从基本概念出发分析一道概率题解法的困惑--《中国数学教育》2010年10期
从基本概念出发分析一道概率题解法的困惑
【摘要】：正一、一道有两种不同答案的概率题题目:把圆周分成四等份,A是其中的一个分点,动点P在四个分点上按逆时针方向前进.点P按下列游戏规则前进:现投掷一个质地均匀的正四面体,它的四个面上分别写有1,2,3,4四个数字,P点从A点出发,按照正四面体底面上的数字前进几个分点(如投掷的正四面体底面数字是3,动点就前进3个分点),转一周之前连续投掷.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：O211【正文快照】：
一、一道有两种不同答案的概率题题目:把圆周分成四等份，A是其中的一个分点，动点尸在四个分点上按逆时针方向前进.点尸按下列游戏规贴前进:现投掷一个质地均匀的正四面体，它的四个面上分别写有l，2，3，4四个数字，尸点从A点出发，按照正四面体底面上的数字前进几个分点(
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一道概率题，求解~~~
某男 吹嘘自己交过多位女友， 除了3个星座以外，其他星座的都交过。 请问他有N位女
友的概率是多少？
星座一共有12个，所以N肯定是大于等于9的。请问这个离散分布的概率函数表达式是怎
P（N）=？& & （N>=9）
=================
有人说：问题等价于N个球放到12个抽屉里，最后9个抽屉里有球的概率。 我按照这个思路给出一共答案：
P（N）=0.75^n& && &&&n>=9
但是用matlab算了一下&&n从9到10000的P（N）和是0.3003， 不等于1.
所以这个答案可能不对
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条件不充分吧。
如果没有你说那个信息“除了3个星座以外，其他星座的都交过”，是不是N是任何一个
自然数的概率都相等？
不太可能吧？
你只能算一下，在N是某个数字下，出现“除了3个星座以外，其他星座的都交过”的概
率。如果没有先验概率，即没有这个信息“除了3个星座以外，其他星座的都交过”时
的概率分布，那么无法知道概率分布了。
我觉得问题等价于：12个抽屉，9打开一下，9个抽屉有球， 球个数是n的概率。
我觉得你把前提搞错了。求的是P（N）的概率，不是有N个球，9个抽屉有球的概率
我觉得 你做的这个等价是不对的。
水木网友的回答：
如果假定 所有可能出现情况的概率都是相同的
也就是说 x=1G时 n-1个桶里各有1个球 1个桶里有1G-n+1个球 其余桶里没有球的情况
和 x=n时 n个桶里各有1个球 其余桶里没有球的情况 概率是一样的话
那么P(x)=(C(x-1,n-1))/(Σ(x>=n)(C(x-1,n-1)))
显然P(x)分母项求和的值无穷大 当x是一个固定值的时候 P(x)=0
我认为x=9-20时的概率一定不是0. 这种分布是类指数分布的，即在x较大时，有8个以下的概率是很小的，概率的主要贡献是不能有三个星座，即接近指数分布的。因此累加是有极限的。
我有一种算法不知道如何，x人，总集为12^x，满足规则的9^x-C(1,9)8^x+C(2,9)7^x-C(3,9)6^x+C……+C(8,9)1^x, 这个原理很长时间没用了，早已生疏，希望没记错，即算9个的时候，包括8个，需要扣除，扣除后7个的多扣了，需要再加上，以此类推。
组合的符号打不出来，上标下标就放括号里就横排了。
如9时，总共为12^9，可用的是9！即362880。用上述算法算后就是362880. P(9)=^9.
