二次函数_百度百科
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在中二次函数最高次必须为二次
二次函数quadratic function表示形式为y=ax?+bx+ca≠0)的二次函数的是一条对称轴平行于y轴的二次函数y=ax?+bx+c的定义是一个二次因为x的最高是2如果令二次函数的值等于零则可得一个该方程的解称为方程的或函数的外文名quadratic function简&&&&称二次函数函数图像抛物线函数表达式y=ax?+bx+c（a≠0，b、c为常数)交点式y=a(x-x1)(x-x2)常用作图方法五点法顶点式y=a(x-h)?+k(a≠0,a、h、k常数)学&&&&科数学，物理
一般地把形如y=ax2+bx+c其中abc是a≠0bc可以为0的叫做二次函数quadraticfunction其中a称为b为c为x为y为因右边的最高次数是2顶点坐标 交点式为 仅限于与x轴有交点的抛物线与x轴的交点坐标是 和
注意不同于不能说二次函数是指变量的最高次数为二次的多项式函数只是一个数具体值未知但是只取一个值可在实数范围内任意取值在中适用未知数的概念中是未知函数但不论是未知数还是未知函数一般都表示一个数或函数也会遇到特殊情况但是函数中的字母表示的是变量意义已经有所不同从函数的定义也可看出二者的差别如同函数不等于函数的关系[1-2]1.二次函数是但抛物线不一定是开口向上或者向下的抛物线才是二次函数抛物线是轴对称图形不是中心对称图形为直线 [3]对称轴与抛物线唯一的交点为的顶点P特别地当b=0时抛物线的对称轴是y轴即直线x=0
2.抛物线有一个顶点P坐标为P 当 时P在y轴上当 时P在x轴上
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小当a&0时抛物线向上开口当a&0时抛物线向下开口|a|越大则抛物线的开口越小|a|越小则抛物线的开口越大
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置当a与b同号时即ab&0对称轴在y轴左当a与b异号时即ab&0对称轴在y轴右可巧记为同左异右
5.c决定抛物线与y轴交点抛物线与y轴交于(0, c
6.抛物线与x轴交点个数 时抛物线与x轴有2个交点 时抛物线与x轴有1个交点当 时抛物线与x轴没有交点
当 时函数在 处取得最小值 在 上是减函数在 上是抛物线的开口向上函数的值域是
当 时函数在 处取得最大值 在 上是增函数在 上是抛物线的开口向下函数的值域是
当 时抛物线的是y轴这时函数是解析式变形为y=ax?+c(a≠0)
值域当a&0时值域是 当a&0时值域是
当b=0时此函数是当b不等于0时此函数是
⑵若a&0则抛物线朝上若a&0则抛物线开口朝下
若Δ&0则与x轴交于两点
若Δ=0则与x轴切于一点
若Δ&0与x轴无
②顶点式 此时顶点为h,t)
此时对应顶点为 其中,
与x轴交于 和 两点y=a(x-h)?+k(a≠0,ahk为常数),顶点坐标为h,k)[4]对称轴为直线x=h的位置特征和图像的开口方向与函数y=ax?的图像相同当x=h时y最小值=k.有时题目会指出让你用把一般式化成顶点式
例已知y的(1,2)和另一任意点(3,10)求y的
解设y=a(x-1)?+2把(3,10)代入上式解得y=2(x-1)?+2
注意与点在中的不同二次函数后的中h&0时h越大图像的离y轴越远且在x轴上不能因h前是就简单地认为是向左[2]
具体可分为下面几种情况
当h&0时y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向右平行移动h个单位得到
当h&0时y=a(x-h)?的图像可由抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位得到
当h&0,k&0时将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位再向上移动k个单位就可以得到y=a(x-h)?+k的图象
当h&0,k&0时将抛物线y=ax?向右平行移动h个单位再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象
当h&0,k&0时将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位再向上移动k个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象
当h&0,k&0时将抛物线y=ax?向左平行移动|h|个单位再向下移动|k|个单位可得到y=a(x-h)?+k的图象[5] [仅限于与x轴即y=0有交点时的即b2-4ac≥0] .
