462-8和9的公因数（ ）,最大公因数（ ）5和15的公因数（最大8 9,89,,462,,515
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462-8和9的公因数（ ）,最大公因数（ ）5和15的公因数（最大
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【本讲教育信息】
一. 教学内容：
&&& 因数和倍数（二）
&&& 最大公因数和最小公倍数
二. 知识整理
&&& 公因数：几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。
&&& 公因数只有1的两个数叫做互质数。
&&& 公倍数：几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
&&& 求几个数的最小公倍数一般用短除法。
&&& 几种特殊情况：
&&& 两个数互质，它们的最大公约数是1，最小公倍数是它们的乘积。
&&& 两个数是约倍关系，它们的最大公约数是较小数，最小公倍数是较大数。
&&& 说明：
& 1. 几个数的最大公约数可以简记为“（&&& ）”。
&&& 如：4和6的最大公约数是2，可以简写成（4，6）=2
& 2. 几个数的最小公倍数可以简记为“［&&& ］”
&&& 如：10和12的最小公倍数是60，可以简写成［10，12］=60
【典型例题】
（1）求12和18的公因数。
&&& （2）求30和20的最小公倍数。
&&& 思路指导：可以用“枚举”的方法。
&&& （1）12的因数有：1、2、3、4、6、12
&&& 18的因数有：1、2、3、6、9、18
&&& 12和18的公因数有：1、2、3、6
&&& 12和18的最大公因数是6
&&& 可以写成（12，18）=6
&&& （2）30的倍数有：30、60、90、120……
&&& 20的倍数有：20、40、60、80、100、120……
&&& 30和20的公倍数有：60、120……
&&& 30和20的最小公倍数是：60
&&& 可以写成［30，20］=60
求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
&&& （1）4和7
& &&（2）16和80
&&& （3）96和60
&&& 思路指导：
&&& （1）4和7是互质关系，所以它们的最大公因数和最小公倍数是有规律的，没必要用短除式计算。
&&& （4，7）=1&&&&&&&&&&&&&&&& ［4，7］=4×7=28
&&& （2）16和80是约倍关系，也没有必要用短除式计算它们的最大公因数和最小公倍数。
&&& （16，80）=16&&&&&&&&&&&&&&&&&& ［16，80］=80
&&& （3）方法：用它们公有的因数去除（一般是公有质因数），直到商是互质数为止。
&&& 最大公因数是它们所有公有质因数的乘积。
&&& 最小公倍数是它们所有公有质因数及各自独有质因数的乘积。
求下面每组数的最大公因数和最小公倍数。
&&& （1）12、30和20
&&& （2）35、28、60
&&& 思路指导：（1）求三个数的最大公因数，要找三个数公有的质因数，用它们所有公有质因数相乘。求三个数的最小公倍数，先用三个数公有的质因数去除，再用2个数公有的质因数去除（直到商两两互质为止）。把所有公有质因数与各自独有质因数相乘。
（12，30，20）=2
［12，30，20］=2×2×3×5=60
&&& （2）因为35、28、60的最大公约数是1，所以（35，28，60）=1
［35，28，60］=5×7×2×2×3=420
求1519和5642的最大公约数
&&& 思路指导：求两个较大数（且不易找到公有因数）的最大公因数，可以采用辗转相除的方法。
应用分解质因数的方法，求30和18的最大公因数。
&&& 思路指导：最大公因数是它们公有质因数的乘积
&&& （30，18）=2×3=6
【模拟试题】（答题时间：30分钟）
&& &（1）2和所有的奇数一定互质。（&&& ）
&&& （2）两个合数一定不互质。（&&& ）
&&& （3）7和21的最大公因数和最小公倍数都是21。（&&& ）
&&& （4）能同时被2、3、5整除的数最小是120。（&&&
& 2. 求下面每组数的最大公因数。
&&& （1）36和20&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2）4和27
&&& （3）96和16&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （4）25和60
& 3. 求下面每组数的最小公倍数。
