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帮助你迅速提分的最新中考满分作文：金榜范文（年）
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《帮助你迅速提分的最新中考满分作文：金榜范文（年）》讲述了：最真实的考场状元作文，最及时的阅卷现场解读，最权威的考场命题剖析，最实用的作文备考策略。阅卷名师，解读考场作文得分秘笈；高考状元，披露满分作文写作捷径。
严敬群，语文教学研究专家，中央教科所兼职教研员，主编过教育部课题教材5套；在100多家专业报刊上发表了各类教学教研文章数百篇。策划和主编了各类教育教学图书、青少年读物、工具书等100多套，其中5套图书荣获“全国优质教育成果图书类一等奖”，所编著的考场作文和学生阅读类图书连续多年畅销。
阅卷名师名师解密中考满分作文九大秘笈第一招审题：把好作文的第一关第二招立意：千古文章意为高第三招构思：听唱新翻杨柳枝第四招选材：万紫千红才是春第五招语言：淡妆浓抹总相宜第六招内容：远近高低各不同第七招文体：传统创新两风流第八招结构：推陈出新巧布局第九招创新：劝君莫奏前朝曲第二章
2009年全国中考佳作评析北京卷真题回放考题透视考场佳作杏花的约定并没有结束希望并没有结束上海卷真题回放考题透视考场佳作在学海中游泳在学海中游泳天津卷真题回放考题透视考场佳作花开不败接纳困境重庆卷真题回放考题透视考场佳作白发爱的承诺河北卷真题回放考题透视考场佳作说墙墙的故事河南卷真题回放考题透视考场佳作逆耳忠言助我行逆耳忠言助我行湖北武汉卷真题回放考题透视考场佳作量力而行，尽力而为尽力而为就好浙江宁波卷真题回放考题透视考场佳作对我影响最大的一个人对我影响最大的一个人浙江杭州卷真题回放考题透视考场佳作被自己感动被自己感动江苏扬州卷真题回放考题透视考场佳作呵护呵护福建福州卷真题回放考题透视考场佳作分享分享湖南长沙卷真题回放考题透视考场佳作春风吹又生一步，一步，再一步广东卷真题回放考题透视考场佳作我和爸爸一起品茶我和朋友一起患难与共安徽卷真题回放考题透视考场佳作师生之间师生之间江西卷真题回放考题透视考场佳作我很幸运我很幸运黑龙江哈尔滨卷真题回放……第三章
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作文选材上有一条避俗性原则，要求考生在选材上要尽力避开众人都可能选上的素材，另辟蹊径，选择新颖的素材。而有些考生偏偏顾此失彼，避了“俗”却又避了“熟”――选择了新颖的却不是自己熟悉的素材。山东中考作文是以“我看”为题的，有些同学写成了《我看反恐》、《我看克隆》……这些同学对“反恐”知之甚少，对“克隆”更是一无所知，肚中无货，又怎能写出文章。云南某市中考以“适应”为话题，有些农村学生却选择了他们并不熟悉的城市下岗人员是怎样历经阵痛适应新的环境的话题，而有些城市考生却偏偏选择了他们也不熟悉的农民在农村产业结构调整中适应与不适应的话题，他们对此只了解一点皮毛，如此避熟就新，岂不是从一个误区走向另一个误区。江苏南通的“生命的芳香”中的满分作文《嗅觉中的生命》所选择的三个画面、《暗香弥漫》叙述的奶奶为自己洗衣服时所留下的清香，四川南充以“战胜自我”为话题，满分作文《难以拒绝的诱惑》、《窗外，那雨》，选材都是自己非常熟悉的初中生活，正是这些熟悉的“风景”，才让这些考生叙述描写起来从容不迫，驾轻就熟，灵活行文。只有我们熟悉的，我们才看得真，动了情，想得深，写起来才会驾轻就熟。
四、大胆变换视觉，以“别致”取胜
同样的材料，展示的角度不同，给人的感受绝对不一样。诚如中国古代的“四大美女”，她们各自都有缺陷，但是她们巧施手段，聪明地掩饰了自己的短处，展现给众人的是最动人最亮丽的一面。考场作文，如能巧妙地变换角度，就能以“巧”取胜。围绕同一话题，我们可以让不同身份的人，从不同的视角切人，让话题充分聚焦。或前后对比，两两衬托，凸现主旨；或从不同角度来表现话题的不同侧面，见仁见智。我们也可以变换身份，不以考生的视角，而从成年人的视角与口吻切人，巧妙地来一个角色反串，那样的文章也一定会给人耳目一新、情趣顿生之感。我们还可以主动大胆地舍弃一般人都习惯使用的人称，而用另一种人称切人，同样会给入耳目一新之感。我们还可以变换视角，以物的角度切人，赋予物以人格力量，采用第一人称叙述，如此不仅增强了文章的可信度、亲切感，也使文章充满了浓浓的人情味，生动俏皮的语言也使文章情趣盎然。当然，还可以从侧面入手，或者正面和侧面相结合，给人的效果也绝对不一样。
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新书热卖榜2011鄞州区游泳中考 我们是去鄞州体育馆，想晓得去过的是什么感觉。。。_百度知道
2011鄞州区游泳中考 我们是去鄞州体育馆，想晓得去过的是什么感觉。。。
提问者采纳
身为过来人
我跟你说一下 尽量不要紧张 还有刚下水的时候是很冷的
所以你刚进去的时候 要淋一下冷水 防止下水的时候 反应不过来 具体你想问什么
提问者评价
谢了，我已经过了
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出门在外也不愁最新最全精品资料题目汇编 2011 年中考数学模拟 分类汇编之“二次函数的应用” 分类汇编之“二次函数的应用”题目汇编一、选择题 1. （2011 年北京四中中考全真模拟 15）某兴趣小组做实验，将一个装满水的酒瓶倒 置，并设法使瓶里的 水从瓶口匀速流出，那么该倒置酒瓶内水面高度 h 随水流出时。水面高度 h 与水流时间 t 之间关系的函 数图象为（ ）答
案：B 2.（浙江杭州靖江 2011 模拟）我们知道，根据二次函数的平移规律，可以由简单的函数通过平移后得到 较复杂的函数， 事实上， 对于其他函数也是如此。 如一次函数， 反比例函数等。 请问 y = 通过_________________________平移得到。 （原创） 答案：向右平移 1 个单位，再向上平移 3 个单位3x ? 2 1 可以由 y = x ?1 x3、2011 年黄冈市浠水县） （ 如图， 已知： 正方形 ABCD 边长为 1， F、 H 分别为各边上的点，且 AE=BF=CG=DH, E、 G、 设小正方形 EFGH 的面积为 s ，AE 为 x ，则 s 关于 x 的函数图象大致是（ ）(D) 答案：B 二、填空题 1、如图，某涵洞的截面是抛物线形，现测得水面宽 AB＝1.6m，涵洞顶点 O 到水面的距离 CO 为 2.4m， 在图中直角坐标系内，涵洞截面所在抛物线的解析式是___ 答案： y = ? _______．15 2 x 2（第 1 题）第1页2． （2011 北京四中一模）函数 y=ax －ax＋3x＋1 的图象与 x 轴有且只有一个交点，那么 a 的值 为 ．2答案：a＝0，a=1，a＝93.（2011 灌南县新集中学一模）抛物线 y = ax 2 与直线 y = ?2 x 交于（1， m ） ，则 a = 答案： -2.4.（2011 灌南县新集中学一模）已知点 A（ m ，0）是抛物线 y = x 2 ? 2 x ? 1 与 x 轴的一个交点，则代数 式 m ? 2m + 2007 的值是2．答案： 20085、 （2011 年黄冈市浠水县）如图，半圆 A 和半圆 B 均与 y 轴相切于 CD、EF 和 x 轴垂直，以 O 为顶点的两条抛物线分别经过点 C、E 则图中阴影部分面积是：_________. 答案：O， 其直径 和 D、F，π26、 （2011 年浙江杭州 27 模）如图，AB 是半图的直径，C 延长线上的一点， 切半圆于点 E。 CD 已知 OA＝1， DF＝x， 设 y，则 y 关于 x 的函数解析式是_____________。 答案： y =为 BA AC ＝x 1? x解答题A组1、 （2011 重庆市纂江县赶水镇）已知：抛物线 y = x 2 + bx + c 的对称轴是 x=2,且经过点 A(1,0)，且与 x 轴 的另一个交点为 B，与 y 轴交于点 C.第2页（1）确定此二次函数的解析式及顶点 D 的坐标； （2）将直线 CD 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度，求平移后直线 m 的解析式； （3）在直线 m 上是否存在一点 E，使得以点 E、A、B、C 为顶点的四边形是梯形，如果存在，求出满足 条件的 E 点的坐标，如果不存在，说明理由. 答案：.解：(1)抛物线 y = x + bx + c 的对称轴是 x=2,且经过点 A(1,0)2?b =2 20=1+b+c ∴b=－4,c=3 ∴y=x2－4x+3 ∴y=(x－2)2－1 (2) 设 CD 的解析式为：y=kx+b ∴ 3= b －1=2k+b 解得：k=－2,b=3 ∴DC 的解析式为：y=－2x+3 设平移后直线 m 的解析式为：y=－2x+k ∵直线 CD 沿 y 轴向下平移 3 个单位长度 ∴直线 m 经过原点 ∴平移后直线 m 的解析式为：y=－2x （3）过点 C 作 CE∥AB 交 M 于点 E 由 y=－2x y=3 ∴x= ? ∴顶点 F 坐标（2，－1）… D(2,－1) C(0,3)3 ,y=3 2 3 ,3) 2∴E 点的坐标为( ?过点 A 作 E1A∥BC 交 m 于点 E1 设 CB 解析式为 y=kx+b ∵经过 B(3,0)，C（0，3） ∴CB 解析式为：y=－x+3第3页设 E1A 解析式为：y=－x+b ∵E1A 过点 A（1，0） ∴b=1 ∴E1A 的解析式为 y=－x+1 ∵y=－2x ∴x=－1,y=2 ∴E1 点坐标为（－1，2） 过点 B 作 BE3∥AC，则可求 E3 坐标为：E3（9，－18）2、 （2011 年北京四中五模）如图，已知二次函数 y＝ax ＋bx+c 的图象与 x 轴交于点 A、B，与 y 轴交于点 C. （1）写出 A、B、C 三点的坐标； （2）求出二次函数的解析式. （1） 、 、 （－1， ） ，B(4， ， ，－ ，－3) 解： ）A、B、C 三点的坐标为 A（－ ，0） （ （－ ， ，0)，C(0，－ （2 分） （x－ ） （3 （2）设解析式为：y＝a（x＋1） －4） 分） ）设解析式为： ＝ （ ＋ ） （ （ A 3 －1 （0 ∴ － 3＝ a（ 0＋ 1） 0－ 4） a＝ （ 5 分 ） （2B C 44∴ y＝3 2 9 x － x－3 4 4－3（6 分）3、(2011 年江阴市周庄中学九年级期末考)（本题 10 分）恩施州绿色、富硒产品和特色农产品在国际市场 上颇具竞争力，其中香菇远销日本和韩国等地．