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【悖论大集合】人类史上的那些经典悖论
悖论，亦作吊诡或诡局（在有些场合“佯谬”是悖论的别名），是指一种导致矛盾的命题。悖论的英文paradox一词，来自希腊语“para+dokein”，意思是“多想一想”。 如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。 古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。英文paradox其实亦有“似非而是”的解释。即是用普通常识看上去不正确，但其实是正确或是有可能的。例如“站着比走路更累”。一般常识是走路比站着累。但要一个人例如在公园里站一个小时，他可能宁愿走动一个小时， 因为“站着比走路更累”。也例如狭义相对论里面的(Twin Paradox) 亦是另外一个例子。
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四大悖论1.悖论的内容因为一运动物体在到达目的地之前，必须先抵达距离目的地之一半的位置。即：若要从A处到达B处，必须先到AB中点C，要到达C，又须先到达AC的中点D。如此继续划分下去，所谓的“一半距离”数值将越来越小。最后“一半距离”几乎可被视为零。这就形成了此一物体若要从A移动到B，必须先停留在A的悖论。这样一来，此物体将永远停留在初始位置（或者说物体初始运动所经过的距离近似0），以至这物体的运动几乎不能开始。因此，我们得出了运动不可能开始的结论。见《·天下篇》，庄子提出：“一尺之捶，日取其半，万世不竭。”悖论的解释其实此悖论的解释如下：此悖论在设立时有意忽略了一个事实：那就是从A到B的“运动”必须是一个相关的概念而不仅仅是距离的概念。也就是说如果运动的速度为0的时候这个悖论为真！但是一旦运动起来，必然有一个速度，速度等于经过的距离除以历经的时间。什么时候速度为0呢？一种情况是距离为0，根本没有要动，另一种情况大家一般会忽略掉，就是经历的时间趋近于无限，不论距离多大，只要是一个固定值，那么速度就是0，于是悖论就成立了。此悖论虽然没有提及，但是却故意掩盖了时间这个因素。这同最小分割无关，因为在数学上，无限分割是成立的。
2.阿奇里斯悖论动得最慢的物体不会被动得最快的物体追上。由于追赶者首先应该达到被追者出发之点，此时被追者已经往前走了一段距离。因此被追者总是在追赶者前面。 —,
VI:9, 239b15 如描述，说这样的悖论，是兴之所至的小玩笑。首先，编出这个悖论，用来嘲笑&数学派&所代表的的&1&0.999..., 1-0.999...&0&思想。然后，他又用这个悖论，嘲笑他的学生芝诺的&1=0.999..., 但1-0.999...&0&思想。最后，芝诺用这个悖论，反过来嘲笑巴门尼德的&1-0.999...=0, 或1-0.999...&0&思想。 譬如说，阿基里斯速度是10m/s，乌龟速度是1m/s,乌龟在前面100m。追乌龟要涉及到极限问题:t=lim(n-&∞)(1/2+1/4+....1/ n)=1，而极限是个无限过程，这涉及到潜无限问题，即无限过程无法完成，即1只能无限逼近，不能达到1，乌龟是不能被追上的。为此，潜无限只能假设空间不可以无限分割，这样悖论就不存在了。但实无限认为，无限过程可以完成，即极限可以达到1，乌龟可以追上，无限过程怎么完成，凭信仰.我们的实数，极限，都建立上实无限上，对潜无限来说，实数，极限等都不成立，只能无限逼近.
3.悖论内容一根箭是不可能移动的，因为箭在其飞行过程中的任何瞬间都有固定位置，则可知一枝动的箭是所有不动的**，所以可导出一根箭是不可能移动的。 中国古代的名家也提出过，“飞鸟之景，未尝动也”的类似说法。悖论提出过程问他的学生 “一支射出的箭是动的还是不动的？”“那还用说，当然是动的。”“确实是这样，在每个人的眼里它都是动的。可是，这支箭在每一个瞬间里都有它的位置吗？”“有的，老师。”“在这一瞬间里，它占据的空间和它的体积一样吗？”“有确定的位置，又占据着和自身体积一样大小的空间。”“那么，在这一瞬间里，这支箭是动的，还是不动的？”“不动的，老师”“这一瞬间是不动的，那么其他瞬间呢？”“也是不动的，老师”“所以，射出去的箭是不动的？”
悖论总结：其实四大悖论的关键就是人们没有了解自然界的一个重要概念——“率”的概念。讨论任何“变化”的问题的时候，忽略了变化发生的时候，另一个条件也在同时变化。例如讨论距离的变化的时候，如果你只考虑长度的变化，而忽略了在长度变化时另一个条件“”必定也在变化。这就是速率。在速度变化时，有了的概念。加速度变化时，照样可以用加速度变化的多少和时间变化的多少来表示。哲学是认识世界的方法和理论。虽然我们一旦发现了率的概念，立刻就可以破解所谓“单一条件变化悖论”，但是悖论的意义就在于激发人们寻找世界真相的。在上面的四大经典悖论中，我们发现世界的变化并不是单一条件独立变化的，而是多条件同时变化的，这是事实。我们可以用距离除以来定义速度，但是速度本身是现实的独立的存在，而不依靠距离和时间。利用距离和时间来表示，仅仅是人们用自己能够感知的概念来表示难以感知和表示的事物罢了。比如我们天天坐汽车，但是我们难以直接感知汽车的变化。但是简单的公式就可以表明这个变化了。
