已知函数f=12x2-(a-1)x．+g(x)的单调递增区间,有两个零点x1.x2.且x1＜x2.求实数a的取值范围并证明x1+x2随a的增大而减小． 题目和参考答案——精英家教网——
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已知函数f（x）=lnx-x-lna，g（x）=12x2-（a-1）x．（Ⅰ）求函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；（Ⅱ）若函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2，求实数a的取值范围并证明x1+x2随a的增大而减小．
考点：利用导数研究函数的单调性,函数的零点
专题：导数的概念及应用,导数的综合应用
分析：（Ⅰ）利用函数h（x）=f（x）+g（x）的导函数的值为正，得到函数h（x）=f（x）+g（x）的单调递增区间；（Ⅱ）根据函数的特征得到函数f（x）有两个零点x1，x2，且x1＜x2时的函数最值情况，得到a的相应关系式，求出a的取取值范围，再利用根与系数的关系，得到x1+x2与x2x1=t单调关系，以及t与a的单调的关系式，得到本题结论．
解：（Ⅰ）∵函数f（x）=lnx-x-lna，g（x）=12x2-（a-1）x，∴函数h（x）=f（x）+g（x）=lnx+12x2-ax-lna，∴定义域为（0，+∞）且a＞0，∵h′(x)=1x+x-a=1x(x2-ax+1)=1x[(x-a2)2+4-a42)，∵lnx，lna有意义，∴x＞0，a＞0．（1）当4-a2≥0，即0＜a≤2时，h'（x）≥0对x＞0恒成立，∴h（x）的单调递增区间为（0，+∞）；（2）当4-a2＜0，又a＞0，即a＞2时，由h'（x）=0得：x=a-a2-42，或x=a+a2-42，所以h（x）的单调递增区间为(0，a-a2-42)，(a+a2-42，+∞)；（Ⅱ）当a＞0时，由f′(x)=1x-1=1-xx，得x=1．当x变化时，f'（x），f（x）的变化情况如下表：x（0，1）1（1，+∞）f'（x）+0-f（x）↗-lna-1↘这时，f（x）的单调递增区间是（0，1），单调递减区间是（1，+∞）．当x大于0且无限趋近于0时，f（x）的值无限趋近于-∞；当x无限趋近于0时+∞，f（x）的值无限趋近于-∞，∴f（x）有两个零点，须满足f（1）＞0，即lna＜-1，∴a的取值范围是（0，e-1）．∵x1，x2是函数f（x）的两个零点，即lnx1-x1-lna=0，lnx2-x2-lna=0．∴x2-x1=lnx2-lnx1=lnx2x1．设x2x1=t，则t＞1，且x2=tx1x2-x1=lnt解得x1=lntt-1，x2=tlntt-1．所以x1+x2=(t+1)lntt-1．令h(x)=(x+1)lnxx-1，x∈（1，+∞），则h′(x)=-2lnx+x-1x(x-1)2．令u(x)=-2lnx+x-1x，得u′(x)=(x-1x)2．当x∈（1，+∞）时，u'（x）＞0．因此，u（x）在（1，+∞）上单调递增，∴对于任意的x∈（1，+∞），u（x）＞u（1）=0，由此可得h'（x）＞0，故h（x）在（1，+∞）上单调递增．∴由①可得x1+x2随着t的增大而增大．①∵x1，x2是函数f（x）的两个零点，即lnx1-x1-lna=0，lnx2-x2-lna=0，∴a=x1ex1，a=x2ex2，因为f（1）=-1-lna且a∈（0，e-1），则x1∈（0，1），x2∈（1，+∞）．设F(x)=xex，则F′(x)=1-xex，所以F（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减．对于任意的a1，a2∈(0，e-1)，设a1＞a2，∴F（ξ1）=F（ξ2）=a1，其中0＜ξ1＜1＜ξ2；F（η1）=F（η2）=a2，其中0＜η1＜1＜η2．∵F（x）在（0，1）上单调递增，∴由a1＞a2，即F（ξ1）＞F（η1），可得ξ1＞η1；类似可得ξ2＜η2，由ξ1，η1＞0，则1ξ1＜1η1，所以ξ2ξ1＜η2η1．∴t=x2x1随着a的增大而减小．②由①②得：x1+x2随a增大而减小．
点评：本题考查了函数的导数与单调性、最值的关系，以及构造函数研究参数之间的关系，本题思维的难度大，运算量也较大，属于难题．
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科目：高中数学
求证：1-x1+1-x2+…1-xn≥n-1（x1+x2+…+xn），ni=1xn=1．
科目：高中数学
已知△ABC满足|BC|=6，|AB|+|AC|=10，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．①点A的轨迹是椭圆；②△ABC可以是以∠A为直角的直角三角形；③△ABC面积的最大值为12；④△ABC外接圆半径存在最小值，且为258；⑤△ABC内切圆半径存在最大值，且为32．
