想问一下那个1+2+3+···+∞=-1/12怎么理解。谢谢各位大神了。 | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
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。好像有一说是量子力学的教程里直接把他作为一个定义。
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智能科学专业
幂级数展开。。。。。有收敛域的。。。。。。。。。那个函数的收敛域是（-1，1）开区间哦～～～～
Mathematica玩家
从楼主的另一个帖子看出，ζ函数楼主是知道的。Re(s)&1时，ζ(s)的定义是1/^s+1/2^s+1/3^s+…。它在这个区域上是解释函数，而且，可以把它解释延拓到整个复平面（除了s=1这点）。这样延拓之后，可以证明ζ(-1)=-1/12。但楼主给的这种方法显然不能看做是严谨的证明。欧拉最擅长的就是用各种不靠谱的方法做出准确的结果。
Mathematica玩家
ζ函数……
智能科学专业
幂级数展开。。。。。有收敛域的。。。。。。。。。那个函数的收敛域是（-1，1）开区间哦～～～～
Mathematica玩家
从楼主的另一个帖子看出，ζ函数楼主是知道的。Re(s)&1时，ζ(s)的定义是1/^s+1/2^s+1/3^s+…。它在这个区域上是解释函数，而且，可以把它解释延拓到整个复平面（除了s=1这点）。这样延拓之后，可以证明ζ(-1)=-1/12。但楼主给的这种方法显然不能看做是严谨的证明。欧拉最擅长的就是用各种不靠谱的方法做出准确的结果。
Mathematica玩家
小弟高数早就忘到九霄云外去了，不过这个结果真的很反直觉。您能肯定所有正整数相加（1＋2＋3＋。。。＋横8）等于负十二分之一？都是正数嘛，哪来的负号？
啊呀！！！是留数呀（想到了Cauchy定理。。。）！！！！果然复数域上的行为和实数域完全不同啊。。。。。。
LZ也许不知道，Zeta函数这玩意可以把任何不收敛的、无限的结果变成有限的？！这就是传说中的Zeta函数正则化？？？？？！！！！！！（不过意义何在啊~~~~~~~~）其实，在数学上那些数学Geek们想出了各种把无限不收敛级数化成有限结果的方法，这种方法通常被称为“求和方法”(summability method or summation method)，这些方法通常都会产生一些反直觉的结果，例如：1+1+1+1+…=-1/21-1+1-1+1-1+...=1/2如果感兴趣可以去看看
的回应：LZ也许不知道，Zeta函数这玩意可以把任何不收敛的、无限的结果变成有限的？！这就是传说中的Zeta函数正则化？？？？？！！！！！！（不过意义何在啊~~~~~~~~）其实，在数学上那些数学Geek们想出了各种把无限不收敛级数化成有限结果的方法，这种方法通常被称为“求和方法”(summability method or summation method)，这些方法通常都会产生一些反直觉的结果，例如：1+1+1+1+…=-1/21-1+1-1+1-1+...=1/2如果感兴趣可以去看看不要误导lz。 对于 1+1/2+1/3+…… ，Zeta函数就不能把它化成有限值。
的回应：不要误导lz。 对于 1+1/2+1/3+…… ，Zeta函数就不能把它化成有限值。额。。。好吧，说错了。。。是有些，不是所有。。。。。。
马了个克，这个得慢慢看，物理专业的表示只能看懂柯西的方法。因为老师说了学物理的只要算出结果来就行了，至于怎么算那是数学系同学的事。老师经常教一些使用但比较瞎掰的计算方法。
Mathematica玩家
再看了一下欧拉的方法，想起了一个平时很少见到的东西：。多重对数的定义是当然，|z|&1时才能这么定义。但这么定义了一个区域里的值后，是可以用解析延拓的方法把它的定义域拓展到整个复平面（可能要排除掉个别点）上去的。多重对数叫这个名字，但它并不是连续求多次对数得到的。它在n=1时确实与对数有关：多重对数一般不是初等的，但当n为负整数时确实可以写成初等的形式（可以通过n=1时的那个公式不断地求导得到），例如，当n的实部大于1时，它和黎曼ζ函数还有这层关系：但这个关系对求s&1时的黎曼ζ函数的值毫无帮助。不过不用担心，我们还有一个，它的定义是：在这个级数不收敛的时候的定义还是靠解析延拓。由这个定义容易证明在s的实部大于1时狄利克雷η函数与黎曼ζ函数有着密切的关系：延拓到整个复平面上，这个关系还是成立的。而狄利克雷η函数与多重对数的关系就更明显了：利用这两个关系，再利用n为负整数时多重对数是初等函数这个性质，就可以算出s为负整数时黎曼ζ函数的值ζ(s)了。这个方法更接近于楼主给出的欧拉的方法。以上所有图片都盗用（链接或截图）自mathworld网站。
智能科学专业
对延拓表示无法理解………T_T
Mathematica玩家