关于收敛性，x趋于无限时，P(x)<(9/12)^x, 因此累加收敛。
可能有更好的算法，但只是把式子简化一些而已。
刚才这种算法可能需要归一化，是个很麻烦的事情。
如果设想有ABCD，分两组，则你这种方法似乎不能将AC分成一组。
我的方法认定了三个没有的星座是固定的，你的方法认定这三个星座并不固定，所以有C(9,12)这一项的差别，这是个对题目理解的问题。
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一个赌场，可以出任意的赌注，赢和输的概率相等，都是二分之一。赢的话得到2倍的赌注（原赌注不拿回），输的话赌注就没了。也就是这个赌场是公平的，也没有任何老千。现在有一个人，只有10块钱，他想要赢得100块钱（包括以上），他的策略是：每次拿出现有钱数的1/2作为赌注，赢到100块钱以上为止。请问他能赢到100块钱（包括以上）的概率为多少。~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~大家注意这个人的策略是唯一的，他每次只能拿出所有钱的1/2作为赌注~另外，赌注不一定是整数，可以是任何大于0的实数~
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想以最快速度达到目的的话就每次全部压上，这样每轮之后依次是20 40 80，然后再压50，赢得话走人，输的话还有30，继续压上。想玩得时间最长的话，就一块一块压（假设最小赌注是一元），那么最后你达到目的和清光走人的机会都是1：10
感觉是1因为每次都只拿二分之一，所以赌本不会没。只要赌的次数无限多，肯定有连续赢到100元的日子。
0.080~0.083这里吧，为了让程序快一点我假设钱数小于0.1就不可能翻盘了
输一场变成1/2，赢了变成3/2那输到什么时候为止呢？永远变不成零，就以一分钱为限吧，那k = 10*（1/2）^n*(3/2)^m0.01&k&10k不会等于1这个……会不会永远完不了啊？
的话：想以最快速度达到目的的话就每次全部压上，这样每轮之后依次是20 40 80，然后再压50，赢得话走人，输的话还有30，继续压上。想玩得时间最长的话，就一块一块压（假设最小赌注是一元），那么最后你达到目的和清光走人的机会都是1：10策略是唯一的，只能拿出所有钱的1/2……
的话：感觉是1因为每次都只拿二分之一，所以赌本不会没。只要赌的次数无限多，肯定有连续赢到100元的日子。应该不是1，因为这个人有可能会无限地赌下去，永远不能赢到100~
的话：0.080~0.083这里吧，为了让程序快一点我假设钱数小于0.1就不可能翻盘了我觉得也是小于1/10的一个数，但是想知道精确结果呐~
的话：输一场变成1/2，赢了变成3/2那输到什么时候为止呢？永远变不成零，就以一分钱为限吧，那k = 10*（1/2）^n*(3/2)^m0.01&k&10k不会等于1这个……会不会永远完不了啊？有可能会无限地赌下去。
的话：有可能会无限地赌下去。除了最小钱数，肯定还有一个最小粒度3分钱的一半是2分，不会是1.5分4分钱的一半也是2分这样连续的就变成离散的了，才能可数
的话：除了最小钱数，肯定还有一个最小粒度3分钱的一半是2分，不会是1.5分4分钱的一半也是2分这样连续的就变成离散的了，才能可数这些都可以不需要呐~假设它们都是实数，可以一直除以2，且结果大于0。如果假设有最小钱数或者“最小粒度"（粒度是神马意思？）这样的话就可以能会不通过赢，而结束（钱为0）感觉不是我想要的结果，但是这样子也不好算，因为赢的话也不都是通过相同的钱数结束的~有可能大于100~
这个问题是个随机游走模型啦。一个随机变量有1/2概率除以2，1/2概率乘以1.5，然后要计算它到达100的概率。我们可以对它取10的对数，这个问题就变成了一个点从数轴上的1开始，1/2概率左移lg2，1/2概率右移lg3-lg2，问它到达2的概率。我先算算看。
的话：这个问题是个随机游走模型啦。一个随机变量有1/2概率除以2，1/2概率乘以1.5，然后要计算它到达100的概率。我们可以对它取10的对数，这个问题就变成了一个点从数轴上的1开始，1/2概率左移lg2，1/2概率右移lg3-lg2，问它到达2的概率。我先算算看。是呀。我也觉得和马尔科夫链有一定的关系~加油算~
如果只要求赢到20块就和这个定理等效了：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家一赔二、一赔四都是100%，而一赔六只有34%
的话：如果只要求赢到20块就和这个定理等效了：喝醉的酒鬼总能找到回家的路，喝醉的小鸟则可能永远也回不了家一赔二、一赔四都是100%，而一赔六只有34%貌似只有一维的时候可以看做等效，二维以可以绕个圈回来，而一赔四连输三把不可能赚回本
我对题目的理解是这样的：1.该赌徒（来赌场赌钱的都是赌徒）在手里的本金达到100元之前，不会结束自己的行为。2.赌徒就算连续输无数次，手里的本金无限趋近与0，但是如果认为此时不取极限的话就可以继续赌，直到赢够100元。综上：该赌徒最终赢得100元的概率为1.或者理解成：N名的赌徒进入该赌场，每个人输赢不影响，都持有以上的策略。由于他们都不会输光自己手里的钱，于是在每个人都赢到100元之前都不会结束该人的行为。在所有人的行为都结束之后，每个人的手里都持有100元或者超过100元的钱。。于是N名赌徒都实现了自己的目的- -！
的话：感觉是1因为每次都只拿二分之一，所以赌本不会没。只要赌的次数无限多，肯定有连续赢到100元的日子。肯定不可能是1,我把100元换成100亿元,按你的逻辑还是1.要真这样的话都去赌场这么干了.
