鸡兔同笼研讨课资料_百度文库
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鸡兔同笼研讨课资料|
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八年级数学鸡兔同笼 参考资料 北师大版
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　　　　丞相买鸡和不定方程　　传说，我国古代有一位丞相给仆人100元钱，叫他买回一百只鸡.　　仆人到市场一打听，原来公鸡、母鸡、小鸡的价钱不一样.公鸡每只5元，母鸡每只3元，小鸡3元1只.仆人想：我拿这一百元钱买多少只公鸡，多少只母鸡，多少只小鸡才恰好凑够一百只鸡呢？仆人算了半天也没算出来.　　咱们来帮助仆人算一算，买多少只公鸡、母鸡、小鸡恰好凑够一百只鸡.　　设公鸡为x只，母鸡y只，小鸡z只.　　由题目所给的条件可以列出方程组　　　　这个方程有点特殊，有三个未知数，方程只有两个，像这样未知数的个数多于方程的个数的方程或方程组叫“不定方程”.　　丞相买鸡就是一道不定方程问题.解这个方程时，可以把其中一个未知数移到方程的右端得 　　再适当给z一些数值，比如令z=78由方程组　　　　解得x=4,y=18.也就是说用一百元可以买4只公鸡，18只母鸡，78只小鸡.　　答案不止这一组.可以令z=81得方程组 　　解得x=8,y=11.就是说还可以买8只公鸡，11只母鸡，81只小鸡.　　同样还可以得到第三组解12只公鸡，4只母鸡和84只小鸡.　　z值是否任意给定呢？不行.当我们把z的值取的小于78或大于84时，鸡数就会出现了负数了；我们取78和84之间的其他数时，鸡数会出现分数.　　如果我们不考虑实际问题的条件限制，不定方程一般有无穷组解.　　.......微信中政教育微信号:zzexam
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国家公务员考试：2015江苏公务员考试行测指导：鸡兔同笼问题
16:08:55&&&来源：&&&评论： 点击：
中政教育发布：2015江苏公务员考试行测指导：鸡兔同笼问题，供广大考生学习参考。
& & 一、考情分析
　　鸡兔同笼问题在最近江苏省的公务员考试中还是出现过的，也是考生需要熟练掌握的题型。
　　二、问题概述
　　&鸡兔同笼&是我国古代的一类有名的算术题，最早出现在《孙子算经》中。闲话插一句，《孙子算经》大约是公元四、五世纪写的，离现在已经有一千多年的历史了，这本书是我国有名的《算经十书》里面的一本，大家有兴趣可以去看一下。
　　话题转回来，《孙子算经》里面有这么一道题：&今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？&转化成为现在的话来说就是：&现在把一群鸡和一群兔子关到一起，有个人去数一下，从上面数，发现一共有35个头，从下面数，发现有94条腿，问有多少只鸡，多少只兔子？&
　　下面我们来介绍两种方法来解决这个问题。
　　三、解题方法
　　（一）假设法
　　首先我们用一种常规的方法来做做这道题。我们知道，一只鸡有2条腿，一只兔子有4条腿，现在一共有35只动物，却有94条腿，说明鸡和兔都是存在的。我们假设所有的动物都是鸡，那么35个动物就应该有70条腿，这样就少了24条腿，对吧？大家可以想一想，这24条腿是从何而来的？原因就出在我们的假设中，我们把所有的动物都看成是鸡，而实际上每一只兔子是比鸡多了2条腿，这24条腿应该就是因为我们把12只兔子看成了鸡，也就是说应该有12只兔子，那鸡就应该有35-12=23只。
　　我们总结一下上面的推导过程，可以知道&设鸡求兔&的公式为：
　　兔头数=（总足数-2&总头数）&（4-2）
　　鸡头数=总头数-兔头数