上市时，外商李经理按市场价格 10 元/千克在该州收购了 2000 千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨 0.5 元，但冷库存放这批香菇时 每天需要支出各种费用合计 340 元，而且香菇在冷库中最多保存 110 天，同时，平均每天有 6 千克的香菇 损坏不能出售． （1）若存放 x 天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为 y 元，试写出 y 与 x 之间的函 数关系式． （2）李经理想获得利润 22500 元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本 －各种费用） （3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？ 解： （1）由题意得 y 与 x 之间的函数关系式为第4页y ＝ (10 + 0.5 x )(2000 ? 6 x )= ? 3 x 2 + 940 x + 20000 （ 1 ≤ x ≤110，且 x 为整数） （不写取值范围不扣分）……….（3 分） （2）由题意得： ? 3 x + 940 x + 200-340 x =225002解方程得： x1 =50x2 =150（不合题意，舍去）李经理想获得利润 2250 元需将这批香菇存放 50 天后出售。..........（6 分） （2）设最大利润为 W ，由题意得W = ? 3x2+ 940 x + 20000 -10 × x= ?3( x ? 100) 2 + 30000 ………（8 分）∴当 = 100 时， W最大 = 30000100 天＜110 天∴存放 100 天后出售这批香菇可获得最大利润 30000 元．……..（10 分）4、 （2011 北京四中模拟 6）如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽 AB 为 6 米，最高点离地面的 距离 OC 为 5 米．以最高点 O 为坐标原点，抛物线的对称轴为 y 轴，1 米为数轴的单位长度，建立平面直 角坐标系，求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （2）有一辆宽 2.8 米，高 1 米的农用货车（货物最高处与地面 AB 的距离）能否通过此隧道？ y 答案 解： （1）设所求函数的解析式为 y = ax 2 ． O x 由题意，得 函数图象经过点 B（3，-5） ， ∴-5=9a．5 ∴a = ? ． 9∴所求的二次函数的解析式为 y = ? x 的取值范围是 ? 3 ≤ x ≤ 3 ． （2）当车宽 2.8 米时，此时 CN 为 1.4 米，对应 y = ? EN 长为ACB5 2 x ． 95 9 .8 49 × 1 .4 2 = ? =? ， 9 9 4549 45 49 45 ，车高 1 = 米，∵ & ， 45 45 45 45∴农用货车能够通过此隧道.第5页5． （淮安市启明外国语学校
学年度第二学期初三数学期中试卷）某商店经销一种销售成本为 每千克 40 元的水产品，据市场分析，按每千克 50 元销售，一个月能售出 500 千克；若销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克．针对这种水产品的销售情况，请回答下列问题： (1)当销售单价定为每千克 65 元时，计算月销售量和月销售利润； (2)销售单价定为每千克 x 元（x＞50） ，月销售利润为 y 元，求 y（用含 x 的代数式表示） (3)月销售利润能达到 10000 元吗？请说明你的理由． 答案： （1）销量 500－ 65 ? 50 × 10 ＝350（千克） ；利润（65－40）×350＝8750（元）1答：月销售量为 400 千克，月销售利润为 8750 元 （2）y= [500-(x-50)10](x-40)=(1000-10x)(x-40)= -10 x + （3）不能．由（2）知，y=-10 ( x ? 70) 2 +9000 当销售价单价 x＝70 时，月销售量利润最大为 9000 元. 6．
学年度河北省三河市九年级数学第一次教学质量检测试题） 一家计算机专买店 A 型计算 （ 器每只进价 12 元，售价 20 元，多买优惠：凡是一次买 10 只以上的，每多买一只，所买的全部计算器 每只就降低 0.10 元，例如，某人买 20 只计算器，于是每只降价 0.10×（20-10）＝1（元） ，因此，所 买的全部 20 只计算器都按每只 19 元的价格购买．但是最低价为每只 16 元． （1）求一次至少买多少只，才能以最低价购买？ （2）写出专买店当一次销售 x（x＞10）只时，所获利润 y 元）与 x（只）之间的函数关系式，并写出自 变量 x 的取值范围； （3）一天，甲买了 46 只，乙买了 50 只，店主却发现卖 46 只赚的钱反而比卖 50 只赚的钱多，你能用 数学知识解释这一现象吗？为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价 每只 16 元至少提高到多少？ 答案： （1）设一次购买 x 只，则 20－ 0.1( x ? 10) = 16，解得 x = 50 ． ∴一次至少买 50 只，才能以最低价购买 ． （2）当 10 & x ≤ 50 时， y = [20 ? 0.1( x ? 10) ? 12] x = ?0.1x 2 + 9 x 当 x & 50 时， y = (20 ? 16) x = 4 x ． （3） y = ?0.1x 2 + 9 x = ?0.1( x ? 45) 2 + 202.5 ． ① 当 10＜x≤45 时， y 随 x 的增大而增大，即当卖的只数越多时，利润更大． ② 当 45＜x≤50 时， y 随 x 的增大而减小，即当卖的只数越多时，利润变小． 且当 x = 46 时，y1=202.4， 当 x = 50 时，y2=200． y1＞y2． 即出现了卖 46 只赚的钱比卖 50 只嫌的钱多的现象． 当 x = 45 时，最低售价为 20 ? 0.1(45 ? 10) = 16.5 （元） ． ∴为了不出现这种现象，在其他优惠条件不变的情况下，店家应把最低价每只 16 元至少提高到 16.5 元 .2第6页7、 2011 年浙江省杭州市模拟 如图，抛物线 y = （2011 年浙江省杭州市模拟）1 2 x + mx + n 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于 C 点， 2四边形 OBHC 为矩形，CH 的延长线交抛物线于点 D（5，2） ，连结 BC、AD. （1）求 C 点的坐标及抛物线的解析式； （2）将△BCH 绕点 B 按顺时针旋转 90° 再沿 x 轴对折得到 后 △BEF（点 C 与点 E 对应） ，判断点 E 是否落在抛物线上， 并说明理由； （3）设过点 E 的直线交 AB 边于点 P，交 CD 边于点 Q. 问是否 存 在点 P，使直线 PQ 分梯形 ABCD 的面积 为 1∶3 两部分？若存在，求出 P 点坐标； 若不存在，请说明理由。 答案：解： （1）∵四边形 OBHC 为矩形，∴CD∥AB， 又 D（5，2） ， ∴C（0，2） ，OC=2 . …………………………… 分?n = 2 ? ∴ ?1 2 ?2 ? 5 + 5 ? m + n = 2 ? 5 ? ?m = ? 解得 ? 2 ?n = 2 ? 1 2 5 x ? x + 2 …… 2 分 2 2CyH QGDOP BF A Ex∴抛物线的解析式为： y =（2）点 E 落在抛物线上. 理由如下： 由 y = 0，得1 2 5 x ? x+2=0. 2 2解得 x1=1，x2=4. ∴A（4，0） ，B（1，0）. ∴OA=4，OB=1.……………………………… 4 分由矩形性质知：CH=OB=1，BH=OC=2，∠BHC=90°， 由旋转、轴对称性质知：EF=1，BF=2，∠EFB=90°， ∴点 E 的坐标为（3，－1）. ………………………………………………… 5 分 把 x=3 代入 y =1 2 5 1 5 x ? x + 2 ，得 y = ? 3 2 ? ? 3 + 2 = ?1 ， 2 2 2 2∴点 E 在抛物线上. …………………………………………………………… 6 分 （3）法一：存在点 P（a，0） ，延长 EF 交 CD 于点 G，易求 OF=CG=3，PB=a－1.第7页S 梯形 BCGF = 5，S 梯形 ADGF = 3，记 S 梯形 BCQP = S1，S 梯形 ADQP = S2，… 8 分下面分两种情形： ①当 S1∶S2 =1∶3 时， S1 =1 (5 + 3) = 2 & 5 ， 4此时点 P 在点 F（3，0）的左侧，则 PF = 3－a， 由△EPF∽△EQG，得PF EF 1 = = ，则 QG=9－3a， QG EG 3∴CQ=3－(9－3a) =3a －61 9 由 S1=2，得 (3a ? 6 + a ? 1) ? 2 = 2 ，解得 a = ；………………… 10 分 2 4②当 S1∶S2=3∶1 时， S1 =3 (5 + 3) = 6 & 5 4此时点 P 在点 F（3，0）的右侧，则 PF = a－3， 由△EPF∽△EQG，得 QG = 3a－9，∴CQ = 3 +（3 a－9）= 3 a－6，1 13 由 S1= 6，得 (3a ? 6 + a ? 1) ? 2 = 6 ，解得 a = . 2 4综上所述：所求点 P 的坐标为（9 13 ，0）或（ ，0）……… 12 分 4 4法二：存在点 P（a，0）. 记 S 梯形 BCQP = S1，S 梯形 ADQP = S2，易求 S 梯形 ABCD = 8. 当 PQ 经过点 F（3，0）时，易求 S1=5，S2 = 3， 此时 S1∶S2 不符合条件，故 a≠3.1 ? ?k = a ? 3 ?3k + b = ?1 ? 设直线 PQ 的解析式为 y = kx+b(k≠0)，则 ? ，解得 ? ， ?ak + b = 0 ?b = ? a ? a ?3 ?∴y=1 a x? . 由 y = 2 得 x = 3a－6，∴Q（3a－6，2） …… 8 分 a ?3 a?3 1 (3a ? 6 + a ? 1) ? 2 = 4a ? 7 . 2∴CQ = 3a－6，BP = a－1， S1 = 下面分两种情形：1 1 ①当 S1∶S2 = 1∶3 时， S1 = S梯形ABCD = × 8 = 2； 4 4∴4a－7 = 2，解得 a =9 ；……………………………………………10 分 4第8页3 3 ②当 S1∶S2 = 3∶1 时， S1 = S梯形ABCD = × 8 = 6 ； 4 4∴4a－7 = 6，解得 a =13 ； 4综上所述：所求点 P 的坐标为（9 13 ，0）或（ ，0）………… 12 分 4 48、(2011 山西阳泉盂县月考)（10 分）一家用电器开发公司研制出一种新型电子产品，每件的生产成本为 18 元，按定价 30 元出售，每月可销售 20 万件．为了增加销量，公司决定采取降价的办法，每降价 1 元，月销量可增加 2 万件．