37最小二乘曲线拟合及Matlab实现
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37最小二乘曲线拟合及Matlab实现
文章编号：（；最小二乘曲线拟合及Matlab实现；陈光，任志良，孙海柱；（海军工程大学兵器工程系，湖北武汉430033）；摘要：采用最小二乘曲线拟合，可寻求有限测量数据及；关键词：曲线拟合；最小二乘；Matlab；多项式；CurveFittinginLeast-Squa；CHENGuang,RENZhi-liang,S；(
文章编号：（7-02最小二乘曲线拟合及Matlab实现陈光，任志良，孙海柱（海军工程大学 兵器工程系，湖北 武汉 430033）摘要：采用最小二乘曲线拟合，可寻求有限测量数据及其伴随误差的变化规律。曲线拟合先确定拟合模型，再确定函数的所属类。多项式拟合先将其化为双曲线、S型曲线、倒指数曲线、对数曲线等拟合曲线，再求解拟合多项式系数。并用Matlab编制程序，对测量数据进行拟合与仿真。关键词：曲线拟合；最小二乘；Matlab；多项式拟合 中图分类号：TP391.9; TP301.6
文献标识码：ACurve Fitting in Least-Square Method and Its Realization with MatlabCHEN Guang, REN Zhi-liang, SUN Hai-zhu(Dept. of Weapon Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)Abstract: Least-square curve fitting method is used to seek the changing rule of the definite measured data and its concomitant error. Fitting model is decided firstly, and the belonged class of fitting function is decided. For polynomial fitting method, polynomial was changed into fitting curves of hyperbola, S-figure curve, converse exponential curve and logarithm curve, etc. And polynomial coefficient was solved, the polynomial modulus was programmed by Matlab. Measured data was fitted and simulated with this program.Keywords: C Least- M Polynomial fitting1
引言由于磁偶极子在导电介质中的传播衰减大，并具有强非线性，测量数据与被测物理量的真值不完全一致，需对数据进行必要的数学加工和处理，寻求被测物理量的变化规律。解决此类问题的常用方法是对测量数据进行曲线拟合[1]。故基于最小二乘曲线拟合，用Matlab实现对导电介质中磁偶极子辐射场的传播特性的曲线拟合与仿真。2.1 多项式拟合若拟合模型f(x,A)＝a0+a1x+…+anxn，则称其为多项式拟合。由最小二乘法确定系数a0,a1,…,an， 假设各数据点的权为1，令φ(a0,a1,…,an)＝mm2n2∑ei=∑(a0+a1xi+L+anxi?yi)＝最小，则有：i=0i=0m??=2∑xij(a0+a1xi+L+anxin?yi)=0 ?aji=0j＝0,1,2,…,n+jn+jj即：∑(a0xij+a1x1i+L+anxi)=∑xiyii=0i=0mm2
最小二乘曲线拟合给定一组测量数据{(xi,yi),i＝0,1,2,…,m}，基于最小二乘原理，求得变量x和y之间的函数关系f(x,A)，使它最佳地逼近或拟合已知数据[2]。f(x,A))称为拟合模型，A＝(a0,a1,…,an)是一些待定参数。做法是选择参数A使得拟合模型与实际观测值在各点的残差ek＝yk-f(xk,A)的加权平方和最小，即求f*(x)使i=0得方程组：m??∑y?m+1n?i??L∑xi∑xi???a0??i=0i=0i=0????mmm?m2n+1?∑xiyi?L∑xi??a1?∑xi?∑xii×=?=0?i=0i=0?i=0??M???LLL???M?mLmm?n+12n?an???m?∑xinL∑xi∑xi??n?∑xy?i=0i=0?i=0?ii????i=0此方程称为多项式拟合的法方程。令mm∑ω(xi)(fm*(xi)?yi)2=mini=0∑ω(xi)(f(xi)?myi)2，ω(xi)≥0，称为权，它反映数据(xi,yi)在实验中所占数据的比重。应用此法拟合的曲线称为最小二乘拟合曲线。用最小二乘法求拟合曲线首先要确定拟合模型f(x)，一般来说，根据各门科的知识可以大致确定函数的所属类，若不具备这些知识，则通常从问题的运动规律及给定数据的散点图来确定拟合曲线的形式。m?m+1∑xi?i=0m?mxxi2∑∑?iX=i=0i=0?LL?mm?∑xin∑xin+1i=0?i=0LLL?L?mL∑xi2n?i=0?n?∑xi?i=0mn+1?∑xi?i=0mm?∑?yi??i=0?a0??m????∑xiyi?aY=?i=0?A=?1??M? ?M?????m?an????∑xny?ii???i=0?则得：XA＝Y，从而A＝X-1Y。 收稿日期：；修回日期： 作者简介：陈光（1980-），男，吉林人，在读硕士，1999年毕业于海军工程大学，从事水下目标探测与制导研究。 ?107?由此矩阵方程解出系数向量A，即得拟合多项式f(x,A)＝a0+a1x+…+anxn。值得注意的是，当n较大时（n≥7），法方程的系数矩阵是高度病态的，也就是说解的舍入误差很大，以至毫无意义。因此，用多项式作曲线拟合时，n不宜取得很大。当n=1时得一种简单的拟合模型y＝a0+a1x，称为线性拟合。这种模型计算简单、应用广泛。 2.2 可化为线性拟合的其他曲线拟合若拟合模型为非多项式形式，则可通过变数变换将其化为线性问题。