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数学小论文三年级
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2009年，紫金山天文台以谷超豪的名字命名一颗小行星。图片来源：香港文汇报上海传真
文|张剑（上海社会科学院历史研究所研究员）
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谷超豪作为中国现代第二代数学家代表人物，在被誉为“金三角”的微分几何、偏微分方程和数学物理三个领域都做出了卓越贡献，特别是其创立的复旦大学偏微分方程学派具有国际知名度，已有李大潜、洪家兴、陈恕行三位学生荣膺中国科学院院士。作为迄今唯一获得国家最高科学技术奖的第二代数学家（首届国家最高科学技术奖获得者、目前仍健在的吴文俊比他高半辈），谷超豪卓越的数学成就举世公认，但相较他已展现出的数学天分与才能，他作为一个学人的数学家或主动或被动与政治纠缠，因而曲折而丰富的一生仍是未尽其才的一生。
爱因斯坦12岁时，得到一本关于欧几里得几何的小书，其“明晰性和可靠性”给他“造成了一种难以形容的印象”，因而成为他的“圣书”，点燃了他的数学之火。谷超豪年少时也有相同的经验。小学三年级学习循环小数时知道了无限的概念，体念到数学的神奇与魅力：“我对数学的兴趣源于小学三年级接触到循环小数，数学要靠想象，熟悉这个无限的概念激发了我的想象能力，之后我便爱上了数学。”
他开始自学能够找到的数学书籍，苏联科普作家伊林的《十万个什么》使他掌握了概率的初步概念，刘熏宇的《数学的园地》让他初步了解到了数学中无限的三个层次：循环小数、微积分、集合论。
可惜，谷超豪在其一生中并没有充分利用这可以给予他在数学领域展翅高飞的翅膀，而是将许多精力特别是青年时代勃发的创造力耗费在严酷的政治斗争中。
1926年5月，谷超豪出身于浙江永嘉县城（今温州市区）一个殷实人家，家有土地400亩，房屋十余幢，全家靠地租与房租过活，倒也无忧无虑。但他生逢多灾多难的时代，中华民族的生存面临最为严重的危机，不能安放一张平静的书桌，因而他从小就背离他的家庭，融入革命的洪流。
受哥哥谷超英的影响，谷超豪阅读革命书籍，为革命活动站岗放哨，参加中共外围组织“读书会”并担任小组长。1940年3月加入中国共产党，时年仅14岁，还是温州中学初三学生。此后，他更加积极参与各种政治活动，并担任中共温州中学支部组织委员。
因过多参与政治活动，极大地影响了课业，初二上学期一课不缺，下学期缺课16节，初三上学期缺课达到64节，下学期也缺课13节。大量的缺课自然影响到学习成绩，一年级两学期平均分分别为85、83；二年级上学期也有83分，下学期急剧下降到73.7分；三年级两学期也分别仅有72.7、74.4分。他最喜欢的算学一二年级分别为84、94.6、95.1、88分，三年级两学期分别仅有72.6、74.7分，成绩下降显而易见。但他毕竟天资聪慧，还是以初中毕业第一名考入高中。
谷超豪初中成绩表
中学是一个人身心成长非常重要的阶段，对世界与社会的看法大多在此阶段形成，过早介入成人世界，特别是参与残酷的政治斗争，对一个青少年来说，未见得是幸事。中学阶段也是奠定一个人求学基础知识的时期，广泛兴趣的培育，广博知识的涉猎，对一个学者的成长至关重要。谷超豪却在期间将大量时间花费在课堂之外、学校之外，可以说失去了系统学习与系统掌握基础知识的机会。更为重要的是，1943年高三时，党组织遭到破坏，他无形中与党组织失去了关系，由此陷入了苦闷与彷徨之中，找不到生活的出路，日渐消沉下去。父亲1939年去世，哥哥1940年离开家庭投奔革命，家庭顶梁柱的重任便降落到年轻的谷超豪身上，他不得不参与打理家庭生意。