销售期间，要求销售单价不低于成本单价，且获利不得高于 60％ (1)求出月销量 y(万件)与销售单价 x(元)之间的函数关系式． (2)求出月销售利润 w(万元)(利润=售价—成本价)与销售单价 x(元)之间的函数关系式． (3)请你根据(2)中的函数关系式及其大致图象帮助公司确定产品销售单价的范围，使月销售利润不低 于 210 万元．25、第9页9. (2011 湖北省天门市一模)如图，四边形 ABCD 是菱形，点 D 的坐标是（0， 3 ） ，以点 C 为顶点的抛物 线 y = ax + bx + c 恰好经过 x 轴上 A、B 两点．2（1）求 A、B、C 三点的坐标； （2）求过 A、B、C 三点的抛物线的解析式； （3）若将上述抛物线沿其对称轴向上平移后恰好过 D 点，求平移后抛物线的解析式，并指出平移了 多少个单位?第 1 题图∴平移了 5 3 ? 3 = 4 3 个单位解:（1）A、B、C 的坐标分别为(1，0)，(3，0)， （2） y = ? 3( x ? 2) 2 + 3 （3）设抛物线的解析式为 y = ? 3( x ? 2) 2 + k ，代入 D (0，3) ，可得 k = 5 3 ， ∴平移后的抛物线的解析式为 y = ? 3( x ? 2) 2 + 5 3 。 10. （2011 浙江杭州模拟 7）如图，已知抛物线与 x 轴交于点 A(-2,0),B(4,0)，与 y 轴交于点 C(0,8)． （1）求抛物线的解析式及其顶点 D 的坐标； （2）设直线 CD 交 x 轴于点 E，过点 B 作 x 轴的垂线，交直线 CD 于点 F，在坐标平面内找一点 G，使 以点 G、F、C 为顶点的三角形与△COE 相似，请直接写出符合要求的，并在第一象限的点 G 的坐标； （3） 在线段 OB 的垂直平分线上是否存在点 P， 使得点 P 到直线 CD 的距离等于点 P 到原点 O 的距离？第 10 页如果存在，求出点 P 的坐标；如果不存在，请说明理由； （4）将抛物线沿其对称轴平移，使抛物线与线段 EF 总有公共点．试探究：抛物线向上最多可平移多 少个单位长度？yCF D HP E A O B x(第 24 题图)解:（1）设抛物线解析式为 y = a ( x + 2)( x ? 4) ，8) 把 C (0， 代入得 a = ?1 ．∴ y = ? x 2 + 2 x + 8 = ?( x ? 1)2 + 9 ，顶点 D(1， 9)(2)G(4,8), G(8,8), G(4,4) （3）假设满足条件的点 P 存在，依题意设 P (2，t ) ，8) ， 由 C (0，，D (1 9) 求得直线 CD 的解析式为 y = x + 8 10) 它与 x 轴的夹角为 45 ，设 OB 的中垂线交 CD 于 H ，则 H (2， ．o则PH = 10 ? t，点 P 到 CD 的距离为d=2 2 PH = 10 ? t 2 2 ． 2 10 ? t 2 ．又 PO =t +2 = t +4 ．2 2 2∴ t2 + 4 =2 平方并整理得： t + 20t ? 92 = 0 ， t = ?10 ± 8 3 ．第 11 页? ∴ 存在满足条件的点 P ， P 的坐标为 (2， 10 ± 8 3) ．0) 12) （4）由上求得 E ( ?8，，F (4， ．2 抛物线向上平移，可设解析式为 y = ? x + 2 x + 8 + m(m & 0) ．当 x = ?8 时， y = ?72 + m ． 当 x = 4 时， y = m ．∴?72 + m ≤ 0 或 m ≤ 12 ．∴ 0 & m ≤ 72 ．∴向上最多可平移 72 个单位长。 11. (2011 浙江省杭州市 8 模)某公园有一个抛物线形状的观景拱桥 ABC，其横截面如图所示，在图中建立的 直角坐标系中，抛物线的解析式为 y = ?1 2 x + c 且过顶点 C（0，5） （长度单位：m） 202（1）现因搞庆典活动，计划沿拱桥的台阶表面铺设一条宽度为 1.5 m 的地毯，地毯的价格为 20 元 / m , 求购买地毯需多少元？ （2）在拱桥加固维修时，搭建的“脚手架”为矩形 EFGH（H、G 分别在抛物线的左右侧上） ，并增加铺设斜 面 EG 和 HF，已知矩形 EFGH 的周长为 27.5 m， 求增加斜面的长。（第 3 题）(1)c=5．OC=5 令 y = 0 ，即 ?1 2 x + 5 = 0 ，解得 x1 = 10, x 2 = ?10 20∴地毯的总长度为： AB + 2OC = 20 + 2 × 5 = 30 ，第 12 页∴ 30 × 1.5 × 20 = 900 （元） ． 答：购买地毯需要 900 元． (2)可设 G 的坐标为 (m,?1 2 m + 5) ,其中 m & 0 ， 20 1 2 m + 5 ．由已知得： 2( EF + GF ) = 27.5 ， 则 EF = 2m, GF = ? 20 1 2 即 2( 2 m ? m + 5) = 27.5 ， 20． 解得： m1 = 5, m 2 = 35 （不合题意，舍去） 把 m1 = 5 代入 ?1 2 1 m + 5 = ? × 5 2 + 5 = 3.75 ． 20 20∴点 G 的坐标是（5，3.75） ． ∴ EF = 10, GF = 3.75 ．EG =5 73 4又∵ EG = HF ∴ EG + HF = 4. 12. (2011 浙江省杭州市 10 模)已知如图，矩形 OABC 的长 OA= 3 ， 宽 OC=1， （1）求∠PCB 的度数； （2）若 P，A 两点在抛物线 y=－ 说明点 C 在此抛物线上； （3） （2）中的抛物线与矩形 OABC 边 CB 相交于点 D，与 x 轴相交 于另外一点 E，若点 M 是 x 轴上的点，N 是 y 轴上的点，以点 E、M、D、N 为顶点的四边形是平行四 边形，试求点 M、N 的坐标. (1)∠PCB=30° (2) y = ? 将△AOC 沿 AC 翻折得△APC.5 73 24 2 x +bx+c 上，求 b，c 的值，并 34 2 x + 3x + 1 3第 13 页点 C（0，1）满足上述函数关系式，所以点 C 在抛物线上. （3）Ⅰ、若 DE 是平行四边形的对角线，点 C 在 y 轴上，CD 平行 x 轴， ∴过点 D 作 DM∥ CE 交 x 轴于 M,则四边形 EMDC 为平行四边形， 把 y=1 代入抛物线解析式得点 D 的坐标为（3 3 ，1） 4 3 ，0） 4把 y=0 代入抛物线解析式得点 E 的坐标为（ ?∴M(3 ,0);N 点即为 C 点，坐标是(0,1); 2Ⅱ、若 DE 是平行四边形的边， 则 DE=2,∠DEF=30°, 过点 A 作 AN∥DE 交 y 轴于 N，四边形 DANE 是平行四边形， ∴M( 3 ,0),N(0,-1); …同理过点 C 作 CM∥DE 交 y 轴于 N，四边形 CMDE 是平行四边形， ∴M( ? 3 ,0),N(0, 1). 14. （2011 年江苏盐城） (本题满分 12 分)已知：在平面直角坐标系中 xOy 中，一次函数 y＝kx－6k 的图象 与 x 轴交于点 A，抛物线 y＝ax ＋bx＋c 经过 O、A 两点． (1)试用含 a 的代数式表示 b； (2)设抛物线的顶点为 D，以 D 为圆心，DA 长为半径的圆被 x 轴分为劣弧和优弧两部分．若将劣弧沿 x 轴翻折，翻折后的劣弧落在⊙D 内，它所在的圆恰好与 OD 相切，求⊙D 的半径长及抛物线的解析式； (3)设点 B 是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在 x 轴上方的部分上是否存在这样的点 P，使 得∠POA＝2 ∠OBA？若存在，求出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 3y24 3 2 1 O －4 －3 －2 －1-1 x 3 4 5 612-2 -3 -4第 14 页28．(1)A(6，0)…………………………1′b＝－6a ………………………………3′12(2)①当 a＞0，解得 OD＝3 2，……………3′，解得抛物线解析式为 y＝3x －2x …………5′ ②当 a＜0，解得 OD＝3 2，解得抛物线的解析式为 y＝－3x ＋2x …………………………7′ 综上，⊙D 的半径为 3 2，抛物线的解析式为 y＝3x －2x 或 y＝－3x ＋2x ………………8′2 (3)抛物线在 x 轴上方的部分存在点 P，使∠PDA＝ ∠OBA ，设点 P 的坐标为(x，y)，且 y＞0． 3121212①当点 P 在抛物线 y＝3x －2x 上时，P(6＋ 3，2 3＋1)；………………………………10′ ②当点 P 在抛物线 y＝－3x ＋2x 上时，P(6－ 3，2 3－1) ………………………………11′ 综上，存在满足条件的点 P，点 P 的坐标为(6＋ 3，2 3＋1)或(6－ 3，2 3－1) ………12′121215．(河北省中考模拟试卷)（本小题满分 12 分）为保证交通安全，汽车驾驶员必须知道汽车刹车后的停 ( 止距离（开始刹车到车辆停止车辆行驶的距离）与汽车行驶速度（开始刹车时的速度）的关系，以便及时 刹车．下表是某款汽车在平坦道路上路况良好时刹车后的停止距离与汽车行驶速度的对应值表：…行驶速度（千米／时） 停止距离（米） 40 16 60 30 80[[48…（1）设汽车刹车后的停止距离 y （米）是关于汽车行驶速度 x（千米／时）的函数，给出以下三个函数： k 2 ①y=ax+b；② y = （k ≠ 0） ；③y=ax +bx，请选择恰当的函数来描述停止距离 y（米）与汽车行驶速度 x x （千米／时）的关系，说明选择理由，并求出符合要求的函数的解析式； （2）根据你所选择的函数解析式，若汽车刹车后的停止距离为 70 米，求汽车行驶速度．?16 = 40a + b 答案：解： （1）若选择 y=ax+b，把 x=40，y=16 与 x=60，y=30 分别代入得 ? ?30 = 60a + b?a = 0.7 解得 ? 把 ?b = ?12k x=80 代入 y=0.7 x-12 得 y=44＜48，∴选择 y=ax+b 不恰当；若选择 y = （k ≠ 0） ，由 x，y 对应值表看出 x第 15 页k 2 y 随 x 的增大而增大，而 y = （k ≠ 0） 在第一象限 y 随 x 的增大而减小，所以不恰当；若选择 y=ax +bx， x?16 = 1600a + 40b ?a = 0.005 把 x=40，y=16 与 x=60，y=30 分别代入得 ? ，解得 ? ，而把 x=80 代入 ?30 = 3600a + 60b ?b = 0.2y=0.005x +0.2x 得 y=48 成立，∴选择 y=ax +bx 恰当，解析式为 y=0.005x +0.2x． （2）把 y=70 代入 2 2 2 y=0.005x +0.2x 得 70=0.005x +0.2x，即 x +40x-14000=0，解得 x=100 或 x=-140（舍去） ，∴当停止距离为 70 米，汽车行驶速度为 100 千米／时．