四点共圆_百度百科
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如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”。四点共圆有三个性质：（1）共圆的四个点所连成同侧共底的两个三角形的顶角相等；（2）的对角互补；（3）圆内接四边形的外角等于。以上性质可以根据圆周角等于它所对弧的度数的一半进行。别&&&&称四个点共圆提出者不明应用学科数学适用领域范围几何
方法1： 把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的同侧，若能证明其顶角相等，从而即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若线段同侧二点到线段两端点连线相等，那么这二点和线段二端点四点共圆）
方法2 ：把被证共圆的四点连成四边形，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
（可以说成：若平面上四点连成四边形的对角互补或一个外角等于其内对角，那么这四点共圆）若ABCD四点共圆（ABCD按顺序都在同一个圆上），那么AB*DC+BC*AD=AC*BD。
例题：证明对于任意正整数n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数。
解答：归纳法。我们用归纳法证明一个更强的定理：对于任意n都存在n个点使得所有点间两两距离为整数，且这n个点共圆，并且有两点是一条直径的两端。n=1，n=2很轻松。当n=3时，一个边长为整数的勾股三角形即可：比如说边长为3，4，5的三角形。我们发现这样的三个点共圆，边长最长的边是一条直径。假设对于n大于等于3成立，我们来证明n+1。假设直径为r（整数）。找一个不跟已存在的以这个直径为斜边的三角形相似的一个整数勾股三角形ABC（边长a&b&c）。把原来的圆扩大到原来的c倍，并把一个边长为ra&rb&rc的三角形放进去，使得rc边和放大后的直径重合。这个三角形在圆上面对应了第n+1个点，记为P。于是根据Ptolomy定理，P和已存在的所有点的距离都是一个有理数。（考虑P，这个点Q和直径两端的四个点，这四点共圆，于是PQ是一个有理数因为Ptolomy定理里的其它数都是整数。）引入一个新的点P增加了n个新的距离，记这n个有理数的最大公分母为M。最后只需要把这个新的图扩大到原来的M倍即可。归纳法成立，故有这个命题。现就“若平面上四点连成四边形的对角互补。那么这个四点共圆”证明如下（其它画个证明图如后）
已知：四边形ABCD中，∠A+∠C=180°
求证：四边形ABCD内接于一个圆（A，B，C，D四点共圆）
过A，B，D作圆O，假设C不在圆O上，点C在圆外或圆内，
若点C在圆外，设BC交圆O于C’，连结DC’，根据圆内接四边形的性质得∠A+∠DC’B=180° ，
∵∠A+∠C=180° ∴∠DC’B=∠C
这与三角形外角定理矛盾，故C不可能在圆外。类似地可证C不可能在圆内。
∴C在圆O上，也即A，B，C，D四点共圆。从被证共圆的四点中先选出三点作一圆，然后证另一点也在这个圆周上，若能证明这一点，即可肯定这四点共圆．
把被证共圆的四个点连成共底边的两个三角形，且两三角形都在这底边的，若能证明其顶角相等(同所对的相等），从而即可肯定这四点共圆。
几何描述：四边形ABCD中，∠BAC=∠BDC，则ABCD四点共圆。
证明：过ABC作一个圆，明显D一定在圆上。若不在圆上，可设射线BD与圆的交点为D'，那么∠BD'C=∠BAC=∠BDC，与外角定理矛盾。把被证共圆的四点连成，若能证明其对角互补或能证明其一个外角等于其邻补角的内对角时，即可肯定这四点共圆。
证法见上把被证共圆的四点两两连成相交的两条，若能证明它们各自被交点分成的两线段之积相等，即可肯定这四点共圆（的逆定理）；或把被证共圆的四点两两连结并延长相交的两线段，若能证明自交点至一线段两个端点所成的两线段之积等于自交点至另一线段两端点所成的两线段之积，即可肯定这四点也共圆．（的逆定理）
上述两个定理统称为圆幂定理的逆定理，即ABCD四个点，分别连接AB和CD,它们（或它们的延长线）交点为P，若PA*PB=PC*PD，则ABCD四点共圆。
证明：连接AC,BD，∵PA*PB=PC*PD
∴PA/PC=PD/PB