的回应：对延拓表示无法理解………T_T延拓就是把定义域扩大。复变量的函数与实变量的函数有一点很不同的地方：对于一个全纯函数，只要知道它在一个小区域里边的取值，它在整个复平面上的取值就唯一地确定下来了。利用这个性质可以扩大全纯函数的定义域。
智能科学专业
的回应：延拓就是把定义域扩大。复变量的函数与实变量的函数有一点很不同的地方：对于一个全纯函数，只要知道它在一个小区域里边的取值，它在整个复平面上的取值就唯一地确定下来了。利用这个性质可以扩大全纯函数的定义域。可是复变函数明明有收敛域……不然洛郎级数是干啥的？……明天考复变和微分方程………压力好大……(&_&)
Mathematica玩家
的回应：可是复变函数明明有收敛域……不然洛郎级数是干啥的？……明天考复变和微分方程………压力好大……(&_&)你们学的是工科的复变函数？如果是数学系应该讲解析延拓的……
智能科学专业
的回应：你们学的是工科的复变函数？如果是数学系应该讲解析延拓的……当然工科…………我们也讲了一点………不过我完全不理解怎么来的和怎么用的……也许这玩意不会应用到的………
看你对求和的定义是神马了，楼上一帮人弄了半天就是不告诉LZ他们是在什么意义下在求和。。数学可不能这么搞啊
高三同学表示很费解　
有木有通俗易懂的证法
偶然在果壳的论坛上看到这样一篇帖子，说是1+2+3+4+5+……+∞=-1/12。除了个别头脑发热的人，大家都会得出两个明显的结论：1.都是整数相加，怎么会得到分数？2.都是正数，怎么会得到负数？看看它是怎么解释的吧:我来翻译一下：令S=1+2+3+4+5+……，T=1-2+3-4+5-……，G=1-1+1-1+1-1+1-1G=1-1+1-1+1-1+1=1-(1-1+1-1+1-1……)=1-G即1-G=G 2G=1 ∴G=1/22T=(1-2+3-4+……)+(1-2+3-4+5……)
=1+(-2+3-4+……)+1-2+(3-4+5……)
=(1+1-2)+(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+(5-6)
=0+1-1+1-1+1-1
=G即T=1/2G=1/4而T=(1+2+3+……)-2×(2+4+6+……)=(1+2+3+……)-4(1+2+3+……)=S-4S=-3S即-3S=1/4所以S=-1/12 坑爹啊！[参考：][][]
--！先判断收敛域
呃，高三表示不可丽洁。。。尽管我不能指出（其实根本就不能看懂）标准做法的问题，但是难道不等式的可加和性是错误的？a&0, b&0 不能推出 a+b&0 么？
的回应：呃，高三表示不可丽洁。。。尽管我不能指出（其实根本就不能看懂）标准做法的问题，但是难道不等式的可加和性是错误的？a&0, b&0 不能推出 a+b&0 么？无穷的性质不一样。。。。不过有些求和方法其实是坑爹的（例如1+1+1+...=-1/2）这里用到了局部和平均数收敛的方式来重新“定义”了“和”的概念。。。。至于这个Zeta函数正则化，说实话，我也没弄明白其内部机理是什么。。。
为什么：1-1+1-1+1-1+1-1+...=G1-(1-1+1-1+1-1+...)=1-GG=1/2（其实这是扯淡。。。）而：(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0事实上：s1=1,s2=0,s3=1,s4=0.......因此G(n-&∞)不收敛....但是a1=s1=1;a2=(s1+s2)/2=1/2;a3=(s1+s2+s3)/3=2/3...a(2n)=n/2n=1/2;a(2n+1)=(n+1)/(2n+1)因此a(n-&∞)==1/2因此重新定义：1-1+1-1+1-1+...:==a(n-&∞)==1/n*Σs(n)(n-&∞).....然而真正算数意义上的和其实是不存在的。。。。。引用
的回应：呃，高三表示不可丽洁。。。尽管我不能指出（其实根本就不能看懂）标准做法的问题，但是难道不等式的可加和性是错误的？a&0, b&0 不能推出 a+b&0 么？
的回应：偶然在果壳的论坛上看到这样一篇帖子，说是1+2+3+4+5+……+∞=-1/12。除了个别头脑发热的人，大家都会得出两个明显的结论：1.都是整数相加，怎么会得到分数？2.都是正数，怎么会得到负数？看看它是怎么解释的吧:我来翻译一下：令S=1+2+3+4+5+……，T=1-2+3-4+5-……，G=1-1+1-1+1-1+1-1G=1-1+1-1+1-1+1=1-(1-1+1-1+1-1……)=1-G即1-G=G 2G=1 ∴G=1/22T=(1-2+3-4+……)+(1-2+3-4+5……)
=1+(-2+3-4+……)+1-2+(3-4+5……)
=(1+1-2)+(-2+3)+(3-4)+(-4+5)+(5-6)
=0+1-1+1-1+1-1
=G即T=1/2G=1/4而T=(1+2+3+……)-2×(2+4+6+……)=(1+2+3+……)-4(1+2+3+……)=S-4S=-3S即-3S=1/4所以S=-1/12 坑爹啊！[参考：][][]请问汝如何解释：1+1+1+1+...=G=1+G==&1=0?!?!?!?!?!