2 2 216．(河北省中考模拟试卷)（本小题满分 12 分）如图，在平面直角坐标系中，直角梯形 ABCO 的边 OC 落 ( 在 x 轴的正半轴上，且 AB∥OC，BC⊥OC，AB=4，BC=6，OC=8．正方形 ODEF 的两边分别落在坐标轴上，且 它的面积等于直角梯形 ABCO 的面积．将正方形 ODEF 沿 x 轴的正半轴平行移动，设它与直角梯形 ABCO 的 重叠部分面积为 S． （1）求正方形 ODEF 的边长； ； （2）①正方形 ODEF 平行移动过程中，通过操作、观察，试判断 S（S＞0）的变化情况是 A．逐渐增大 B．逐渐减小 C．先增大后减小 D．先减小后增大 ②当正方形 ODEF 顶点 O 移动到点 C 时，求 S 的值； （3）设正方形 ODEF 的顶点 O 向右移动的距离为 x，求重叠部分面积 S 与 x 的函数关系式． y E F A BDOC x答案：解： （1）∵SODEF=SABCO =1 2（4+8）×6=362 y Q SODEF = SABCO = 36 设正方形的边长为 x， ∴x =36，x=6或 x=-6（舍去） （2）①C． ②S= ． 如图①．可得△OM O′ ∽△OAN， ∴13 3 x O × x ? x = x2C． 6 4 2 2 2 4 （备用图） 1 ②当 4≤x＜6 时，重叠部分为直角梯形，如图②．S=（x-4+x）×6× =6x-12 ③当 6≤x＜8 时， 重叠部 2 3 1 1 3 3 2 分为五边形， 如图③． 可得， MD= （x-6） AF=x-4． ， S= （x-4+x） × （x-6） （x-6） =- x +15x-39． ④ 2 2 2 2 4 3 2 3 2 当 8≤x＜10 时，重叠部分为五边形，如图④．S= SAFO ′DM ? SBFO ′C =- x +15x-39-（x-8）×6=- x +9x+9．⑤ 4 4 当 10≤x＜14 时，重叠部分为矩形，如图⑤．S=［6-（x-8） ］×6=-6x+84． （用其它方法求解正确，相应 给分） =， MO′ =2 MO′B A （3+6）×2+6×4=33． （3）①当 0≤x＜4 时，重叠部分为三角形，x3x ．∴ S =1Ey F AMy EAFBD OB C xy EAF BO′DO O′ NC x（图②）M OD（图①）O′ C x （图③）第 16 页y ． E M O D（图④）y A B F A E B FC O′ xODCO′x（图⑤）B组 1． （2011 天一实验学校 二模）研究所对某种新型产品的产销情况进行了研究，为投资商在甲、乙两地生 产并销售该产品提供了如下成果：第一年的年产量为 x （吨）时，所需的全部费用 y （万元）与 x 满足 关系式 y =1 2 x + 5 x + 90 ，投入市场后当年能全部售出，且在甲、乙两地每吨的售价 p甲 ， p乙 （万元） 10 1 x + 14 ，请你用含 x 的代数式表示甲地当年的年销 20均与 x 满足一次函数关系． （注：年利润＝年销售额－全部费用） （1）成果表明，在甲地生产并销售 x 吨时， p甲 = ?售额，并求年利润 w甲 （万元）与 x 之间的函数关系式； （2）成果表明，在乙地生产并销售 x 吨时， p乙 = ?1 x + n （ n 为常数） ，且在乙地当年的最大年利润为 1035 万元．试确定 n 的值；{出自:中国.学考.频道 X.K.100..COM} （3）受资金、生产能力等多种因素的影响，某投资商计划第一年生产并销售该产品 18 吨，根据（1）（2） ， 中的结果，请你通过计算帮他决策，选择在甲地还是乙地产销才能获得较大的年利润？ 答案： 解： （1）甲地当年的年销售额为 ? ?? 1 2 ? x + 14 x ? 万元； ? 20 ?w甲 = ?3 2 x + 9 x ? 90 ． 20（2）在乙地区生产并销售时，第 17 页年利润 w乙 = ?1 2 1 ?1 ? x + nx ? ? x 2 + 5 x + 90 ? = ? x 2 + (n ? 5) x ? 90 ． 10 5 ? 10 ?? 1? 4 × ? ? ? × (?90) ? (n ? 5) 2 ? 5? 由 = 35 ，解得 n = 15 或 ?5 ． ? 1? 4×? ? ? ? 5?经检验， n = ?5 不合题意，舍去，∴ n = 15 ． （3）在乙地区生产并销售时，年利润 w乙 = ?1 2 x + 10 x ? 90 ， 5 3 2 x + 9 x ? 90 ， 20；将 x = 18 代入 w甲 = ? 将 x = 18 代入上式，得 w乙 = 25.2 （万元） 得 w甲 = 23.4 （万元） Q w乙 & w甲 ，∴ 应选乙地． ．2． （2011 年三门峡实验中学 3 月模拟）某市政府大力扶持大学生创业．李明在政府的扶持下投资销售一 种进价为每件 20 元的护眼台灯．销售过程中发现，每月销售量 y（件）与销售单价 x（元）之间的关 系可近似的看作一次函数： y = ?10 x + 500 ． （1）设李明每月获得利润为 w（元） ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？ （2）如果李明想要每月获得 2000 元的利润，那么销售单价应定为多少元？ （3）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于 32 元，如果李明想要每月获得的利润不低 于 2000 元，那么他每月的成本最少需要多少元？ （成本＝进价×销售量） 答案： 解： （1）由题意，得：w = (x－20)·y =(x－20)·( ?10 x + 500 )= ?10 x 2 + 700 x ? 10000x=?b = 35 . 2a答：当销售单价定为 35 元时，每月可获得最大利润． （2）由题意，得： ?10 x + 700 x ? 10000 = 20002解这个方程得：x1 = 30，x2 = 40．第 18 页答：李明想要每月获得 2000 元的利润，销售单价应定为 30 元或 40 元. （3）法一：∵ a = ?10 & 0 ， ∴抛物线开口向下. ∴当 30≤x≤40 时，w≥2000． ∵x≤32， ∴当 30≤x≤32 时，w≥2000． 设成本为 P（元） ，由题意，得：P = 20(?10 x + 500) = ?200 x + 10000法二：∵ a = ?10 & 0 ， ∴抛物线开口向下. ∴当 30≤x≤40 时，w≥2000． ∵x≤32， ∴30≤x≤32 时，w≥2000． ∵ y = ?10 x + 500 ， k = ?10 & 0 ， ∴y 随 x 的增大而减小. ∴当 x = 32 时，y 最小＝180. ∵当进价一定时，销售量越小， 成本越小， ∴ 20 × 180 = 3600 （元）.∵ k = ?200 & 0 ， ∴P 随 x 的增大而减小. ∴当 x = 32 时，P 最小＝3600. 答：想要每月获得的利润不低于 2000 元，每月的成本最少为 3600 元．3． （2011 年杭州市西湖区模拟） ）已知关于 x 的二次函数 y = x ? mx +2m2 + 1 m2 + 2 2 与 y = x ? mx ? ， 2 2这两个二次函数图象中只有一个图象与 x 轴交于 A, B 两个不同的点． （l）试判断哪个二次函数的图象经过 A, B 两点； （2）若 A 点坐标为 (?1, 0) ，试求 B 点坐标. 答案： （l）图象经过 A、B 两点的二次函数为 y = x ? mx ?2m2 + 2 , 2∵对于关于 x 的二次函数 y = x ? mx +2m2 + 1 m2 + 1 , 而 ? = ( ?m) 2 ? 4 ×1× ( ) = ? m 2 ? 2 & 0, 2 2所以函数 y = x ? mx +2m2 + 1 , 的图象与 x 轴没有交点 2 m2 + 2 m2 + 2 , 而 ? = ( ?m) 2 ? 4 ×1× ( ? ) = 3m 2 + 4 & 0, 2 2∵ 对于二次函数 y = x ? mx ?2第 19 页所以函数 y = x ? mx ?2m2 + 2 , 的图象与 x 轴有两个不同的交点. 22（2）)将 A(-1,0)代入 y = x ? mx ?2m2 + 2 m2 + 2 ，得 1 + m ? =0. 2 2整理，得 m ? 2m = 0, 得m1 = 0, m2 = 2 当 m1 = 0 时， y = x ? 1 ，令 y = 0, 得x1 = ?1, x2 = 12此时，B 点的坐标是 B (l, 0)． 当 m2 = 2 时， y = x 2 ? 2 x ? 3 ，令 y = 0, 得x1 = ?1, x2 = 3 此时，B 点的坐标是 B（3，0）.4． （2011 安徽中考模拟）已知：抛物线 C1： y = x 2 ? (m + 2) x + 特征：①都与 x 轴有交点；②与 y 轴相交于同一点． （1）求 m，n 的值； （2）试写出 x 为何值时，y1 ＞y2？ （3）试描述抛物线 C1 通过怎样的变换得到抛物线 C2． 【解】 答案： （1）由 C1 知： △=(m+2) －4×(21 2 m + 2 与 C2： y = x 2 + 2mx + n 具有下列 21 2 m +2)=m2+4m+4―2m2―8=―m2+4m―4=―(m―2)2≥0， 2∴m＝2．当 x＝0 时，y＝4．∴当 x＝0 时，n＝4． （2）令 y1＞y2 时， x ? 4 x + 4 & x + 4 x + 4 ，∴x＜0．∴当 x＜0 时，y1＞y2；2 2（3）由 C1 向左平移 4 个单位长度得到 C2．5． （2011 灌南县新集中学一模）某住宅小区在住宅建设时留下一块 1798 平方米的矩形空地，准备建一个 矩形的露天游泳池，设计如图所示，游泳池的长是宽的 2 倍，在游泳池的前侧留一块 5 米宽的空地， 其它三侧各保留 2 米宽的道路及 1 米宽的绿化带 （1）请你计算出游泳池的长和宽。第 20 页（2）已知贴 1 平方米瓷砖需费用 50 元，若游泳池深 3 米，现要把池底和池壁（共 5 个面）都贴上瓷砖， 共需要费用多少元？前 侧 空 地答案：解： （1）设游泳池的宽为 x 米，则长为 2x 米， （2x+2+5+1） × (x+2+2+1+1)=1798 整理，得： x + 10 x ? 875 = 02解得： x1 = ?35 （不合舍去） x2 = 25 ∴游泳池的长为 50 米，宽为 25 米。由 x = 25 得 2 x = 2 × 25 = 50（2） [ (25 × 3 + 50 × 3) × 2 + 25 × 50] × 50 = ( 450 + 1250 ) × 50= 1700 × 50 = 85000（元）答： （略）6． （2011 灌南县新集中学一模）足球比赛中，某运动员将在地面上的足球对着球门踢出，图 13 中的抛物 线是足球的飞行高度 y(m)关于飞行时间 x(s)的函数图象(不考虑空气的阻力)，已知足球飞出 1s 时，足球 的飞行高度是 2.44m，足球从飞出到落地共用 3s． ⑴求 y 关于 x 的函数关系式； ⑵足球的飞行高度能否达到 4.88 米？