钱包悖论钱包悖论，又称钱包游戏，是概率论中的一个悖论。内容A和B两人进行一场赌博。赌法是：由第三者计算A、B二君钱包里面的钱，钱少者可以赢走钱多者的钱。A对于这场赌博的想法为：若B君的钱比我少，我可能输掉我现有的钱。但若B君的钱比我多，我赢了，就会得到多于我现有的钱。我能够赢的钱比输的钱多，所以这场赌博对我有利。而B的想法也是如此。二人想法的逻辑都正确，但若认为二人的想法都正确，又将做出这场赌博对A、B二人都有利的错误结论。这显然是一个悖论。来源钱包悖论源自法国数学家莫里斯·克莱特契克，在他的《数学消遣》书中赌的是领带而非钱.“有两个人都声称他的领带好一些。他们叫来了第三个人，让他作出裁决到底谁的好。胜者必须拿出他的领带给败者作为安慰。两个争执者都这样想：我知道我的领带值多少。我也许会失去它，可是我也可能赢得一条更好的领带，所以这种比赛是对我有利。一个比赛怎么会对双方都有利呢？”分析克莱特契克的分析：克莱特契克在他的书中指明必须限制条件，这才是一场公平的游戏，例如A，B二人对对方穿领带的习惯一无所知等。他还假定每一个比赛者带有从0到任意数量（比如说一百元）的钱。以此假定构成两人钱数的矩阵，就可看出这个此赛是“对称的”，不会偏向任何一方。但他没有指出两个比赛者的想法错在哪里。考虑胜算：其实问题就在A，B二人只以“可以赢更多的钱”这点，就做出这场赌博对自己有利的结论，当然是错误的。显然是缺乏思考，对客观事物的复杂程度缺乏认识，才会做出如此乐观的结论。这场赌博对谁有利的考虑谁可以赢得这场赌博。而不是以“可以赢更多的钱”来判断。若以谁有胜算来判断，必须注意二点：1.必须计算期望值2.“钱包里有多少钱”是很随机的。无法有一定的标准。难以论定这场赌博的胜负，但若将“所有人类的钱包里的钱”相加后除以全人类数目，还是可以得出一个平均值。若钱包里的钱比平均值小，那胜算比较大，反之较小。各国家，各地区人的钱包里的平均值都不一样，全人类太广泛，以国家，地区来分更加有胜算。但就算是费很大力气来得到这平均值，还是很难确定有胜算的。由此可见A，B二人认为这场赌博对自己有利的结论是做得多么轻易，缺乏思考。其实最有胜算的方法是知道对方的钱包里有多少钱。另一种分析钱包只有二个，所以钱包里的钱只存在二个数：X,Y，设X&Y。A有1/2机会是X，1/2机会是Y；B也如是。如果A的钱是Y，则赢得X；如果A的钱是X，则输掉X；B也如是。结论：1/2机会赢，1/2机会输。而A,B想法的问题出在，他们假设了3个数：设A有X元，B有Y元,(Y&X)或Z元,(Z&X)。但实际上只存在2个数，所以这是错误的论证，推理出错误的结论。现实例子最常见的就是在赌博时，期待“如果赢的话、会赢得比输得更多”。例如玩吃角子老虎机时认为“就算只中樱桃，也是翻五倍！”但问题在于未必会中奖。
谎言者悖论谎言者悖论最常见的例子是“我在说谎”这个句子。因若我所说是真（“我在说谎”），那我就不是在说谎；但若我所说是假（“我不在说谎”），那么我就是在说谎了。所以无论这句子是真或不真，情况都不可能成立。起源西元前6世纪，克利特哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides）说了一句很有名的话：“所有克利特人都说谎。”严格来说埃庇米尼得斯这句话并不能算是悖论，因为这句话一定是错的。如果埃庇米尼得斯所言为真，那么克利特人就全都是说谎者，身为克利特人之一的埃庇米尼得斯自然也不例外，于是他所说的这句话应为谎言，但这跟先前假设此言为真相矛盾；假设此言为假，那么也就是说有部分克利特人是不说谎的，则表示埃庇米尼得斯说谎，仍符合假设（即埃庇米尼得斯属于克利特岛的人中说谎的部分）。因此，这句话一定是错的。
苏格拉底悖论苏格拉底悖论来自于自指句。死循环：下面的句子是错误的。上面的句子是正确的。如果下面的句子是错误的，那么上面的句子也是错误的。那么下面的句子就是正确的，那么上面的句子就是正确的......就这样陷入了死循环！
在一个交通网络上增加一条路段反而使网络上的旅行时间(travel time)增加了，而且是所有出行者的旅行时间都增加了，这一附加路段不但没有减少交通延滞，反而降低了整个交通网络的服务水准(level of service)，这种出力不讨好且与人们直观感受相背的交通网络现象就是人们所说的Braess 悖论现象。例子考虑上图中的交通网，有4000辆车打算在其中路上通行。通过的时间从起点到A是路上车的数量除以100，而从起点到B是固定的45分钟(另一条路相同)。如果近路不存在(即交通网上只有4条路)，从起点到A到终点需要的时间是 ，而从起点到B到终点需要的时间是 。如果其中某条路的通过时间更短，是不可以达到纳什均衡的，因为任何一个理性的司机都会选择更短的路。因为有4000辆车，易知 A + B = 4000 可以解得 A = B = 2000 这样每条路的通过时间都是
分钟。现在假设有了一条近路(通过时间接近于0)，在这种情况下所有的司机都会选择从起点到A到B这条线路，因为就算所有的车都走这条路，通过时间也不过40分钟，小于起点到B的45分钟。到达A之后，所有的司机都会选择从用接近0的时间行驶到到B再到终点，因为就算所有的车都走这条路，通过时间也不过40分钟，小于A到终点的45分钟。这样所有车的通过时间是 分钟，比不存在近道的时候还多了。因为没有司机愿意切换到别的路上去，所以走原先的路线(起点A终点，起点B终点)的时间都变成了85分钟。如果大家都约定好不走近路，那么都可以节约15分钟的时间。但是，由于单个的司机总是能从抄近道上获益，所以这种约定是不稳定的，于是Braess悖论便出现了。
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**论悖论 1.悖论（书目悖论）悖论（Russell's paradox），也称为，是罗素于1901年提出的悖论，一个关于类的内涵问题。当时的提出，造成了。“”悖论内容一位理发师说：“我只帮所有不自己刮脸的人刮脸。”那么理发师是否给自己刮脸呢？如果他给的话，但按照他的话，他就不该给自己刮脸（因为他&只&帮不自己刮脸的人刮脸）；如果他不给的话，但按照他的话，他就该给自己刮脸（因为是&所有&不自己刮脸的人，包含了理发师本人），于是矛盾出现了。悖论我们通常希望：任给一个性质，满足该性质的所有类可以组成一个类。但这样的企图将导致悖论：悖论：设命题函数P(x)表示“x?x”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x ? x}”。那么现在的问题是：A∈A是否成立？首先，若A∈A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由命题函数P知A?A；其次，若A?A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A∈A。悖论还有一些更为通俗的描述，如、书目悖论。悖论在类的理论中通过内涵公理而得到解决。
