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什么是琴生不等式
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琴生（Jensen）不等式（也称为詹森不等式）：（注意前提、等号成立条件） 　　设f(x)为凸函数,则f[(x1+x2+……+xn)/n]≥[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(上凸);设f(x)为凹函数,f[(x1+x2+……+xn)/n]≤[f(x1)+f(x2)+……+f(xn)]/n(下凸),称为琴生不等式（幂平均）. 　　加权形式为： 　　f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≤a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(下凸);f[(a1*x1+a2*x2+……+an*xn)]≥a1f(x1)+a2f(x2)+……+anf(xn)(上凸),其中 　　ai≥0(i=1,2,……,n),且a1+a2+……+an=1. 　　凸函数的概念： 　　【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≥f((x1+x2)/2),那么f(x)为凸函数,或下凸函数. 　　【定义】如果函数f(x)满足对定义域上任意两个数x1,x2都有(f(x1)+f(x2))/2≤f((x1+x2)/2),那么f(x)为凹函数,或上凸函数. 　　同样,如果不等式中等号只有x1=x2时才成立,我们分别称它们为严格的凹凸函数 　　琴生不等式说, 　　对于任意的凸函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n) 　　对于任意的凹函数f(x)以及其定义域上n个数x1,x2,...,xn,那么都有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≤f((x1+x2+...+xn)/n) 　　如果上面凹凸是严格的,那么不等式的等号只有x1=x2=...=xn才成立 　　现在我们看看如何证明琴生不等式,下面只对凸函数加以证明. 　　首先我们对n是2的幂加以证明,用数学归纳法 　　假设对于n=2^k琴生不等式成立,那么对于n=2^(k+1) 　　(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n 　　=((f(x1)+f(x2)+...+f(x(n/2)))/(n/2)+(f(x(n/2+1))+...+f(xn))/(n/2))/2 　　≥(f(（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2))+f((x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2 　　≥f(((（(x1+x2+...+x(n/2)）/(n/2)+(x(n/2+1)+...+xn)/(n/2)))/2) 　　=f((x1+x2+...+xn)/n) 　　所以对于所有2的幂,琴生不等式成立. 　　现在对于一个普通的n,如果n不是2的幂,我们可以找到一个k,使得2^k>n 　　然后我们设 　　x(n+1)=x(n+2)=...=x(2^k)=(x1+x2+...+xn)/n 　　代入2^k阶的琴生不等式结论,整理后就可以得到结论. 　　现在看看如何使用琴生不等式证明平方平均不等式 　　(x1^2+x2^2+...+xn^2)/n>=[(x1+x2+...+xn)/n]^2 　　显然,我们可以查看函数f(x)=x^2 　　由于 　　(f(x1)+f(x2))/2=(x1^2+x2^2)/2=(2x1^2+2x2^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2+(x1-x2)^2)/4≥(x1^2+x2^2+2x1x2)/4=((x1+x2)/2)^2 　　所以f(x)=x^2是凸函数 　　所以我们可以得到,对于任意x1,x2,...,xn, 　　有(f(x1)+f(x2)+...+f(xn))/n≥f((x1+x2+...+xn)/n) 　　也就是n阶平方平均不等式. 　　从上面证明过程我们知道通常情况用初等方法判断函数的凹凸性比较麻烦. 　　不过如果利用数学分析我们可以有个非常方便的结论. 　　如果f(x)二阶可导,而且f''(x)≥0,那么f(x)是下凸函数(凸函数） 　　如果f(x)二阶可导,而且f''(x)≤0,那么f(x)是上凸函数(凹函数) 　　至于这个证明,只要使用f(x)的泰勒展开式,利用其二阶余项就可以证明的.（或者构造一个函数采用中值定理） 　　有了这个结论以后,使用琴生不等式就非常方便了, 　　现在我们可以非常容易的证明一般情况的平均不等式 　　比如 　　i)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≥((x1+x2+...+xn)/n)^t, (t>1时） 　　ii)(x1^t+x2^t+...+xn^t)/n≤((x1+x2+...+xn)/n)^t, (0
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请问琴生不等式是什么? 请问琴生不等式是什么?
紫兰梦惜0709
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您使用浏览器不支持直接复制的功能，建议您使用Ctrl+C或右键全选进行地址复制&概念/基本不等式
即√(ab)≤(a+b)/2&(a≥0,b≥0)变形&ab≤((a+b)/2)^2a^2+b^2≥2ab（当且仅当a=b时，等号成立）其中，以下√表示根号(3√)表示三次根号，^表示指数 \
证明/基本不等式
如果a、b都为实数，那么a^2+b^2≥2ab，当且仅当a=b时等号成立&　　证明如下：&　　基本不等式∵（a-b)^2≥0&　　∴a^2+b^2-2ab≥0&　　∴a^2+b^2≥2ab&　　如果a、b、c都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c时等号成立&　　如果a、b都是正数，那么（a+b）/2&≥√ab&，当且仅当a=b时等号成立。（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b时等号成立。）&　　
应用/基本不等式
和定积最大：当a+b=S时，ab≤S^2/4（a=b取等）&　　积定和最小：当ab=P时，a+b≥2√P（a=b取等）&　　均值不等式：如果a,b&都为正数，那么√((&a^2+b^2)/2)≥（a+b）/2&≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b时等号成立。）&　　(&其中√((&a^2+b^2)/2)叫正数a,b的也叫正数a,b的加权平均数；（a+b）/2叫正数a,b的算数平均数；√ab正数a,b的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b的调和平均数。）&　　：不等号相同的两个或几个不等式叫同向不等式，例：2x+5&3与3x-2&5是同向不等式&　　：不等号相反的两个不等式叫异向不等式。&　　基本不等式：不等式中对于字母所能取的一切允许值不等式都成立，这样的不等式叫绝对不等式，例：X^2+3&0，√X+1&-1等都是绝对不等式。&　　：不等式中，对于字母所能取的一切允许值不等式都不成立，这样的不等式叫矛盾不等式&　　：不等式中对于字母所能取的某些允许值不等式能成立面对字母所能取的另外一些允许值不等式不能成立，这样的不等式叫条件不等式。例：3X+5&0&lg－&1等都是条件不等式。
推广（均值不等式）/基本不等式
设a1、a2、a3、…、an都是正实数，则基本不等式可推广为均值不等式：
（当且仅当a1=a2=a3=…an时取等号）
其他不等式/基本不等式
&　　&　　&　　基本不等式&　　&　　　&　　&　　
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