∵∠APC=∠BPD
∴△APC∽△DPB
当P在AB,CD上时，由相似得∠A=∠D，且A和D在BC同侧。根据方法2可知ABCD四点共圆。
当P在AB,CD的延长线上时，由相似得∠PAC=∠D，根据方法3可知ABCD四点共圆。证被证共圆的点到某一定点的距离都相等，从而确定它们共圆．即连成的四边形三边有交点，可肯定这四点共圆．四边形ABCD中，若有AB*CD+AD*BC=AC*BD，即两对边乘积之和等于对角线乘积，则ABCD四点共圆。该方法可以由托勒密定理逆定理得到。
托勒密定理逆定理：对于任意一个凸四边形ABCD，总有AB*CD+AD*BC≥AC*BD,等号成立的条件是ABCD四点共圆。
如图，在四边形内作△APB∽△DCB（只需要作∠PAB=∠CDB,∠PBA=∠CBD即可）
由相似得∠ABP=∠DBC，∠BAP=∠BDC
∴∠ABP+∠PBD=∠DBC+∠PBD
即∠ABD=∠PBC
又由相似得AB:BD=PB:CB=AP:CD
∴AB*CD=BD*AP，△ABD∽△PBC
∴AD:BD=PC:BC，即AD*BC=BD*PC
两个等式相加，得AB*CD+AD*BC=BD*(PA+PC)≥BD*AC,等号成立的充要条件是APC三点共线
而APC共线意味着∠BAP=∠BAC，而∠BAP=∠BDC，∴∠BAC=∠BDC
根据方法2，ABCD四点共圆若一点在一三角形三边上的射影共线，则该点在三角形外接圆上。
设有一△ABC，P是平面内与ABC不同的点，过P作三边垂线，垂足分别为L,M,N，若L,M,N共线，则P在△ABC的外接圆上。
如图，PM⊥AC,PN⊥AB,PL⊥BC，且L,N,M在一条线上。
连接PB,PC，∵∠PLB+∠PNB=90°+90°=180°
∴PLBN四点共圆
∴∠PLN=∠PBN，即∠PLM=∠PBA
同理，∠PLM=∠PCM，即∠PLM=∠PCA=∠PBA
根据方法2，P在△ABC外接圆上的对角和为180°,并且任何一个外角都等于它的内对角。
【如图A：四点共圆的图片】图A：四点共圆的图片
四边形ABCD内接于圆O，延长AB和DC交至E，过点E作圆O的切线EF，AC、BD交于P，则有：
（1）∠A+∠C=π，∠B+∠D=π（即图中∠DAB+∠DCB=π, ∠ABC+∠ADC=π）
（2）∠DBC=∠DAC（同弧所对的圆周角相等）。
（3）∠ADE=∠CBE（外角等于内对角，可通过（1）、（2）得到）
（4）△ABP∽△DCP（两三角形三个内角对应相等，可由（2）得到）
（5）AP*CP=BP*DP（）
（6）EB*EA=EC*ED（）
（7）EF?= EB*EA=EC*ED（）
（8）AB*CD+AD*CB=AC*BD（）
说明：切割线定理，割线定理，相交弦定理统称 [1]
其他定理：弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧的圆心角的度数的一半。
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把四边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长线的同侧，这样的四边形叫做凸四边形．（1）如图，平面上线段AC、BD相交，证明：顺次连接A、B、C、D四点的线段构成凸四边形．（2）平面上有A、B、C、D、E五点，其中无任意三点共线，证明：一定存在四点构成凸四边形．（可以用（1）的结论）
题型：解答题难度：中档来源：不详
证明：（1）顺次连接A、B、C、D四点，由图形可知AD，BC，CD都在AB延长线的同侧；AB，AD，CD都在BC延长线的同侧；AB，BC，AD都在CD延长线的同侧；AB，BC，CD都在AD延长线的同侧．则四边形ABCD是凸四边形．故平面上线段AC、BD相交，顺次连接A、B、C、D四点的线段构成凸四边形．（2）∵平面上有A、B、C、D、E五点，其中无任意三点共线，∴必有四点两两相交，∴一定存在四点构成凸四边形．
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据魔方格专家权威分析，试题“把四边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长线的同侧，..”主要考查你对&&认识平面图形&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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认识平面图形