这种个人追求与无奈的环境之间的矛盾，这种崇高理想与庸俗现实的分离乃至冲突，对一个成年人来说也是痛苦的，对一个年方17岁的青年来说，实在是太残酷了。在痛苦中，谷超豪考入了浙江大学。
无形中脱党，对谷超豪来说可能是一种解脱，他开始在他爱好的数学上用力。他结合微积分将中学没有学好的数学课程重新补上，并广泛阅读课外书籍，如自学一本用综合方法写作的射影几何学著作。这些不仅训练了他的直观能力、演算能力和解决应用问题的能力，打下了扎实的数学基础，还使他对几何学产生了兴趣。
二年级要到湄潭本部，却因交通阻塞只得滞留家乡，再次陷入他痛恶的家庭及其家庭关系。但他很快觉悟，自学数学课程，托人买了一套法国数学家古尔萨（07douardGoursat，）的名著《数学分析讲义》，自己啃了下来，对数学有了更多的了解与理解。对数学的喜好代替了无聊的生活，谷超豪似乎找到了在学术上安身立命的人生道路。
1947年，浙江大学学生自治会理事合影，中排右二为谷超豪。
可抗战胜利后，贵州学校本部和龙泉分校搬迁回杭州，风起云涌的学生运动又深深地刺激了他，他再次投身于政治运动中。领导示威游行、组织进步社团，担任浙江大学学生自治会理事，参与各种政治活动成为他的主业，并于1948年4月再次加入中国共产党，曾参与策反国民政府国防部雷达研究所起义工作。
革命工作之外，谷超豪并不放松学习：“在学生运动、党的地下工作十分繁忙的时候，我还是分秒必争，尽量挤时间来学好数学。”因此，谷超豪各科成绩都非常优秀，专业课成绩在90分左右，并因成绩优秀，毕业留校任助教。
就是在“挤时间”学习数学中，谷超豪再次展示了他的数学天分。他同时参加陈建功、苏步青分别主持的函数论和微分几何讨论班，开创了浙江大学数学系数学研讨班的历史（此前每个人只能参加一个研讨班）。随苏步青学几何，谷超豪啃下了首届菲尔兹奖获得者道格拉斯（JesseDouglas，）长达几十页的论文，显示他在数学上“打硬仗”的能力；同时在陈建功的分析讨论班上表现突出，与陈建功等合作撰写了他的第一篇数学论文，后在国际闻名的《伦敦数学会杂志》发表。谷超豪在讨论班的特出表现，使同班同学、美国哥伦比亚大学荣休教授、数理统计学家、中研院院士周元燊几十年后回忆时还佩服不已，说自己比不过谷超豪，只好改读数理统计。
留校任教后，谷超豪因将精力投入革命工作，耽误了图书馆管理员的职责，只得交出了图书室的钥匙。尽管苏步青非常同情学生运动，还是担心谷超豪过多地把时间和精力花在学生运动上而影响学习，曾对他说：“学生会这类事情少做一点吧！”
革命工作对谷超豪实在有吸引力。新政权建立后，他先后参加全国科代会、杭州市和浙江省各界人民代表会议，担任浙江省科协党组书记兼浙江省文化局科普科长。1951年4月，作为全国科联代表，与梁希等五人出席世界科协第二次代表大会，并在莫斯科参观访问三周。他已经完全成为一个党务工作者，作为苏步青的学生，领导苏步青在科联的工作，只有业余才去听苏步青的课。
就是在业余听课期间，谷超豪第一次完成了系统的科学研究工作，撰写了一系列论文在《中国科学》、《科学记录》上发表。科研成果的取得与发表，极大地激发了他对数学的兴趣。1951年9月，因不能割舍对数学的热爱，谷超豪放弃了浙江省科联党组书记等行政工作，在苏步青的帮助下，重新回到了浙大，“回归到数学的队伍中”。对数学的兴趣终于战胜了对政治工作的热情，此时，他已年满25岁。