的回应：为什么：1-1+1-1+1-1+1-1+...=G1-(1-1+1-1+1-1+...)=1-GG=1/2（其实这是扯淡。。。）而：(1-1)+(1-1)+(1-1)+...=0事实上：s1=1,s2=0,s3=1,s4=0.......因此G(n-&∞)不收敛....但是a1=s1=1;a2=(s1+s2)/2=1/2;a3=(s1+s2+s3)/3=2/3...a(2n)=n/2n=1/2;a(2n+1)=(n+1)/(2n+1)因此a(n-&∞)==1/2因此重新定义：1-1+1-1+1-1+...:==a(n-&∞)==1/n*Σs(n)(n-&∞).....然而真正算数意义上的和其实是不存在的。。。。。他可能是在fejer意义下的求和。。。
看看数列/级数的性质吧 毫无争论性可言发散数列可以调整收敛到任意实数及正负无穷 完毕
其实这应该是个悖论……
如果看不懂zeta函数和Gamma函数的我可以给另外一个例子。大家知道几何级数的和法：1/(1-a) = 1 + a + a^2 + a^3 + ...当然等号右边这只在|a| & 1收敛所以这等号严格上来说只在|a|&1成立。|a|&=1时右边是发散的。但是左边沒问题。例如把a=2代进去。左边得到-1。右边得到 1+2+4+8+...所以1+2+4+8+...这发散级数“某意义”上等于-1。这和題目原理是一样的。至於这“某意义”是什么意思是数学分析里的一个重要命题。最后是这种发散级数在理论物理里非常常见。整套量子场论基本上都在求发散级数的和。但很明显最后结果必须是有限的，不然不能跟实验比较。所以理论物理用类似方法来『驯服无限大』。费曼的诺贝尔奬很大程度就是他想到怎样做这种运算。
塑料成型工艺及机械硕士，姓氏漫谈小组组长
如果可以，请一步一步计算，等你等到天荒地老，海枯石烂，我看你怎么把正的算成负的……………………………………：）
的回应：请问汝如何解释：1+1+1+1+...=G=1+G==&1=0?!?!?!?!?!所以G引用
的回应：请问汝如何解释：1+1+1+1+...=G=1+G==&1=0?!?!?!?!?!G=1+G的结论是G=inf。基本上你得到此级数发散的正常结论。这只是你没有用zeta函数规范来和而得到的结果，也是就没有在复数面上做分析延拓……这种发散级数和只是说当你用各种规范法来和的时候你会得到唯一的、有限的和。没有影响级数本身是发散这结论。
挖个坟哈。
这个式子都不对你理解什么
我记得高数课老师说过1-1+1-1+1-1……的和可以想让它得几就是几是怎么回事？
引用 的话：看看数列/级数的性质吧 毫无争论性可言发散数列可以调整收敛到任意实数及正负无穷 完毕正项级数如何通过重排收敛到负数去？黎曼引理的内容是，对于一个条件收敛而非绝对收敛的实数项级数来说，重排可以使它收敛到任意实数及正负无穷。等于-1/12根本不是级数重排带来的后果，而是解析延拓。
解析延拓有收敛区间吧？
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8=56 7=42 6=30 5=20 3=?收藏
8=56 7=426=305=203=?我自己的理论是这样的：56-42=7*242-30=6*230-20=5*220-X=3*2所以 3=14网上还有人的答案是这样:右边等于左边乘以自身减一的倍数n(n-1)8=8(8-1)...3=6但是我发现 3=6 和题意有冲突 因为上面写6=30 那么3也等于30了 就推不通了还有一种理论说8-5=3 8=56 5=20 所以3=56-20=36
这个貌似也有道理 但是和6、7有毛关系？另一种说 左边上下相乘等于右上边，然后还落下了4，我了个去 到底是你在出题还是解人家的题？元芳，你怎么看?