物理学悖论1.或命运悖论（ Predestination paradox ，命运注定的悖论），又称因果循环（ Causal loop 或 Causality loop ，与佛教的业德去返无关），是科幻作品中与旅行有关的悖论。此悖论大致与祖父悖论相反：如果自己返回过去，将自己的祖父杀死，那么自己的父母就会不曾出现过，随之而言就连自己的存在也消失，把自己从（这个平行宇宙分支的）洪流中“消去”。是其中一个去解释“为何历史事实不被旅行中所作出的改变而受影响”的方法，就是：改变历史的做法，不论企图与否，最终都会引致历史所“命定”的结果，而并非作出之外的改变。诺维科夫自洽性原则提出，只有事件属前后一致的因果循环才能出现，矛盾的则不能。例子：“命中注定”的例子：A君回到过去调查一场有名火灾事故的起因。本来火灾不会发生，不过A君回到该段，在未发生火灾时的现场，碰跌了一个火水灯，导致火灾。A君回到过去调查一场有名火灾事故，却成为火灾的起因。
2.祖父悖论祖父悖论是一种旅行的悖论，科幻故事中常见的主题。最先由法国科幻小说作家赫内·巴赫札维勒（René Barjavel）在他1943年的小说《不小心的旅游者》（Le Voyageur Imprudent）中提出。情景如下：假设某人回到过去，在自己父亲出生前把自己的祖父母杀死；因为某人祖父母死了，就不会有某人的父亲；没有了某人的父亲，某人就不会出生；于是矛盾出现了。物理中的祖父悖论：平行宇宙认为，也许世界是由无数个平行宇宙组成的，而当某人回到过去杀你的祖父母时，此人杀的其实是另一个宇宙的人（或者你的这个举动也可以创造一个新的平行宇宙），而此人的“祖父”或“祖母”的死只会使那个平行宇宙的此人不再存在，而这个平行宇宙的此人则平安无事。1.在中，“多个世界”理论可以如此理解：对于每一个似乎随机的事件来说，只要它的可能性不是零，它所有可能的情形都会在不同的平行世界中发生，造成历史的分支。大卫·多伊奇（David Deutsch）认为，当你回到过去去杀你的祖父母时，你其实进入了另一个世界，杀的是另一个世界的人。（那个世界与你的世界的差别仅在于你祖父母死了）2.M理论，作为至今最有可能结合5种不同的的理论，是如此解释平行宇宙的：多个三维的“膜”可以同时在一个四维的宇宙（不是的加一维；见膜）中存在；这些膜之间的撞击会在膜中产生大量的能量——这也可以解释大爆炸是如何起源的。可是，M理论并不能解释不同膜的历史之间的关系，也不能肯定，当你回到过去时，你会进到另一个膜里面。
3.薛定谔的猫薛定谔的猫开盒的一刻世界分裂说薛定谔的猫（英语：Erwin Schrodinger's Cat）是物理学家试图证明量子力学在宏观条件下的不完备性而提出的一个思想实验。实验内容如下：把一只猫放进一个封闭的盒子里，然后把这个盒子连接到一个包含一个放射性和一个装有有毒气体的容器的实验装置。设想这个放射性原子核在一个小时内有50％的可能性发生衰变。如果发生衰变，它将会发射出一个粒子，而发射出的这个粒子将会触发这个实验装置，打开装有毒气的容器，从而杀死这只猫。根据量子力学，未进行观察时，这个原子核处于已衰变和未衰变的叠加态，但是，如果在一个小时后把盒子打开，实验者只能看到“衰变的原子核和死猫”或者“未衰变的原子核和活猫”两种情况。现在的问题是：这个系统从什么时候开始不再处于两种不同状态的叠加态而成为其中的一种？在打开盒子观察以前，这只猫是死了还是活着抑或半死半活？这个实验的原意是想说明，如果不能对塌缩以及对这只猫所处的状态给出一个合理解释的话，量子力学本身是不完备的。这个思想实验的意义是，将量子理论从微观领域带到了宏观领域，而导出和一般常识相冲突的结果。根据的解释，当观察者未打开盒子之前，猫处于一种“又死又活”的状态，该状态可以用一个来描述，而波函数可由解出。一旦观察者打开盒子观察，波函数会坍塌，猫呈现在观察者面前的只会是“生”或“死”的状态之一。这导致了对世界客观性和人意识的作用的讨论。根据，当观察者打开盒子的一刻，世界会分裂成多个世界，而观察者只能进入众多的世界其中的一个，而观察结果就因此只有一个，猫是“生”或“死”。而在其他世界里猫的状态会由决定。其生存的概率越大，猫幸存下来而处于其中的世界的数目就越多。薛定谔的猫可被视为一个佯谬，由“不确定”的衰变－检测器－毒药－猫的生死构成一条因果链，将量子的不确定与宏观物质（猫的生死）的不确定性联系起来，而根据日常经验，无论我们是否观察，猫的状态必为生或死中之一。
4.爱因斯坦-波多尔斯基-罗森悖论爱因斯坦-波多斯基-罗森悖论是由阿尔伯特·爱因斯坦、玻理斯·波多斯基和纳森·罗森在1935年发表于《物理评论》杂志的论文所揭示的悖论。其简称爱波罗悖论以提出此悖论的三人姓氏第一字为根据，另有EPR论证、EPR诡论、EPR佯谬和EPR悖论等名称。此悖论是对于量子力学的正统诠释——哥本哈根诠释提出反驳的一个思想实验，对于物理量的观测值以及物理学理论可以解释的值长久以来的观念做出挑战。此悖论引起众人对量子缠结现象的兴趣，并且引出了约翰·贝尔于1964年对于哥本哈根诠释与EPR悖论纷争所提出的厘清对错方案——贝尔不等式。EPR实验产生了一种二分法的结果，要不1.对于一量子系统之A部份的进行测量的结果，对于在另一遥远处的B部份的物理实体(physical reality)有非局域性的效应；量子力学可以预测以后在B部分做一些测量会得到什么样的结果。不然就是2.量子力学是不完备的：跟B相应的某些物理实体要素无法由量子力学来解释（亦即：需要额外的变量来解释。）虽然原先是以思考实验形式出现，目的在于展示量子力学的不完备性，然而尔后真实的实验结果却驳倒所谓的局域原理，使得爱、波、罗三人的原先目的失效。困扰爱、波、罗三位论文作者的“鬼魅般的超距作用”(&spooky action at a distance&)在为数众多的可再现实验中一再地出现。爱因斯坦到过世前都没有接受量子力学是一个“真实”而完备的理论，一直尝试着想要找到一种诠释可以与相对论相容，且不会暗指“掷骰子的上帝”，这可以从他对量子力学内禀的随机性以及与直观相违有所不满上头观察得到。