数学被认为是年轻人的事业。20世纪伟大的数学家哈代（GodfreyH.Hardy，）说过，“数学家们都不应该忘记这一点：比起其他技艺或科学，数学更是年轻人的工作”，“我还不知道有哪一个重要的数学进展是由一个年过半百的人创始的”。想想现代数学的开创者阿贝尔（NielsH.Abel，）、伽罗瓦（07varisteGalois，）、黎曼（GeorgF.B.Riemann，）等天才在20岁左右所开创的激动人心的数学事业，中国现代第一代数学家华罗庚、许宝騄、陈省身等也在30岁以前取得举世闻名的成就，我们就会明白，谷超豪将25岁以前的生命激情大部分奉献给数学以外的事业，这对他喜好的数学、对正处于发展中的中国数学来说，是多么大的损失。
回归数学的谷超豪很快取得了一系列数学成果，翌年晋升为讲师。作为党靠得住的人才自然成为党极力培养的对象，被选派到北京俄语专修学校留苏预备部培训，为留学苏联做准备。
不想，1943年脱党的经历、地主资产阶级出生及自己根深蒂固的名位思想这些“原罪”击毁了他这一人生规划，不仅未能得到留苏的机会，反而在整党运动中受到留党察看、限期提高的处分。一下子从天堂到地狱，使他“有时也幻想最好躲在与社会隔绝的地方，尽量读好书，以后再露面”。
留苏不成，阻隔了他更早接触世界数学前沿，延迟了他数学科研工作的进程。“在一切知识领域中，俄罗斯与苏联做出最大贡献的是数学”，当时的苏联，虽然学术发展受到了政治的极大伤害，但仍是数学超级大国。
1953年7月培训结束，谷超豪来到已院系调整的复旦大学，这里不仅有导师苏步青、陈建功，更有恋人胡和生。他没有自暴自弃，而是在数学科研与教学上奋力前行，在微分几何方面取得突破，很快成为苏步青开创的中国微分几何学派的中坚力量。同时，在政治上严格要求自己，先后担任数学系几何教研室副主任、支部书记、数学系党总支委员等。
1956年，谷超豪脱党历史问题查清，晋升为副教授，被推选为全国先进生产工作者，当选为校党委委员，也再次获得了前往苏联进修的机会。
1957年，赴苏联前，谷超豪(左)与苏步青（右）讨论数学问题。
翌年九月，他抵达世界数学中心之一莫斯科大学数学力学系，在数学最前沿的庙堂里徜徉。在这里，谷超豪不仅亲炙数学大师们的教诲，更感受了大师们所养成的数学研究氛围，更因突出的科研成果以无副博士学位的身份获得物理－数学博士学位，打破了苏联博士学位教育的常规（一般程序是获副博士学位若干年，取得成就后才可申请博士论文答辩），成为第一个获得莫斯科大学博士学位的中国人。
1959年，谷超豪在莫斯科大学和指导教师拉舍夫教授（右）、拉普切夫教授（左）合影。
1959年7月，谷超豪学成归国。作为“又红又专”的典型，他在数学科研与教学上取得了瞩目的成就，特别是在新开创的偏微分方程领域，不仅自己做出了重要的成就，更培养了李大潜、陈恕行等团队与梯队。
这一段时间是谷超豪一生中学术成果丰收的阶段，但他也与当时大多数学术工作者一样，不得不将不少的宝贵时光贡献于学术之外的政治活动中，包括各种各样的会议、党务活动和各种运动等。这对一个以数学为生命的数学家来说，意味着什么是不言而喻的。问题是，在当时的社会环境与社会条件下，如果没有机会参加这些政治活动，社会地位得不到保障，从事科研工作的机会可能就没有了。即使竺可桢、华罗庚也要一面抱怨社会活动太多而“苦不堪言”，一面又声称开会可以休息头脑。
当谷超豪在学术上大踏步向前时，文革到来了。这是他这一辈科学工作者不得不共同面对的遭遇，不仅科研权力被剥夺，而且因中外隔绝，了解国际学术界发展前沿的机会也微乎其微。
对谷超豪而言，留苏经历也成为“问题”，不仅是资产阶级学术权威还是修正主义代理人，只得接受不断的审查与劳动。应该说，相比其他科学工作者来说，谷超豪又是幸运的，他参加了上海市委写作班子理科大批判组，虽然思想与精神得不到自由，但至少身体可以得到少许休息。更加幸运的是，随着中美关系解冻，他与杨振宁进行了合作研究，开启了数学物理研究新领域，在规范场理论方面也取得了相当的成就。虽然杨振宁自1974年就一再邀请他赴美担任客座教授或学术访问，向世界宣讲他的科研成就并了解世界数学发展前沿，但因政治原因，并未成行。这无论是对谷超豪个人学术成长还是对中美学术交流来说都是巨大的损失。
