已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．（1）若x∈N_答案_百度高考
数学 函数的奇偶性、周期性、分段函数与抽象函数...
已知函数f（x）对任意的实数x，y都有f（x+y）=f（x）+f（y）+2y（x+y）+1且f（1）=1．（1）若x∈N*，试求f（x）的解析式；（2）若x∈N*，且x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，求实数a的取值范围．
第-1小题正确答案及相关解析
（1）令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0）+0+1，f（0）=-1，令y=1得，f（x+1）=f（x）+f（1）+2（x+1）+1=f（x）+2x+4，即f（x+1）-f（x）=2x+4，∴f（2）-f（1）=2×1+4，f（3）-f（2）=2×2+4，f（4）-f（3）=2×3+4，…f（x）-f（x-1）=2×（x-1）+4，累加得：f（x）-f（1）=2（1+2+3+4…+（x-1））+4（x-1）=x2+3x-4，又
f（1）=1，∴f（x）═x2+3x-3，x∈N*．（2）∵x≥2时，不等式f（x）≥（a+7）x-（a+10）恒成立，∴x2+3x-3≥（a+7）x-（a+10）恒成立，即 a≤==（x-1）+-2，由基本不等式得 （x-1）+-2≥4-2=2 （当且仅当x=3时，等号成立），∴（x-1）+-2 的最小值是2，，∴a≤2高中数学 COOCO.因你而专业 ！
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已知定义在实数集上的函数y=f(x)满足条件:对于任意的x、y∈R, f(x+y)=f(x)+f(y). (1)求证:f(0)=0;?(2)求证:f(x)是奇函数,试举出两个这样的函数;?(3)若当x＞0时,f(x)＜0.?①试判断函数f(x)在R上的单调性,并证明之;?②判断函数|f(x)|=a所有可能的解的个数,并求出对应的a的范围.
解析:(1)证明:令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),即f(0)=0.?(2)证明：令y=-x,则f(0)=f(-x)+f(x),?即f(-x)=-f(x),故f(x)为奇函数;?例如:y=-2x,y=3x.?(3)①任取x1、x2∈R,且x1＜x2,则x2-x1＞0.?f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)＜0.?∴f(x2)＜f(x1).∴函数f(x)为(-∞,+∞)上的减函数.?②显然本题中的函数f(x)在R上单调递减,f(0)=0,所以|f(x)|≥0,判定|f(x)|=a的解的个数也就是判定y=|f(x)|与y=a的图象交点个数.当a＞0时，有两解；?当a=0时，有一解；?当a＜0时，无解.?答案:(1)令x=y=0,则f(0)=f(0)+f(0).?(2)令y=-x,则f(0)=f(-x)+f(x),?即f(-x)=-f(x),?故f(x)为奇函数.?例如:y=-2x,y=3x.?(3)①任取x1＜x2,则x2-x1＞0,?f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1)＜0,?则f(x2)＜f(x1),?所以该函数f(x)为(-∞,+∞)上的单调减函数.②当a＞0时,有两解;当a=0时,有一解;当a＜0时,无解.
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∴f（3）==，f（4）==，
∴猜想f（x）=（x＞0）是减函数．
故答案为：，，减；
（2）证明：假设x1＜x2，且x1＞0，x2＞0
f（x1）f（x2）===，
∵x1＜x2，且x1＞0，x2＞0
∴x2x1＞0，x2+x1＞0，x12x22＞0，
∴＞0，即f（x1）f（x2）＞0
∴f（x1）＞f（x2）
∴函数f（x）=（x＞0）是减函数．
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