举例子代入就能证明恒等式？【数学新思想】 | 死理性派小组 | 果壳网 科技有意思
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下面先举一个事例，以引出一个革命性的数学思想。
大家在中学里都学过什么叫恒等式，等式
(x - 1)^2 = x^2 - 2x +1
……………（1）就是一个恒等式，能否不用演绎的办法而用归纳的办法来证明它是一个恒等式呢？
用x=1代入，两边都得0；用x=2代入，两边都得1；用x=3代入，两边都得4.
这样举了3个例子之后，能不能肯定（1）式就是恒等式呢？以上验证了3个x的值，怎么能断定（1）式一定是恒等的呢？？
其实，这样验证了3次已经证明了（1）式是恒等式。道理是：如果它不是恒等式，它一定是二次方程或一次方程，这种方程不可能有3个根。现在x=1，2，3 都是“根”，说明它不是方程，而是恒等式。
这里，举3个例子就证明了这个恒等式。
其实，一个例子就能证明（1）式是恒等式！取x=10代入，两边都是81，就说明了（1）式是恒等式。这是为什么？如何证明这样就可以呢？感兴趣的可以思考下，证明过程我附在了文章最后，参考下下。
这个方法也适合于检验高次的多元的代数等式是不是恒等式，只用一个例子就可以了。当次数越高、变量越多时，例子所涉及的数值就越大。
我们知道，人的脑力毕竟有其生理极限，数学证明的冗长和复杂已经到了常常难以对其作出鉴定的地步。数学文稿的审查正在逐步变为一项人力所不能胜任的工作，这或许将导致新一轮的数学危机。
数学方法是保证严密推理的光辉典范，在这个意义上它是不应该消逝的，将会消逝的是那种艰苦卓绝的手工推理方式。作为智力劳动机械化的前驱，数学研究正在逐步走向机械化。
而上面的事例呢正是“机器证明”的基本思想之一。
用举例的方法证明几何定理的研究，这是在近30年活跃起来的领域。20世纪40年代，电子计算机问世以后，各国数学家先后提出过几种用机器证明初等几何的方法，但一直未能在计算机上真正地证明非平凡的几何定理。直到1977年，中国吴氏方法的发表，才使计算机证明初等几何定理成为现实。
吴氏方法的基本思想是：先把几何问题化为代数问题，再把代数问题化为代数恒等式的检验问题，代数恒等式的检验是机械的，问题的转化过程也是机械的，整个问题也就机械化了。用吴氏方法已在计算机上证明了600多条不平凡的几何定理，其中包括一些新发现的定理。
特例的检验，竟能代替演绎推理的证明，这不仅是深刻的数学思想，也具有极高的哲学意味。微观上的偶然性，呈现出宏观上的必然性；普遍性寓于特殊性之中~
文中的证明： 因为如果（1）式不是恒等式，就可以将它整理成一个二次或一次方程：
ax^2 + bx+ c = 0
…………（2）因为（1）式左边展开后至多有4项，每项的系数都是+1或-1，右边系数中绝对值最大的是2，因此a，b，c 都是绝对值不大于6的整数。用x代入（2）式得：
100a + 10b + c = 0
…………(3)因而
|100a|=|10b+c|&=66
…………（4）因为|a|&=6，所以a=0.由（3）式得
10b + c = 0因而
|10b|=|c|&=6所以又有b=0，从而c=0.这就证明了（1）式是恒等式。
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第一个问题，能转化成代数恒等式的几何问题基本上很少诶。。第二个问题，转化成了之后，用机器验证也很难诶，随便化成一个无穷有关的形式你就验证不了了诶。。
这已经不算新思想了吧……
这个实际上还是演绎啊……楼主实际上是在用反证法来证明恒等式。
的话：第一个问题，能转化成代数恒等式的几何问题基本上很少诶。。第二个问题，转化成了之后，用机器验证也很难诶，随便化成一个无穷有关的形式你就验证不了了诶。。转化了之后验证也很难？ 我没深入了解机器证明。。看来你有所了解啊
的话：这已经不算新思想了吧……不是最新，但也是近几十年的吧~
的话：这个实际上还是演绎啊……楼主实际上是在用反证法来证明恒等式。哈哈 是反证，这是简单情况，作为个了解
的话：你看之前，你验证上面那个恒等式用的最主要的思想就是二次多项式根最多有两个。。但问题是，如果不是二次的呢？不是多项式呢？如果是椭圆积分之类的很难算的呢？如果是级数呢？基本上就要给跪了吧。。而且如果是涉及到拓扑的，微分的，无穷过程的之类的，这种方法可能就不是那么容易操作了。。
科学松鼠会成员，信息学硕士生
老实说吧，如果是平面几何的话，都是多项式……就算加了椭圆曲线甚至一般的代数曲线，如果只跟点和线有关（不积分），问题应该也还不大……问题是这个东西不能推广到更复杂的问题啊，而且计算复杂度也没有给上界……
的话：你看之前，你验证上面那个恒等式用的最主要的思想就是二次多项式根最多有两个。。但问题是，如果不是二次的呢？不是多项式呢？如果是椭圆积分之类的很难算的呢？如果是级数呢？基本上就要给跪了吧。。而且如果是涉及到拓扑的，微分的，无穷过程的之类的，这种方法可能就不是那么容易操作了。。这肯定是的，涉及到其他复杂问题，就不是业余人士所能证明的了。以上举例反正的适用性不广~
弱弱地问一句，为什么代数恒等式的机械证明要用例证？