1977年7月，谷超豪、胡和生等与杨振宁讨论规范场理论（左起：谷超豪、胡和生、杨振宁）。
当“科学的春天”到来时，谷超豪已经年过五十，按照哈代的说法，他已经进入没有数学创造力的人生阶段。但他继续在数学物理领域探索，并在孤立子理论方面取得了瞩目的成就。
谷超豪在微分几何领域展现才华时，已经敏感地认识到与实践有密切关系的偏微分方程领域的发展前景，当初预备留苏时就计划学习偏微分方程。
偏微分方程是连接数学与实践的桥梁，当时国内毫无基础，没有起码的研究，可又是实践活动特别是国家重点发展的原子弹、导弹等高科技领域急需的数学知识。谷超豪留苏期间在继续从事微分几何研究之外，也扩展了自己在偏微分方程的知识视野。进入偏微分方程领域后，谷超豪带领他的团队除在纯粹数学研究方面做出了重大贡献，奠定了中国偏微分方程的发展基础外，也在国家需要的应用方面做出了重大贡献，诸如机翼超音速绕流、远程导弹飞行中弹头烧蚀问题等。
应该说，谷超豪应国家之需转向偏微分方程研究取得了巨大的成就，他作为我国偏微分方程学科的领军人物也将载入史册。谷超豪一辈科学工作者不少人都因国家需要而改变研究方向，并在改变中迅速地成长起来，为我国科学事业做出了重大贡献，他们也以被国家需要而自豪。他们在国家建设与富强过程中所做出的贡献自然会被历史所铭记，这也是他们那辈科学工作者留给后代的财富。但他们这种学术转向是否满足了他们自身的学术兴趣，充分发挥了他们自己的学术潜能？对中国科学的总体发展来说，是否真正有利于中国科学的发展？从更广阔的角度来看，是否真正扩展了人类知识的视野？
正如谷超豪所说：“推动数学发展的动力既来自于内部，即解决自身的问题；也来自于外部，即研究各门科学所提出的问题。”
谷超豪后来转向所从事的研究无论是偏微分方程还是数学物理，都是来自数学外部需求的数学问题。他最初从事的微分几何的研究，是来自数学发展内部的数学问题。微分几何特别是法国数学家嘉当（07lieCartan，）开创、陈省身接续的整体微分几何是20世纪数学的主流之一，谷超豪最初从事的关于黎曼几何的研究，对嘉当的理论有所推进，自然属于微分几何主流中的成果。但他未能继续在微分几何领域前行，而是转向到偏微分方程。偏微分方程的研究并不是20世纪的数学主流，正如陈恕行所说，国际上从事偏微分方程研究的并不是很多，“他们比较重视核心数学纯理论的东西”。
如果从数学这门学科的发展来说，谷超豪若一直在微分几何领域耕耘，对这门学科贡献可能更大。在此意义上，谷超豪的转向无论是对他个人还是对国家，可能都是一种损失。
科学首先是一种知识体系，有独特的研究方法与社会体制，在整个社会体系中有独立的地位。科学的本质是对真理的追求，是对人类知识视野的扩展，需要为学术而学术、为科学而科学的求真精神。“国家需要”其实是将科学作为一种工具，没有把科学作为一种独立于社会的学术追求。
自鸦片战争以来，科学在中国就背负了救国与强国的重担，“科学救国”也就成为代代中国人寻求国家独立与民族富强的强大工具，不仅掩盖了科学自身的独立地位与独特性，反而阻碍了科学在中国的真正发展、科学精神在中国的真正生根，中国科学的发展也一直逡巡于这种实用战略与实用境地。科学在中国从未做过神学的婢女，也就没有将科学从神学解放出来的运动，也就没有西方社会对科学独立性的认知。