科学松鼠会成员，信息学硕士生
的话：1一维随机游走是常返的一维等概率等长度的随机游走是常返的，问题是这里的随机游走虽然等概率，但是两个方向走的量不一样……
通信专业博士生，编程爱好者
的话：我对题目的理解是这样的：1.该赌徒（来赌场赌钱的都是赌徒）在手里的本金达到100元之前，不会结束自己的行为。2.赌徒就算连续输无数次，手里的本金无限趋近与0，但是如果认为此时不取极限的话就可以继续赌，直到赢够100元。综上：该赌徒最终赢得100元的概率为1.或者理解成：N名的赌徒进入该赌场，每个人输赢不影响，都持有以上的策略。由于他们都不会输光自己手里的钱，于是在每个人都赢到100元之前都不会结束该人的行为。在所有人的行为都结束之后，每个人的手里都持有100元或者超过100元的钱。。于是N名赌徒都实现了自己的目的- -！这个有一点不够严格的就是有可能有些赌徒永远都赢不回来那些前。比如你赢的概率小于1/2概率就不再是1了
通信专业博士生，编程爱好者
的话：一维等概率等长度的随机游走是常返的，问题是这里的随机游走虽然等概率，但是两个方向走的量不一样……额，我看错题目了，对不起。。。。。。我当成赢了手里的钱翻倍，输了变成一半呢。这样的话概率不是1。。。
通信专业博士生，编程爱好者
这样的话这是一个鞅过程，鞅的期望保持不变，所以只有1/10的概率赢100块钱，9/10的概率趋近于0回不来了
通信专业博士生，编程爱好者
啊，对不起，更正一下，实际概率要小于1/10，因为赢的时候手里不止100块钱，所以概率应该是10除以赢的时候手里钱数的期望&1/10。另外原来回答概率1的那个帖子就删掉了以免误人子弟
的话：输一场变成1/2，赢了变成3/2那输到什么时候为止呢？永远变不成零，就以一分钱为限吧，那k = 10*（1/2）^n*(3/2)^m0.01&k&10k不会等于1这个……会不会永远完不了啊？k = 10*（1/2）^n*(3/2)^m大于等于100,解得m大于等于log(1.5)2*n+log(1.5)10=1.71n+5.68题目就简化成投硬币m正n反,m大于1.71n+5.68概率大小的问题了.但是因为m,n和m+n都不是定值,依然十分难算,只能用枚举法暴利破解n=0时,m=6,概率是1/64. 注意n不可能为7,因为6胜时已近满足条件停止赌博了.n=1时,m=8,注意此时输的一次必定在前6轮里,所以概率是6/2的九次方n=2时,m=10,同上断定,输的两次必在前8轮里,概率是C8,2 除以 2的12次方.......由于计算太复杂,加上该死的1.71捣乱使得n和m关系偶尔不规则一下,建议还是编程来计算,取n=100应该就差不多能统计出来了了,
1. 应该存在着最下赌注，否则剩下一分钱的时候掰开两半下注，赌场老板只能哭了。2. 既然存在着最小赌注，那么结局只有两种：A 赢钱走人 B输光走人3. 赌场是公平的，那么一块钱一块钱下注，和孤注一掷没区别。唯一的策略是：如果你的目的是赢90（加上本钱总共100）。那么显而易见，最大的赌注是下五十。拆开下注，因为几率均等，概率分布频率也是趋近于均衡，对赌徒反而不利。孤注一掷，概率论威力大减，赌徒才有机会达到目的。本题目中，连赢四次就能达到目的了。如果你无聊的时候玩过抛硬币游戏，会发现连续四次出现正面的情况还真的见过。
接楼上的不用算到n=100,其实到n=4就可以忽略不计了,用excel算了下大概是2.001%.