5.法拉第吊诡（感觉好像又回到了高中物理经典的电磁学那一块！)法拉第吊诡（Faraday paradox）是一个关于法拉第感应定律的物理实验。于1831年，物理学大师麦可·法拉第推断出法拉第感应定律（简称“法拉第定律”），但是，在应用这定律来解释法拉第吊诡的过程中，他遇到了很多困难。这在本文会有详细相关叙述。实验组态如上图所示，法拉第吊诡实验只需要一些简单器件：圆柱形永久磁铁、圆盘形导体、金属刷、转轴导体、支撑架导体，检流计。圆柱形永久磁铁与圆盘形导体分别安装于各自的转轴，可以各自自由旋转。将安装于支撑架一端的金属刷与圆盘边缘相接触，又将与圆盘相连接的转轴安装于支撑架另一端，就可以形成完整闭合电路。在这闭合电路中，串联一个检流计来测量电流。实验程序这实验的进行有三个步骤：1.假设磁铁为固定不动，不能旋转，只让圆盘旋转，则检流计会测量到直流。这实验设备的功能类似电动机，因此称为“法拉第电动机”、又称为法拉第圆盘（Faraday disc）、或单极发电机（homopolar generator）。2.假设圆盘为固定不动，不能旋转，只让磁铁旋转，则检流计不会测量到直流。3.假设让圆盘与磁铁以同角速度旋转，则检流计会测量到直流，如同第一步骤得到的结果。透过铁粉显示出的磁场线。将条状磁铁放在白纸下面，铺洒一堆铁粉在白纸上面，这些铁粉会依著磁场线的方向排列，形成一条条的曲线，在曲线的每一点显示出磁场线的方向为什么吊诡？有些物理学者称这实验为吊诡，因为，猛然一看，这实验似乎违背了法拉第定律，不论是什么部分在旋转，穿过圆盘的磁通量好像都一样，所以，从磁通量观点来看，对于这三个案例，电动势都应该预测为零。这观点错误地选择了用来计算磁通量的曲面，对于这论点，稍后会有更详细解释。从磁场线观点来看，这吊诡又有不同的理论结果。在法拉第的电磁感应模型里，磁场是由想像的磁场线组成。若将条状磁铁放在白纸下面，铺洒一堆铁粉在白纸上面，这些铁粉会依著磁场线的方向排列，形成一条条的曲线，在曲线的每一点显示出磁场线的方向。假若电动势与磁场线被电路切割的速率呈正比，则从磁铁的参考系观测，磁场线为固定不动。所以，相对于磁铁，将圆盘旋转，或相对于圆盘，将磁铁旋转，这两种动作应该都会生成电动势，但是若将磁铁与圆盘一同旋转，则电动势为零。法拉第的解释在法拉第的“电磁感应模型”里，当闭合电路切割过磁场线时，会有感应电流生成于这闭合电路。按照这模型，当圆盘旋转或磁铁旋转时，应该会有感应电流流动于法拉第圆盘，而当磁铁与圆盘一同旋转时，应该不会出现感应电流。然而，这结果与实验结果迥然不同。法拉第试图解释这差异，他假定当磁铁旋转时，磁铁的整个磁场于其伴随的磁场线固定不动（注意到这是一个完全正确的绘景，虽然也许不太容易从电磁感应模型推理出来）。换句话说，磁场线的参考系与磁铁的参考系不同。在下一个段落，会有详细论述，现代物理学（自从发现电子之后）不需要电磁感应模型，就能够完全解释这吊诡。
现代解释1.电子与洛伦兹力（参见：洛伦兹力定律）自从约瑟夫·汤姆孙于1897年发现电子之后，物理学者获得了微观解析这吊诡的能力。注意到移动于磁场
的电子会感受到洛伦兹力
；其中，q 是电子所带电荷量， 是电子移动速度。如图1所示，呈旋转运动中的圆盘导体，其内部自由电子会感受到洛伦兹力。这洛伦兹力垂直于电子的速度
，也垂直于磁场
又垂直于圆盘。所以，按照右手定则，这洛伦兹力的方向（对于电子）是反径向，即朝着转轴的方向；对于正价粒子，洛伦兹力的方向是径向，即朝着圆盘边缘的方向。当然，这径向力会生成动生电动势，造成电流流动于整个电路，因为它造成了电子的反径向移动。这电子的反径向运动又会生成另一股洛伦兹力，反抗随着圆盘旋转的电子圆周运动，这趋向于使圆盘旋转变慢。因此，只有倚赖不断地施加外力，圆盘才能持续旋转。由于圆盘持续旋转，电流也持续地流动于整个电路。这机制与实验观测相符合：每当圆盘旋转，就会生成电流，不论磁场的属性为何。应用洛伦兹力定律可以解释法拉第吊诡，但这也在学术界引起极大的争论——到底磁场是否随着磁铁旋转？按照洛伦兹力定律，磁场与导体之间的相对运动，直接地与作用于电荷的洛伦兹力有关，物理学者猜测，对于磁铁与圆盘共同旋转而电动势不为零的案例，磁场应该不会与磁铁共同旋转，否则，磁场就无法与圆盘呈相对运动。2.数学分析（参见：法拉第感应定律）对于从金属刷，经过支撑架与转轴，到圆盘中心这一段路径，由于磁场与这路径的包含平面之间互相平行，而不是互相正交，不论是什么器件在旋转，路径积分获得的电动势永远为零。因此，只需要专注于从圆盘中心到金属刷这一段路径。法拉第定律表明：任何闭合电路中感应电动势的大小，等于穿过这电路的磁通量的变化率。以方程表示，其中， 是电动势，ΦB 是磁通量， 是磁场，∑(t) 是以闭合电路为边缘的任意积分曲面， 是微小面元素。
用来计算电动势的两条可行回路。在圆盘区域，金色的几何简单回路比较容易使用，但另外一条黄色回路会给出同样结果。在选择这两条回路时，并不存在想要模仿任何实际电流路径的意图。怎样才能应用这定律于法拉第圆盘发电机？一种方法是定义“磁通切割率”，首先绘一条假想线于圆盘，从金属刷到转动轴，然后，计算这条假想线切割过多少磁通量每单位时间。如图2所示，假定圆盘半径为 R ，则其圆心角为 θ 的扇形部分的面积 a 为 ，这假想线的磁通切割率为 ；其中，ω 为圆盘旋转的角速率。将法拉第定律内的磁通量变化率更改为磁通切割率，其它内容不变。根据这更改的法拉第定律，电动势为 。注意到在思考电动势（或电流）的方向时，需要基于楞次定律，运动所生成的电动势必会抗拒由于运动而产生的磁通量。例如，在图2中的金色回路，其处于圆盘的径向线段（假想线），所切割过的扇面，假设这扇面矢量与磁场相向，则磁通量为正值，并且随着时间演进而增加。根据楞次定律，感应的电动势（因此电流）趋向于削减磁通量。按照右手定则，假想线内的电动势（或电流）的方向为径向。