的话：老实说吧，如果是平面几何的话，都是多项式……就算加了椭圆曲线甚至一般的代数曲线，如果只跟点和线有关（不积分），问题应该也还不大……问题是这个东西不能推广到更复杂的问题啊，而且计算复杂度也没有给上界……是的，代数问题比较好一些。涉及的数学问题有很多，仅此一篇文章哪能说明机器证明的全部。
多项式展开这样玩是没有问题，不过欧拉公式立刻就没办法。
压力容器初级工程师
让人想起前不久卢昌海老师的黎曼猜想证明中的小故事，验证了几万亿个点，不过一点都够不成证明呢……这是无限情况下的机械证明，同lz如果是有限呢？比如四色问题的证明，虽然已经验证了每一种状态……不过正如数学界争论的：这算是证明吗？
LZ还不知道这种证明真正的关键点是证明“某种形式的方程的有几个根”，这个难度就非常高了。
的话：让人想起前不久卢昌海老师的黎曼猜想证明中的小故事，验证了几万亿个点，不过一点都够不成证明呢……这是无限情况下的机械证明，同lz如果是有限呢？比如四色问题的证明，虽然已经验证了每一种状态……不过正如数学界争论的：这算是证明吗？原来美国人证明的四色定理还存在争议么~至少，证明非平凡的几何定理，才是机器证明的价值所在。
的话：LZ还不知道这种证明真正的关键点是证明“某种形式的方程的有几个根”，这个难度就非常高了。不用具体知道有几个根，如一个7次方方程，就认为它最多有7个根就可以。
的话：弱弱地问一句，为什么代数恒等式的机械证明要用例证？代数字进去，计算机就可以方便做到呀
eaglefantasy的博客里面难道没有吗？
对了。。LZ。。忘了说一点。。现在机器算导数的时候精度通常很难保证，所以如果是复杂一点的如爱因斯坦方程之类的，恐怕就要给跪了
的话：对了。。LZ。。忘了说一点。。现在机器算导数的时候精度通常很难保证，所以如果是复杂一点的如爱因斯坦方程之类的，恐怕就要给跪了机器证明主要针对的是几何定理的证明啊~我想也不是万能的吧~你说到能算导数，虽然不精确，但感觉不错了。。感觉你是数学专业的么
的话：机器证明主要针对的是几何定理的证明啊~我想也不是万能的吧~你说到能算导数，虽然不精确，但感觉不错了。。感觉你是数学专业的么嗯。。对的，越学越觉得难，基本不可能有万能方法的。。不过初步验证自己猜想倒是可以
提出这种方法的人好像叫洪加威？好像看过一点介绍，证明过程是对的ps：我瞬间想到了那些个坑爹的“1968年的冬天……后海……”
的话：提出这种方法的人好像叫洪加威？好像看过一点介绍，证明过程是对的ps：我瞬间想到了那些个坑爹的“1968年的冬天……后海……”是的，是这样，先是吴文俊提出来的，洪加威后来作了很好的发展。
学习了，俺是第一次见这种思想方法。。。
学数学的真是。。。居然还能这样！真想的出来啊！都是脑残计算机逼出来的啊！
的话：学习了，俺是第一次见这种思想方法。。。O(∩_∩)O……
的话：学数学的真是。。。居然还能这样！真想的出来啊！都是脑残计算机逼出来的啊！。。。。。。
(C)2015果壳网&京ICP备号-2&京公网安备大学高数课本上极限的定理的证明重要吗？, 大学高数课本上极限的定理的证
大学高数课本上极限的定理的证明重要吗？ 如题，还是说记住就可以，不用纠结那个证明，我看那些东西好复杂啊 iUO 大学高数课本上极限的定理的证明重要吗？
要是你会证明那最好，偶学这章的时候每个公式定理我都证明，其实不难的！如果实在不会证明也没关系，害鼎愤刮莅钙缝水俯惊记住那些公式啊定理啊，考试一般不会考到证明的！其实证明那些无非就是让你跟好的理解和应用那些公示和定理，考场上忘记了也没关系，自己都能证明出来！！呵呵，我数学考试经常临场证明，但不熟练的话会浪费很多时间！祝 成功！
这个东西 如果说复杂的话那就多看看多理解了高数极限 证明 另外问下o(x)是什么意思？_百度知道
提问者采纳
代表比 x^n 更高阶的无穷小
提问者评价
太给力了，你的回答完美的解决了我的问题！
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关于函数极限性质的证明问题为什么要取ε=1，求大神指教收藏
同济第六版36页提到函数极限的性质
定理2（函数极限的局部有界性）的证明一开始就写到“因为在x无限趋近于x0时，函数f(x)=A,所以取ε=1 ，……”
楼主一直搞不明白为什么ε要取1，难道就是因为所以前面那句“因为在x无限趋近于x0时，函数f(x)=A”的缘故吗？ε还可以取其他值吗？恕本人愚昧，在我看来，式子并没有合理的指出为什么ε要取1，那么便无法说明ε作为任意正数的普遍代表性。
另外29页有关收敛数列的性质定理2（收敛数列的有界性）同样使用了ε=1，为什么在证明有界性的过程中这个任意给定的正数ε总是被设为1？设为1的根据是什么？这样设是否合理？是否具有普遍代表性？关于其他利用极限定义求极限中ε的取值本书都有理可循（在本人看来），唯独在证明有界性的过程中我一直搞不懂为什么ε要取1，也许是我基础太差，式子的定义还看不太懂，望大神能用通俗易懂的语言给予指教，或者直接给出取ε=1的推理过程，在下将不胜感激
因为那个式子有极限就是对每一个正数ε都成立，那么ε=1当然成立，你自己有想法让他等于1/2 ,1/3
都可以做的啊
既然本来是任意性都成立，取的一个不成立就好。。。
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