的话：输一场变成1/2，赢了变成3/2那输到什么时候为止呢？永远变不成零，就以一分钱为限吧，那k = 10*（1/2）^n*(3/2)^m0.01&k&10k不会等于1这个……会不会永远完不了啊？其实，感觉应该设 n=m，这样 k =10*(3/4)^m ， m 趋于无穷大后， k 会趋于0的。也就是无限玩下去肯定会输到没钱。然后这题的概率貌似只能穷举。。穷举。。
应该可以排出一个收敛级数来，至于结果。。。。。。
随机游走问题是说，假如你每次随机选择一个方向迈出一个单位的长度，那么n次行动之后你离原点平均有多远（即离原点距离的期望值）,因为向左走和向右走的几率是一样的。确实，原点两边的情况是对称的，最终坐标的平均值应该是0才对；但我们这里考虑的是距离，它需要加上一个绝对值的符号，期望显然是一个比0大的数。
的话：啊，对不起，更正一下，实际概率要小于1/10，因为赢的时候手里不止100块钱，所以概率应该是10除以赢的时候手里钱数的期望&1/10。另外原来回答概率1的那个帖子就删掉了以免误人子弟有个问题，就是所有没有结束人手里的钱要不要也算进去？因为它们手里的钱不是绝对的0，这个可以忽略么？
通信专业博士生，编程爱好者
的话：有个问题，就是所有没有结束人手里的钱要不要也算进去？因为它们手里的钱不是绝对的0，这个可以忽略么？最后所有的赌徒有两种下场，一种赢够了钱走了，一种再也赢不回来了。对于那些再也赢不回来的人来说，手里的钱是任意小的，最终会趋于0。所以是不需要算的。反过来说，如果他们手里有一点点钱，最终还是有一点点很微弱的概率翻盘的，那一点点钱会算到很微弱的概率翻盘的期望里面。
的话：肯定不可能是1,我把100元换成100亿元,按你的逻辑还是1.要真这样的话都去赌场这么干了.概率是1，但没人有那么长时间的，所以赌场没事。而且赌场的规则也跟题里不一样。
的话：概率是1，但没人有那么长时间的，所以赌场没事。而且赌场的规则也跟题里不一样。不会是1.因为可能有人会无限地赌下去。另外，考虑到赌场的期望收益为0，如果概率为1，那么赌场的期望收益会变为负。
的话：不会是1.因为可能有人会无限地赌下去。另外，考虑到赌场的期望收益为0，如果概率为1，那么赌场的期望收益会变为负。现实中不会是1，楼主题里的情况可以是1
算了一下大约是0.083
的话：算了一下大约是0.083怎么算的？？？
的话：怎么算的？？？精确值算不出来，我写了个程序把赢到100块的过程一个个列举出来，然后把概率加起来。
的话：精确值算不出来，我写了个程序把赢到100块的过程一个个列举出来，然后把概率加起来。我主要是想知道精确值是多少= =或者给个表达式也行~
的话：我主要是想知道精确值是多少= =或者给个表达式也行~表达式我也写不出来
的话：k = 10*（1/2）^n*(3/2)^m大于等于100,解得m大于等于log(1.5)2*n+log(1.5)10=1.71n+5.68题目就简化成投硬币m正n反,m大于1.71n+5.68概率大小的问题了.但是因为m,n和m+n都不是定值,依然十分难算,只能用枚举法暴利破解n=0时,m=6,概率是1/64. 注意n不可能为7,因为6胜时已近满足条件停止赌博了.n=1时,m=8,注意此时输的一次必定在前6轮里,所以概率是6/2的九次方n=2时,m=10,同上断定,输的两次必在前8轮里,概率是C8,2 除以 2的12次方.......由于计算太复杂,加上该死的1.71捣乱使得n和m关系偶尔不规则一下,建议还是编程来计算,取n=100应该就差不多能统计出来了了,好像你只计算了条件概率，而没有算先验概率。例如第一个你算的是P(m=6|n=0)，而事实上应该再乘上P(n=0)，即P(m=6|n=0)P(n=0)
我有一点搞不明白，输赢概率相等，均为50%，赢了赚一块，输了赔一块，那赌场的利润从哪来的。
的话：好像你只计算了条件概率，而没有算先验概率。例如第一个你算的是P(m=6|n=0)，而事实上应该再乘上P(n=0)，即P(m=6|n=0)P(n=0)额,没学过专业的概率,能再解释下么,再乘以1/64还是?