&&& （1）9和15&&&&&&&&&&&&&&& （2）32和24
&&& （3）11和8&&&&&&&&&&&&&&& （3）12和60
&&& （5）30、16和24
& 4. 有一堆桔子，无论平均分给8个人，还是平均分给6个人，都能正好分完，这堆桔子至少有多少个？
& 5. 幼儿园大班买来苹果64个，糖果160块，平均分给小朋友，刚好全部分完，这个班最多有多少人？
【试题答案】
&&& （1）2和所有的奇数一定互质。（√）
&&& （2）两个合数一定不互质。（×）
&&& （3）7和21的最大公因数和最小公倍数都是21。（×）
&&& （4）能同时被2、3、5整除的数最小是120。（×）
& 2. 求下面每组数的最大公因数。
&&& （1）36和20&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （2）4和27
&&& （36，20）=4&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （4，27）=1
&&& （3）96和16&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& （4）25和60
&&& （96，16）=16&&&&&&&&&&&&&&&&& （25，60）=5
& 3. 求下面每组数的最小公倍数。
&&& （1）9和15&&&&&&&&&&&&&&& （2）32和24
&&& ［9，15］=45&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ［32，24］=96
&&& （3）11和8&&&&&&&&&&&&&&& （3）12和60
&&& ［11，8］=88&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ［12，60］=60
&&& （5）30、16和24
&&& ［30，16，24］=240
&&4. 有一堆桔子，无论平均分给8个人，还是平均分给6个人，都能正好分完，这堆桔子至少有多少个？
&&& 这堆桔子一定是8的倍数，也一定是6的倍数
&&& 那么桔子数量一定是8和6的公倍数，要求这堆桔子最少有多少个，就是求8和6的最小公倍数。
&&& ［8，6］=24
&&& 所以这堆桔子最少有24个。
& 5. 幼儿园大班买来苹果64个，糖果160块，平均分给小朋友，刚好全部分完，这个班最多有多少人？
&&& 由于64个苹果平均分给小朋友刚好分完，所以小朋友人数一定是64的因数。同理，小朋友的人数也一定是160的因数，要求这个班最多有多少人，就是求64和160的最大公因数。
&&& （64，160）=32
&&& 所以，这个班最多有32人。
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人教版五年级下册最大公因数与最小公倍数的比较
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内容提示：例题。例题。不同点。把所有的除数和 商乘起来．。求两个数的最大公因数和最小 公倍数的区别。所有除数正好是两个数全部公有的。求两个数的最大公因数和最小公倍数的区别。最小公倍数既要包含两个数全部公 有的质因数，又要包含各自独有的。质因数．两个数的商分别是它们独。练习 根据下面的短除，选择正确答案． 2 18 30 3 9 15 3 5 18和30的最大公因数是（ A ）。A：2×3＝6 B：2×3×3×5＝90 C：18×30＝540。练习 改错：找出下列各题错在哪里，并说明 如何改正．。2 60 3 30 5 10 2。90 45 15 3。60和90的最大公因数是2×3＝6。修改。2×3 × 5＝30。60和90的最小公倍数是2×3 ×10 ×15 ＝900。修改 2×3 ×5 × 2×3 ＝180。练习。1。12。7和12的最大公因数是7。修改 因为 7和12是互质数。所以 7和12的最大公因数是1 7和12的最小公倍数是7×12＝84。练习。下面的数，哪些能被2整除？哪些 能被3整除？哪些能被5整除？
60 13 105 144 255 144 能被2整除： 12 36 60 45 60 能被3整除： 105 144 255。能被5整除： 45 60 105。255。练习 很快说出下面每组数的最大公因数 和最小公倍数． 3和5 最大公因数是1，最小公倍数15 4和6 最大公因数是2，最小公倍数12 10和16 最大公因数是2，最小公倍数80。8和 7。最大公因数是1，最小公倍数56。6和10 最大公
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最大公因数最小公倍数应用题复习