请说明理由； ⑶假设没有拦挡，足球将擦着球门左上角射入球门，球门的高为 2.44m(如图 14 所示，足球的大小忽略不 计)．如果为了能及时将足球扑出，那么足球被踢出时，离球门左边框 12m 处的守门员至少要以多大的平 均速度到球门的左边框？y/m2.44O1图 133x/s图 14第 21 页答案：解： （1）设 y 关于 x 的函数关系式为 y = ax 2 + bx ． 依题可知：当 x = 1 时， y = 2.44 ；当 x = 3 时， y = 0 ．?a + b = 2.44 ?a = ?1.22 ∴? ， ∴? ，∴ y = ?1.22 x 2 + 3.66 x ． 9a + 3b = 0 b = 3.66 ? ?（2）不能．理由：∵ y = 4.88 ，∴ 4.88 = ?1.22 x 2 + 3.66 x ， ∴ x 2 ? 3 x + 4 = 0 ． ∵ (?3) 2 ? 4 × 4 & 0 ，∴方程 4.88 = ?1.22 x 2 + 3.66 x 无解． ∴足球的飞行高度不能达到 4.88m． （3）∵ y = 2.44 ，∴ 2.44 = ?1.22 x 2 + 3.66 x ， ， ∴ x 2 ? 3 x + 2 = 0 ，∴ x1 = 1 （不合题意，舍去） x 2 = 2 ∴平均速度至少为12 = 6 （m/s） ． 27.（2011 浙江杭州义蓬一模）如图①， 已知抛物线 y = ax 2 + bx ? 3 （a≠0）与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B (－3，0)，与 y 轴交于点 C． (1) 求抛物线的解析式； (2) 设抛物线的对称轴与 x 轴交于点 N ，问在对称轴上是否存在点 P，使△CNP 为等腰三角形？若存在， 请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． (3) 如图②，若点 E 为第三象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E 点的坐标.y22yBN-20AxB-20AxC-4-4C图①图②第 22 页答案：如图①， 已知抛物线 y = ax + bx ? 3 （a≠0）与 x 轴交于点 A(1，0)和点 B (－3，0)，与 y 轴交2于点 C． (1) y=x 2 +2x-3 (2)P(-1, 10 ),P(-1,-5 10 ),P(-1,-6),P(-1,- ) 3(3) S=1/2×3×(-x 2 -2x+3)+ 1/2×3×(-x) S=-3/2(x+3/2) 2 +63/8 X=-3/2 , E(-3/2,-15/4) S=63/88. （2011 广东南塘二模）如图，矩形 OABC 的长 OA= 3 ，AB=1，将△AOC 沿 AC 翻折得△APC。 （1）填空：∠PCB=＿＿＿度，P 点坐标为＿＿＿＿＿ （2） P、 两点在抛物线 y = ? 若 A4 2 x + bx + c 3Cy P D B上，求抛物线的解析式，并判断点 C 是否在这 抛物线上。 （3）在（2）中的抛物线 CP 段上（不含 C、P 点） 是否存在一点 M，使得四边形 MCPA 的面积最大？ 若存在，求这个最大值和 M 点坐标，若不存在， 说明理由。 答案： （1）连 OM、MC、AB，设 MC 交 x 轴于 D。 ∵∠AOB＝90°，∴AB 为⊙M 直径， ∵OA 为⊙M 的 ，∴∠OMA＝120°，∠OMC＝60°， ∵OM＝2，∴DM＝1，OD＝ 3 ，∴M( 3 ，1)，1 3OAx第 23 页∵∠BAO＝∠MOA＝30°，∴OB＝2，∴B(0，2) （2）∵OA＝2·OD，∴A( 2 3 ，0)，C( 3 ，－1)， 把 O、A、C 三点坐标代入 y＝as ＋bx＋c 得：y＝ x － （3）∵∠AOC＝∠OAC＝21 322 3 x。 31 ∠OMC＝30°，∴∠BAO＝∠AOC＝30° 2∴若存在，则 P 必为抛物线与直线 AB 或与直线 OM 的交点。求得直线 AB 为：? 3 x+2 ?y = ? 3 ? 3 y＝－ x ＋2，由 ? 3 1 2 2 3 ? ?y = 3 x ? 3 x ?解得：P1(－ 3 ，3)，P2 ( 2 3 ，3) ∵P1O＝OA＝AP2＝ 2 3 ，∴P1、P2 合题意。9． （安徽芜湖 2011 模拟）如图，在平面直角坐标系中，二次函数 y = x 2 + bx + c 的图象与 x 轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0） ，与 y 轴交于 C（0，-3）点，点 P 是直线 BC 下方的抛物 线上一动点. （1）求这个二次函数的表达式． （2） 连结 PO、 并把△POC 沿 CO 翻折， PC， 得到四边形 POP C， 是否存在点 P， 使四边形 POP C 为菱形？若存在， 请求出此时 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）当点 P 运动到什么位置时，四边形 ABPC 的面积最大 出此时 P 点的坐标和四边形 ABPC 的最大面积. 答案: 解： （1）将 B、C 两点的坐标代入得 ? 并求/ /那么 点P?3b + c = 0 ?c = ?3解得： ??b = ?2 ?c = ?3所以二次函数的表达式为： y = x 2 ? 2 x ? 3第 24 页（2）存在点 P，使四边形 POP C 为菱形．设 P 点坐标为（x， x 2 ? 2 x ? 3 ） ， PP 交 CO 于 E 若四边形 POP C 是菱形，则有 PC＝PO． 连结 PP ∴OE=EC= 23/ / //则 PE⊥CO 于 E， ∴ y =? 3 ．2∴ x 2 ? 2x ? 3 = ? 32解得 x1 =2 + 10 2 ? 10 ， x2 = （不合题意，舍去） 2 2∴P 点的坐标为（2 + 10 ，? 3 ） 2 2（3）过点 P 作 y 轴的平行线与 BC 交于点 Q，与 OB 交于点 F， 设 P（x， x 2 ? 2 x ? 3 ） ， 易得，直线 BC 的解析式为 y = x ? 3 则 Q 点的坐标为（x，x－3）.S四边形ABPC = S ?ABC + S ?BPQ + S ?CPQ = =当x =1 1 1 AB ? OC + QP ? OE + QP ? EB 2 2 21 1 × 4 × 3 + (? x 2 + 3x) × 3 2 23 时，四边形 ABPC 的面积最大 2此时 P 点的坐标为 ? ,??3 ?215 ? ? ，四边形 ABPC 的 4?275 3? 3? 75 面积 的最大值为 ．= ? ? x ? ? + 8 2? 2? 810.（浙江杭州靖江 2011 模拟）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，且 AB=3， BC= 2 3 ，直线 y= 3 x ? 2 3 经过点 C，交 y 轴于点 G。第 25 页（1）点 C、D 的坐标分别是 C（） ，D（） ；y（2）求顶点在直线 y= 3 x ? 2 3 上且经过点 C、D 的抛物线 析式； （3）将（2）中的抛物线沿直线 y= 3 x ? 2 3 平移，平移后 物线 交 y 轴于点 F，顶点为点 E。平移后是否存在这样的抛物线， EFG 为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存 说明理由。 D Cx的 解的 抛oGOAB使 △ 在，请答案： ，D（1， 2 3 ） ； 解： （1）C（ 4， 2 3 ）（2）由抛物线的顶点坐标为（5 3 , ） 2 222 3? 5? 3 可得抛物线的解析式为 y = ?x ? ? + 3 ? 2? 2（3）设抛物线沿直线 y= 3 x ? 2 3 平移后的抛物线的顶点为 m, 3m ? 2 3 ， 则平移后抛物线的解析式为 y = 当 m? 0 时， 若 EF = EG ，则 解得 m = ∴y=()2 3 (x ? m )2 + 3m ? 2 3 32 3 2 m + 3m ? 2 3 ? ? 2 3 = 2 3m 3()3 222 3? 3? 3 ?x? ? ? 3 ? 2? 2 2 3 2 m + 3m ? 2 3 ? ? 2 3 = 2m 3若 GF = EG ，则()第 26 页解得 m =2 3 ?3 222 3? 2 3 ? 3? 6?7 3 ?x ? ? ? ∴y= ? ? 3 ? 2 ? 2若 GF = EF ，则∠ GFE = 120°（不合题意，舍去） 当 m? 0 时， ∠ GFE 为钝角，则当⊿EFG 为等腰三角形时， GF = EF ∴? 2 3 ???2 3 2 ? 2 3 m + 3m ? 2 3 ? = ? m ? 3 ? 3 ? ?21 2 3? 1? 5 3 解得 m = ? ，∴ y = ?x + ? ? 2 3 ? 2? 211.（浙江杭州金山学校 2011 模拟） （根据 2010 年中考数学考前知识点回归＋巩固 专题 13 二次函数题目 改编） 如图，以矩形 OABC 的顶点 O 为原点，OA 所在的直线为 x 轴，OC 所在的直线为 y 轴，建立平面直 角坐标系．已知 OA＝3，OC＝2，点 E 是 AB 的中点，在 OA 上取一点 D，将△BDA 沿 BD 翻折，使点 A 落 在 BC 边上的点 F 处． （1）直接写出点 E、F 的坐标； （2）设顶点为 F 的抛物线交 y 轴正半轴于点 P，且以点 E、F、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该 ．．． 抛物线的解析式； （3）在 x 轴、y 轴上是否分别存在点 M、N，使得四边形 MNFE 的周 长最小？如果存在，求出周长的最 小值；如果不存在，请说明理由．第 27 页答案：解： （1） E (3， ； F (1， ． 1) 2) （2）在 Rt△EBF 中， ∠B = 90 ，o∴ EF = EB 2 + BF 2 = 12 + 22 = 5 ．设点 P 的坐标为 (0，n) ，其中 n & 0 ， ∵顶点 F (1， ， 2) ∴设抛物线解析式为 y = a ( x ? 1) 2 + 2( a ≠ 0) ． ①如图①，当 EF = PF 时，EF 2 = PF 2 ，∴12 + (n ? 2)2 = 5 ．解得 n1 = 0（舍去） n2 = 4 ． ；∴ P (0， ． 4)∴ 4 = a(0 ? 1)2 + 2 ．解得 a = 2 ．∴ 抛物线的解析式为 y = 2( x ? 