的话：我有一点搞不明白，输赢概率相等，均为50%，赢了赚一块，输了赔一块，那赌场的利润从哪来的。题中假设赌场无利润。
的话：额,没学过专业的概率,能再解释下么,再乘以1/64还是?我是这样理解的，次数可以相加，但是概率不能简单相加。不过你这样求好像也没错
的话：我是这样理解的，次数可以相加，但是概率不能简单相加。不过你这样求好像也没错也不是简单相加,第二轮算的时候已经把第一轮的情况挑出来去掉了
由于没有最小限制，所以赌博可以无限进行下去，唯一的停止机会是到达100块因为可以赌注无限小，所以不管这次赢了还是输了，最后都有机会达到100块，而且不论发生任何情况，你都不能判定他不能达到100块，所以我觉得概率为1；
的话：肯定不可能是1,我把100元换成100亿元,按你的逻辑还是1.要真这样的话都去赌场这么干了.所谓的1我觉得更准确的理解是你永远有机会得到可以100~
赢和输的概率是相同的，但是赢了是乘以1.5，而输了是乘以0.5。假设共赌两次，赢了一次，输了一次，那么结果是10*1.5*0.5 = 7.5
，可以看出赌得越久，身上的钱应该是越来越少，越来越难凑齐100。python代码：=====================================import randomi = 0while i & 10:
#运行整个流程10次
try_all = 0
succ_time = 0
long_succ = 0
long_long_succ = 0
while try_all & 10000:
#每个流程中，做10000次实验，也就是说给10000次钱
money = 10.0
target = 100.0
try_each = 0
while try_each & 2000:
#每次不管最后赢了没，赌满了2000把，就不赌了
result = random.random()
if result & 0.5 :
money = money * 1.5
money = 0.5 * money
if money &= target :
#统计赢了100元的次数
succ_time = succ_time + 1
if try_each & 100:
#统计在赌了100次以后才赢满100元的次数
long_succ = long_succ + 1
if try_each & 200:
#统计在赌了200次以后才赢满100元的次数
long_long_succ = long_long_succ + 1
try_each = try_each + 1
try_all = try_all + 1
print succ_time,
print long_succ,
print long_long_succ
i = i + 1============================================结果如下：805
0成功的概率大概是8%左右，100次以后才赢的情况在10000把试验中只占2~3次，200把后赢的情况基本没有=================================================
的话：也不是简单相加,第二轮算的时候已经把第一轮的情况挑出来去掉了我已经模拟出了一个结果，结论是概率为0。有一些违反直觉的结果，我再简单检查推导一下，稍后再发出来
的话：也不是简单相加,第二轮算的时候已经把第一轮的情况挑出来去掉了不对，不是0，搞错了。是8%左右，你的算法还是有点问题
先留一个以记号。用excel遍历了最多33轮赌博，7.27%超过了100元。用对数（假设对数的底=10）坐标看，始是1，目标是2。每一次赌博，一半向左0.301，一半向右0.176，平均值向左0.125，看来是越来越难了，但是“平均值”的意义还不清楚。
的话：我有一点搞不明白，输赢概率相等，均为50%，赢了赚一块，输了赔一块，那赌场的利润从哪来的。因为赌场的本金比你大得多，假设是你的1000倍（当然不止），如果一直赌下去直到某一方输光，那么赌场输光的概率是1/1000，而你输光的概率则是999/1000
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