西瓜书（《机器学习》，清华大学出版社）目前国内机器学习领域销量最大的教材。大家公认它的质量是很高（当然，也有一部分人对西瓜书有质疑）的。但一个尴尬的现状是：绝大部分人买了这两本书之后并没有怎没看懂，更没有坚持读完！为什么经典教材这么难学这本书学起来难，问题出在哪里？抛开作者的内容设计、写作方式不谈。相比于普通的编程类书籍，机器学习和深度学习的难度本来就很大，出现这一结果也是在意料之中的。总结起来，困难主要是这几个方面：数学。这本书里密集的出现数学概念和公式，对大部分读者来说都是很困难的，尤其是不少数学知识超出了本科“微积分”，“线性代数”，“概率论与数理统计”3门课的范围。见到陌生的数学符号和公式让大家茫然不知所措。机器学习和深度学习中的一些思想不易理解。一些复杂的算法，比如支持向量机、反向传播算法、EM算法、概率图模型、变分推断，它们到底解决了什么问题，为什么要这样做，这些书里解释的不太清楚，这就造成了读者不知其所以然。抽象。有些机器学习算法是很抽象的，比如流形学习、某些聚类算法等。如果不给出直观的解释，也是难以理解的。不能和应用结合。很多教材普遍存在的一个问题是没有讲清楚这个方法到底有什么用，应该怎么用。所有这些问题中，数学无疑是排在第一位的。一般的数学教材通常不会讲授机器学习的相关内容，而专门的机器学习教材又不会详细讲解数学知识，二者之间存在一个鸿沟。从更大的层面看，不知数学有何用，不知学了怎么用，是很多读者面临的一个问题。针对于这个问题，我待会儿会在文末推荐一本书，可以说他与西瓜书完美互补，坚持读完这本书，基本上可以扫清你学西瓜书中的数学障碍。推荐这本书之前首先我们来聊一下西瓜书中的数学，让你知其然也知其所以然。先看看西瓜书的情况。西瓜书在附录里介绍了3部分数学知识：A 矩阵B 优化C 概率分布其中，A介绍了矩阵的基本演算，矩阵与向量求导，奇异值分解。B介绍了拉格朗日乘子法，KKT条件，拉格朗日对偶，二次规划，半正定规则，梯度下降法，坐标下降法。C介绍了常见概率分布（包括均匀分布，伯努利分布，二项分布，多项分布，贝塔分布，狄利克雷分布，高斯分布），共轭分布，KL散度。限于篇幅，对于这些内容只是粗略的进行了介绍。除非之前学过这些内容，否则只靠看西瓜书是很难理解它们的。接下来看看西瓜书中一些典型的难以理解的地方：第61页关于logistic回归训练问题的求解：上来就是凸优化，牛顿法，这些概念和后面的公式对不少人都是陌生的。第75页，决策树的训练算法，划分选择：这里出现了熵，熵的值越小，样本集的纯度越高。问题是：大部分读者之前没有接触过熵这个概念。下面是机器学习中公认的难以理解的算法-支持向量机。第123页中出现了这些内容：相信不少读者看到这些推导之后是一头雾水。到贝叶斯分类器这一章中的Gibbs采样和EM算法之后，对很多人来说无疑就是天书了：第208页的高斯混合聚类，情况同样不乐观：第13.4节图半监督学习中的拉普拉斯矩阵：概率图模型这一章中的MCMC采样和变分推断：试问如果没有相应的数学知识储备，有多少人能看懂上面这些内容？究竟需要哪些数学知识我们先看典型的机器学习算法所用到的数学知识点，如下表所示。限于篇幅，这里没有列出强化学习、机器学习理论、自动化机器学习（AutoML）等内容所用的数学知识。从这张表可以看出来，频繁用到的知识点就是向量和矩阵的运算，梯度下降法等优化算法，概率，信息论中的模型概念。整体来说，就是下面这几门课的内容：微积分线性代数概率论最优化方法信息论随机过程图论下面这张图列出了这些知识的整体结构。其中线性代数与微积分是基础，其他的课程都是建立在它们之上的。最优化方法严重依赖于微积分的知识，信息论与随机过程是概率论的延伸。下面我们分别来介绍这几门课在机器学习中到底用到了哪些内容。微积分微积分可分为一元函数微积分、多元函数微积分两部分，它是整个高等数学的基石。通常情况下，机器学习需要得到一个函数（模型，或者说假设），既然是函数，那自然就离不开微积分了。