高等数学之极限存在准则及其应用--《科技风》2014年05期
高等数学之极限存在准则及其应用
【摘要】：本文通过极限存在准则研究了斐波那契数列和黄金分割,并介绍了斐波那契数列和黄金分割在生活中的应用。
【作者单位】：
【关键词】：
【基金】：
【分类号】：O171-4;G642【正文快照】：
本文先介绍了极限存在准则及其对应的例题,通过观察数学模型的建立,逐步培养学生运用数学知识解决实际问题的能力,并欣赏瑰丽的数学世界,培养学生的美学意识。一、准备知识(一)数列极限的定义定义:自变量取正整数的函数称为数列,记作:xn=f n或xn姨姨,xn称为通项(一般项)。若数
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极限存在准则的一种证明方法(3)xxxx2)1(lim+∞→;；解[]222)11(lim)1(limexxxx；(4)kxxx)11(lim?∞→(k为正整数)；解kkxxkxxexx???∞→∞→=?+=?)；3.根据函数极限的定义,证明极限存在的准则I′.；4.利用极限存在准则证明:；(1)111lim=+∞→；证明因为nn11111+&+&,；而且11lim
(3)xxxx2)1(lim+∞→;
解[]222)11(lim)1(limexxxxxxx=+=+∞→∞→.
(4)kxxx)11(lim?∞→(k为正整数).
解kkxxkxxexx???∞→∞→=?+=?))(()11(lim)11(lim.
3. 根据函数极限的定义, 证明极限存在的准则I′.
4. 利用极限存在准则证明:
(1)111lim=+∞→
证明因为nn11111+&+&,
而 且11lim=∞→n1)11(lim=+∞→nn,
由极限存在准则I, 111lim=+∞→nn.
(2)()11 211lim222=++???++++∞→πππ
()πππππ+&++???++++&+nnnnnnnnnn,
而 1lim22=+∞→πnnnn, 1lim22=+∞→πnnn,
所以 ()11 211lim222=++???++++∞→πππnnnnnn.
(3)数列2, 22+, 222++, ? ? ? 的极限存在;
证明21=x, nnxx+=+21(n=1, 2, 3, ? ? ?).
先证明数列{x}有界. 当n=1时221&=x, 假定n=k时x&2, 当n=k+1时,
22221=+&+=+kkxx,
所以x&2(n=1, 2, 3, ? ? ?), 即数列{x}有界.
再证明数列单调增.
nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx+++??=++?+=?+=?+2)1)(2(22221,
而x?2&0, x+1&0, 所以xnnn+1?x&0, 即数列{x}单调增.
因为数列{x}单调增加有上界, 所以此数列是有极限的.
(4)11lim0=+→
证明当|x|≤1时, 则有
1+x≤1+|x|≤(1+|x|),
1+x≥1?|x|≥(1?|x|),
从而有||11||1xxxn+≤+≤?.
因为 , 1|)|1(lim|)|1(lim00=+=?→→xxxx
根据夹逼准则, 有
11lim0=+→nxx.
(5)[]11lim0=+→xxx.
证明因为[]xxx1111≤&?, 所以[]111≤&?xxx.
又因为, 根据夹逼准则, 有11lim)1(lim00==?++→→xxx[]11lim0=+→xxx.
1. 当x→0时, 2x?x与x?x相比, 哪一个是高阶无穷小？
解因为02lim2lim202320=??=??→→xxxxxxxxx,
所以当x→0时, x?x是高阶无穷小, 即x?x=o(2x?x).
2. 当x→1时, 无穷小1?x和(1)1?x, (2))1(212x?是否同阶？是否等价？
解 (1)因为3)1(lim1)1)(1(lim11lim212131=++=?++?=??→→→xxxxxxxxxxx,
所以当x→1时, 1?x和1?x是同阶的无穷小, 但不是等价无穷小.