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个人认为3=6是正确的哈。左边的数字看作是一种规则f(x)的自变量x，右边的就是因变量y,就不存在你说的3=6=36的情况了。
画蛇添足，6=30，所以3=0.6
题意只给了4个数字，只要符合上述规律的答案都可以
正确答案是 9 用右边的数除以左边的数。结果是 7 6 5 4 3
为什么想那么复杂。。。。3不就等于3么。。。
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14，不服来辩
这个问题，要揣摩出题人的想法、应该问里面为什么没有4=？而是3=？因为直接出4=？太简单，所以出题人应用跳跃式的想法出题、在智力题很常见、如果起初揣摩出了错，哪整个答案都是错的、而且可以错的千奇百怪、
2+4+6+8+10+12+14=56
56+16=72 72=9*8
有完整的逻辑体系
+1+1+1+1+1+1+1+1
-1-1-1-1-1-1-1-1
在原有的数字上无限+2+2+2+2+2+2+2+2+2+2最后就是2.4.6.8.10.12.14.16.18.第二种
56-42=1442-30=1230-20=1020-12=812-6=66+2+12=206+2+2+20=306+2+2+2+30=426+2+2+2+2+42=56答案是3=12直接跳过43取代了4的位置意味着跳过3-4，2也可以等于12 这个属于只用右边来做运算、3=20-8=12
2=20-8=12 第三种
56=8*742=7*630=6*520=5*4？=3*33=9？=2*22=4哪如果跳过3-4？=2*32=6
按以知3=？哪如果追加提问4等于多少？除了第一个其它的逻辑就都经不起推敲、
至于3=6、6=30、你这个属于纯粹直观性对比、抛去了中间环节、必然就有矛盾、
3=6/2 2=2/1
30/5=6/2=3
如果按楼主的思维，也可以这样解释：
8*6=48+8=56
7*5=35+7=42
6*4=24+6=30
5*3=15+5=20
3*2=6+4=10？
3=14？哈哈哈哈、哪4和2等于多少？
哪：2*1=2+3=5？ 14-X=2*2
4*2=8+4=12
3*1=3+3=6 20-X=4*2
X=6最简单实用的方式：8*（8-1）=567*（7-1）=426*（6-1）=30
5*（5-1）203*（3-1）=64*（4-1）=12
9*（9-1）=72
看第一个等式，8=56，那么8和56必然不是数字，而是代表着两个符号，同样地，这里所有的“数字”都只是符号，所以虽然从规律性上看一个比较让人信服的答案是6，但是它的前提确是错的，因为当认定8,7,6,5都是符号后紧接其下的并不见得是4，3因为他们不是自然数，而是符号。并没有自然数的规律。所以，3只能等于3，这是必然的，与3是符号还是数字无关。但是必然会有很多人因为各种原因反对这个意见，那我们不妨依这些的可能意见推出一些有意思的结果，自然就清晰了。假设上面等式都是数字，那么数字必然满足四则运算。取8=56和7=42。第一个等式除以8得到1=7，第二个等式除以7得到1=6，两式相减，得到1=0，同除以x分之一（x不=0时，当x=0时，x=0已经成立），得到x=0，那么3+0=3+x，而x是任意值，所以3+x是任意值，也就是说3=任意值，那么任何数字都是正确答案，这明显不正确，所以可以看出这些数字都只是符号而已。答案应该只有一个，就是3=3.我不敢保证只有我的是对的，但是我觉得这个逻辑还是比较清晰的，所以反驳的意见希望通过逻辑的方式来进行。
有一个原则大家应该先弄明白，那就是解题的时候不能改变题目本身设定的条件，所有在解这个题目的时候加上4这一行的，和解完题目以后再推理题目上游和下游的都是错误的。解题首要的就是在题目设定的范围内，不能超出题目的设定范围，也不能改变题目的条件。这道题其实还有点哲学的原理在里面，那就是普遍联系的原理。所以，解题的时候不能单独看等号前面或者等号后面，也不能单独看某一行，要把等号两边和上下相邻的两行数字联系起来一起找规律。其实这道题规律就是用上一行的后面那个数减去下一行的前面那个数的2倍，等于下面一行的后面那个数。也就是：56-7*2=42，42-6*2=30，30-5*2=20，20-3*2=14，这就是规律。找规律这种找规律的题解题时最重要的一点就是只能在题目的范围内找，如果超出了题目的范围那找出来的规律对题目就不一定有适用性了。公务员考试里的行测经常会出这样的题，如果按前面大家的做法那就危险了。这道题里前面一列没有4，并且题目最后一行是问“3=？”，不是“4=？”。如果是“4=？”那么他们的答案是对的，但题目是“3=？”，所以他们那个算法是不对的，明白了吗？超出题目设定范围的，不能说是绝对错，但肯定都是曲解了题目的本意。所以，支持楼主，你说的是对的，我也是这么解的。