微积分为我们研究函数的性质，包括单调性、凹凸性、以及极值提供了理论依据。同时它也是学习概率论、信息论、最优化方法等后续课程的基础。总体来说，机器学习中所用的微积分知识，工科微积分教材基本上已经讲了，除了下面这些内容：1. 上/下确界2. 李普希茨连续性3. 雅克比矩阵4. Hessian矩阵5. 多元函数的凹凸性6. 多元函数的极值7. 多元函数的泰勒公式8. 多重积分的换元法如果你真的学好了本科微积分，上面这些内容并不难理解。对于微分学习，重点是下面这张图中的内容。包括函数的求导法则（尤其是链式法则），以及泰勒公式。泰勒公式中的一阶导数项和二阶导数项决定了函数的极值，这对后续的梯度下降法，牛顿法，拟牛顿法等优化算法的推导至关重要！积分学的重点是理解下面这种图中的公式。包括定积分和多重积分的计算，以及积分的换元法。线性代数线性代数对于机器学习是至关重要的。机器学习算法的输入、输出、中间结果通常为向量、矩阵、张量。使用线性代数可以简化问题的表达，用一个矩阵乘法，比写成多重求和要简洁明了得多。线性代数是学习后续数学课程的基础。它可以与微积分结合，研究多元函数的性质。线性代数在概率论中也被使用，比如随机向量，协方差矩阵。线性代数在图论中亦有应用-如图的邻接矩阵，拉普拉斯矩阵。在随机过程中同样有应用-如状态转移矩阵。机器学习中所用的线性代数知识，有不少超出了一般线性代数乃至高等代数教材的范畴，对于很多读者来说说陌生的。这包括：1. 向量的范数2. 矩阵的范数，包括谱范数3. Householder变换4. QR算法5. 广义特征值6. 瑞利商7. 矩阵的条件数8. 矩阵分解，包括Cholesky分解，QR分解，奇异值分解（SVD）等这些知识在机器学习教材和相关论文中频繁出现。概率论概率论对于机器学习来说也是至关重要的，它是一种重要的工具。如果将机器学习算法的输入、输出看作随机变量/向量，则可以用概率论的观点对问题进行建模。使用概率论的一个好处是可以对不确定性进行建模，这对于某些问题是非常有必要的。另外，它还可以挖掘变量之间的概率依赖关系，实现因果推理。概率论为某些随机算法-如蒙特卡洛算法、遗传算法，以及随机数生成算法-包括基本随机数生成、以及采样算法提供了理论依据和指导。最后，概率论也是信息论，随机过程的先导课程。下面这张图清晰的列出了概率论的核心知识。工科的概率论与数理统计教材，已经讲述了机器学习所需的大部分概率论知识，只有以下的知识点除外：1. 条件独立性2. Jensen不等式3. 某些概率分布，如多项分布，拉普拉斯分布，t分布等4. 概率分布变换5. 多维正态分布6. 多维概率分布变换7. 某些参数估计方法，包括最大后验概率估计，贝叶斯估计等8. 随机数生成算法，包括逆变换采样，拒绝采样等算法最优化方法最优化方法在机器学习中处于中心地位，遗憾的是很多读者并没有系统的学过这门课程，包括线性规划，凸优化，非线性规划。在一般的数值分析课程中，只讲述了最优化方法的小部分内容。几乎所有机器学习算法最后都归结于求解最优化问题，从而确定模型参数，或直接获得预测结果。前者的典型代表是有监督学习，通过最小化损失函数或优化其他类型的目标函数确定模型的参数；后者的典型代表是数据降维算法，通过优化某种目标函数确定降维后的结果，如主成分分析。下面这张图列出了最优化方法的核心知识。信息论信息论是概率论的延伸，在机器学习与深度学习中通常用于构造目标函数，以及对算法进行理论分析与证明。这同样是很多读者没有学习过的课程。在机器学习尤其是深度学习中，信息论的知识随处可见：1. 决策树的训练过程中需要使用熵作为指标2. 在深度学习中经常会使用交叉熵、KL散度、JS散度、互信息等概念3. 变分推断的推导需要以KL散度为基础4. 距离度量学习、流形降维等算法也需要信息论的知识总体来说，在机器学习中用得最多的是熵，交叉熵，KL散度，JS散度，互信息，条件熵等。