在上为减函数；
（Ⅱ）由f（x）=lnx+ax2﹣（2a+1）x﹣1，得
令g（x）=（x﹣1）（2ax﹣1），
当a=0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0．x∈（1，e）时f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，e]上有最大值为f（1）=﹣a﹣2．
由﹣a﹣2≤0，得a≥﹣2，∴a=0；
当，即时，g（x）≥0，f′（x）≥0，
函数f（x）在（0，e]上得到递增，当x=e时函数有最大值为lne+ae2﹣（2a+1）e﹣1=ae2﹣2ae﹣e，
由ae2﹣2ae﹣e≤0，得a．∴；
当＜0，即a＜0时，若x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，e），f′（x）＜0，
∴在（0，e]上有最大值为f（1）=ln1+a﹣2a﹣1﹣1=﹣a﹣2．
由﹣a﹣2≤0，得a≥﹣2．∴﹣2≤a＜0；
当0＜＜1，即a时，x∈（0，），（1，e）时，f′（x）＞0．x∈时f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，e]上有最大值为f（）与f（e）的最大者，
f（e）=ae2﹣2ae﹣e，f（e）＞，
∴函数f（x）在（0，e]上有最大值为ae2﹣2ae﹣e，由ae2﹣2ae﹣e≤0，得a．
当1＜＜e，即＜a＜时，x∈（0，1），（，e）时，f′（x）＞0．x∈时f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，e]上有最大值为f（1）与f（e）的最大者，
f（1）=ln1+a﹣2a﹣1﹣1=﹣a﹣2，f（e）=ae2﹣2ae﹣e，
由，解得：，∴；
当≥e，即0时，x∈（0，1）时，f′（x）＞0．x∈（1，e）时f′（x）＜0，
∴函数f（x）在（0，e]上有最大值为f（1）=﹣a﹣2．
由﹣a﹣2≤0，得a≥﹣2，∴0．
综上，实数a的取值范围是．
点评： 本题考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，考查了学生的计算能力，正确分类是解答该题的关键，属于难度较大的题目．
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