这从计算切割磁通量所得到的电动势结果，可以与从假想线移动于磁场所感应出的动生电动势相比较： ；其中，FLorentz 是洛伦兹力。两个答案相同。处于假想线的正电荷，所感受到的洛伦兹力的方向为 的方向，即径向。对于这计算电路所切割的磁通量的方法，若要严格地以法拉第定律做形式化处理，必需正确地计算被闭合电路围入的曲面 ∑(t) 。当然，假若积分的区域与时间有关，则取这积分的时间微分并不能简单地只取其被积函数的时间微分，这一点时常会被忽略。详细计算方法，请参阅莱布尼茨积分定则（Leibniz integral rule）与洛伦兹力定律。在选择曲面 ∑(t) 时，有两个限制：1.这曲面必需被闭合回路围入，而这闭合回路是想要计算电动势之处。2，这曲面必需捕获到电路的所有移动部分的相对运动。再度强调一次，闭合回路不需要对应于实际电流的流动路径。电磁感应倚赖的是相对运动，闭合回路必需捕获所有相对运动。对于图1所示案例，因为电流流动回路的一部分分布于空间的某区域，有很多条可能回路可以选来计算趋动电流的电动势。图2展示出两条可能回路。所有的可能回路必需包括回程路径，但是在圆盘区域，展示出两条可能路径：一条是几何简单路径，另一条是迂回曲折路径。选择哪一条路径乃见仁见智之举。但是，一但做出选择，就不能在计算中更改路径，必需使用固定于圆盘的同样路径，跟着圆盘一同旋转，计算切割过的磁通量。法拉第圆盘被映射为滑动的长方形导体。圆盘被视为圆环，沿着半径切开，然后弯开为长方块。对于这案例，所有这些回路获得的磁通切割率都相同，因而电动势也相同。为了帮助理解这路径独立的点子，如图3所示，法拉第圆盘被展开为长方块，使得这问题看起来好似滑动的长方块问题。对于滑动的长方块案例，很明显地，在长方块内部，电流流动的图样与时间无关，因此也与电路的磁通切割率无关。所以，不需要思考电流怎样流过长方块（或圆盘）。任意连结长方形顶部轨道与底部轨道（从转轴经过圆盘到金属刷）的路径选择，其随着长方块的移动（随着圆盘的旋转）会扫出同样的磁通切割率，也会计算出同样的电动势。
磁铁到底是否在旋转，这事实对于本分析无关紧要，因为相关资料并没有出现于法拉第感应定律。实际而言，假设磁铁具有圆柱对称性，则旋转磁铁绝不会改变电磁场。同样地，将磁铁与圆盘一起旋转，或将圆盘旋转而固定磁铁不动，两种方式得到的结果相同。关键是在于圆盘与回程导体之间的相对运动，而不是圆盘与磁铁之间的相对运动。为了清楚解释这论点，将法拉第圆盘修改，将回程导体改为另外一个圆盘，也就是说，将两个圆盘导体安装于同一个转轴，让这两个圆盘在转轴与周边都拥有电接触点。则电流会与两个圆盘的相对旋转运动成正比，与磁铁的任意旋转无关。法拉第感应定律不适用案例根据费曼教科书的例子给出的案例。对于这案例，法拉第定律不适用。光电导体长方块（淡蓝色）沿着两条平行导线滑行。在某狭窄固定区域（深蓝色），照射强烈光波，施加强烈磁场。当长方块行经这狭窄固定区域时，被照射到的材料会出现导电性质。由于洛伦兹力定律，整个电路会出现电动势与电流（金黄色）。如上图所示，光电导体长方块平移于两条平行导线。在某狭窄固定区域，照射强烈光波，施加强烈磁场。当长方块行经这狭窄固定区域时，被照射到的光电导体会出现导电性质。由于洛伦兹力定律，会有电流从顶方导线，经过这狭窄固定区域的光电导体，流动到底方导线，然后经过连接电路，回到顶方导线。对于这案例，电路固定不动，穿过电路的磁通量不变，所以，应用法拉第定律计算出来的电流为零。但是，洛伦兹力定律建议，电流实际存在。这案例是根据物理大师理查·费曼想出来的点子，凸显法拉第定律（即连结电动势与磁通量之间的关系的版本，费曼称为“通量定则”）不适用于某些状况的事实。费曼这样说：费曼应用洛伦兹定律来解释为何会出现这种现象。重点是通量定则只适用于某些状况，虽然这些是非常实用的状况。狭义相对论的解释假若应用狭义相对论，就不会遭遇任何吊诡或困扰。思考狭窄固定区域的参考系 S ，对于处于这参考系 S 的观测者而言，光电导长方块以速度 v 移动。恰巧处于狭窄固定区域的光电导物质，由于被强烈光波照射，会变得具有导电性质，其载有电量 q 的载电粒子会感受到洛伦兹力 FLorentz = qvB 。换到光电导长方块的参考系 S' 。对于处于参考系 S' 的观测者而言，光电导长方块是固定不动，狭窄光波照射区域是以速度 - v 移动，磁场为 B' = γB ，电场为 E' = γvB ；其中， 是洛伦兹因子。所以，其载有电量 q 的载电粒子会感受到洛伦兹力 FLorentz' = qE' = qγvB 。注意到从参考系 S 变换到参考系 S' ，洛伦兹的变换为 。这与分别在参考系 S 与 S' 推导出来的洛伦兹力表达式相符合。
倜立实验通量定则不适用于倜立实验。倜立实验电路图上图展示“倜立实验”。在这由物理学者唐纳德·倜立（Donald Tilley）设计出的实验里，整个电路是由两个回路或网目组成。在右手边回路串联了一具检流计。在左手边回路中心置放了一块磁铁，其产生的磁场为
。两个回路共同享有一个转闸开关。首先设定转闸开关与端点1相接触，左手边回路为开路，右手边回路为闭路。然后旋转转闸开关，改与端点2相接触，使得右手边回路成为开路，左手边回路仍旧为开路，但整个电路成为闭路。注意到磁场并没有改变，但是穿过的面积变大，因此，磁通量也会改变。可是，检流计的量针并没有偏动（假定可以忽略转闸开关旋转时的效应），这意味着检流计并没有检测到任何感应电动势。所以，法拉第定律不适用于这案例。有些物理学者认为，在法拉第实验里，感应电压的出现，是因为电路切割了磁场线，而不是因为实际磁通量有所变化。这可以从倜立实验观察得知，因为，虽然穿过电路的磁通量有所变化，并没有任何磁场线移动经过电路，所以不会有任何感应电流。