已知与x轴即y=0有交点A(x1, 0)和B(x2, 0),我们可设 ,然后把第三点代入xy中便可求出a
由一般式变为交点式的步骤
重要概念abc为常数a≠0且a决定函数的开口方向a&0时开口方向向上a&0时开口方向向下a的可以决定开口大小a的绝对值越大开口就越小a的绝对值越小开口就越大
f(x)=f[x0]+f[x0,x1](x-x0)+f[x0,x1,x2](x-x0)(x-x1)+...f[x0,...xn](x-x0)...(x-xn-1)+Rn(x)由此可引导出的系数 (y为截距)　二次函数表达式的右边通常为二次三项式[2]
欧拉交点式
若ax?+bx+c=0有两个实根x1,x2则 此抛物线的对称轴为直线 方法1
已知上三个点(x1, y1)(x2, y2)(x3, y3)把三个点分别代入函数解析式y=a(x-h)?+k(a≠0,ahk为常数)有
得出一个就能出abc的
已知上三个点(x1, y1)(x2, y2)(x3, y3)
利用可以求出该二次函数的为
与X轴交点的情况:
当 时与x有两个交点分别是(x1, 0)和(x2, 0)
当 时与x只有一个即 [2]
当 时与x没有x的是 [2]在中作出二次函数y=ax2+bx+c的图像可以看出在没有特定定义域的二次函数图像是一条永无止境的 如果所画图形准确无误那么二次函数图像将是由 平移得到的[2]二次函数图像是图形对称轴为直线
对称轴与二次函数唯一的交点为二次函数图象的P
特别地当b=0时二次函数图像的对称轴是y轴即直线x=0是顶点的横坐标即x=
a,b同号对称轴在y轴
a,b异号对称轴在y轴[2]二次函数图像有一个顶点P坐标为P(h,k)
当h=0时P在y轴上当k=0时P在x轴上即可表示为顶点式y=a(x-h)2+kx≠0
, [2]a决定二次函数图像的开口方向和大小
当a&0时二次函数图象向上开口当a&0时抛物线向下开口
|a|越大则二次函数图像的开口越小[2]一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置
当a&0,与b同号时即ab&0对称轴在y轴左 因为对称轴在左边则对称轴小于0也就是- b/2a&0,所以 b/2a要大于0所以ab要
当a&0,与b异号时即ab&0对称轴在y轴右因为对称轴在右边则对称轴要大于0也就是- b/2a&0, 所以b/2a要小于0所以ab要异号
可简单记忆为左同右异即当a与b同号时即ab&0对称轴在y轴左当a与b异号时即ab&0 对称轴在y轴右
事实上b有其自身的意义二次函数图象与y轴的交点处的该二次函数图像的函数解析式的斜率k的值可通过对二次函数得到[2]常数项c决定二次函数图像与y轴交点
二次函数图像与y轴交于0,C点
注意顶点坐标为h,k) 与y轴交于0,C)[2]a&0;k&0或a&0;k&0时二次函数图像与x轴有2个交点
k=0时二次函数图像与x轴只有1个交点
质疑点a&0;k&0或a&0,k&0时二次函数图像与x轴无交点
当a&0时函数在x=h处取得最小值 =k在x&h范围内是减函数在x&h范围内是增函数即y随x的变大而变大二次函数图像的开口向上函数的是y&k
当a&0时函数在x=h处取得最大值 =k在x&h范围内是增函数在x&h范围内是减函数即y随x的变大而变小二次函数图像的开口向下函数的值域是y&k
当h=0时抛物线的对称轴是y轴这时函数是[2]对称关系
对于一般式
①y=ax2+bx+c与y=ax2-bx+c两图像关于y轴对称
②y=ax2+bx+c与y=-ax2-bx-c两图像关于x轴对称
③y=ax2+bx+c与 关于顶点对称
④y=ax2+bx+c与y=-ax2+bx-c关于原点中心对称即绕原点旋转180度后得到的图形
对于顶点式
①y=a(x-h)2+k与y=a(x+h)2+k两图像关于y轴对称即顶点(h, k)和(-h, k)关于y轴对称相反相同
②y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2-k两图像关于x轴对称即顶点(h, k)和(h, -k)关于x轴对称横坐标相同纵坐标相反
③y=a(x-h)2+k与y=-a(x-h)2+k关于顶点对称即顶点(h, k)和(h, k)相同开口方向相反
④y=a(x-h)2+k与y=-a(x+h)2-k关于原点对称即顶点(h, k)和(-h, -k)关于原点对称横坐标纵坐标都相反