&&&热&&&&&★★★
最大公因数最小公倍数应用题复习
作者：佚名
文章来源：
更新时间： 12:54:08
公约数、公倍数问题，是指用求几个数的（最大）公约数或（最小）公倍数的方法来解答的应用题。这类题一般都没有直接指明是求公约数或公倍数，要通过对已知条件的仔细分析，才能发现解题方法。解答公约数或公倍数问题的关键是：从约数和倍数的意义入手来分析，把原题归结为求几个数的公约数问题。例如：
1、有一个长方体的木头，长3.25米，宽1.75米，厚0.75米。如果把这块木头截成许多相等的小立方体，并使每个小立方体尽可能大，小立方体的棱长及个数各是多少？
解：根据题意，小立方体一条棱长应是长方体长、宽、厚各数的最大公约数。即：（325、175、75）=25（厘米）
因为325÷25=13
所以13×7×3=273（个）
答：能分为小立方体273个，小立方体的每条棱长为25厘米。
2、 有一个两位数，除50余2，除63余3，除73余1。求这个两位数是 多少？
解：这个两位数除50余2，则用他除48（52－2）恰好整除。也就是说，这个两位数是48的约数。同理，这个两位数也是60、72的约数。所以，这个两位数只可能是48、60、72的公约数1、2、3、4、6、12，而满足条件的只有公约数12，即（48、60、72）=12。
答：这个两位数是12。
几个数公有的因数叫做这几个数的公因数，其中最大的一个叫做这几个数的最大公因数。几个数公有的倍数叫做这几个数的公倍数，其中最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。
应用最大公因数与最小公倍数方法求解的应用题，叫做公约数与公倍数问题。解题的关键是先求出几个数的最大公因数或最小公倍数，然后按题意解答要求的问题。
三、考点分析
最大公因数和最小公倍数的性质。
（1）两个数分别除以它们的最大公因数，所得的商一定是互质数。
（2）两个数的最大公因数的因数，都是这两个数的公因数，
（3）两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
四、典型例题
例1、有三根铁丝，一根长18米，一根长24米，一根长30米。现在要把它们截成同样长的小段。每段最长可以有几米？一共可以截成多少段？
分析与解：
截成的小段一定是18、24、30的最大公因数。先求这三个数的最大公因数，再求一共可以截成多少段。
（18、24、30）＝6
（18+24+30）÷6＝12段
答：每段最长可以有6米，一共可以截成12段。
例2、一张长方形纸，长60厘米，宽36厘米，要把它截成同样大小的长方形，并使它们的面积尽可能大，截完后又正好没有剩余，正方形的边长可以是多少厘米？能截多少个正方形？
分析与解：
要使截成的正方形面积尽可能大，也就是说，正方形的边长要尽可能大，截完后又正好没有剩余，这样正方形边长一定是60和36的最大公因数。
（36、60）＝12
（60÷12）×（36÷12）＝15个
答：正方形的边长可以是12厘米，能截15个正方形。
例3、用96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做花束。若每个花束里的红玫瑰花的朵数相同，白玫瑰花的朵数也相同，最多可以做多少个花束？每个花束里至少要有几朵花？
分析与解：
要把96朵红玫瑰花和72朵白玫瑰花做成花束，每束花里的红白花朵数同样多，那么做成花束的个数一定是96和72的公因数，又要求花束的个数要最多，所以花束的个数应是96和72的最大公因数。
（1）最多可以做多少个花束
（96、72）＝24
（2）每个花束里有几朵红玫瑰花
96÷24＝4朵
（3）每个花束里有几朵白玫瑰花
72÷24＝3朵
（4）每个花束里最少有几朵花
例4、公共汽车站有三路汽车通往不同的地方。第一路车每隔5分钟发车一次，第二路车每隔10分钟发车一次，第三路车每隔6分钟发车一次。三路汽车在同一时间发车以后，最少过多少分钟再同时发车？
分析与解：
这个时间一定是5的倍数、10的倍数、6的倍数，也就是说是5、10和6的公倍数，“最少多少时间”，那么，一定是5、10、6的最小公倍数。
［5、10、6］＝30
答：最少过30分钟再同时发车。
例5、某厂加工一种零件要经过三道工序。第一道工序每个工人每小时可完成3个；第二道工序每个工人每小时可完成12个；第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使流水线能正常生产，各道工序每小时至少安排几个工人最合理？
分析与解：
安排每道工序人力时，应使每道工序在相同的时间内完成同样多的零件个数。这个零件个数一定是每道工序每人每小时完成零件个数的公倍数。至少安排的人数，一定是每道工序每人每小时完成零件个数的最小公倍数。