科目：高中数学
若α=-4，则cosα与0的大小关系是．
科目：高中数学
函数f（x）=log2（2sinx-1）的单调减区间为（　　）
A、[π6，π2]B、[π2，5π6)C、[π2，3π2]D、[2kπ+π2，2kπ+5π6)(k∈Z)
科目：高中数学
设Sn为数列{an}的前n项和，且对任意n∈N*时，点（an，Sn）都在函数f（x）=-12x+12的图象上．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=32log3(1-2Sn)+10，求数列{bn}的前n项和Tn的最大值．
科目：高中数学
若函数f（x）=|ax+x2-x•lna-m|-2，（a＞0且a≠1）有两个零点，则m的取值范围（　　）
A、（-1，3）B、（-3，1）C、（3，+∞）D、（-∞，-1）
科目：高中数学
设f（x）=cos（sinx）与g（x）=sin（cosx），以下结论错误的是（　　）
A、f（x）与g（x）都是偶函数B、f（x）与g（x）都是周期函数C、f（x）与g（x）的定义域都是[-1，1]D、f（x）的值域是[cos1，1]，g（x）的值域是[-sin1，sin1]
科目：高中数学
已知在数列{an}中，a1=2，a2=5，an=2an-1-an-2+4（n≥3）．（1）求证：数列{an-an-1}（n≥2）是等差数列；（2）求数列{an}的通项公式．
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数学 函数的单调性、最值...
函数f（x）=（a-1）x+2是增函数，则a的取值范围是（　　）
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第-1小题正确答案及相关解析当前位置：
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如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的取值范围是（&&&&）．
题型：填空题难度：中档来源：江苏期末题
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据魔方格专家权威分析，试题“如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的..”主要考查你对&&二次函数的性质及应用&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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二次函数的性质及应用
二次函数的定义：
一般地，如果（a，b，c是常数，a≠0），那么y叫做x的二次函数。
二次函数的图像：
是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：①有开口方向，a表示开口方向；a＞0时，抛物线开口向上；a&0时，抛物线开口向下；②有对称轴；③有顶点；④c表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，c）。
性质：二次函数y=ax2+bx+c，
①当a＞0时，函数f（x）的图象开口向上，在（-∞，-）上是减函数，在[-，＋∞）上是增函数； ②当a&0时，函数f（x）的图象开口向下，在（-∞，-）上是增函数，在[-，＋∞）是减函数。
二次函数（a，b，c是常数，a≠0）的图像：
&二次函数的解析式：
（1）一般式：（a，b，c是常数，a≠0）；（2）顶点式：若二次函数的顶点坐标为（h,k），则其解析式为&;（3）双根式：若相应一元二次方程的两个根为 ,则其解析式为 。二次函数在闭区间上的最值的求法：
(1)二次函数&在区间[p,g]上的最值问题一般情况下，需要分三种情况讨论解决．当a&0时，f(x)在区间[p，g]上的最大值为M，最小值为m，令&．①&② ③ ④特别提醒：在区间内同时讨论最大值和最小值需要分四种情况讨论．
(2)二次函数在区间[m．n]上的最值问题一般地，有以下结论：&特别提醒：max{1,2}=2,即取集合{1,2}中最大的元素。
二次函数的应用：
（1）应用二次函数才解决实际问题的一般思路： 理解题意；建立数学模型；解决题目提出的问题。 （2）应用二次函数求实际问题中的最值： 即解二次函数最值应用题，设法把关于最值的实际问题转化为二次函数的最值问题，然后按求二次函数最值的方法求解。求最值时，要注意求得答案要符合实际问题。
发现相似题
与“如果函数f（x）=x2+2（a﹣1）x+2在区间（﹣∞，4]上是减函数，那么实数a的..”考查相似的试题有：
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