其实①③④就是对f(x)来说f(-x),-f(x),-f(-x)的情况[2]五点草图法又被叫做五点作图法是二次函数中一种常用的作图方法
注明虽说是草图但画出来绝不是草图
五点草图法中的五个点都是极其重要的五个点分别为顶点与x轴交点与y轴交点及其
Ps.仅是草图正规考试会扣分在初中数学中要求采用描点法画出二次函数图像
其做法与五点法类似以 为例
x　　……-1-0.50122.53……
……73.51-113.57……先取顶点用虚线画出对称轴取与x轴两个交点如果存在y轴交点及其对称点如果存在和另外两点及其对称点
Ps.原则上相邻x的差值相等但远离顶点的点可以适当减小差值
2依据表格数据绘制函数图像,如图特别地二次函数以下称函数 ,
当y=0时二次函数为关于x的一元二次方程以下称方程即
此时函数图像与x轴有无交点即方程有无
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根[7]
1二次函数y=ax2y=a(x-h)2y=a(x-h)2+ky=ax2+bx+c(各式中a≠0)的图象形状相同只是位置不同它们的顶点坐标及对称轴如下表
y=ax2(00) x=0
再向上移动k个单位就可得到y=a(x+h)2+kh&0,k&0的图像
当h&0,k&0时将抛物线y=ax2向左平行移动|h|个单位再向下移动|k|个单位就可得到y=a(x+h)2+kh&0,k&0的图像
在向上或向下向左或向右平移抛物线时可以简记为上加下减左加右减
因此研究抛物线 y=ax2+bx+c(a≠0)的图像通过配方将一般式化为y=a(x-h)2+k的形式可确定其顶点坐标对称轴抛物线的大体位置就很清楚了这给画图像提供了方便
2抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的图像当a&0时开口向上当a&0时开口向下对称轴是直线x=-b/2a顶点坐标是(-b/2a[4ac-b?]/4a)
3抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)若a&0当x ≤ -b/2a时y随x的增大而减小当x ≥ -b/2a时y随x的增大而增大若a&0当x ≤ -b/2a时y随x的增大而增大当x ≥ -b/2a时y随x的增大而减小
4y=ax2+bx+c的图像与坐标轴的交点
(1)图像与y轴一定相交交点坐标为(0, c)
(2)当 时图像与x轴交于两点A(x1, 0)和B(x2, 0)其中的x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根这两点间的距离 另外抛物线上任何一对对称点的距离可以由 A为其中一点的横坐标
当 时图像与x轴只有一个切点
当 时图像与x轴没有公共点当a&0时图像落在x轴的上方x为任何时都有y&0当a&0时图像落在x轴的下方x为任何实数时都有y&0
5抛物线y=ax2+bx+c的最值如果a&0则当 时 如果a&0则当 时
顶点的横坐标是取得最值时的自变量值顶点的纵坐标是最值的取值
6用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知xy的三对对应值时可设表达式为一般形式
(2)当题给条件为已知图像的或对称轴或极大小值时可设解析式为顶点式y=a(x-h)2+k(a≠0)
(3)当题给条件为已知图像与x轴的两个交点坐标时可设解析式为两根式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0)[2]1.要理解函数的意义
2.要记住函数的几个表达形式注意区分
3.一般式顶点式交点式等区分对称轴顶点图像y随着x的增大而减小增大(增减值等的差异性
4.联系实际对函数图象的理解
5.计算时看图像时切记取值范围
6.随图象理解数字的变化而变化 二次函数考点及例题
二次函数知识很容易与其他知识综合应用而形成较为复杂的综合题目因此以二次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题往往以大题形式出现[2]1对二次函数概念理解有误漏掉不为0这一限制条件
2对二次函数图像和性质存在思维误区
3忽略二次函数自变量取值范围
4平移时弄反方向[2]一般地自变量x和因变量y之间存在如下关系
y=ax?+bx+c
abc为常数a≠0且a决定函数的开口方向a&0时开口方向向上a&0时开口方向向下IaI还可以决定开口大小IaI越大开口就越小IaI越小开口就越大.
