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解析函数 §2.1
解析函数的概念 1 复变函数的导数
定义： 存在, 则就说 f (z)在 z0可导, 此极限值就称为 f (z)在 z0的导数，记作 应该注意：上述定义中
的方式是任意的。 容易证明： 可导
可微 ； 可导
连续。 如果 f (z) 在区域D内处处可导, 就说 f (z) 在Ｄ内可导. 例1 求 f (z) = z2 的导数。 [解] 因为 所以 f '(z) = 2z . 复变函数的导数具有与实函数同样的求导法则 。 （即f (z) = z2 在复平面处处可导。） 例2 问 f (z) = x
+2yi 是否可导? [解] 这里 所以 f (z) = x + 2yi 的导数不存在. （即 f (z) = x + 2yi 在整个复平面处处不可导.） 例3 讨论 的可导性。 解： 所以 在复平面上除原点外处处不可导。 问题：对函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)， 如何判别其可导性？ 先来了解什麽是函数的解析性。 2. 解析函数的概念 函数在一点解析 在该点可导。 反之不一定成立。 在区域内： 例如
f (z) = z2
在整个复平面上解析； 仅在原点可导，故在整个复平面上不解析； f (z) = x
+2yi 在整个复平面上不解析。 定义 否则称为奇点 。 Z0称为解析点， 例4 讨论函数 f (z)=1/z 的解析性. 解： 故 f (z)=1/z 除 z = 0外处处解析； z = 0 是它的一个奇点。 解析函数的性质： (1)两个解析函数的和、差、积、商仍为解析函数； (2)两个解析函数的复合函数仍为解析函数； (3)一个解析函数不可能仅在一个点或一条曲线上解析；
所有解析点的集合必为开集。 讨论函数 f (z) = u(x,y) + iv(x,y)的解析（可导）性。 设函数 于是 （可微） u(x,y) 与 v(x,y) 在该点可微, 并且满足 柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 设 u(x,y) 与 v(x,y) 在点 (x,y)
于是 （?x,?y?0时,ek?0, (k=1,2,3,4)） 并且满足柯西-黎曼(Cauchy-Riemann)方程。 （提出公因子i） 即函数 f
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你可能喜欢证明函数f(z)=z的共轭在z平面上处处连续?_百度知道
证明函数f(z)=z的共轭在z平面上处处连续?
提问者采纳
复变函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)连续的充要条件是两个二元实函数u(x,y),v(x,y)都连续，本题中f(z)=x-iy，这里u(x,y)=x，v(x,y)=-y在xoy平面上处处连续，所以f(z)在复平面上处处连续。
提问者评价
太感谢了，真心有用
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