谷超豪是不幸的，他将太多的岁月献给了数学以外，生命的相当一部分时间纠缠于学术与政治之间，同时又应“国家需要”改变自己的学术研究方向，他的才情未能得到充分发挥。谷超豪又是幸运的，相比同时代大多数科学工作者，其才华毕竟还是得到发抒，并取得了卓越的成就。“未尽其才”是他那辈科学工作者中大多数人不可避免的共同命运与悲剧。
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植树节那天，老师带着同学们去公园里植树。老师在去公园的路上问同学们说：“同学们今天我们去的这个公园的湖面的周围筑成周长是3060米大堤，堤长每隔6米要栽一棵柳树，还要在相邻的两棵柳树之间栽上桃树2棵，我们要在大堤上栽柳树和桃树各多少棵？”同学们都在左思右想，努力发言。有一位同学说：“老师，要栽510棵柳树和1020棵桃树。”老师问：“为什么呢？”这位同学说：“这道题应该属于环形线路上的植树问题。因此，种柳树和棵树等于段数。又因为在相邻的两棵柳树之间栽桃树2棵，可以知道，桃树的棵树应该是柳树的两倍。因此，解答为：3060除以6等于510棵是柳树的棵数，用510乘以2等于1020棵是桃树的棵数。”老师说：“你真聪明，我们一定要像这位同学一样。”
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今天，我在做数学家庭作业时遇到一道难题：甲乙丙三个班一共有161人，甲班比乙班多2人，丙班比乙班少6人，乙班有多少人？刚一看就傻眼了，题目中只告诉了我三个班的总人数和三个班人数的关系，用三个班的总人数除以三个班除不了，我越想越糊涂了，于是我只好向妈妈发出了求救信号：“妈妈快来，我遇到难题了。”妈妈听到了我的喊声，忙放下自己手中的活，走了过来。
妈妈将题目读了一遍想了会儿问我：“你能不能根据题目给的条件画出线段图？”被妈妈这一问，我突然想起了之前老师教的：在题目所给的条件里，有关系就可以画线段图。这道题目的关系是甲班比乙班多2人，丙班比乙班少6人。这句话中没变的是乙班，那先画乙班的线段图，再根据这句话画出甲班和丙班的线段图。如下：&
根据这个图我发现：假设甲班比乙班多的2人给丙班，这样甲班和乙班人数就同样多，此时丙班的人数就比乙班的少4人：6-2=4（人）。这时只要丙班再加4人，就和乙班的一样多，同时总人数也多了4人：161+4=165（人）。这样就可以平均分了：165&3=55（人）。这时乙班的人数就算出来了，是55人。同时甲班和乙班的人数也就可以算出了：甲班：55+2=57(人)&&&丙班：55-6=49（人）。最后我又验算了一下，将三个班的人数加起来：57+55+49=161（人）正好是161人。
在妈妈的指引下，我终于用我所学的知识破解了这道难题。这件事让我明白：无论在学习还是在生活中，遇到难题时，千万不能慌张，一定要冷静地思考，将平时所学的知识在脑海里像放电影一样想一遍，再根据题意从中找出适合解题的方法，再多难的题目都会迎刃而解。
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小学三年级是小学阶段的一个重要转折时期，如何在培养具有创新精神、提高学生整体素质的前提下解决三年级数学成绩下降的教育问题，一直是教育界，特别是一线教师特别关注的问题之一。在教育教学过程中我把以学生心理特点改革小学三年级数学教学为研究课题，使学生质量有了较大的提高。现从几个方面简论如下：
1、克服学生的不稳定情绪，培养、提高学生的注意力。