1) 2 + 2②如图②，当 EP = FP 时， EP 2 = FP 2 ，∴ (2 ? n) 2 + 1 = (1 ? n) 2 + 9 ．解得 n = ?5 （舍去） ． 2 5 & 3 ，这种情况不存在．③当 EF = EP 时， EP =综上所述，符合条件的抛物线解析式是 y = 2( x ? 1) 2 + 2 ． （3）存在点 M ，N ，使得四边形 MNFE 的周长最小． 如图③，作点 E 关于 x 轴的对称点 E ′ ，作点 F 关于 y 轴的对称点 F ′ ，连接 E ′F ′ ，分别与 x 轴、 y 轴交 于点 M ，N ，则点 M ，N 就是所求点．第 28 页∴ E ′(3， 1) ， F ′(?1， ，NF = NF ′，ME = ME ′ ． ? 2)∴ BF ′ = 4，BE ′ = 3 ． ∴ FN + NM + ME = F ′N + NM + ME ′ = F ′E ′ = 32 + 42 = 5 ．又Q EF =5，∴ FN + NM + ME + EF = 5 + 5 ，此时四边形 MNFE 的周长最小值是 5 + 5 ．12. （浙江杭州进化 2011 一模）如图，直角梯形 ABCD 中，AB∥DC，∠DAB=90°，AD=2DC=4，AB=6．动 点 M 以每秒 1 个单位长的速度， 从点 A 沿线段 AB 向点 B 运动； 同时点 P 以相同的速度， 从点 C 沿折线 C-D-A 向点 A 运动． 当点 M 到达点 B 时， 两点同时停止运动． 过点 M 作直线 l∥AD， 与折线 A-C-B 的交点为 Q． 点 M 运动的时间为 t（秒） ． （1）当 t = 0.5 时，求线段 QM 的长； （2）点 M 在线段 AB 上运动时，是否可以使得以 C、P、Q 为顶点的三角形为直角三角形，若可以，请 直接写出 t 的值（不需解题步骤） ；若不可以，请说明理由． （3）若△PCQ 的面积为 y，请求 y 关于出 t 的函数关系式及自变量的取值范围；DP CDCDCQ A M l B A（备用图 1）BA（备用图 2）B答案：解： （1）由 Rt△AQM∽Rt△CAD． ∴ （2） t = 1 或QM AD QM 4 = ． 即 = ，∴ QM = 1 ． 0.5 2 AM CD5 或 4． 3DP C（3）当 0＜t＜2 时，点 P 在线段 CD 上，设直线 l 交 CD 于点 E 由（1）可得Q A M l BQM AD = ． 即 QM=2t．∴QE=4-2t． AM CD第 29 页∴S△PQC =21 2 PC·QE= ? t + 2t 2即 y = ?t + 2t 当 t ＞2 时，过点 C 作 CF⊥AB 交 AB 于点 F，交 PQ 于点 H.PA = DA ? DP = 4 ? (t ? 2) = 6 ? t ．由题意得， BF = AB ? AF = 4 ． ∴ CF = BF ． ∴ QM = MB = 6 ? t ． ∴ 四边形 AMQP 为矩形． ∴ PQ∥ AB ．CH⊥PQ，HF=AP=6- t ∴ CH=AD=HF= t-2 ∴S△PQC = 即 y=A F M B D C∴ ∠CBF = 45° ． ∴ QM = PA ．P H Q1 1 2 PQ·CH= t ? t 2 21 2 t ?t 2 1 2 t ? t ( 2& t &6) 2综上所述 y = ?t 2 + 2t (0 & t ≤ 2) 或 y=13. （河南新乡 2011 模拟）如图，已知抛物线经过原点 O 和 x 轴上另一点 A,它的对称轴 x=2 与 x 轴交于 点 C，直线 y=-2x-1 经过抛物线上一点 B(-2,m)，且与 y 轴、直线 x=2 分别交于点 D、E. y x=2 （1）求 m 的值及该抛物线对应的函数关系式； （2）求证：① CB=CE ；② D 是 BE 的中点； B 若存在， CO（3） P(x， 若 y)是该抛物线上的一个动点， 是否存在这样的点 P,使得 PB=PE, 试求出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由. 答案： （1）∵ 点 B(-2,m)在直线 y=-2x-1 上， E ∴ m=-2×(-2)-1=3. A Dx第 30 页∴ B(-2,3) ∵ 抛物线经过原点 O 和点 A，对称轴为 x=2， ∴ 点 A 的坐标为(4,0) ． 设所求的抛物线对应函数关系式为 y=a(x-0)(x-4). 将点 B(-2,3)代入上式，得 3=a(-2-0)(-2-4)，∴ a =1 . 4∴ 所求的抛物线对应的函数关系式为y=1 1 y = x2 ? x x ( x ? 4) 4 4 ，即 .（2）①直线 y=-2x-1 与 y 轴、直线 x=2 的交点坐标分别为 D(0,-1) E(2,-5). 过点 B 作 BG∥x 轴，与 y 轴交于 F、直线 x=2 交于 G， 则 BG⊥直线 x=2，BG=4. 在 Rt△BGC 中，BC= CG + BG = 5 .2 2y Fx=2 G CB ∵ CE=5， ∴ CB=CE=5. ……………………（7 分） ②过点 E 作 EH∥x 轴，交 y 轴于 H， 则点 H 的坐标为 H(0,-5). 又点 F、D 的坐标为 F(0,3)、D(0,-1)， ∴ FD=DH=4，BF=EH=2，∠BFD=∠EHD=90°. ∴ △DFB≌△DHE （SAS） ， ∴ BD=DE. 即 D 是 BE 的中点. HOAxDE（3） 存在. 由于 PB=PE，∴ 点 P 在直线 CD 上， ∴ 符合条件的点 P 是直线 CD 与该抛物线的交点. 设直线 CD 对应的函数关系式为 y=kx+b.? b = ?1 ? 将 D(0,-1) C(2,0)代入，得 ? 2 k + b = 0 . 解得∴ 直线 CD 对应的函数关系式为 y= ∵ 动点 P 的坐标为 ( x,k=1 , b = ?1 2 .1 x-1 21 2 x ? x) )， 4第 31 页∴.1 1 2 x－1= x ? x 2 4∴解得 x1 = 3 + 5 ， x2 = 3 ? 5 .y1 =1+ 5 1? 5 y1 = 2 ， 2 .∴ 符合条件的点 P 的坐标为( 3 + 5 ，1+ 5 1? 5 2 )或( 3 ? 5 ， 2 ).14． （江西省九校
第一次联考）已知抛物线 m： y=ax +bx+c (a ≠ 0) 与 x 轴交于 A、B 两点(点2A 在左)，与 y 轴交于点 C，顶点为 M，抛物线上部分点的横坐标与对应的纵坐标如下表： x y… … －2 5 0 －3 2 －3 3 0 … …（1）根据表中的各对对应值，请写出三条与上述抛物线 m 有关（不能直接出现表中各对对应值）的不 ．． 同类型的正确结论； （2）若将抛物线 m，绕原点 O 顺时针旋转 180°，试写出旋转后抛物线 n 的解析式,并在坐标系中画出 抛物线 m、n 的草图； （3）若抛物线 n 的顶点为 N，与 x 轴的交点为 E、F（点 E、 F 分别与点 A、B 对应） ，试问四边形 NFMB y 是何种特殊四边形？并说明其理由． 答案：解： （1）答案不唯一，只要合理均可．例如： ①抛物线开口向上； ②抛物线的对称轴为 x=1； ③与 x 轴的交点 A 坐标为(－1，0)； ④当 x= 4 时，对应的函数值 y 为 5； ⑤a=1，b=－2，c=－3 或抛物线的解析式为： y = x 2 ? 2 x ? 3 ⑥抛物线的顶点 M（1，-4）等.第 14 题Ox第 32 页（2）抛物线 m，n 如图 1 所示， 并易得 A（-1，0） B（3，0） ， ，C（0，-3） ， 则可求得抛物线 m 的解析式为： y = x 2 ? 2 x ? 3 ，M（1，-4） 抛物线 n 的顶点是 N（－1，4） E（1，0） F（－3，0） ， ， ， 解析式为： y = ?( x + 1) 2 + 4 即： y = ? x 2 ? 2 x + 3（3）如图 2，四边形 NFMB 是平行四边形， 理由: ∵N 与 M 关于原点中心对称,∴原点 O 是 NM 的中点,同理,原点 O 也是 FB 的中点.故四 边形 NFMB 是平行四边形.15． （北京四中 2011 中考模拟 13）如图，某隧道口的横截面是抛物线形，已知路宽 AB 为 6 米，最高点离 地面的距离 OC 为 5 米．以最高点 O 为坐标原点，抛物线的对称轴为 y 轴，1 米为数轴的单位长度，建立平 y 面直角坐标系， O x 求:（1）以这一部分抛物线为图象的函数解析式，并写出 x 的取值范围； （2）有一辆宽 2.8 米，高 1 米的农用货车（货物最高处与地面 AB 的 距离）能否通过此隧道？ 答案：解： （1）设所求函数的解析式为 y = ax 2 ． 由题意，得 函数图象经过点 B（3，-5） ， ∴-5=9a． A C By O xE5 ∴a = ? ． 9 5 ∴所求的二次函数的解析式为 y = ? x 2 ． 9AM CNBx 的取值范围是 ? 3 ≤ x ≤ 3 ．第 33 页（2）当车宽 2.8 米时，此时 CN 为 1.4 米，对应 y = ? EN 长为5 9 .8 49 × 1 .4 2 = ? =? ， 9 9 4549 45 49 45 ，车高 1 = 米，∵ & ， 45 45 45 45∴农用货车能够通过此隧道。16、 （北京四中 2011 中考模拟 14） 某医药研究所进行某一治疗病毒新药的开发， 经过大量的服用试验后知： 成年人按规定的剂量服用后，每毫克血液中含药量 y 微克（1 微克=10 毫克）随时间 x 小时的变化规律与 某一个二次函数 y=ax +bx+c (a≠0)相吻合，并测得服用时（即时间为 0 时）每毫升血液中含药量为 0 微 克；服用后 2 小时每毫升血液中含药量为 6 微克，服用后 3 小时，每毫升血液中含药量为 7.5 微克。 （1）求出含药量 y（微克）与服药时间 x（小时）的函数关系式；并画出 0≤x≤8 内的函数的图象的示意 图； （2）求服药后几小时才能使每毫升血液中含药量最大？并求出血液中的最大含药量； （3）结合图象说明一次服药后的有效时间是多少小时？（有效时间为血液中含药量不为 0 的总时间） 答案：解： （1）设 y=ax +bx+c,则2 2 -3? a ? 02 + b ? 2 + c = 6 ? 2 ?a ? 2 + b ? 2 + c = 6 ?a ? 32 + b ? 3 + c = 7.5 ? 1 1 2 解得：a=- , b=4, c=0, ∴y=- x +4x（图象略） 2 2 1 2 1 2 （2）y=- x +4x=- (x-4) +8, 2 2∴服药后 4 小时，才能使血液中含药量最大，这时每毫升血液中含有药液 8 微克。 （3）当 y=0 时，x1=0,x2=8,故一次服药后的有效时间为 8 小时.17. （2011 湖北省崇阳县城关中学模拟）某商场将进价 40 元一个的某种商品按 50 元一个售出时，每月能 卖出 500 个.商场想了两个方案来增加利润： 方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价 1 元，销售量就减少 10 个； 方案二：售价不变，但发资料做广告。已知这种商品每月的广告费用 m(千元)与销售量倍数 p 关系为 p第 34 页= ? 0 .4 m + 2 m ；2试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！ 解：设涨价 x 元，利润为 y 元，则 方案一： y = (50 + x ? 40)(500 ? 10 x) = ?10 x 2 + 400 x + 5000 = ?10( x ? 20) 2 + 9000 ∴方案一的最大利润为 9000 元； …… 4′ 方案二： y = (50 ? 40) × 500 p ? 1000m = ?2000m + 9000m = ?2000( x ? 2.25) + 101252 2∴方案二的最大利润为 10125 元；…… 4′∴选择方案二能获得更大的利润。 …… 2′18、 （2011 年黄冈浠水模拟 1）某市种植某种绿色蔬菜，全部用来出口．为了扩大出口规模，该市决定对 这种蔬菜的种植实行政府补贴， 规定每种植一亩这种蔬菜一次性补贴菜农若干元． 经调查， 种植亩数 y（亩） 与补贴数额 x （元）之间大致满足如图 1 所示的一次函数关系．随着补贴数额 x 的不断增大，出口量也不 断增加，但每亩蔬菜的收益 z （元）会相应降低，且 z 与 x 之间也大致满足如图 2 所示的一次函数关系． y/亩