下面这张图列出了信息论的核心知识。随机过程随机过程同样是概率论的延伸，这也是大部分读者没有学习过的课程。在机器学习中，随机过程被用于概率图模型、强化学习、以及贝叶斯优化等方法。不理解马尔可夫过程，你将对MCMC采样算法一头雾水。下面这张图列出了机器学习中随机过程的核心知识。在机器学习中所用的主要是马尔可夫过程和高斯过程。隐马尔可夫过程，马尔可夫决策过程都是它的延伸。同时，平稳分布、细致平衡条件也是理解MCMC采样的核心基础。图论图论似乎只有计算机相关专业在本科时学过，而且还不完整，比如谱图理论。在机器学习中，概率图模型是典型的图结构。流形降维算法与谱聚类算法均使用了谱图理论。计算图是图的典型代表，图神经网络作为一种新的深度学习模型，与图论也有密切的关系。因此补充图论的知识也是很有必要的。如何解决数学问题？综上，我推荐一下这本书：它用最小的篇幅精准覆盖机器学习的数学这本书用最小的篇幅精准的覆盖了机器学习、深度学习、强化学习所需的核心数学知识。章节结构设计科学合理，不需要的东西，统统不讲，这样可以有效的减小读者的学习成本。下面是这本书的目录。第1 章一元函数微积分11．1 极限与连续 11．1．1 可数集与不可数集 11．1．2 数列的极限 31．1．3 函数的极限 71．1．4 函数的连续性与间断点 91．1．5 上确界与下确界 111．1．6 李普希茨连续性 121．1．7 无穷小量 131．2 导数与微分 141．2．1 一阶导数 141．2．2 机器学习中的常用函数 201．2．3 高阶导数 221．2．4 微分 241．2．5 导数与函数的单调性 251．2．6 极值判别法则 261．2．7 导数与函数的凹凸性 281．3 微分中值定理 291．3．1 罗尔中值定理 291．3．2 拉格朗日中值定理 291．3．3 柯西中值定理 311．4 泰勒公式 311．5 不定积分 331．5．1 不定积分的定义与性质 331．5．2 换元积分法 351．5．3 分部积分法 361．6 定积分 371．6．1 定积分的定义与性质 381．6．2 牛顿-莱布尼茨公式 391．6．3 定积分的计算 401．6．4 变上限积分 411．6．5 定积分的应用 421．6．6 广义积分 441．7 常微分方程 451．7．1 基本概念 451．7．2 一阶线性微分方程 46第2 章线性代数与矩阵论492．1 向量及其运算 492．1．1 基本概念 492．1．2 基本运算 512．1．3 向量的范数 532．1．4 解析几何 552．1．5 线性相关性 572．1．6 向量空间 582．1．7 应用——线性回归 612．1．8 应用——线性分类器与支持向量机 622．2 矩阵及其运算 652．2．1 基本概念 652．2．2 基本运算 672．2．3 逆矩阵 722．2．4 矩阵的范数 782．2．5 应用——人工神经网络 782．2．6 线性变换 812．3 行列式 822．3．1 行列式的定义与性质 832．3．2 计算方法 912．4 线性方程组 922．4．1 高斯消元法 922．4．2 齐次方程组 932．4．3 非齐次方程组 952．5 特征值与特征向量 972．5．1 特征值与特征向量 972．5．2 相似变换 1052．5．3 正交变换 1062．5．4 QR 算法 1102．5．5 广义特征值 1122．5．6 瑞利商 1122．5．7 谱范数与特征值的关系 1142．5．8 条件数 1142．5．9 应用——谱归一化与谱正则化 1152．6 二次型 1162．6．1 基本概念 1162．6．2 正定二次型与正定矩阵 1162．6．3 标准型 1192．7 矩阵分解 1212．7．1 楚列斯基分解 1212．7．2 QR 分解 1232．7．3 特征值分解 1272．7．4 奇异值分解 128第3 章多元函数微积分1333．