没发现左边上下两数相乘等于右边的书么，七八五十六，六七四十二，五六三十，四五二十，三四十二，二三得六，三等于六。
我怎么算的是12
8=56=8x8-8,7=42=7x7-7,6=30=6x6-6,5=20=5x5-5,以此类推，4=4x4-4=12,3=3x3-3=6，所以3=6。
看了这么多的结果,没一个跟我算得一样.我算得是9大家不要多想了,直接简单看,:第一排乘7.第二排乘6 第三排乘5 第四排乘4 第五排当然乘3.所以3=9
低智商路过看看
假设题中的等号“=”为数学意义上的大小对等关系符号，由以下进行推算：
如果题目等号左边的字符对于左边的字符均定义为具有规律的阿拉伯数字，右边的字符同样定义为数字，那么N=N*(N－1)就看似成立，3即等于6，但两边都是数字，这违反了数字的规律，3怎么会等于6呢？
所以根据以上得，8不可能在数字意义上等于56，7也不等于42，那么左边的字符只是对于右边字符定义为数字，右边的字符定义为数字，接下来根据观察：8=567=426=305=203=？
由观察可得到1个结论：左边的字符等于右上角的字符减去左边字符的2倍，即：“7”=56-7*2=42“6”=42-6*2=30“5”=30-5*2=20“3”=20-3*2=14
这么看好像是没问题了，但为什么“8”=56？它从何而来？等于72-8*2=56吗？不对啊，没有72这个条件，所以“3”=14这个结论还是有待考量，我们在仔细看一下，我们发现：56-42-7+1=8，正好对应字符“8”，余下同样：42-30-6+1=730-20-5+1=620-X-3+1=5则计算得出X=13，那么“3”=13；再回过头来验算一下：“6”=30“5”=20“3”=1320=5+3+13-1、20=30-6-5+1；“5”=13+3+5-1=20、“5”=30-6-5+1=20。
其实任意上下两个等式都是相互联系的，简单点说就是右边的数字等于围着它的三个数之和再减1，左边的字符等于围着它的最大数字减去两个小数字再加1，上下两个等式缺一不可。
这个结论“3”=13，对了吗？敬请各位高手批驳~
人家出题的意思也许很简单，被你们复杂化了~~~
你少了算4的
看到空间的说说我琢磨完之后想来找找正确答案的。。但是啥鸟答案都有，好吧6，不服来辩。
3=6…6=30…3=30
找规律的题…规律是n的平方减n
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1、试题题目：解方程：（1）3x+4=7x-8（2）x-（7-8x）=3（x-2）（3）3-x2=23(x-4)（4）x-x-1..
发布人：繁体字网（） 发布时间： 7:30:00
解方程：（1）&3x+4=7x-8（2）&x-（7-8x）=3（x-2）（3）3-x2=23(x-4)（4）x-x-12=2-x+23
&&试题来源：不详
&&试题题型：解答题
&&试题难度：中档
&&适用学段：初中
&&考察重点：一元一次方程的解法
2、试题答案：该试题的参考答案和解析内容如下：
（1）移项、合并得：-4x=-12，系数化为1得：x=3；（2）去括号得：x-7+8x=3x-6，移项、合并得：6x=1，系数化为1得：x=16；（3）去分母得：3（3-x）=4（x-4），去括号得：9-3x=4x-16，移项、合并得：-7x=-25，系数化为1得：x=257；（4）去分母得：6x-3（x-1）=12-2（x+2），去括号得：6x-3x+3=12-2x-4，移项、合并得：5x=5，系数化为1得：x=1．
3、扩展分析：该试题重点查考的考点详细输入如下：
&&&&经过对同学们试题原文答题和答案批改分析后，可以看出该题目“解方程：（1）3x+4=7x-8（2）x-（7-8x）=3（x-2）（3）3-x2=23(x-4)（4）x-x-1..”的主要目的是检查您对于考点“初中一元一次方程的解法”相关知识的理解。有关该知识点的概要说明可查看：“初中一元一次方程的解法”。
4、其他试题：看看身边同学们查询过的数学试题：
1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16、17、18、19、20、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40、41、42、43、44、45、46、47、48、49、50、51、52、}