利用整体思想
巧求图形面积--《初中数学教与学》2015年01期
利用整体思想
巧求图形面积
【摘要】：正近几年的中考有关求阴影部分面积的题目变得灵活多样,给中考带来生机与活力,其中有一小部分客观题,阴影部分条块分割、四分五裂,迷惑着考生,令人望而生畏.但若能利用整体思想,将其合理变换,往往能迎刃而解.现列举近年部分省市中考试题加以分析,希望对读者有所裨益.
【作者单位】：
【关键词】：
【分类号】：G634.6【正文快照】：
近几年的中考有关求阴影部分面积的题SS目变得灵活多样,给中考带来生机与活力,其正六边形=6S?OAB,从而得阴影=5.S空白中有一小部分客观题,阴影部分条块分割、四故选C.分五裂,迷惑着考生,令人望而生畏.但若能例2(2011龙岩)如图3,依次以三角利用整体思想,将其合理变换,往往能迎
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2015年 知识清单(第2题)
求由曲线 与直线 所围成的图形的面积．
【正确答案】
【原题答案】
先求出抛物线与直线的交点,
即两个交点为 ,
则所求图形(如图阴影部分)的面积为
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图形面积(六年级奥数题及答案)
11:44:07&&&&&&&&标签：
　　1、有10张扑克牌，点数分别为1，2，3，&，9，10。从中任意取出若干张牌，为了使其中必有几张牌的点数之和等于15，问最少要取多少张牌?
　　2、在三角形ABC中，点E是BC边上的中点，点F是中线AE上的点，其中AE＝3AF，并且延长BF与AC相交于D，如下图所示。若三角形ABC的面积为48，请问三角形AFD的面积为多少？
点击下一页查看答案
　　1．& 有10张扑克牌，点数分别为1，2，3，&，9，10。从中任意取出若干张牌，为了使其中必有几张牌的点数之和等于15，问最少要取多少张牌?
　　解答：若只取5张牌，有可能不满足条件，例如1，2，8，9，10。因此，最少取的张数不小于6。下面证明6可以满足条件。
　　可以将5-10分成3组：{5，10}，{6，9}，{7，8}，每组至多选一个
　　则若在1，2，3，4中任意选三个数，它们的和一定在上面三组数中，即6个数必有若干个之和为15。
　　2．& 在三角形ABC中，点E是BC边上的中点，点F是中线AE上的点，其中AE＝3AF，并且延长BF与AC相交于D，如下图所示。若三角形ABC的面积为48，请问三角形AFD的面积为多少？
来源：奥数网
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　　我们曾经学过的三角形、长方形、正方形、平行四边形、梯形、菱形、圆和扇形等图形，一般称为基本图形或规则图形.我们的面积及周长都有相应的公式直接计算.如下表：
　　实际问题中，有些图形不是以基本图形的形状出现，而是由一些基本图形组合、拼凑成的，它们的面积及周长无法应用公式直接计算.一般我们称这样的图形为不规则图形。
　　那么，不规则图形的面积及周长怎样去计算呢？我们可以针对这些图形通过实施割补、剪拼等方法将它们转化为基本图形的和、差关系，问题就能解决了。
　　先看三道例题感受一下
　　例1 如右图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米.求阴影部分的面积。
　　一句话：阴影部分的面积等于甲、乙两个正方形面积之和减去三个“空白”三角形（△ABG、△BDE、△EFG）的面积之和。
　　例2 如右图，正方形ABCD的边长为6厘米，△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，求三角形AEF的面积.
　　一句话：因为△ABE、△ADF与四边形AECF的面积彼此相等，都等于正方形ABCD面积的三分之一，也就是12厘米.