1 偏导数 1333．1．1 一阶偏导数 1333．1．2 高阶偏导数 1343．1．3 全微分 1363．1．4 链式法则 1363．2 梯度与方向导数 1383．2．1 梯度 1383．2．2 方向导数 1393．2．3 应用——边缘检测与HOG特征 1393．3 黑塞矩阵 1403．3．1 黑塞矩阵的定义与性质 1413．3．2 凹凸性 1413．3．3 极值判别法则 1433．3．4 应用——最小二乘法 1453．4 雅可比矩阵 1463．4．1 雅可比矩阵的定义和性质 1463．4．2 链式法则的矩阵形式 1483．5 向量与矩阵求导 1503．5．1 常用求导公式 1503．5．2 应用——反向传播算法 1543．6 微分算法 1563．6．1 符号微分 1563．6．2 数值微分 1573．6．3 自动微分 1583．7 泰勒公式 1593．8 多重积分 1613．8．1 二重积分 1613．8．2 三重积分 1643．8．3 n 重积分 1673．9 无穷级数 1703．9．1 常数项级数 1703．9．2 函数项级数 173第4 章最优化方法1764．1 基本概念 1764．1．1 问题定义 1774．1．2 迭代法的基本思想 1794．2 一阶优化算法 1804．2．1 梯度下降法 1804．2．2 最速下降法 1834．2．3 梯度下降法的改进 1844．2．4 随机梯度下降法 1864．2．5 应用——人工神经网络 1874．3 二阶优化算法 1884．3．1 牛顿法 1884．3．2 拟牛顿法 1894．4 分治法 1934．4．1 坐标下降法 1934．4．2 SMO 算法 1944．4．3 分阶段优化 1954．4．4 应用——logistic 回归 1964．5 凸优化问题 1984．5．1 数值优化算法面临的问题 1984．5．2 凸集 1994．5．3 凸优化问题及其性质 2004．5．4 机器学习中的凸优化问题 2014．6 带约束的优化问题 2024．6．1 拉格朗日乘数法 2024．6．2 应用——线性判别分析 2044．6．3 拉格朗日对偶 2054．6．4 KKT 条件 2084．6．5 应用——支持向量机 2094．7 多目标优化问题 2134．7．1 基本概念 2134．7．2 求解算法 2154．7．3 应用——多目标神经结构搜索 2154．8 泛函极值与变分法 2164．8．1 泛函与变分 2174．8．2 欧拉—拉格朗日方程 2184．8．3 应用——证明两点之间直线最短 2204．9 目标函数的构造 2214．9．1 有监督学习 2214．9．2 无监督学习 2244．9．3 强化学习 225第5 章概率论2285．1 随机事件与概率 2295．1．1 随机事件概率 2295．1．2 条件概率 2335．1．3 全概率公式 2345．1．4 贝叶斯公式 2355．1．5 条件独立 2365．2 随机变量 2365．2．1 离散型随机变量 2365．2．2 连续型随机变量 2375．2．3 数学期望 2405．2．4 方差与标准差 2425．2．5 Jensen 不等式 2435．3 常用概率分布 2445．3．1 均匀分布 2445．3．2 伯努利分布 2465．3．3 二项分布 2475．3．4 多项分布 2485．3．5 几何分布 2495．3．6 正态分布 2505．3．7 t 分布 2525．3．8 应用——颜色直方图 2535．3．9 应用——贝叶斯分类器 2545．4 分布变换 2545．4．1 随机变量函数 2545．4．2 逆变换采样算法 2565．5 随机向量 2585．5．1 离散型随机向量 2585．5．2 连续型随机向量 2605．5．3 数学期望 2615．5．4 协方差 2625．5．5 常用概率分布 2655．5．6 分布变换 2685．5．7 应用——高斯混合模型 2695．