概率论悖论1.辛普森悖论当人们尝试探究两种变量是否具有相关性的时候，比如新生录取率与性别，报酬与性别等，会分别对之进行分组研究。辛普森悖论是在这种研究中，在某些前提下有时会产生的一种现象。即在分组比较中都占优势的一方，会在总评中反而是失势的一方。该现象于20世纪初就有人讨论，但一直到1951年E.H.辛普森在他发表的论文中，该现象才算正式被描述解释。后来就以他的名字命名该悖论。请看下面的例子一所美国高校的两个学院，分别是法学院和商学院，新学期招生。人们怀疑这两个学院有性别歧视。现作如下统计：法学院商学院根据上面两个表格来看，女生在两个学院都被优先录取。即女生的录取比率较高。现在将两学院的数据汇总：在总评中，女生的录取比率反而比男生低。女生单独两个矢量斜率都比男生大，说明它们的比率都比较高。但最后男生总体向量斜率却大于女生借助一幅向量图可以更好的了解情况（上图）这个例子说明，简单的将分组数据相加汇总，是不能反映真实情况的。就上述例子说，导致辛普森悖论有两个前提：1两个分组的录取率相差很大，就是说法学院录取率很低，而商学院却很高。而同时两种性别的申请者分布比重相反。女性申请者的大部分分布在法学院，相反，男性申请者大部分分布于商学院。结果在数量上来说，拒收率高的法学院拒收了很多的女生，男生虽然有更高的拒收率，但被拒收的数量却相对不算多。而录取率很高的商学院录取了很多男生。使得最后汇总的时候，男生在数量上反而占优。2有潜在因素影响着录取情况。就是说，性别并非是录取率高低的唯一因素，甚至可能是毫无影响的。至于在学院中出现的比率差，可能是随机事件。又或者是其他因素作用，比如入学成绩，却刚好出现这种录取比例，使人牵强误认为这是由性别差异而造成的。为了避免辛普森悖论的出现，就需要斟酌各分组的权重，并乘以一定的系数去消除以分组数据基数差异而造成的影响。同时必需了解清楚情况，是否存在潜在因素，综合考虑。
2.生日悖论（这个值得一看！普普通通的生日日期，其中也蕴含着大奥秘、大学问!)生日问题生日问题是指，如果一个房间里有23个或23个以上的人，那么至少有两个人的生日相同的概率要大于50%。这就意味着在一个典型的标准小学班级(30人)中，存在两人生日相同的可能性更高。对于60或者更多的人，这种概率要大于99%。从引起逻辑矛盾的角度来说生日悖论并不是一种悖论，从这个数学事实与一般直觉相抵触的意义上，它才称得上是一个悖论。大多数人会认为，23人中有2人生日相同的概率应该远远小于50%。计算与此相关的概率被称为生日问题， 在这个问题之后的数学理论已被用于设计著名的密码攻击方法：生日攻击。对此悖论的解释我们可以把生日悖论理解成一个盲射打靶的问题。对于一个23人的房间，先考虑问题的补集：23人生日两两不同的概率是多少？为此，我们可以让23个人依次进入，那么每个人生日都与其他人不同的概率依次是1, 364/365, 363/365, 362/365, 361/365, 等等。先进入房间的这些人生日两两不同的概率是很大的，比如说前面5个是1×364/365×363/365×362/365×361/365=97.3%。而对于最后进入房间的几个人情况就完全不同。最后几个人进入房间并且找不到同生日者的概率是... 345/365, 344/365, 343/365。我们可以把这种概率看成对一张靶的盲射：靶上有365个小格，其中有17个左右是黑格，其余是白格。假设每枪必中靶并且分布符合几何概型的话，那么连续射12枪左右任何一发都没有击中黑格的概率（投射于房间里的人生日都两两不同）是多少呢？想必大家立即会感觉到这个概率并非微小。因此，理解生日悖论的关键，在于考虑上述“依次进入房间”模型中最后几个进入房间的人“全部都没碰到相同生日的人”概率有多大这件事情。
假设有 n 个人在同一房间内，如果要计算有两个人在同一日出生的机率，在不考虑特殊因素的前提下，例如闰年、双胞胎，假设一年365日出生概率是平均分布的（现实生活中，出生机率不是平均分布的）。计算机率的方法是，首先找出p(n)表示 n 个人中，每个人的生日日期都不同的概率。假如n & 365，根据鸽巢原理其概率为0，假设 n ≤ 365，则概率为该图片显示特定人数对应的2个人生日一样的概率因为第二个人不能跟第一个人有相同的生日(概率是364/365), 第三个人不能跟前两个人生日相同(概率为363/365),依此类推。用阶乘可以写成如下形式p(n)表示 n个人中至少2人生日相同的概率n≤365，根据鸽巢原理， n大于365时概率为1。当 n=23发生的概率大约是0.507。其他数字的概率用上面的算法可以近似的得出来：n p(n)10 12% 20 41% 30 70% 50 97% 100 99.99996% 200 99.9998% 比较 p(n) = 任意两个人生日相同概率 q(n) =和某人生日相同的概率注意，所有人都是随机选出的:作为对比,q(n)表示房间中 n个其他人中与特定人（比如你）有相同生日的概率：当n = 22时概率只有大约0.059,约高于十七分之一。如果n个人中有50％概率存在某人跟你有相同生日， n至少要达到253 。注意这个数字大大高于365/2 = 182.5: 究其原因是因为房间内可能有些人生日相同。
泛化和逼近生日悖论可以推广一下：假设有n 个,每一个人都随机地从1和特定的N个数中选择出来一个数(N可能是365或者其他的大于0的整数)。p(n)表示有两个人选择了同样的数字，这个概率有多大?下面的逼近公式可以回答这个问题N＝365的结果泛化下面我们泛化生日问题: 给定从符合离散均匀分布的区间[1,d]随机取出n个整数, 至少2个数字相同的概率p(n;d) 有多大?类似的结果可以根据上面的推导得出。
反算问题反算问题可能是:对于确定的概率 p ...... 找出最大的 n(p)满足所有的概率p(n)都小于给出的p,或者... 找出最小的n(p) 满足所有的概率p(n)都大于给定的p。对这个问题有如下逼近公式:经验性测试生日悖论可以用计算机代码经验性模拟生日悖论也可以用 Microsoft Excel Spreadsheet 模拟