x/元 O x/元 100 50 图1 图2 （1）在政府未出台补贴措施前，该市种植这种蔬菜的总收益额为多少？ O （2）分别求出政府补贴政策实施后，种植亩数 y 和每亩蔬菜的收益 z 与政府补贴数额 x 之间的函数关系 式； （3）要使全市这种蔬菜的总收益 w （元）最大，政府应将每亩补贴数额 x 定为多少？并求出总收益 w 的 最大值． 答案： （1）政府没出台补贴政策前，这种蔬菜的收益额为 3000 × 800 = 2400000 （元） ． （2）由题意可设 y 与 x 的函数关系为 y = kx + 800 将 (50， 1200) 代入上式得 1200 = 50k + 800 得 k = 8 所 以种植亩数与政府补贴的函数关系为 y = 8 x + 800 ． 同理可得每亩蔬菜的收益与政府补贴的函数关系为 z = ?3 x + 3000 ．
z/元第 35 页（3）由题意 u = yz = (8 x + 800)( ?3 x + 3000) = ?24 x + 21600 x + 24000002= ?24( x ? 450) 2 + 7260000所以当 x = 450 ，即政府每亩补贴 450 元时，全市的总收益额最大，最大为 7260000 元．19、 （赵州二中九年七班模拟）已知抛物线 y＝(k－1)x ＋2kx＋k－2 与 x 轴有两个不同的交点。 (1)求 k 的取值范围； (2)当 k 为整数，且关于 x 的方程 3x＝kx－1 的解是负数时，求抛 析式； (3)在(2)的条件下，若在抛物线和 x 轴所围成的封闭图形内画出 的正方形，使得正方形的一边在 x 轴上，其对边的两个端点在抛物 出这个最大正方形的边长。 答案：解：(1) △ = 4k 2 ? 4( k ? 1)( k ? 2) = 12k ? 8 ， 依题意，得 －8 －4 O 4 x 一个最大 线上， 试求 y 82物线的解?? = 12k ? 8 & 0, ? ?k ? 1 ≠ 0.2 且 k ≠ 1． ① 3∴ k 的取值范围是 k &(2)解方程 3 x = kx ? 1 ，得x=?1 ． 3?k②∵方程 3 x = kx ? 1 的解是负数， ∴3? k & 0 ． ∴k & 3． 综合①②，及 k 为整数，可得 ∴抛物线解析式为k = 2．y = x2 + 4 x ．(3)如图，设最大正方形 ABCD 的边长为 m，则 B、C 两点的纵坐标为 ? m ， 且由对称性可知：B、C 两点关于抛物线对称轴对称． ∵抛物 线的对称轴为： x = ?2 ． ∴点 C 的坐标为 ( ?2 +m , ? m) ． 2第 36 页∵C 点在抛物线上， ∴ ( ?2 +m 2 m ) + 4(?2 + ) = ? m ． 2 2m 2 + 4m ? 16 = 0 ．整理，得 ∴m =?4 ± 4 5 = ?2 ± 2 5 (舍负) 2∴m = 2 5 ?2．20. （2011 年浙江省杭州市模 2） 某商场将进价 40 元一个的某种商品按 50 元一个售出时， 每月能卖出 500 个.商场想了两个方案来增加利润： 方案一：提高价格，但这种商品每个售价涨价 1 元，销售量就减少 10 个； 方案二：售价不变，但发资料做广告。已知这种商品每月的广告费用 m(千元)与销售量倍数 p 关系为 p = ? 0 .4 m + 2 m ；2试通过计算，请你判断商场为赚得更大的利润应选择哪种方案？请说明你判断的理由！ 答案： 解：设涨价 x 元，利润为 y 元，则 方案一： y = (50 + x ? 40)(500 ? 10 x) = ?10 x 2 + 400 x + 5000 = ?10( x ? 20) 2 + 9000 ∴方案一的最大利润为 9000 元； …… 4′ 方案二： y = (50 ? 40) × 500 p ? 1000m = ?2000m 2 + 9000m = ?2000( x ? 2.25) 2 + 10125 ∴方案二的最大利润为 10125 元； ∴选择方案二能获得更大的利润。21． （2011 年杭州市上城区一模）如图所示，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2cm，点 A、C 分别在 y 轴的负半轴和 x 轴的正半轴上，抛物线 y=ax2+bx+c 经过点 A、B 和 D (4, ? ) .（1）求抛物线的解析式. （2）如果点 P 由点 A 出发沿 AB 边以 2cm/s 的速度向点 B 运动，同 时点 Q 由点 B 出发沿 BC 边以 1cm/s 的速度向点 C 运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动.2 3第 37 页设 S=PQ (cm ) ①试求出 S 与运动时间 t 之间的函数关系式，并写出 t 的取值范围； ②当 S 取225 时，在抛物线上是否存在点 R，使得以 P、B、Q、R 为顶点的四边形是平行四边形? 如果 4存在，求出 R 点的坐标；如果不存在，请说明理由. （3）在抛物线的对称轴上求点 M，使得 M 到 D、A 的距离之差最大，求出点 M 的坐标. 答案： (1)据题意知: A(0, －2), B(2, －2) ，（4， 解: D —2 ） , 3则解得∴抛物线的解析式为: y = 1 x 2 ? 1 x ? 2 6 3 (2) ①由图象知: PB=2－2t, BQ= t, ∴S=PQ =PB +BQ =(2－2t) + t , 即 S=5t －8t+4 (0≤t≤1)2 2 2 2 2 2（第 21 题））②假设存在点 R, 可构成以 P、B、R、Q 为顶点的平行四边形. ∵S=5t －8t+4 (0≤t≤1), ∴当 S=25 4时,5t －8t+4=25 2 ,得 20t －32t+11=0, 4解得 t =1 11 ，t = （不合题意，舍去） 2 10 3 ） 2此时点 P 的坐标为（1，-2） 点的坐标为（2，— ，Q 若 R 点存在，分情况讨论: 【A】假设 R 在 BQ 的右边, 这时 QRPB, 则，R 的横坐标为 3, R 的纵坐标为—3 2即 R (3, －3 )，代入 y = 1 x 2 ? 1 x ? 2 , 左右两边相等， 2 6 3 3 )满足题意. 2QB, 则：R 的横坐标为 1, 纵坐标为－∴这时存在 R(3, －【B】假设 R 在 BQ 的左边, 这时 PR3 3 即(1, － ) 代入 2 2第 38 页y=1 2 1 x ? x ? 2 , 左右两边不相等, R 不在抛物线上. 6 3【C】假设 R 在 PB 的下方, 这时 PRQB, 则：R(1，—5 )代入, y = 1 x 2 ? 1 x ? 2 2 6 3左右不相等, ∴R 不在抛物线上. 综上所述, 存点一点 R(3, －3 )满足题意. 2（3）∵A 关于抛物线的对称轴的对称点为 B,过 B、D 的直线与抛物线的对称轴的交点为所求 M，M 的坐标 为（1，—8 ） 3222. （2011 年杭州市模拟）已知关于 x 的二次函数 y = x ? mx +m2 + 1 m2 + 2 2 与 y = x ? mx ? ，这两个 2 2二次函数图象中只有一个图象与 x 轴交于 A, B 两个不同的点． （l）试判断哪个二次函数的图象经过 A, B 两点； （2）若 A 点坐标为 (?1, 0) ，试求 B 点坐标. 答案： （l）图象经过 A、B 两点的二次函数为 y = x ? mx ?2m2 + 2 , 2∵对于关于 x 的二次函数 y = x ? mx +2m2 + 1 m2 + 1 , 而 ? = ( ?m) 2 ? 4 ×1× ( ) = ? m 2 ? 2 & 0, 2 2所以函数 y = x ? mx +2m2 + 1 , 的图象与 x 轴没有交点 2 m2 + 2 m2 + 2 , 而 ? = ( ?m) 2 ? 4 ×1× ( ? ) = 3m 2 + 4 & 0, 2 2∵ 对于二次函数 y = x ? mx ?2所以函数 y = x ? mx ?2m2 + 2 , 的图象与 x 轴有两个不同的交点. 22m2 + 2 m2 + 2 （2）)将 A(-1,0)代入 y = x ? mx ? ，得 1 + m ? =0. 2 2整理，得 m ? 2m = 0, 得m1 = 0, m2 = 22第 39 页当 m1 = 0 时， y = x 2 ? 1 ，令 y = 0, 得x1 = ?1, x2 = 1 此时，B 点的坐标是 B (l, 0)． 当 m2 = 2 时， y = x ? 2 x ? 3 ，令 y = 0, 得x1 = ?1, x2 = 32此时，B 点的坐标是 B（3，0）.23.（2011 年海宁市盐官片一模）如图，抛物线 y = ax + bx ? 4a 经过 A( ?1， 、 C (0， 两点，与 x 轴交 0) 4)2于另一点 B ． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点 D ( m，m + 1) 在第一象限的抛物线上，求点 D 关 Cy于直线BC 对称的点的坐标；（3）在（2）的条件下，连接 BD ，点 P 为抛物线上一点，且 A O B x∠DBP = 45° ，求点 P 的坐标．答案： 解： （1）Q 抛物线 y = ax 2 + bx ? 4a 经过 A( ?1， ， C (0， 两点， 0) 4)?a ? b ? 