关于度规张量与任意一个二阶张量进行点乘的问题_相对论吧_百度贴吧
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关于度规张量与任意一个二阶张量进行点乘的问题收藏
设度规张量的G(包括它的协变、逆变、混变），T是任一个二阶张量(包括它的协变、逆变、混变），请问：G.T=T.G=T是否恒成立？也就是说无论G与T以怎样的形式（协变、逆变、混变）进行点乘，G总可以看作1？
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貌似点乘是对矢量做的，对高阶张量如何定义？有何用处？我都不知道…
先做张量积再缩并。单点积缩并的是“点”两边的指标。并（或串）联式双（或多）点积的定义有点复杂，定义我以前贴出过。举个单点的积的例子：T^ab.S^cd=(T^ab)(S^bc)=H^adT^abcd.S_efg=(T^abcd)(S_dfg)=H^abc_fg
这是张量指标的缩并..抛弃手上的工科数学书,找本更靠近数理的书吧,这样好有共同语言
G是一个二阶张量，它与任意一个二阶张量T的点积，仍然是一个二阶张量。我认为对于实体而言，G.T=G.T=T总是成立的。尽管不同型（指逆变、协变与混变）G与不同型的T进行点乘时，可能会保持T的指标位置不变，也可能会对T升一个指标或降一个指标，但所得的结果变回同一类型的话，可以发现它们总是相等的。
话说学术是不分门派的。张量的点积、矢积、张量函数既然有定义。那么就会有它的用处。工科的数学也有缩并的定义，为什么还要定义点积和矢积呢？自然有它的用处吧。
G是一个二阶张量，它与任意一个二阶张量T的点积，仍然是一个二阶张量。我认为对于实体而言，G.T=T.G=T总是成立的。尽管不同型（指逆变、协变与混变）G与不同型的T进行点乘时，可能会保持T的指标位置不变，也可能会对T升一个指标或降一个指标，但所得的结果变回同一类型的话，可以发现它们总是相等的。
我看你的笔记，对张量的认识似乎是从运算法则开始的...这样不容易把握到本质...应该像Wald那样，从微分流形开始，定义切空间什么的，把张量看做映射...
g^a_b=delta^a_b
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从他4楼的定义看
他的点乘是
T^ab·S^cd= T^ab S^cd delta^b_c所以1楼说的显然不等啊
除非T是对称的
对一上一下两个指标的度规，这个等式才会成立。任何矩阵都和单位矩阵可交换
给楼主一条定理：与有限维不可约张量对易的矩阵，必是单位矩阵和常数的乘积。所以楼主的等式只能在，度规是对角的情况成立。
楼上各位。我验证过了。T=G.T=T.G确实是恒成立的。见下图：
T.G=G.T=T成立，既不需要T对称，也不需要G对角，也不限于他们是什么样的类型，等式的成立与张量写成协变、逆变还是混变无关。
你的验证是找了一个具体的张量来的，不能代表普适的意义。
数据是我随意地随机地输入去了.碰巧这个张量对于此等式就成立的几率是十分十分之微小的.下面又随意算了一个:
你认真看的话,你会发现，各种形式的[G.T]与[T.G]最后是由[G]、[g]、[T]、[δ]以不同的组合次序相乘而得的，而[G][g]=[g][G]=[δ]，而[δ]则是一个单位矩阵I。所以这样的结果是必然的。
你打字打的是T和G的点积，但中间却加上了g，这可谓挂羊头卖狗肉。
老湿。G.T是怎么算来着的？
大湿？你还有异议否？
这是个定义的问题。如果你把两个逆变张量的内积定义为先将一个张量的指标下降，再进行缩并，那么这个结论就是正确的，而这个结论正确的原因如你所说，也如我10楼所说。然而这里的问题在于，大部分微分几何运算和广义相对论运算是建立在单纯的指标缩并运算上，这种点积引入了新的复杂性，也不是这类理论的标准形式。
另外说一句，在工程张量分析中之所以引入张量点积，是因为其所处理的问题基本都是在三维欧式空间中，而这时上下指标实际上是没有区别的。
那么T^abbc按照抽象指标约定，中间的两指标b是要缩并掉的。请问直接缩并的话该如何缩并？
在曲线坐标系或斜角坐标系中，还是有区别的。
不是一上一下就无法缩并，也是因此，一般的微分几何中不定义点积，但我们知道在正交曲线坐标系中（工程中一般都使用正交曲线坐标系），度规张量是对角的，因此上下标实际上不构成问题。
所以我前面说应该从微分流形上的切空间上的映射来认识张量啊
这样就知道上下指标的意义是什么了...
你直接从计算开始就会有很多这样的confusion
譬如什么这个和那个不能缩啊...为什么不看梁灿彬呢？
不是一上一下就无法缩并=============================但是我们可以通过度规来升一个指标或降一个指标.其实中间的g所起的作用就是把后的面的T的指标降下来.另外.我这里说的张量的点乘,是很明确地指同一个点处的两个张量的点乘.在弯曲空间中,别说点乘无法定义,就连张量相加也是无法定义的.不过,也不怕.因这还有联络这个东西,可以把张量平移到同一个点,然后再相加.我想张量点乘也一样,可以把不同点的张量移到同一个点再点乘.而对一个点来说,总是可以看作平直的,因为"局域"这个词大家都不会陌生.不知 及 对此有何不同的看法.
对于这个,我的意见是:不是不能缩,而是要用度规把其中一个的指标升上去或降下来再缩.
你说的很对，而在微分几何中，我们常用的也就是缩并这个概念，点积（或者多点积）在电动力学中有一些应用，但在微分几何中一般不用。
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