　　S△ABE=S△ADF=S四边形AECF=12
　　在△ABE中，因为AB=6.所以BE=4，同理DF=4，因此CE=CF=2，
　　∴△ECF的面积为2&2&2=2。
　　所以S△AEF=S四边形AECF-S△ECF=12-2=10（平方厘米）。
　　例3 两块等腰直角三角形的三角板，直角边分别是10厘米和6厘米。如右图那样重合.求重合部分（阴影部分）的面积。
　　一句话：阴影部分面积=S△ABG-S△BEF，S△ABG和S△BEF都是等腰三角形
　　总结：对于不规则图形面积的计算问题一般将它转化为若干基本规则图形的组合，分析整体与部分的和、差关系，问题便得到解决.
　　常用的基本方法有：
　　一、相加法这种方法是将不规则图形分解转化成几个基本规则图形，分别计算它们的面积，然后相加求出整个图形的面积.
　　例如：求下图整个图形的面积
　　一句话：半圆的面积+正方形的面积=总面积
　　二、相减法这种方法是将所求的不规则图形的面积看成是若干个基本规则图形的面积之差.
　　例如：下图，求阴影部分的面积。
　　一句话：先求出正方形面积再减去里面圆的面积即可.
　　三、直接求法这种方法是根据已知条件，从整体出发直接求出不规则图形面积.
　　例如：下图，求阴影部分的面积。
　　一句话：通过分析发现阴影部分就是一个底是2、高是4的三角形
　　四、重新组合法这种方法是将不规则图形拆开，根据具体情况和计算上的需要，重新组合成一个新的图形，设法求出这个新图形面积即可.
　　例如：下图，求阴影部分的面积。
　　一句话：拆开图形，使阴影部分分布在正方形的4个角处，如下图。
　　五、辅助线法这种方法是根据具体情况在图形中添一条或若干条辅助线，使不规则图形转化成若干个基本规则图形，然后再采用相加、相减法解决即可
　　例如：下图，求两个正方形中阴影部分的面积。
　　一句话：此题虽然可以用相减法解决，但不如添加一条辅助线后用直接法作更简便（如下图）
　　根据梯形两侧三角形面积相等原理（蝴蝶定理），可用三角形丁的面积替换丙的面积，组成一个大三角ABE，这样整个阴影部分面积恰是大正方形面积的一半.
　　六、割补法法这种方法是把原图形的一部分切割下来补在图形中的另一部分使之成为基本规则图形，从而使问题得到解决.
　　例如：下图，若求阴影部分的面积。
　　一句话：把右边弓形切割下来补在左边，这样整个阴影部分面积恰是正方形面积的一半.
　　七、平移法这种方法是将图形中某一部分切割下来平行移动到一恰当位置，使之组合成一个新的基本规则图形，便于求出面积.
　　例如：下图，求阴影部分的面积。
　　一句话：可先沿中间切开把左边正方形内的阴影部分平行移到右边正方形内，这样整个阴影部分恰是一个正方形。
　　八、旋转法这种方法是将图形中某一部分切割下来之后，使之沿某一点或某一轴旋转一定角度贴补在另一图形的一侧，从而组合成一个新的基本规则的图形，便于求出面积.
　　例如：下图（1），求阴影部分的面积。
　　一句话：左半图形绕B点逆时针方向旋转180&，使A与C重合，从而构成右图（2）的样子，此时阴影部分的面积可以看成半圆面积减去中间等腰直角三角形的面积.
　　九、对称添补法这种方法是作出原图形的对称图形，从而得到一个新的基本规则图形.原来图形面积就是这个新图形面积的一半.
　　例如：下图，求阴影部分的面积。
　　一句话：沿AB在原图下方作关于AB为对称轴的对称扇形ABD.弓形CBD的面积的一半就是所求阴影部分的面积。
　　十、重叠法这种方法是将所求的图形看成是两个或两个以上图形的重叠部分。
　　例如：下图，求阴影部分的面积。
　　一句话：可先求两个扇形面积的和，减去正方形面积，因为阴影部分的面积恰好是两个扇形重叠的部分.
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