则称y为x的二次函数
二次函数表达式的右边通常为二次三项式[2]一般式y=ax?+bx+cabc为常数a≠0
顶点式y=a(x-h)?+k[抛物线的顶点P(h, k)]
交点式y=a(x-x1)(x-x2)[仅限于与x轴有交点Ax10和Bx20的]
注在3种形式的互相转化中有如下关系
, ,1.是对称轴为直线
对称轴与唯一的交点为的顶点P
特别地当b=0时的对称轴是y轴即直线x=0
2.有一个顶点P坐标为
当 时P在y轴上当 时P在x轴上
3.二次项系数a决定的开口方向|a|决定抛物线开口大小
当a&0时开口向上当a&0时开口向下
|a|越大则的开口越小
4.一次项系数b和二次项系数a有1个交点
5.常数项c决定与y轴交点
抛物线与y轴交于0cΔ=b?-4ac&0时抛物线与x轴有2个交点
Δ=b?-4ac=0时抛物线与x轴有1个交点
Δ=b?-4ac&0时抛物线与x轴没有交点[2][8]软件
注意左加右减上加下减
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若|a+5|+（b-4）2=0，则（a+b）2009=______．
题型：填空题难度：偏易来源：不详
由题意得：a+5=0，b-4=0，解得a=-5，b=4．∴（a+b）2009=（-5+4）2009=-1．
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据魔方格专家权威分析，试题“若|a+5|+（b-4）2=0，则（a+b）2009=______．-数学-魔方格”主要考查你对&&绝对值&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
绝对值定义：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。绝对值用“||”来表示。在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。绝对值的意义：1、几何的意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。2、代数的意义：非负数（正数和0,）非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。互为相反数的两个数的绝对值相等。a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”。实数a的绝对值永远是非负数，即|a |≥0。互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3.绝对值的有关性质：①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性； ②绝对值等于0的数只有一个，就是0； ③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数； ④互为相反数的两个数的绝对值相等。 绝对值的化简：绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=-a （a为负值，即a≤0 时）②整数就找到这两个数的相同因数；③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。
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与“若|a+5|+（b-4）2=0，则（a+b）2009=______．-数学-魔方格”考查相似的试题有：
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已知|x+y-7|+（x-y-3）2=0，那么x和y的值是（　　）A．x=-5，y=-2B．x=5，y=2C．x=2，y=5D．x=-2，y=-5
题型：单选题难度：中档来源：不详
根据题意得：x+y-7=0x-y-3=0，解得：x=5y=2．故选B．
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据好范本试题专家分析，试题“已知|x+y-7|+（x-y-3）2=0，那么x和y的值是（）A．x=-5，y=-2B．x=5，y..”主要考查你对&&绝对值&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
绝对值定义：在数轴上，表示一个数的点到原点的距离叫做这个数的绝对值。绝对值用“||”来表示。在数轴上，表示一个数a的点到数b的点之间的距离的值，叫做a-b的绝对值，记作|a-b|。绝对值的意义：1、几何的意义：在数轴上，一个数到原点的距离叫做该数的绝对值．如：5指在数轴上表示数5的点与原点的距离，这个距离是5，所以5的绝对值是5。2、代数的意义：非负数（正数和0,）非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。互为相反数的两个数的绝对值相等。a的绝对值用“|a |”表示．读作“a的绝对值”。实数a的绝对值永远是非负数，即|a |≥0。互为相反数的两个数的绝对值相等，即|-a|=|a|。若a为正数，则满足|x|=a的x有两个值±a，如|x|=3，,则x=±3.绝对值的有关性质：①任何有理数的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性； ②绝对值等于0的数只有一个，就是0； ③绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数互为相反数； ④互为相反数的两个数的绝对值相等。 绝对值的化简：绝对值意思是值一定为正值，按照“符号相同为正，符号相异为负”的原则来去绝对值符号。①绝对值符号里面为负，在去掉绝对值时必须要加一个负的符号老确保整个值为正值，也就是当：│a│=a (a为正值，即a≥0 时）；│a│=-a （a为负值，即a≤0 时）②整数就找到这两个数的相同因数；③小数就把这两个数同时扩大相同倍数成为整数,一般都是扩大10、100倍；④分数的话就相除，得数是分数就是分子：分母，要是得数是整数，就这个数比1。
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如果A的绝对值的倒数与的和等于5，那么A＝？ 求大家帮帮忙
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与假设不符.5）/0.5）/22;A+A=5 解得到A=（5+29^0;0则-1&#47拱探颠貉郯股锅欺、 A&lt.5）/2 和（5-21^0.5）&#47，因为A=（5+29^0.5）&#47、 A&gt：那么就分别讨论A的正负1?如果是;A)+A=5吗你的意思是abs(1&#47.5）/0 则1/A+A=5
解得到A=（5+21^0;2;2&gt，所以只有（5-29^0;2和（5-29^0
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