（1）在相同的时间内，每道工序完成相等的零件个数至少是多少？
［3、12、5］＝60
（2）第一道工序应安排多少人
60÷3＝20人
（3）第二道工序应安排多少人
60÷12＝5人
（4）第三道工序应安排多少人
60÷5＝12人
例6、有一批机器零件。每12个放一盒，就多出11个；每18个放一盒，就少1个；每15个放一盒，就有7盒各多2个。这些零件总数在300至400之间。这批零件共有多少个？
分析与解：
每12个放一盒，就多出11个，就是说，这批零件的个数被12除少1个；每18个放一盒，就少1个，就是说，这批零件的个数被18除少1；每15个放一盒，就有7盒各多2个，多了2×7＝14个，应是少1个。也就是说，这批零件的个数被15除也少1个。
如果这批零件的个数增加1，恰好是12、18和15的公倍数。
1、刚好能12个、18个或15个放一盒的零件最少是多少个
［12、18、15］＝180
2、在300至400之间的180的倍数是多少
180×2＝360
3、这批零件共有多少个
360-1＝359个
例7、公路上一排电线杆，共25根。每相邻两根间的距离原来都是45米，现在要改成60米，可以有几根不需要移动？
分析与解：
不需要移动的电线杆，一定既是45的倍数又是60的倍数。要先求45和60的最小公倍数和这条公路的全长，再求可以有几根不需要移动。
1、从第一根起至少相隔多少米的一根电线杆不需移动？
［45、60］＝180（米）
2、公路全长多少米？
45×（25-1）＝1080（米）
3、可以有几根不需要移动？
例8、两个数的最大公因数是4，最小公倍数是252，其中一个数是28，另一个数是多少？
分析与解：
根据“两个自然数的最大公因数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。”先求出4与252的乘积，再用积去除以28即可。
4×252÷28=
【模拟试题】
1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？
2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）
3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。
4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？
5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。
6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。
9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？
10、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B两个自然数的和是多少？
【试题答案】
1、24的因数共有多少个？36的因数共有多少个？24和36的公因数是哪几个？其中最大的一个是？
答：24的因数共有8个，36的因数共有9个，24和36的公因数是1、2、3、4、6、12。其中最大的一个是12。
2、一个长方形的面积是323平方厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（长和宽都是素数）
答：长方形的长是19厘米，宽是17厘米。
3、两个自然数的乘积是420，它们的最大公因数是12，求它们的最小公倍数。
答：它们的最小公倍数是35。
4、两个自然数相乘的积是960，它们的最大公因数是8，这两个数各是多少？
答：这两个数分别是24和40。
5、两个数的最小公倍数是126，最大公因数是6，已知两个数中的一个数是18，求另一个数。
答：另一个数是42。
6、有一种长51厘米，宽39厘米的水泥板，用这种水泥板铺成一块正方形地，至少需要多少块水泥板？
答：至少需要221块水泥板。
7、有三根铁丝长度分别为120厘米、90厘米、150厘米，现在要把它们截成相等的小段，每根无剩余，每段最长多少厘米？一共可以截成多少段？
答：每段最长30厘米，一共可以截成12段。
8、有两个不同的自然数，它们的和是48，它们的最大公因数是6，求这两个数。
答：这两个数是42和6或18和30。
9、同学们参加野餐活动准备了若干个碗，如果每人分得3个碗或4个碗或5个碗，都正好分完，这些碗最少有多少个？
答：这些碗最少有60个。
10、有A、B两个两位数，它们的最大公因数是6，最小公倍数是90，则A、B两个自然数的和是多少？
答：A、B两个自然数的和是48。
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