6 极限定理 2715．6．1 切比雪夫不等式 2715．6．2 大数定律 2715．6．3 中心极限定理 2735．7 参数估计 2735．7．1 最大似然估计 2745．7．2 最大后验概率估计 2765．7．3 贝叶斯估计 2785．7．4 核密度估计 2785．7．5 应用——logistic 回归 2805．7．6 应用——EM 算法 2825．7．7 应用——Mean Shift 算法 2865．8 随机算法 2885．8．1 基本随机数生成算法 2885．8．2 遗传算法 2905．8．3 蒙特卡洛算法 2935．9 采样算法 2955．9．1 拒绝采样 2965．9．2 重要性采样 297第6 章信息论2986．1 熵与联合熵 2986．1．1 信息量与熵 2986．1．2 熵的性质 3006．1．3 应用——决策树 3026．1．4 联合熵 3036．2 交叉熵 3056．2．1 交叉熵的定义 3066．2．2 交叉熵的性质 3066．2．3 应用——softmax 回归 3076．3 Kullback-Leibler 散度 3096．3．1 KL 散度的定义 3096．3．2 KL 散度的性质 3116．3．3 与交叉熵的关系 3126．3．4 应用——流形降维 3126．3．5 应用——变分推断 3136．4 Jensen-Shannon 散度 3166．4．1 JS 散度的定义 3166．4．2 JS 散度的性质 3166．4．3 应用——生成对抗网络 3176．5 互信息 3206．5．1 互信息的定义 3206．5．2 互信息的性质 3216．5．3 与熵的关系 3226．5．4 应用——特征选择 3236．6 条件熵 3246．6．1 条件熵定义 3246．6．2 条件熵的性质 3256．6．3 与熵以及互信息的关系 3256．7 总结 326第7 章随机过程3287．1 马尔可夫过程 3287．1．1 马尔可夫性 3297．1．2 马尔可夫链的基本概念 3307．1．3 状态的性质与分类 3337．1．4 平稳分布与极限分布 3377．1．5 细致平衡条件 3427．1．6 应用——隐马尔可夫模型 3437．1．7 应用——强化学习 3457．2 马尔可夫链采样算法 3487．2．1 基本马尔可夫链采样 3497．2．2 MCMC 采样算法 3497．2．3 Metropolis-Hastings 算法 3517．2．4 Gibbs 算法 3537．3 高斯过程 3557．3．1 高斯过程性质 3557．3．2 高斯过程回归 3557．3．3 应用——贝叶斯优化 358第8 章图论3638．1 图的基本概念 3638．1．1 基本概念 3638．1．2 应用——计算图与自动微分 3658．1．3 应用——概率图模型 3708．1．4 邻接矩阵与加权度矩阵 3718．1．5 应用——样本集的相似度图 3728．2 若干特殊的图 3738．2．1 联通图 3738．2．2 二部图 3748．2．3 应用——受限玻尔兹曼机 3748．2．4 有向无环图 3768．2．5 应用——神经结构搜索 3768．3 重要的算法 3808．3．1 遍历算法 3808．3．2 最短路径算法 3818．3．3 拓扑排序算法 3828．4 谱图理论 3848．4．1 拉普拉斯矩阵 3858．4．2 归一化拉普拉斯矩阵 3888．4．3 应用——流形降维 390一般的数学教材通常不会讲授机器学习的相关内容，而专门的机器学习教材又不会详细讲解数学知识，二者之间存在一个鸿沟。从更大的层面看，不知数学有何用，不知学了怎么用，是很多读者面临的一个问题。针对这一问题本书也给出了很好的答案：从机器学习的角度讲述数学，从数学的角度看待机器学习。这是本书的一大特色，全书实现了机器学习与数学的无缝衔接。