(2)因为1)1(lim211)1(21lim121=+=??→→xxxxx,
所以当x→1时, 1?x和)1(212x?是同阶的无穷小, 而且是等价无穷小.
3. 证明: 当x→0时, 有:
(1) arctanx~x;
(2)2~1sec2xx?.
证明 (1)因为1tanlimarctanlim00==→→yyxxyx(提示: 令y=arctan x, 则当x→0时, y →0),
所以当x→0时, arctanx~x.
(2)因为()122sin2lim22sin2limcoscos1lim2211seclim===?=?→→→→xxxxxxxxxxxxx,
所以当x→0时, 2~1sec2xx?.
4. 利用等价无穷小的性质, 求下列极限:
(1)xxx23tanlim0→;
(2)mnxxx)(sin)sin(lim0→(n, m为正整数);
(3)xxxx30sinsintanlim?→;
(4))1sin1)(11(tansinlim320?+?+?→xxxxx.
解 (1)2323lim23tanlim00==→→xxxxxx.
(2) ?????&∞&===→→mnmnmnxxxxmnxmnx 0 1lim)(sin)sin(lim00.
(3)21cos21limsincoscos1limsin)1cos1(sinlimsinsintanlim==?=?=?→→→→xxxxxxxxxxxxxxxx.
~2sintan2)1(costantansinxxxxxxxxx?=???=?=?(x→0),
~11)1(11xxxxx++++=?+(x→0),
xxxxx~sin~1sin1sin1sin1++=?+(x→0),
所以 33121lim)1sin1)(11(tansinlim230320?=??=?+?+?→→xxxxxxxxx.
5. 证明无穷小的等价关系具有下列性质:
(1) α ~α (自反性);
(2) 若α ~β, 则β~α(对称性);
(3)若α ~β, β~γ, 则α~γ(传递性).
证明 (1)1lim=αα, 所以α ~α ;
(2) 若α ~β, 则1lim=βα, 从而1lim=αβ. 因此β~α ;
(3) 若α ~β, β~γ, 1limlimlim=?=βαγβγα. 因此α~γ.
1. 研究下列函数的连续性, 并画出函数的图形:
(1); ???≤&?≤≤=21 210 )(2xxxxxf
(2). ???&≤≤?=1|| 111 )(xxxxf
解 (1)已知多项式函数是连续函数, 所以函数f(x)在[0, 1)和(1, 2]内是连续的.
在x=1处, 因为f(1)=1, , ? 1lim)(lim211==??→→xxfxx1)2(lim)(lim11=?=++→→xxfxx
所以, 从而函数f(x)在x=1处是连续的. 1)(lim1=→xfx
综上所述，函数f(x)在[0, 2]上是连续函数.
(2)只需考察函数在x=?1和x=1处的连续性.
在x=?1处, 因为f(?1)=?1, , , 所以函数在x=?1处间断, 但右连
续. )1(11lim)(lim11?≠==???→?→fxfxx)1(1lim)(lim11?=?==++?→?→fxxfxx
在x=1处, 因为f(1)=1, =f(1), =f(1), 所以函数在x=1处连续.
1lim)(lim11==??→→xxfxx11lim)(lim11==++→→xxxf
综合上述讨论, 函数在(?∞, ?1)和(?1, +∞)内连续, 在x=?1处间断, 但右连续.
2. 下列函数在指出的点处间断, 说明这些间断点属于哪一类, 如果是可去间断点, 则补充或改变函数的定义使它连续:
(1)23122+??=xxxy, x=1, x=2;
(2)xxytan=, x=k, 2ππ+=kx (k=0, ±1, ±2, ? ? ?);
(3),1cos2xy= x=0;
(4), x =1. ???&?≤?=1 31 1xxxxy
解 (1))1)(2()1)(1(23122???+=+??=xxxxxxxy. 因为函数在x=2和x=1处无定义, 所以x=2和x=1是函数的间断点.
因为∞=+??=→→231limlim2222xxxyxx, 所以x=2是函数的第二类间断点;
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