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（13分）（2011o湖北）设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中x∈R，a、b为常数，已知曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．（Ⅰ） 求a、b的值，并写出切线l的方程；（Ⅱ）若方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根0、x1、x2，其中x1＜x2，且对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，求实数m的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（Ⅰ）x﹣y﹣2=0（Ⅱ）（﹣，0）试题分析：（I） 利用曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l，可得f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．即为关于a、b的方程，解方程即可．（II）把方程f（x）+g（x）=mx有三个互不相同的实根转化为x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．求出实数m的取值范围以及x1，x2与实数m的关系，再把f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立问题转化为求函数f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值，综合在一起即可求出实数m的取值范围．解：（I） f'（x）=3x2+4ax+b，g'（x）=2x﹣3．由于曲线y=f（x）与y=g（x）在点（2，0）处有相同的切线l．故有f（2）=g（2）=0，f'（2）=g'（2）=1．由此得，解得，所以a=﹣2，b=5..切线的方程为x﹣y﹣2=0．（II）由（I）得f（x）=x3﹣4x2+5x﹣2，所以f（x）+g（x）=x3﹣3x2+2x．依题意，方程x（x2﹣3x+2﹣m）=0，有三个互不相等的实根0，x1，x2，故x1，x2是x2﹣3x+2﹣m=0的两相异实根．所以△=9﹣4（2﹣m）＞0，解得m＞﹣．又对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，特别地取x=x1时，f（x1）+g（x1）＜m（x1﹣1）成立，得m＜0．由韦达定理得x1+x2=3＞0，x1x2=2﹣m＞0．故0＜x1＜x2．对任意的x∈[x1，x2]，x﹣x2≤0，x﹣x1≥0，x＞0．则f（x）+g（x）﹣mx=x（x﹣x1）（x﹣x2）≤0，又f（x1）+g（x1）﹣mx1=0．所以f（x）+g（x）﹣mx在x∈[x1，x2]上的最大值为0．于是当m＜0，对任意的x∈[x1，x2]，f（x）+g（x）＜m（x﹣1）恒成立，综上得：实数m的取值范围是（﹣，0）．点评：本题主要考查函数，导数，不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进行推理论证的能立，以及函数与方程和特殊与一般的思想．
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据魔方格专家权威分析，试题“（13分）（2011o湖北）设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中..”主要考查你对&&函数的零点与方程根的联系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的零点与方程根的联系
函数零点的定义：
一般地，如果函数y =f(x)在实数a处的值等于零，即f(a)=o，则a叫做这个函数的零点，有时我们把一个函数的图象与x轴的交点的横坐标，也叫做这个函数的零点。&&&&&&&&&&&&&&& 函数零点具有的性质：
对于任意函数y=(x)只要它的图象是连续不间断的，则有：(1)当它通过零点时（不是二重零点），函数值变号．如函数f(x)=x2-2x -3的图象在零点-1的左边时，函数值取正号，当它通过第一个零点-1时，函数值由正变为负，在通过第二个零点3时，函数值又由负变为正．(2)在相邻两个零点之间所有的函数值保持同号，方程的根与函数的零点的联系：
方程f（x）=0有实根函数y=f（x）的图像与x轴有交点函数y=f（x）有零点
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与“（13分）（2011o湖北）设函数f（x）=x3+2ax2+bx+a，g（x）=x2﹣3x+2，其中..”考查相似的试题有：
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已知k＞0，函数f(x)=x3-3x+k，g(x)=2kx-kx2+2（1）若对任意x1，x2∈[-1，1]都有f（x1）≥g（x2），求k的取值范围；（2）若存在x1，x2∈[-1，1]，使得f（x1）＜g（x2），求k的取值范围．
题型：解答题难度：中档来源：不详
（1）f′（x）=3x2-3=3（x+1）（x-1），当x∈[-1，1]时，f′（x）≤0，所以f（x）在[-1，1]上单调递减，f（x）min=f（1）=k-2；g′（x）=-2k(x2-x-2)(x2+2)2=-2k(x-2)(x+1)(x2+2)2，当x∈[-1，1]时，g′（x）≥0，所以g（x）在[-1，1]上单调递增，g（x）max=g（1）=k3．对任意x1，x2∈[-1，1]都有f（x1）≥g（x2），等价于f（x）min≥g（x）max，即k-2≥k3，解得k≥3．所以k的取值范围是[3，+∞）．（2）由（1）知：f（x）在[-1，1]上单调递减，f（x）min=f（1）=k-2；g（x）在[-1，1]上单调递增，g（x）max=g（1）=k3．存在x1，x2∈[-1，1]，使得f（x1）＜g（x2），等价于f（x）min＜g（x）max，即k-2＜k3，解得0＜k＜3．所以k的取值范围是（0，3）．
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据魔方格专家权威分析，试题“已知k＞0，函数f(x)=x3-3x+k，g(x)=2kx-kx2+2（1）若对任意x1，x2∈[..”主要考查你对&&函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的单调性与导数的关系
导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
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求f(x)=x3-3x k,g(x)=(2kx-k)／(x2 2)1/2×2/3×3/4×4/5×…×9
f(x)=loga(x^2-ax)在(-1/2,0)-1/2&x1&x2&0kx2 -(k-2 )x k&0
提问者采纳
∠ACB=90°AB因为y = 3E-111e^0.1319xreturn countTable[v]因为AB BC CA=0
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求f(x)=x3-3x k,g(x)=(2kx-k)／(x2 2)printf()函数中’\n’；’\t’；’\a’
ax*2 bx c=0中 -ac&lt,0 an=1&#47,2]=-(-1)^(n&#47,n
* (-1)^[(3 n)&#47,2) &#47,2 1&#47,n,
提问者采纳
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＞＞＞已知函数f（x）=2ax3﹣3x2，其中a＞0．（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，0）..