利用最小二乘线性拟合确定系数，再利用逆变换给出原问题的曲线拟合函数。如双曲线1/y＝a+(b/x)(a&0)（图1）。可令y?＝1/y，x?＝1/x则得y?＝a+bx?。从而由线性拟合求出a,b。可采用此法拟合的曲线还有S型曲线，y＝1/(a+be-x)，倒指数曲线y＝aeb/x(a&0)（图2）及对数曲线y＝a+blnx等。这些曲线模型都可通过线性拟合来求得。频率和电流强度激励的条件下，在不同距离处分别测得一组电磁场强度数据，如表1所示。表1 测量数据表中，x为传播距离(m)，y为归一化的场强衰减系数。根据电磁场理论知，y和x的关系服从y＝aebx的变化规律[4]，则应用上述的Matlab程序对数据进行拟合如下：x=1:10y=[0.92 0.85 0.78 0.70 0.64 0.60 0.54 0.49 0.45 0.41] y=log(y); A=nihe(x,y,1) 得：a＝e0.，b＝-0.0903。拟合关系曲线y＝1.0e-0.0903x测量数据散点与拟合曲线如图3所示。由图可见，所拟合的曲线与测量数据点十分接近，拟合的效果较为理想，这也进一步说明了该拟合方法是准确与可行的。1衰减系数y传播距离x图1
倒指数曲线 3
Matlab程序实现Matlab是一个高级的数值分析、处理与计算软件[3]，求解矩阵方程方便。采用Matlab编写的求解多项式拟合系数的程序清单如下：function A=nihe(x,y,n)%定义多项式拟合系数求解函数,% x、y为输入数据量，n为拟合次数
m=length(x);
%测量数据长度 X1=zeros(1,2*n);
%生成X矩阵 for i=1:2*nX1(i)=sum(x.^i); endX2=[m,X1(1:n)]; X3=zeros(n,n+1); for j=1:nX3(j,:)=X1(j:j+n); end X=[X2;X3]; Y=zeros(1,n);
%生成Y向量 for k=1:nY(k)=sum(x.^k.*y); end Y=[sum(y),Y]; Y=Y';A=X\Y;
%求得拟合系数向量A图3
测量数据散点图与拟合曲线图 5
结束语通过Matlab实现对磁偶极子辐射场测量数据的曲线拟合，可在有限的测量数据条件下精确描述导电介质中电磁波的传播特性，为实验研究与工程应用提供依据。基于最小二乘曲线拟合及Matlab实现方法简明、适用，可应用于类似的测量数据处理和实验研究。参考文献：[1] 周陪森, 刘震涛, 吴淑荣. 自动检测与仪表[M]. 北京:清华大学出版社, 1987.[2] 何汉林, 魏汝祥, 李卫军. 数值分析[M]. 武汉: 湖北科学技术出版社, 1999.[3] 何仁斌. MATLAB6工程计算及应用[M]. 重庆: 重庆大学出版社, 2001.[4] 牛中奇, 朱满座, 卢志远, 等. 电磁场理论基础[M]. 北京: 电子工业出版社, 2001.[5] 易芳. 采用MATLAB的线性回归分析[J]. 兵工自动化,): 68-69.上面的程序是采用Matlab的函数文件编写的，它使用简单、灵活。求解拟合系数向量时只须在调用的nihe文件中输入测量数据和拟合次数即可。4
算例将给定的磁偶极子天线置于导电介质中，一定 ?108?包含各类专业文献、外语学习资料、应用写作文书、生活休闲娱乐、高等教育、幼儿教育、小学教育、37最小二乘曲线拟合及Matlab实现等内容。
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······急求 ！！！！！！！！关于Matlab的，毕设等着用 有懂的q我 公式：就是那图片P0=1896KPa V0=0.000525立方米 n=1.1~1.3
F气=0.012平方米用figure函数做曲线图
S与P气是未知量结果出来是三张曲线图就是这样_百度作业帮
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ezplot('P=525^1.1*0.012/(0.000525-S*0.012)^1.1')&&%n=1.1ezplot('P=525^1.2*0.012/(0.000525-S*0.012)^1.2')&&%n=1.2ezplot('P=525^1.3*0.012/(0.000525-S*0.012)^1.3')&&%n=1.3n=1.1时的图形matlab中的对数函数
matlab中的对数函数
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Uicontextmenu内容式菜单对象，类似于VB、VC中的弹出式菜单。 句柄，在matlab中也... loglog函数是对数-对数刻度绘图。 semilogx和semilogy函数是单对数函数。它们仅对x轴...
exit&退出Matlab环境& exp&指数函数& expand&符号计算中的展开操作& expint&指... gammaln&函数的对数& gca&获得当前轴句柄& gcbo&获得正执行＂回调＂的对象句...
以2为底数的x的对数 开方函数 sqrt(x) 表示x的算术平方根 绝对值函数 abs(x) 表示实数的... '，n)
diff('f(x)','x',n）
&或者： syms x diff(f(x),n)
syms x diff(f(x), x,n)
20 在MATLAB中没有直...
MATLAB常用数学函数 ??三角函数和双曲函数 名称 含义 名称 含义 名称 含义 sin 正弦 ... 含义 名称 含义 exp E为底的指数 log10 10为底的对数 pow2 2的幂 log 自然对数 log2 2为...
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?&&&&&& Ctrl+C（即同时按Ctrl及C二个键）可以用来中止执行中的MATLAB的工... log 自然对数 log2 2为底的对数 sqrt 平方根 ?&复数函数 名称 含义 名称 含义 名称 含义 ...
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