已知 f(x)=x+
-3，&x∈[1，2] ．（1）b=2时，求f（x）的值域；（2）若b为正实数，f（x）的最大值为M，最小值为m，且满足：M-m≥4，求b的取值范围．
（1）当b=2时， f(x)=x+
-3，x∈[1，2] ，因为f（x）在 [1，
] 上单调递减，在 [
，2] 上单调递增，…（2分）所以f（x）的最小值为 f(
-3 ，…（4分）又因为f（1）=f（2）=0…（5分）所以f（x）的值域为 [2
-3，0] …（6分）（2）①当0＜b＜2时，f（x）在[1，2]上单调递增，则m=b-2， M=
-1 ，此时 M-m=-
+1≥4 ，得b≤-6与0＜b＜2矛盾（舍去）…（8分）②当2≤b＜4时，f（x）在 [1，
] 上单调递减，在 [
，2] 上单调递增，所以 M=max{f(1)，f(2)}=b-2，m=f(
-3 ，则 M-m=b-2
+1≥4 ，得 (
≥4 ，解得b≥9，与2≤b＜4矛盾（舍去）…（11分）③当b≥4时，f（x）在[1，2]上单调递减，则M=b-2， m=
-1 ，此时 M-m=
-1≥4 ，得b≥10…（13分）综上所述，b的取值范围是[10，+∞）…（14分）
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扫描下载二维码已知函数f（x）=xolnx，g（x）=ax3-．（1）求f（x）的单调增区间和最小值；（2）若函数y=f（x）与函数y=g（x）在交点处存在公共切线，求实数a的值；（3）若x∈（0，e2]时，函数y=f（x）的图象恰好位于两条平行直线l1：y=kx；l2：y=kx+m之间，当l1与l2间的距离最小时，求实数m的值．
字母劢狵松杂
（1）因为f'（x）=lnx+1，由f'（x）＞0，得，所以f（x）的单调增区间为，又当时，f'（x）＜0，则f（x）在上单调减，当时，f'（x）＞0，则f（x）在上单调增，所以f（x）的最小值为．&（2）因为f'（x）=lnx+1，2-12，设公切点处的横坐标为x°，则与f（x）相切的直线方程为：y=（lnx°+1）x-x°，与g（x）相切的直线方程为：°2-12)x-2ax°3-23e，所以°+1＝3ax°2-12-x°＝-2ax°3-23e，解之得°lnx°＝-1e，由（1）知°＝1e，所以26．&（3）若直线l1过（e2，2e2），则k=2，此时有lnx°+1=2（x°为切点处的横坐标），所以x°=e，m=-e，当k＞2时，有l2：y=（lnx°+1）x-x°，l1：y=（lnx°+1）x，且x°＞2，所以两平行线间的距离°1+(lnx°+1)2，令h（x）=xlnx-（lnx°+1）x+x°，因为h'（x）=lnx+1-lnx°-1=lnx-lnx°，所以当x＜x°时，h'（x）＜0，则h（x）在（0，x°）上单调减；当x＞x°时，h'（x）＞0，则h（x）在°，e2)上单调增，所以h（x）有最小值h（x°）=0，即函数f（x）的图象均在l2的上方，令2ln2x+2lnx+2，则2x+4xlnx+4x-2xlnx-2x(ln2x+2lnx+2)2＝2xln2x+2xlnx+2x(ln2x+2lnx+2)2＞0，所以当x＞x°时，t（x）＞t（x°），所以当d最小时，x°=e，m=-e．
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（1）求出f（x）的导数，求得单调区间和极值，也为最值；（2）分别求出导数，设公切点处的横坐标为x°，分别求出切线方程，再联立解方程，即可得到a；（3）求出两直线的距离，再令h（x）=xlnx-（lnx°+1）x-x°，求出导数，运用单调性即可得到最小值，进而说明当d最小时，x°=e，m=-e．
本题考点：
利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．
考点点评：
本题考查导数的运用：求切线方程、求单调区间和极值、最值，考查两直线的距离和构造函数运用导数判断单调性，再运用求最值，考查运算能力，属于中档题和易错题．
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