平面图形：有些几何图形（如线段、角、三角形、长方形、圆等）的各个部分都在同一平面内，它们是平面图形。如直线、射线、角、三角形、平行四边形、长方形（正方形）、梯形和圆都是几何图形，这些图形所表示的各个部分都在同一平面内,称为平面图形。例如：有一组对边平行的四边形一定是平面图形。（两条平行线确定一个平面）平面图形的大小,叫做它们的面积点的形成是线，线的形成是面，面的形成是体。平面图形分类:常见的平面图形图示:从左到右依次为:长方形、正方形、三角形、圆、椭圆、&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& 菱形、五边形、六边形。几何图形知识体系图:
发现相似题
与“把四边形的任何一边向两方延长，如果其他各边都在延长线的同侧，..”考查相似的试题有：
28603312687190134906871676272379849教师讲解错误
错误详细描述：
定义：到凸四边形一组对边距离相等，到另一组对边距离也相等的点叫凸四边形的准内点.如图1，PH＝PJ，PI＝PG，则点P就是四边形ABCD的准内点.（1）如图2，∠AFD与∠DEC的角平分线FP，EP相交于点P，求证：点P是四边形ABCD的准内点；（2）分别画出图3平行四边形和图4梯形的准内点；（作图工具不限，不写作法，但要有必要的说明）（3）判断下列命题的真假，在括号内填“真”或“假”：①任意凸四边形一定存在准内点；（　　）②任意凸四边形一定只有一个准内点；（　　）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA＋PB＝PC＋PD或PA＋PC＝PB＋PD. （　　）
【思路分析】
（1）过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD，由角平分线的性质可知PJ=PH，PG=PI；（2）平行四边形对角线的交点，即为平行四边形的准内点；梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点，即为梯形的准内点；（3）①当凸四边形为平行四边形时，易知其对角线交点即为其准内点；②当凸四边形不为平行四边形时，可以将四边形的两边延长，构造三角形，其对角线交点即为准内点．
【解析过程】
（1）如图2，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD∵EP平分∠DEC，∴PJ=PH．同理PG=PI．∴P是四边形ABCD的准内点；（2）如图所示：平行四边形对角线AC，BD的交点P1就是准内点，如图3（1），或者取平行四边形两对边中点连线的交点P1就是准内点，如图3（2），梯形两腰夹角的平分线与梯形中位线的交点P2就是准内点．如图4；（3）①任意凸四边形一定存在准内点；（　真　）②任意凸四边形一定只有一个准内点；（　真　）③若P是任意凸四边形ABCD的准内点，则PA＋PB＝PC＋PD或PA＋PC＝PB＋PD；（　假　）．
（1）如图2，过点P作PG⊥AB，PH⊥BC，PI⊥CD，PJ⊥AD∵EP平分∠DEC，∴PJ=PH．同理PG=PI．∴P是四边形ABCD的准内点；（2）如图所示：（3）①真；②真；③假
此题是一道新定义探索性题目，考查了对新信息的理解与应用能力，同时考查了三角形及四边形的性质．
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京ICP备号 京公网安备用对角线把多边形分成几个三角形，叫做“多边形的三角剖分”．如图，凸四边形ABCD，有两种剖分方法：（如图示）20世纪，数学家乌尔班发现并证明了下面的公式：n+1Dn=4n-6n（Dn表示凸n边形的三角剖分数）请你用上面的公式计算D6=14．【考点】．【分析】根据D4=2，可得出D5，由D5可得出D6．【解答】解：∵D4=2，5D4=，∴D5=5，∵6D5=，∴D6=14．故答案为：14．【点评】本题考查了多边形的对角线，解答本题的关键是发现D4=2．声明：本试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布。答题：　难度：0.62真题：1组卷：3
解析质量好中差}