应用生日悖论普遍的应用于检测哈希函数:N-位长度的哈希表可能发生碰撞测试次数不是2N次而是只有2N/2次。这一结论被应用到破解密码学散列函数的生日攻击中。生日问题所隐含的理论已经在[Schnabel 1938]名字叫做capture-recapture的统计试验得到应用，来估计湖里鱼的数量。不平衡概率就像上面提到的，真实世界的人口出生日期并不是平均分布的。这种非均衡生日概率问题也已经被解决。[Klamkin 1967]近似匹配此问题另外一个范化就是求得要在随机选取多少人中才能找到2个人生日相同，相差1天，2天等的概率大于50％ 。这是个更难的问题需要用到容斥原理。结果(假设生日依然按照平均分布)正像在标准生日问题中那样令人吃惊:
先有鸡还是先有蛋先有鸡还是先有蛋，这是个问题。先有鸡还是先有蛋这个因果困境想要表达的是一个“到底是先有（鸡）蛋，还是先有鸡”（鸡生蛋，蛋生鸡，到底谁先出现在这个世界上，是鸡还是蛋）的问题。这个鸡与蛋的问题也常常激起古代的哲学家们去探索并讨论生命与宇宙的起源问题。在一般情况下，人们往往会认为想要得到“先有鸡还是先有蛋”这类循环因果的问题的答案是徒劳的。人们往往会认为这是自然界中最基本的问题。当然，关于这个问题的字面答案是简单并显而易见的：卵生动物在鸡出现前很长的一段时间中就一直存在了。然而，这个简单问题背后的隐喻却带来了一个形而上学层面上的困境问题。为了更好的理解这个困境问题，该问题也会被改写成“X得到了Y，Y得到了X，那么是先有X还是先有Y”。这个问题也往往会等效运用在工程及其他学科的“一个需要计算自己本身才能得到的参数”这类循环引用问题上。此类情况的范例有范德华方程及著名的达西摩擦系数计算公式。“鸡与蛋”问题的历史古代的哲学家们往往会在他们的哲学著作中提到这个困境问题。他们的著作表明，这个问题的确深深的困扰着他们，而且哲学家也常常与他人一起分享并讨论这个问题。古希腊哲学家亚里士多德对先有鸡还是先有蛋这个问题感到困惑。他最终得出结论认为无论是鸡还是蛋，这两者都必然是一直存在着的。这世间不可能有一人生来无有父母，盖这一切都是与自然规律不符的。所以不可能存在着第一颗能够孵出鸟的蛋因为蛋是由鸟下出来的，反之亦然。柏拉图也同他持有同样的看法并认为任何生命在出现在这世界之前会先化作灵魂。普鲁塔克在讨论这个问题时使用的是“母鸡”一词而并非简简单单的“鸟”。在莫雷利亚的第八卷文献《席间闲谈》（英文：Table Talk，希腊文：∑υμποσιακ?，拉丁语：Quaestiones convivales）中提到普鲁塔克曾在一个哲学讨论会上讨论了一系列以该困境为基础的问题。在一节标题为“无论先有蛋还是先有鸡”的讨论中，他们还引入了一个更深层次且更有份量的问题：……大家讨论的这个“母鸡和鸡蛋哪个先出现”的问题让我们十分困扰。而我的朋友苏拉说当我们讨论这个问题时，其实是已将其作为一个工具并用这个问题触动到了另一个更深邃且更沉重的问题，即“世界的起源”……古罗马哲学家玛克罗比阿斯则认为这个问题需要好好的探讨：大家总是开着玩笑或者并不当回事的讨论着是先有鸡还是先有蛋，但是这个问题应该被作为一个重要的并且值得讨论的问题并被大家仔仔细细的来探讨一番。史蒂芬·霍金和克里斯托弗·兰根为先有蛋或先有鸡而争执，虽然该问题因达尔文的进化论而丧失了重要性：世上必须先有一个传统意义上的卵或者一个能孵出鸡的蛋。
“鸡与蛋”问题的研究一只正在从蛋壳里孵化出来的小鸡1.蛋白质方面的研究英国华威大学的马克·罗杰教授与大卫·教授在帮助谢菲尔德大学进行试验研究时发现形成鸡蛋硬壳的关键鸡肉蛋白“OC-17蛋白”（ovocleidin-17）的存在贯彻了整个蛋壳形成过程并起到催化的作用，这使得他们认为在“先有鸡还是先有蛋”的问题里首先存在的是鸡或者确切的说是OC-17这种鸡肉蛋白。不过马克·罗杰在报告中的附加引述中说到：“这个发现难道就能证明先有鸡再有蛋吗？我们想强调的‘先有鸡还是先有蛋’这个问题虽然很有趣但是事实上却毫无意义。不过这个这个研究倒是使得学界对高效快速的结晶方法有了新的见解，这项研究也能够在骨头的形成以及二氧化碳是如何被贮存在石灰石等问题提供帮助。”不过，他们的研究却与早先时候的研究结论有些出入。约翰·布鲁克菲尔德教授及大卫·帕皮诺教授认为，在世界上第一只鸡出现后，在它之前也必定需要并有一颗能够孵出它来的蛋。生物学家P·Z·迈尔斯进一步的指出了前者在研究中的瑕疵，称其他的鸟类会使用与OC-17不同的蛋白质来制造鸟蛋，而且OC蛋白的演变并不能够与鸟蛋的演变向吻合；OC蛋白是从一种古老的蛋白质演变而来，这种蛋白在鸟类分支从爬行动物分离之前便开始参与制造动物的蛋。2.自然进化方面进化理论表示物种在通过一定时间的突变以及自然选择后最终可以得到进化。这使得人们相信在历史上的某一刻，某一种像鸡但是不是鸡的物种，由于基因突变，产出了第一颗“鸡蛋”。因为，鸡和鸡蛋都是由鸟和不是鸡蛋的鸟蛋演化而来的，只不过在很长的时间中二者进化的越来越相似而已。但是，一个个体发生了某些突变并不能认为它就成为了一个新的物种。单个的个体与母体分离并且使得它们之间再也不能够交配，这才是新的物种形成的必要条件；这通常也是家养物种同野生祖先们的分离过程。这些完全遭到分离的族群才能够被称为是新的物种。现代家养鸡往往被认为起源于红原鸡，不过最新的研究结果表明家养鸡是由灰原鸡和红原鸡杂交得来的。如果鸡蛋正如后者的情况下出现的话，那么根据前面所提到的新物种的种种定义，可以得出这世上是先有鸡蛋再有鸡。3.宗教观点与神话故事犹太教及基督教的神话传说中都表明是上帝创造了世间的种种，其中也当然包括鸟。犹太教及基督教的神话中提到上帝创造了鸟类并让它们繁衍后代，但是神话中并没有提到蛋的事。例如创世纪第一章：有晚上，有早晨，是第四日。神说，水要多多滋生有生命的物，要有雀鸟飞在地面以上，天空之中。神就造出大鱼和水中所滋生各样有生命的动物，各从其类。又造出各样飞鸟，各从其类。神看着是好的。神就赐福给这一切，说，滋生繁多，充满海中的水。雀鸟也要多生在地上。单从字面上看，创世纪一文认为鸡出现在蛋的前面。在印度的经书中记载，神创造了鸟及其他一切生命形式。不过，印度的传说中所谈到的蛋被扩大到了非鸡蛋的蛋的范围，印度的神话也提到了“宇宙蛋”（即梵天诞生的金卵，金卵的其他部分扩张为整个宇宙）这个概念。而在中国神话中，认为天地是由盘古“开天辟地”所致，而当时混沌的世界就如同一个蛋一样。4.“永恒轮回的时间”所给出的结论在佛教信仰中，人们认为时间其实是永恒并且不断轮回重复的，在这一点上一些古中北美文化（玛雅及阿兹特克）信仰与此也十分相似。他们认为当将“谁先出现”这个问题与不断轮回的时空联系到一起时是不可能得到答案的。因为已经假设时间是永恒且不断重复的，所以就不可能一个永恒的“第一个”，且也就根本没有什么“创造”。由此得到的答案就是：谁都不是“第一个”，在不断轮回重复的时空里不存在“第一个”。5.鸡蛋的定义在整个问题中，有一点往往被大家所忽略，那就是（鸡）蛋的定义问题。鸡蛋指的是鸡所下的蛋还是指能够孵出鸡来的蛋？如果是前者，那么当然是先有的鸡，如果是后者则反之。但是这个问题便于哲学家们所提出的问题有了不小的出入，哲学家们所问的是蛋是在鸡前还是之后出现，但是后者则已经确定了这一切，所以完全可以很轻松的回答出来。