　　我们还可以通过假设全部动物是兔子来求。如果所有的动物都是兔子，那么就应该有4&35=140条腿，比已知多了46条腿，我们也可以很明显看出，这46条腿就是我们把鸡算成了兔子的结果，每一只鸡多算了2条腿，所以，鸡的数量应该是46&2=23只，兔子的数量为35-23=12只。两种方法得出来的结果完全一样。
　　我们同样总结一下，&设兔求鸡&的公式为：
　　鸡头数=（4&总头数-总足数）&（4-2）
　　兔头数=总头数-鸡头数
　　大家注意一下这两组公式，很重要的结论就出来了：
　　我们如果要求兔的数量，就要把所有的动物假设为鸡来求；如果要求鸡的数量，那就把所有的动物假设是兔子。也就是说，在鸡兔同笼问题中，如果我们要求其中一种东西时，就把所有的东西都当成是另一种东西，这样就能求出它的数量了。
　　（二）方程法
　　也许有同学觉得刚才的假设法很复杂，想起来总是在绕圈子，那么我现在来介绍另外一种简单明了的方法&&方程法。还是上面那道题，我们再来仔细看一下，题目要求的是鸡和兔子的数量，那我们简单的把鸡的数量写成鸡，兔的数量写成兔，也就是说鸡+兔=35。现在再来看腿的情况，鸡有2条腿，兔有4条腿，那么来算腿的数量，就有2鸡+4兔=94。我们现在把两个方程放到一起：鸡+兔=35，2鸡+4兔=94，这个方程很容易能够解出来，大家可以算一下，得到，鸡有23只，兔有12只。
　　用方程法来解这类问题，只需要分别假设出这些东西的数量，然后很容易就能列出二元一次方程组来求解。
　　四、题型精讲
　　我们现在来看看鸡兔同笼问题中常考的几种情况。
　　（一）基础题型：已知头数和腿数，求各自的数量
　　这是最基础的题型，大家可以尝试着分别用以上两种方法来试一下。
　　例题1：在同一个笼子中，有若干只鸡和兔，从笼子上看有40个头，从笼子下数有130只脚，那么这个笼子中装有兔、鸡各多少只？
　　【答案详解】方法一，利用假设法。假设全是鸡或全是兔，脚的总数必然要多或少，通过脚数与实际数之差，可以知道造成差的原因，于是知道应有多少只兔或应有多少只鸡。
　　设鸡求兔：
　　兔：（130-2&40）&（4-2）=25
　　鸡：40-25=15
　　设兔求鸡：
　　鸡：（4&40-130）&（4-2）=15
　　兔：40-15=25
　　方法二，利用方程法。设笼子中装有鸡、兔分别为x只、y只，则根据条件可得
　　x+y=40，2x+4y=130。 解得x=15，y=25。
　　（二）已知头数与腿数之差，求各自的数量
　　这类问题会告诉你，鸡和兔子一共有多少只，然后告诉你鸡的总腿数比兔多多少，或者少多少，然后让你来求鸡和兔子的数量。大家来看一下这道题，看看应该怎么来做。
　　例题2：鸡与兔共100只，鸡的脚数比兔的脚数少28，问鸡与兔各几只？
　　【答案详解】方法一，假如再补上28&2=14只鸡，那么鸡与兔脚数就相等，每只兔的脚数是每只鸡的脚数的2倍，则鸡的只数是兔的只数的2倍，所以
　　兔：（100+14）&（2+1）=38只，
　　鸡：100-38=62只；
　　当然也可以去掉兔28&4=7只，
　　兔：（100-7）&（2+1）+7=38只，
　　鸡：100-38=62只。
　　方法二，任意假设一个数。
　　假设有50只鸡，就有兔100-50=50只。此时脚数之差是4&50-2&50=100，比28多了72，就说明假设的兔数多了、鸡数少了。为保持总数是100，一只兔换成一只鸡，少了4只兔脚，多了2只鸡脚，相差为6只（注意不是2）。因此要减少的兔数是：
　　（100-28）&（4+2）=12只，
　　兔：50-12=38只。
　　鸡：50+12=62只。
　　方法三，方程法。
　　设鸡有x只、兔有y只，则
　　x+y=100，4y-2x=28，解得x=62，y=38。
　　（三）&三者同笼&问题
　　有时候大家觉得两种动物放在一起还不够复杂，这时候他们会把三种动物放在一起，然后让你们来求。大家来看看下面这道题：
　　例题3：蜘蛛有8条腿，蜻蜓有6条腿和2对翅膀，蝉有6条腿和1对翅膀，现在这三种小虫共18只，有118条腿和18对翅膀，蜘蛛、蜻蜓、蝉各几只？