三年级学生的年龄阶段一般是9周岁，这时，学生开始进入发育期，个性开始占重要地位，自制力弱、活泼好动、易受影响，使注意力分散。心理学告诉我们，注意力是一种基本能力，它是学生顺利学习的必要前提，是获得其它一切能力的基础。在小学阶段，就应该培养少年儿童注意力方面的良好的素质。良好的注意力素质有助于教学的学习；反过来，数学的学习有助于锻炼学生的注意力。学生就是在相辅相成的过程中既学习了数学知识，又培养了这一基本能力。
2、自然引出，水到渠成。
充分利用学生已有的知识经验，发挥其无意注意是培养学生注意力的第一步。从心理学角度来看，凡是学生完全不熟悉的东西，或完全熟悉的东西都不能引起学生的兴趣和注意。因此只有结合学生熟悉的知识经验引出他们不熟悉的知识，才能提起学生的兴趣，谐音他们的注意力。
例如：在教乘数是3位数的乘法时，借助于学生已掌握的乘法数是2位数的乘法知识，我引导并帮助学生逐步解决课本的准备题让学生在无意中接受了新知识。
在讲解准备时，教师有意让学生初步认识用乘数哪一位上的数去乘被乘数，乘得数的末位就要和那一位对齐，这是关键。学生的知识经验一方面来自原有的知识，另一方面来自生活经验。由于我坚持按照教材的实际，在教学中区别情况加以运用这些知识抓住了学生的注意力，使学生循序渐进地获得了新知识。
3、合理组织，张弛相间。
由于儿童的注意力持续性还较差，根据这一特点，我采用3个环节组织课堂教学，自然的引入已使学生兴奋的情绪得以稳定，注意力有了方向。在此基础上，讲授新课成了中心环节，教师应抓紧时机在上半节课学生注意力较集中的时间内，讲清重点，突破难点。最后一个环节是巩固阶段，让学生对新知有一个完整、准确的把握，师生可以在一种较为轻松的理解和运用。正是因为张弛并用，学生才能保持高度集中的注意，合理而有效的学习知识，充分地利用了课堂。
4、由直观教学入手，促使学生由具体形象思维向抽象思维过渡。
小学一、二年级的学生主要借助直观形象理解知识，并通过反复练习记忆知识。对待三年级学生不能依然停滞于这样的水平。但是，由于三年级的学生思维正处于从具体的形象思维向抽象思维的过渡阶段。这一特点又决定我们的教学不能操之过急。
5、负迁移的干扰。
学生原有的知识可以促进新知识的掌握，这是知识的正迁移；也可以干扰新知识的学习，这是知识的负迁移。我在教学中注意利用迁移规律，促进学生知识的正迁移发展，防止负迁移的干扰，做法是：
&&1、温故知新。三年级是整数学习的最后一年，多位数运算占全年教材的近一半，出色地完成这部分教材的任务对提高学生的计算能力，对全年的教学任务的完成都起着重要作用。学生多位数运算能力学得好不好，很大程度依赖于一、二年级各种运算的理解和掌握情况。但是我们不可能抽出整段时间帮助学生复习旧知识，而只能把一、二年级学过的进退位加减法，一位数乘2位数，试商等内容编成口算、听算训练题目，有计划的安排到各节课，作为课前练习。使旧知识对学习起着正迁移作用。
2、运用比较。当新旧知识技能一0分相似，学生在接受新知识时往往会受旧经验的干扰。这是负迁移作用，是学生学习上的难点。这时我便运用比较方法，帮助学生突破难点，消除旧知识向迁移作用。
3、改错练习。在教学中我不仅注意到从正确的方面教给学生的知识，而且注意到从反的方面培养学生的判断能力。
其中 ①是针对学生法则中“被除数和除数划去相同个数的‘0’的相同这一关键词不理解而提出来的。”
②是针对学生对余数的位置不理解而提出来的。
③是针对“补0”有模糊认识提出来的。这样，既从正面讲清算理，又从反面加深理解，互相配合，使知识掌握更牢固。
三年级是连接小学低年级和高年级的桥梁和纽带，学生能否很好地完成这个过渡关键在于教师的把握。我相信，只要遵循教学规律，善于把握学生的心理特点和思维特点，提高三年级教育教学质量不会再是难题。
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