伊壁鸠鲁悖论罪恶问题罪恶问题（Problem of evil）是宗教哲学和神学中如何使邪恶或苦难与全知全能全善的神和谐的问题，由古希腊哲学家伊壁鸠鲁提出。罪恶问题又被称为邪恶问题、苦难问题或伊壁鸠鲁悖论（Epicurean Paradox）。试图解决这一难题的理论称为神义论。前提在分析罪恶问题前，一些概念必须加以明确定义，这是由于宗教信仰本身的特点所决定的。1.神是谁或什么？2.什么是恶？2.什么是全能(全能悖论)（en:omnipotence）？4.以及什么是全善（en:omnibenevolence）？表述1.伊壁鸠鲁的表述A 如果是上帝想阻止“恶”而阻止不了，那么上帝就是无能的；B 如果是上帝能阻止“恶”而不愿阻止，那么上帝就是坏的；C 如果是上帝既不想阻止也阻止不了“恶”，那么上帝就是既无能又坏；D 如果是上帝既想阻止又能阻止“恶”，那为什么我们的世界充满了“恶”呢？2.逻辑表述文句式1.神存在（前提）2.神全能（前提，或者由“神”的定义得为真）3.神全善（前提，或者由“神”的定义得为真）4.所有全善的存在都反对任何的恶。（前提，或者由“全善”的定义得为真）5.所有全善的存在如果可能会立即消灭任何的恶。（前提）6.神反对任何的恶。（由3和4得出的结论）7.神可以立即彻底的消灭恶。（由2得出的结论）8.神会立即彻底的消灭恶。（由3、5和7得出的结论）9.恶存在而且可能永远存在。（前提）10.8和9矛盾，因此至少一个前提不成立：或者神不存在，或者神不全善全能，或者神有理由不立即这么做，再或者恶不存在。表列式反面意见1710年，莱布尼茨提出神义学系统研究罪恶问题，解释为什么神允许恶存在同神的全善不矛盾。1.恶的定义5世纪神学家奥古斯丁针对罪恶问题提出反驳，后来成为最常见的反驳之一。他定义“恶”为善的丧失。所有的“恶”都是与善的事物相对立而言的，例如不和谐、不公平、失去生命或自由等。这一论证被称为对比神义论。但是对比神义论是建立在一个对于道德的形而上学的解释上——善和恶没有道德标准。奥古斯丁还提出经受苦难有潜在的好处。对此的反驳则是一个全能的神可以给世界这些好处，但不需要世人经受这些苦难。一种反驳认为，“恶存在”这一判断需要一个道德标准判断善恶。有神论认为是神制订了这个标准，因此如果没有神，则没有办法判断善和恶。但无神论认为善恶不需要神制订标准就可以通过推理进行判断，实际上这一标准就是社会上所有人都同意的一个约定。另一种反驳认为，奥古斯丁的观点只不过是文字游戏。世间的确存在战争，强奸等的事情。不论称之为罪恶或善的丧失，这些事情还是确确实实地存在着。奥古斯丁认为这是人类滥用自由意志的后果，而不是来自神的创造。还有一些神学理论认为人不知道善和恶的确切意义，神为人准备了一个人可能不理解的善的计划，一切以人的理解判断神是否存在都是短视行为。问题在于这一理论并不是经验性的，从而是不能被证伪的。没有任何证据表明人们不理解善和恶，我们的一切思维和行动都基于我们的感受。根据这些感受我们得出推论，例如认为我们是人有四肢，而事实上我们可能仅仅是做梦的蝴蝶只有翅膀（参见庄周梦蝶）。但既然我们感受不到这些，则我们的推理和我们的感受是自圆其说的。2.善恶之绝对性鲁益师在其作品《返朴归真》（Mere Christianity）中说到：“我不同意有上帝的理由，是因为这个世界看起来既残暴又不公平；可是我这种公平和不公平的观念是从哪里来的呢？???我说这个世界不公平，究竟拿什么比较出来的呢？???我可以说，公平或不公平只属于我个人的想法，轻轻松松将这个观念推开了。可是，我如果这样做，我不相信有上帝的理由也就跟着站不住了。因为若要我的理由站得住，必须认定这世界真的不公平，而不是因为这世界出现的情景不合我的心意，不符我的想法。这样一来，为了要证明上帝的不存在，或者说，为了证明整个现实都是无意识的，我发现我不得不假定这现实里头有一部分－－例如我对公平的观念－－却是十足有意识的。”根据鲁益师的说法，罪恶问题的推论者常常忽略了一个隐含的假设：“善恶是绝对的。”在这个假设底下，推论者必须先定义何谓“绝对的善”。因此，推论者势必要指明一个对象，其“能力”足以制定“绝对的善”，而能满足这个条件的对象，根据定义，就只有上帝。所以能够得到一个结论：上帝存在而且全能全善。1.善恶是绝对的（前提）2.“绝对的善”存在（由1可知）3.“绝对的善”的制定者存在（由2可知）4.制定者必须拥有“绝对的能力”来制定“绝对的善”（由1可知）5.制定者不能背于本身（前提）6.制定者本身必须为“绝对的善”（由5可知）7.制定者全能且全善(由4,6可知)8.制定者即为上帝(根据上帝的定义)将鲁益师的观点与罪恶问题合并之后，剩下唯一一个结论：“上帝有理由不立即消灭罪恶。”不妨想像一个全然无罪的世界，其中的人们知道什么是罪恶吗？既然不知道罪恶的败坏，当然就无法明白罪恶的反面－－善－－的美好。因此，为了使人明白善的美好，就必须允许这个世界有罪恶存在。那么，上帝不处理罪恶的问题吗？这个问题或许应该反过来问：“假设上帝处理了，人愿意接受吗？”另外，若假设善恶是相对的，则“全善”就失去了意义，整个论述即宣告无效。
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