　　A.5、5、8&&& B.5、5、7&&& C.6、7、5&&& D.7、5、6
　　【答案详解】这是一道三者同笼的&鸡兔同笼&问题。首先，蜻蜓和蝉都是6条腿，计算腿的数量时将它们作为一个整体考虑，假设全是6条腿的小虫，则可知蜘蛛的数量。
　　蜘蛛有（118-6&18）&（8-6）=5只，那么蜻蜓和蝉共有18-5=13只。
　　再假设这13只都是蝉，则可知蜻蜓的数量。
　　蜻蜓有（18-1&13）&（2-1）=5只，蝉有13-5=8只。
　　大家可以看出来，这类问题实际上还是把三种动物转化成两种动物来求。
　　&鸡兔同笼&问题的解法一般只适用于两类不同物体间的关系，而题目中涉及到三类不同的物体时，我们需要找到其中两类物体的共同点，把他们看成一个整体，从而把三类物体间的关系转化为两类物体间的关系。
　　（四）鸡兔同笼问题变形
　　大家再来看看这几道题，虽然没有鸡、没有兔子，但是他们还是鸡兔同笼问题。
　　例题4：有大小两个瓶，大瓶可以装水5千克，小瓶可以装水1千克，现在有100千克水共装了52瓶。问大瓶和小瓶相差多少个？
　　A.26个&&&& B.28个&&&& C.30个&&&& D.32个
　　【答案详解】此题属于&鸡兔同笼&问题。利用假设法，假设都是装1千克水的小瓶，则共装水52千克，现在多装了100－52=48千克（即总量的差），因为每差5-1=4千克（即单位量的差）就说明有一个大瓶，那么大瓶共有48&4=12个，小瓶有52－12=40个，两者相差40－12=28个。
　　例题5：小明每天必须做家务，做一天可得３元钱，做得特别好时每天可得５元钱，有一个月（３０天）他共得１００元，这个月他有（&&& ）天做得特别好。
　　Ａ。２&&&& Ｂ。３&&&& Ｃ。５&&&& Ｄ。７
　　【答案详解】假设每天都得3元钱，那么他一个月应得30&3=90元，而实际得到100元，做得特别好时每天可多得5-3=2元，则这个月有（１００-90）&（５-３）＝５天做得特别好。
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> 2014省考辅导资料：关于鸡兔同笼问题的探讨
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　　&鸡兔同笼&是一类有名的中国古算题，出自我国1500年前唐代的一部算书《孙子算经》中。原题如下：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何?纵观近几年国家和各省地市的数量关系题目很多都可以转化成这类问题，对于此类问题的解答要求考生熟练掌握。
　　古代人们希望用心算就可以得到答案，对于此类问题的古人的算法是：给笼中的鸡和免下一道命令，&金鸡独立，兔子举手&，这时地面还剩多少只脚?94&2=47(只)，对于鸡来说，头数和脚数是一样的;而免则是1头对2足，所以兔子的头数是47-35=12，即兔子有12只，而鸡有35-12=23只。合成总算式为：兔数=足数&2-头数=94&2-35=12，鸡数=头数-兔数=35-12=23。这是采用&金鸡独立，兔子举手&的命令来做。
　　大家想一下，这个题目是不是也可以用类似命令的这样的思路来想：鸡兔共有35只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚，两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了2只脚，即把兔子都先当作两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是35&2=70(只)，比题中所说的94只要少94-70=24(只)。现在，松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加2只，即70+2=72(只)，再松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加2&&，一直继续下去，直至增加24，因此兔子数：24&2=12(只)，从而鸡有35-12=23(只)。