对于很多数学知识，我们会讲到它在机器学习中的应用；而对于大多数机器学习算法，我们也会讲清它的数学原理，包括：线性回归线性分类器人工神经网络支持向量机谱归一化与谱正则化反向传播算法微分算法logistic回归线性判别分析多目标神经结构搜索贝叶斯分类器高斯混合模型EM算法最大后验概率估计，贝叶斯估计核密度估计与mean shift算法遗传算法蒙特卡洛算法基本采样算法，包括逆变换采样，拒绝采样，重要性采样决策树训练算法softmax回归流形降维变分推断生成对抗网络特征选择问题隐马尔可夫模型马尔可夫决策过程马尔可夫链蒙特卡洛采样（MCMC）算法贝叶斯优化计算图与自动微分概率图模型受限玻尔兹曼机神经结构搜索（NAS）这些内容已经涵盖了机器学习，深度学习，强化学习的核心基础知识。读完本书，读者对机器学习算法也基本上也有了一个整体的理解。可以说他与西瓜书完美互补，坚持读完这本书，基本上可以扫清你学西瓜书中的数学障碍。当你看到数学符号和公式的时候不再会有陌生感，对于这些数学知识如何用到机器学习和深度学习中，也有一个清晰的认识。如果你想从事学术研究，也可以打下良好的数学基础。}

只收藏不给赞，知乎风气现在都这样了？在这篇文章里，我将为大家分析、推荐一些初中数学学习的教辅书籍以及工具，并给出一些使用建议，根据几种不同情形给出几类教辅书和工具的组合方式。这是写给普娃的初中数学学习指南系列文章的第四篇。一、普娃初中数学学习的教材（一）、教材与教辅的区别数学学习离不开教材，很多学生、家长会把教材与教辅混淆，认为完全可以抛开教材，直接使用教辅书来进行数学学习。这种观点我不敢苟同。数学教材，是将知识的发生、发展过程体现的最清楚的工具书，而教辅则是知识的浓缩和罗列。教材是教你如何烹饪，从原料的选取到油温的火候，把烹饪背后的原理讲的清清楚楚明明白白，教辅是把所有的成品都摆在你面前，看上去干货十足，但却没有根基。我知道有很多学生和家长都在吐槽课本没用，甚至有些老师也认为课本没用，我个人觉得这是孩子没有遇到好老师，老师没有正确观念的缘故。教材，其实不是我们所看到的那个样子，它其实是为老师提供的素材，老师在此基础上根据学生情况重新进行梳理组织，再以此为工具和抓手传授给学生；它提供了一条思路与纲目，帮助老师和学生以此为线索进行学习。脱离老师水平单纯的评价教材有用无用，简单的将教材抛诸脑后无脑刷题，其实都是机械主义。（二）有哪些初中数学教材？选哪套？其实这个问题是一道伪问题，作为普娃，我们首先要考虑使用的当然是本地初中使用的现行数学教材。不管是人教版、北师大版亦或是华东师大版，都可以。这样做的好处是浅显、时效性强、配套教辅及习题便于寻找，尤其是预习的普娃孩子，想要多学一点，又没有太多时间和精力，用现行教材预习，到了初中能够立马用上，实际效用最强。当然在鸡娃群体中流传着两套教材，被各种数学专业人士和鸡娃大V们推崇——市北初中教材和中学数学实验教材。由于上海是五四制，所以市北这套教材是从六年级开始，到九年级为止，教材配有一本练习册。相较于普通的现行数学教材，这套书的编排相对更加系统，主线清晰，但是和现行普通数学教材还是基本同步，不过好的一点是拓展内容比较多，基本上该讲的讲到位了，例题丰富多样，由浅入深、由易到难、循序渐进。有些习题具有一定挑战性，涉及到初中数学所涉及的常用方法和技巧。可以认为市北教材是介于现行数学教材与奥数教材之间的一套过渡教材。市北教材的六年级版我在很久之前写过，那时候还不是很成熟，大家先将就着看，之后我会写一篇七年级的市北教材评测。中学数学实验教材我也写过，这套教材主要是流传于鸡娃群和鸡娃大V的口中。这套教材有其自身的价值，系统、深入，但是也有其缺点，不太适合普娃。因为普娃使用教材，因为时间、精力有限，一般都是作为预习，自学使用，学习的进度也必然有限，这本书编排和现行教材差距过大，没有配套的教辅练习，对于普娃来说不太友好，我个人是不太推荐的。不管是选用教材还是教辅，大家都是要遵循适用的原则——适合学生水平、适合现实需求、适合配套教辅、适合进度安排。