4a = 0， ∴? ??4a = 4.解得 ??a = ?1， ?b = 3.∴ 抛物线的解析式为 y = ? x 2 + 3 x + 4 ．（2）Q 点 D ( m，m + 1) 在抛物线上，∴ m + 1 = ?m + 3m + 4 ，2y即 m ? 2m ? 3 = 0 ，∴ m = ?1 或 m = 3 ．2Q 点 D 在第一象限，∴ 点 D 的坐标为 (3， ． 4)由（1）知 OA = OB， CBA = 45° ∴∠ ． ACDE B O x第 40 页设点 D 关于直线 BC 的对称点为点 E ．Q C (0， ，∴ CD ∥ AB ，且 CD = 3 ， 4)∴∠ECB = ∠DCB = 45° ，∴ E 点在 y 轴上，且 CE = CD = 3 ． ∴ OE = 1 ，∴ E (0， ． 1)． 即点 D 关于直线 BC 对称的点的坐标为（0，1） （3）作 PF ⊥ AB 于 F ， DE ⊥ BC 于 E ． 由（1）有： OB = OC = 4， OBC = 45° ∴∠ ， yQ ∠DBP = 45° CBD = ∠PBA ． ， ∴∠ Q C (0，，D (3， ，∴ CD ∥ OB 且 CD = 3 ． 4) 4)C P A F O ED∴∠DCE = ∠CBO = 45° ，Bx∴ DE = CE =3 2 ． 2 5 2 ， 2Q OB = OC = 4 ，∴ BC = 4 2 ，∴ BE = BC ? CE =∴ tan ∠PBF = tan ∠CBD =DE 3 = ． BE 5设 PF = 3t ，则 BF = 5t ，∴ OF = 5t ? 4 ，∴ P (?5t + 4， ) ． 3tQ P 点在抛物线上，∴ 3t = ?(?5t + 4) 2 + 3(?5t + 4) + 4 ，∴ t = 0 （舍去）或 t =22 ? 2 66 ? ，∴ P ? ? ， ? ． 25 ? 5 25 ?24. （2011 年浙江省杭州市模 2）如图，在平面直角坐标系 xoy 中，矩形 ABCD 的边 AB 在 x 轴上，且 AB=3， BC= 2 3 ，直线 y= 3 x ? 2 3 经过点 C，交 y 轴于点 G。 （1）点 C、D 的坐标分别是 C（ ，D（ ） ） ；yDC第 41 页oOABx（2）求顶点在直线 y= 3 x ? 2 3 上且经过点 C、D 的抛物 线的解析式； （3）将（2）中的抛物线沿直线 y= 3 x ? 2 3 平移，平移后 的抛物线交 y 轴于点 F，顶点为点 E（顶点在 y 轴右侧） 。 平移后是否存在这样的抛物线，使⊿EFG 为等腰三角形？ 若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说 明理由。2 答案： （1） C ( 4， 3 )D（1， 3） 2（2）由二次函数对称性得顶点横坐标为1+ 4 5 5 3 = ，代入一次函数 y = 3 × ? 2 3 = ，得顶点 2 2 2 2坐标为（5 3 ， ） ， 2 2 5 22∴设抛物线解析式为 y = a ( x ? ) +3 2 3 ，把点 D（ ， 3） 12 代入得， a = 2 3∴解析式为 y =2 3 5 3 (x ? )2 + 3 2 2（3）设顶点 E 在直线上运动的横坐标为 m，则 E ( m， 3m ? 2 3 )(m & 0) ∴可设解析式为 y =2 3 ( x ? m) 2 + 3m ? 2 3 3①当 FG=EG 时，FG=EG=2m， F (0,2m ? 2 3 ) 代入解析式得：2 3 2 3 m + 3m ? 2 3 = 2m ? 2 3 ，得 m=0(舍去)， m = 3 ? ， 3 2此时所求的解析式为： y =2 3 3 7 3 (x ? 3 + )2 + 3 ? ； 3 2 2②当 GE=EF 时，FG=4m， F (0,4m ? 2 3 ) 代入解析式得：第 42 页2 3 2 3 m + 3m ? 2 3 = 4m ? 2 3 ，得 m=0(舍去)， m = 2 3 ? ， 3 2此时所求的解析式为： y = ③当 FG=FE 时，不存在；2 3 3 7 3 (x ? 2 3 + )2 + 6 ? ； 3 2 225、 （2011 年北京四中 33 模）如图，△ABC 的三个顶点 ， 坐标分别为 A（－2，0） 、B（6，0） 、C（0， ? 2 3 ） 抛物线 y=ax +bx+c（a≠0）经过 A、B、C 三点。 （1）求直线 AC 的解析式； （2）求抛物线的解析式； （3）若抛物线的顶点为 D，在直线 AC 上是否存一点 P， △BDP 的周长最小，若存在，求出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由。 答案：解（1）设直线 AC 的解析式为 y=kx+bD2使得?k = ? 3 ?0 = ?2k + b ? ? A（－2，0） ，C（0，－2 3 ） ，∴ ? ，∴ ? ?? 2 3 = b ?b = ?2 3 ? ?∴ y = ? 3x ? 2 3 ，抛物线 y=ax +bx+c 过 A、B、C 三点 （2）∵A（－2，0） ，B（6，0） ，C（0，－2 3 ）2? 3 ?a = 6 ? ?0 = 4a ? 2b + c ? ? 2 3 ? ∴ ?0 = 36a + 6b + c ，∴ ?b = ? 3 ? ? ?? 2 3 = c ?c = ?2 3 ? ? ?∴所求抛物线方程为 y = （3）存在满足条件的点 P。 ∵抛物线方程为 y =3 2 2 3 x ? x?2 3 6 3P D3 8 3 ( x ? 2) 2 ? ， 6 3第 43 页? 8 3? ? ∴顶点 D 的坐标为 ? 2,? ? 3 ? ? ?要使△BDP 的周长最小，只需 DP+PB 最小， 延长 BC 到点 B′，使 B′C = BC ，连接 B′D 交直线 AC 于点 P ∵BC⊥AC，∴ B′P = BP ， ∴DP+BP=DP+ B ′P = B ′D 最小，则此时△BDP 的周长最小， ∴点 P 就是所求的点 过点 B′作 B′H ⊥AB 于点 H，∵B（6，0） ，C（0， ? 2 3 ） ∴在 Rt△BOC 中，∴BC=4 3 ∵OC// B′H ， B′C = BC ， ∴OH=BO=6， B′H = 2OC = 4 3 ，∴ B′ ? 6,?4 3 设直线 B′D 的解析式为 y=mx+n，()? 8 3? ? ， B ′ ? 6,?4 3 在直线 B ′D 上， ∵D ? 2,? ? 3 ? ? ?()? ?? 4 3 = ?6m + n 3 ?m = ? ∴? 8 3 ∴? 6 = 2m + n ?? ?n = ?3 3 ? 3 ?∴y=3 x?3 3 66 ? ? 3 ?x = 7 ? 6 20 3 ? x?3 3 ? ?y = ? ∵? ，∴ ? ，∴ P? ,? 6 ?7 7 ? 20 3 ? y = ? 3x ? 2 3 ?y = ? ? ? ? ? 7 ?? 6 20 3 ? ? ∴在直线 AC 上存在点 P，使得△BDP 的周长最小，此时 P? ,? ?7 7 ? ? ?26、 （2011 年北京四中 34 模）如图，以 AC 为直径的⊙D 与 x 轴交于 A、 B 两点， A、B 的坐标分别为（-2,0）和（1,0） ，BC= 3 ．设直线 AC 与y E C D A o B x第 44 页直线 x=2 交于点 E． （1）求以直线 x=2 为对称轴，且过 C 与原点 O 的抛物线的函数解析式，并判断此抛物线是否过点 E，说 明理由 ； （2）设（1）中的抛物线与 x 轴的另一个交点为 N，M 是该抛物线上位于 C、N 之间的一动点，求△CMN 面积的最大值． 答案： （1）∵AC 为⊙D 的直径 ∴BC⊥AB ∴由已知可得点 C（1， 3 ） 设抛物线解析式是 y = a ( x ? 2) 2 + k则??4 a + k = 0 ?a + k = 3? 3 ?a = ? ? 3 得? ?k = 4 3 ? 3 ?3 4 3 ( x ? 2) 2 + 3 3∴解析式是 y = ?设直线 x=2 与 x 轴交于点 F 则 CB∥EF ∴⊿ACB∽⊿AEF ∴AB CB 3 3 4 3 = ∴ = ∴EF= AF EF 4 EF 3∴E（2 ，4 3 ） 3 3 4 3 4 3 ( 2 ? 2) 2 + = ∴抛物线经过点 E 3 3 3y E M C当 x=2 时， y = ?（2） 抛物线与 X 轴的另一个交点 N（4 ， 0） ，设 M（x，y） 过 C，M 分别作 x 轴的垂线，垂足为 G，H S⊿CMN=SCGHM+S⊿HMN-S⊿CGN =1 1 1 （y+ 3 ）(x-1)+ y（4-x）- ×3× 3 2 2 2oGHNx第 45 页=3y 3 + x?2 3 2 2=3? 3 4 3? 3 ( x ? 2) 2 + x?2 3 ?? ?+ 2? 3 3 ? 2 3 2 5 3 x + x?2 3 2 2（1≤x≤4） （自变量范围不写不扣分）=?当 x=5 9 时，S⊿CMN 的最大值是 3 2 827、 （2011 年浙江杭州 28 模）已知二次函数 y = ax 2 + bx + c 的图象 Q 与 x 轴有且只有一个交点 P，与 y 轴 的交点为 B（0，4） ，且 ac＝b， （1）求这个二次函数的解析式。 （2）将一次函数 y＝－3x 的图象作适当平移，使它经过点 P，记所得的图象为 L，图象 L 与 Q 的另一个交 点为 C，请在 y 轴上找一点 D，使得△CDP 的周长最短。 答案：解： （1）由 B（0，4）得，c=4.Q 与 x 轴的交点 P（ ?由条件 ac = b ，得b ，0） ， 2ab b c = c ，所以 ? = ? = ?2 ，即 P（ ?2 ，0） ． a 2a 2所以 ??b = 4a, ?a = 1, 解得 ? ?4a ? 2b + 4 = 0. ?b = 4.所求二次函数的解析式为 y = x 2 + 4 x + 4 ． （2）设图象 L 的函数解析式为 y= ?3 x+b，因图象 L 过点 P（ ?2 ，0） ， 所以 b = ?6 ，即平移后所得一次函数的解析式为 C yy= ? 3 x ? 6 ．令 ?3 x ? 6 = x + 4 x + 4 ，2解得 x1 = ?2 ， x2 = ?5 ． 将它们分别代入 y= ?3 x ? 6 ， 得 y1 = 0 ， y2 = 9 ． P OB DP’ x第 46 页所以图象 L 与 Q 的另一个交点为 C（ ?5 ，9） ． ∵点 P（ ?2 ，0）关于 y 轴的对称点为点 P’（2，0） 则直线 CP’的解析式为 y = ? 即9 18 18 x + ，且与 y 轴的交点为 D(0 , ) 7 7 7在y轴上使得C?CDP 最小的点是 D(0 ,18 ) 7第 47 页
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