　　我们来总结一下&假设法&的解题思路：先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差2只脚就说明有1只兔，将所差的脚数除以2，就可以算出共有多少只兔。此类我们称之为&假设法&，概括起来，解鸡兔同笼题的基本关系式是：
　　兔数=(实际脚数-每只鸡脚数&鸡兔总数)&(每只兔子脚数-每只鸡脚数)
　　鸡数=(每只兔脚数&鸡兔总数-实际脚数)&(每只兔子脚数-每只鸡脚数)
　　下面我们通过历年真题来进一步强化&假设法&
　　【例1】赢一场球赛得3分，平一场得1分，负一场得0分，某队踢12场负6场得分16分，问胜了几场?( )【安徽省省考2008】
　　A. 4 B. 6 C. 7 D. 5
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有关北师大版“鸡兔同笼”教学的几点思考
[ 录入者:zhaotou |&时间: 08:09:48
| 作者:常搜资料坊 | 来源:
| 浏览:75次 ]
　　思考一：“鸡兔同笼”问题是北师大版五年级上册第五单元的内容，属于综合应用的范畴，是尝试与猜测这个专题下的一个内容。教材选“鸡兔同笼”这个题材，主要目的是什么？　　我以为，教材选“鸡兔同笼”这个题材，主要不是为了解决“鸡兔同笼”问题本身，而是要借助“鸡兔同笼”这个载体让学生经历列表、尝试和不断调整的过程，从中体会出解决问题的一般策略――列表。　　思考二：教材为什么要通过列表的方法来解决“鸡兔同笼”的问题，为什么不强调传统奥数教学中强调的解决“鸡兔同笼”的代数法？　　其实，在人教版六年级教材中也有“鸡兔同笼”问题，但是它是被安排在“数学广角”内容里，借助于古代的数学名题，教授学生运用猜测法、列举法、假设法、代数法等方法解决问题。教材在教学目标上着重强调“尝试用不同的方法解决问题，并使学生体会代数方法的一般性，在解决问题的过程中培养学生的逻辑推理能力”，注重体现解决“鸡兔同笼”问题的不同思路和方法。在人教版教材里，列表法只是作为学生思考的一个基础，是学生掌握鸡兔同笼最基本的方法。同时，它也可以作为其他解题方法的台阶――代数法、方程法。　　“鸡兔同笼”问题在新世纪小学数学教材五年级上册中是以课文正文部分出现的，很明显，代数法和方程法对于五年级的学生来说，要求太高。也正因为列表法是基础，所以在北师大版教材里，对于“鸡兔同笼”问题，就专以列表法来进行分析。在后面相应的练习、复习中，相关的题目也都附上了表格，能够让学生较好地运用这种基本的解题策略解题。教学时，教师不宜补充其他解法，以免分散学生的注意力，影响学生对列表法这一常用数学方法的掌握，更不应要求学生直接套用公式解题。　　思考三：教材中解决“鸡兔同笼”问题是“从有1只鸡开始一个一个地试，把试的结果列成表格”，这种方法显得繁而有累赘之感，学生往往不愿选择这种解决问题的方法。那么，教师是否要重视逐一列举法呢？　　我认为，数学教学中要非常重视逐一列举法的解决问题的方法。为什么呢？原因有三：　　1.“一个一个地试”，可以揭示鸡、兔只数变化引起它们腿的条数的变化规律：多一只鸡，少一只兔，减少了2条腿。掌握了这个规律，便于下面“跳跃法”“取中法”的推算。如果急于从后面两种方法入手，在后面的推算过程中，部分学生觉得难以把握，引起推算不准等错误。　　2.“一个一个地试”，便于学习困难生接受和掌握。　　3.在解决某些方面问题时，“一个一个地试”是一种比较好的解决方法。如：用大小卡车往城市运29吨蔬菜，大卡车每辆每次运5吨，小卡车每辆每次运3吨，大小卡车各用多少辆能一次运完？　　（责编杜华）}