已知函数f（x）=2ax3﹣3x2，其中a＞0．（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数；（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）+f′（x）（x∈[0，1]）在x=0处取得最大值，求a的取值范围．
题型：解答题难度：偏难来源：期末题
（Ⅰ）证明：求导函数f′（x）=6x（ax﹣1）．因为a＞0且x＜0，所以f′（x）＞0．所以函数f（x）在区间（﹣∞，0）上是增函数．&&&&&&&&&&&&&&&&&&（Ⅱ）解：由题意，g（x）=2ax3+（6a﹣3）x2﹣6x，（x∈[0，1]），则g′（x）=6[ax2+（2a﹣1）x﹣1]．令g′（x）=0，即ax2+（2a﹣1）x﹣1=0．①由于△=4a2+1＞0，可设方程①的两个根为x1，x2，由①得x1x2=﹣，由于a＞0，所以x1x2＜0，不妨设x1＜0＜x2，g′（x）=6a（x﹣x1）（x﹣x2）．当0＜x2＜1时，g（x2）为极小值，所以在区间[0，1]上，g（x）在x=0或x=1处取得最大值；当x2≥1时，由于g（x）在区间[0，1]上是单调递减函数，所以最大值为g（0），综上，函数g（x）只能在x=0或x=1处取得最大值．&&&&&&又已知g（x）在x=0处取得最大值，所以g（0）≥g（1），即0≥8a﹣9，解得a≤，又因为a＞0，所以a∈（0，]．&&
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据魔方格专家权威分析，试题“已知函数f（x）=2ax3﹣3x2，其中a＞0．（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，0）..”主要考查你对&&函数的最值与导数的关系，函数的单调性与导数的关系&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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函数的最值与导数的关系函数的单调性与导数的关系
函数的最大值和最小值：
在闭区间[a，b]上连续的函数f（x）在[a，b]上必有最大值与最小值，分别对应该区间上的函数值的最大值和最小值。
&利用导数求函数的最值步骤：
（1）求f（x）在（a，b）内的极值； （2）将f（x）的各极值与f（a）、f（b）比较得出函数f（x）在[a，b]上的最值。
&用导数的方法求最值特别提醒：
①求函数的最大值和最小值需先确定函数的极大值和极小值，因此，函数极大值和极小值的判别是关键，极值与最值的关系：极大（小）值不一定是最大（小）值，最大（小）值也不一定是极大（小）值；②如果仅仅是求最值，还可将上面的办法化简，因为函数fx在[a，b]内的全部极值，只能在f（x）的导数为零的点或导数不存在的点取得（下称这两种点为可疑点），所以只需要将这些可疑点求出来，然后算出f（x）在可疑点处的函数值，与区间端点处的函数值进行比较，就能求得最大值和最小值；③当f（x）为连续函数且在[a，b]上单调时，其最大值、最小值在端点处取得。&生活中的优化问题：
生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题，这些问题通常称为优化问题，解决优化问题的方法很多，如：判别式法，均值不等式法，线性规划及利用二次函数的性质等，不少优化问题可以化为求函数最值问题．导数方法是解这类问题的有效工具．
用导数解决生活中的优化问题应当注意的问题：
(1)在求实际问题的最大（小）值时，一定要考虑实际问题的意义，不符合实际意义的值应舍去；(2)在实际问题中，有时会遇到函数在区间内只有一个点使f'（x)=0的情形．如果函数在这点有极大（小）值，那么不与端点比较，也可以知道这就是最大（小）值；(3)在解决实际优化问题时，不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系表示，还应确定出函数关系式中自变量的定义区间．
利用导数解决生活中的优化问题：
&(1)运用导数解决实际问题，关键是要建立恰当的数学模型（函数关系、方程或不等式），运用导数的知识与方法去解决，主要是转化为求最值问题，最后反馈到实际问题之中．&(2)利用导数求f(x)在闭区间[a，b]上的最大值和最小值的步骤，&&①求函数y =f(x)在（a，b）上的极值；& ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f（b）比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．&&(3)定义在开区间(a，b)上的可导函数，如果只有一个极值点，该极值点必为最值点．导数和函数的单调性的关系：
（1）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是增函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为增区间； （2）若f′（x）&0在（a，b）上恒成立，则f（x）在（a，b）上是减函数，f′（x）&0的解集与定义域的交集的对应区间为减区间。 利用导数求解多项式函数单调性的一般步骤：
①确定f（x）的定义域； ②计算导数f′（x）； ③求出f′（x）=0的根； ④用f′（x）=0的根将f（x）的定义域分成若干个区间，列表考察这若干个区间内f′（x）的符号，进而确定f（x）的单调区间：f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是增函数，对应区间为增区间；f′（x）&0，则f（x）在对应区间上是减函数，对应区间为减区间。
函数的导数和函数的单调性关系特别提醒：
若在某区间上有有限个点使f′(x)=0，在其余的点恒有f′（x）&0，则f(x)仍为增函数（减函数的情形完全类似）．即在区间内f′(x)&0是f(x)在此区间上为增函数的充分条件，而不是必要条件。&
发现相似题
与“已知函数f（x）=2ax3﹣3x2，其中a＞0．（Ⅰ）求证：函数f（x）在区间（﹣∞，0）..”考查相似的试题有：
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