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已知AB、CD是互相垂直的两条弦,OE垂直于AD,求证：OE=二分之一BC.&
小北W21WCm
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作直径df,连af,fc,ac∵df是直径∴∠fad=90°∵∠afd=∠acd（同弧所对圆周角相等）又∵∠afd+∠adf=90° ∠acd+∠cab=90°∴∠adf=∠cab∴af弧=bc弧 af=bc∵oe是△adf的中位线∴oe=1/2af=1/2bc
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延长CO,AO分别交圆于F,G, 连接AC,DG,BF,设AB,CD的交点为M,∵∠CAB=∠CFB（同弧角），∴RtΔACM∽RtΔBCF, 同理，∵∠ACD=∠AGD，∴RtΔACM∽RtΔADG
又CF=AG(同为直径），∴RtΔADG≌RtΔBCF，∴DG=BC.∵∠AEO=90°=∠ADG,∴EO∥DG（同位角）,根据弦径定理AE=DE,∴EO=1/2DG（中位线定理）=1/2BC...
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已知:在圆O中,AB,CD是两条弦,且AB⊥CD于G,OE⊥BC于点E,求证:OE=二分之一AD
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延长CO,交圆O于F,连接BF、DF因为 CF是直径所以 ∠CBF＝90所以 ∠ABC＋∠ABF＝90因为 AB垂直CD所以 ∠DCB＋∠ABC＝90所以 ∠ABF＝∠DCB所以 BD弧＝AF弧所以 AD弧＝BF弧所以 AD＝BF因为 OE垂直BC所以 E是BC中点因为 O是CF中点所以 OE是△CFB中位线所以 OE＝BF/2所以 OE＝AD/2
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1.75亿学生的选择
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1.75亿学生的选择
在圆o中,AB,CD是两条弦,OE垂直于AB,OF垂直于CD,垂足分别为EF.（1）如果角AOB=角COD,那么OE与OF的大小有什么关系?为什么?（2）如果OE=OF,那么AB与CD的大小有什么关系?AB于CD的大小有什么关系?为什么?角AOB与角COD呢?
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(1)如果角相同,则OE=OF.因为在圆内,则半径相同,属于等边三角形,顶角相同,AB=CD,.(2)
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1.75亿学生的选择
如图，在⊙O中，与相等，OD⊥BC，OE⊥AC，垂足分别为D、E，且OD=OE，那么△ABC是什么三角形，为什么？
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△ABC为等边三角形．理由如下：连接OC，∵=，∴AB=BC，∵OD⊥BC，OE⊥AC，∴CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°，∵在Rt△ODC和Rt△OEC中，，∴Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），∴CD=CE，∴BC=AC，∴AB=AC=CB，∴△ABC为等边三角形．
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根据圆心角、弧、弦的关系由=得到AB=BC，再由OD⊥BC，OE⊥AC，根据垂径定理和垂直的定义得到CE=AC，CD=BC，∠ODC=∠OEC=90°，利用三角形全等的判定方法可得到Rt△ODC≌Rt△OEC（HL），则CD=CE，于是有BC=AC，则AB=AC=CB，即可得到△ABC为等边三角形．
本题考点：
圆心角、弧、弦的关系；全等三角形的判定与性质；等边三角形的判定．
考点点评：
本题考查了圆心角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么其余各组量也分别相等．也考查了垂径定理和等边三角形的判定．
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已知,在圆O中,弦AB垂直CD,OE垂直BC,求证OE等于二分之一AD
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延长CO,交圆O于F,连接BF、DF 因为 CF是直径 所以 ∠CBF＝90 所以 ∠ABC＋∠ABF＝90 因为 AB垂直CD 所以 ∠DCB＋∠ABC＝90 所以 ∠ABF＝∠DCB 所以 BD弧＝AF弧 所以 AD弧＝BF弧 所以 AD＝BF 因为 OE垂直BC 所以 E是BC中点 因为 O是CF中点 所以 OE是△CFB中位线 所以 OE＝BF/2 所以 OE＝AD/2
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