所以大家就明白我的教材选择建议了吧。能力强、时间多，那就市北；能力一般、时间不定，那就现行数学教材就可以。二、初中数学学习教辅分类介绍关注我公众号的朋友都知道，我组织群友做了一份初中教辅的书单，其中初中数学教辅的含量比较高，在此我先把这份书单整理出来。这份书单中的数学教辅有拔高、有基础，有专题、有全解，有全面、有专项，在此我先做一个简单分类，并简单点评，有些书单中的教辅我删掉了，有些教辅添加了进去，这完全是出于我个人的标准，不是权威选择，有不同意见，大家换喷。（一）全解类教辅《知识清单》《知识清单》是曲一线——五三的出版机构出品，它属于是一本贯穿整个初中数学知识的教辅，适合在中考备考复习初期梳理知识、查漏补缺使用。《中学教材全解》（薛金星）《中学教材全解》（薛金星）算是老牌全解类教辅了，知识点、例题比较全面，难度适中，算是适合大众的全解类教辅。《教材帮》《教材帮》属于是比较全面的一本教材全解类教辅，天星出品，知识点解析、例题以及练习比较均衡，适合大部分学生使用，偏基础。《重难点手册》《重难点手册》来自于王后雄，相较于《中学教材全解》（薛金星）而言，基础知识点的具体解析含量相对较少，重难点知识比较突出，习题量更多，更难一些，比较适合有一定基础，需要拔高的同学。《尖子生学案》《尖子生学案》在知识总结方面，没有什么特别需要说明的，侧重类型题方法的归纳和总结，通过详细解析题型和一题多解、一题多变的训练，题目难度较大。其实全解类教辅基本的体例、结构都差不多，我选择的这五本算是各有特点，比较有代表性——《知识清单》侧重对整个初中数学知识系统总结，作为备考查询知识点；《中学教材全解》（薛金星）属于是老牌教材全解教辅，《教材帮》金星出品，相对年轻些，这两本可以根据个人喜好互换，都属于基础全面性教辅，我个人比较喜欢《教材帮》；《重难点手册》和《尖子生学案》难度就上升了一些，《重难点手册》侧重于对重难点知识的解析、《尖子生学案》侧重于对典型题目的拓展，但是重难点知识的实践应用也需要习题，所以这两本在某种意义上可以互换，都属于拔高性质，适合程度较好，有一定基础的学生，我个人比较喜欢《重难点手册》。（二）同步刷题类教辅《典中点》、《实验班提优训练》、《学霸》这三本我不再写了。之前写的应该很详细了，大家可以看下面这几篇文章。基本上，这三本同步刷题类教辅从基础到拔高（按照我所列举顺序）都覆盖到位，而且适用面很广，这次的推荐我尽量找那些适用面比较广的教辅，地域局限性强的尽量规避。但是，在书单中仍然有很多同步刷题类教辅，我们就挑一些有代表性的依次看一看吧。《初中必刷题》，挺好的，平替《典中点》，但是我更倾向于《一遍过》，我评测过高中的《必刷题》和《一遍过》，结论是《一遍过》更优秀。如果《一遍过》的质量一脉相承的话，我比较推荐《一遍过》替换《典中点》，作为普娃同步刷题教辅的首选。但问题是《一遍过》初中版我没有看过，这就有些尴尬了，如果为了保险还是买《典中点》吧，因为我是真的看过的。说到这里，就要提一个问题给大家思考了。同一类教辅，选哪个版本到底重要吗？现在的教辅行业可以用千篇一律四个字来描述，因为资讯的发达，彼此互相借鉴的现象非常严重，比如同步刷题类教辅，基本上都是按照难度分成三层，甚至题目都差不多，偶尔有一两道题目，这套书比那一套难一点，但其实真的无伤大雅。所以统一类教辅中，大可不必为哪一本更好而纠结，你手头有啥就用啥，没有的话，看看这篇文章中的教辅，买一本就够。《启东作业本》老牌教辅，质量有保证。难度从基础过渡到简单的提升，梯度设置也是合理的，特别适用于提前自学的时候，还有课后的基础巩固。《天府前沿》和《B卷必刷》，这两套教辅，都是只有北师大版，其中《天府前沿》是同步刷题类教辅，难度比《实验班》略微低一些，比《典中点》高一点。其实《天府前沿》大家看名字就知道，这教辅是哪些地区常用的了，《B卷必刷》是一套挺不错的教辅，它不算是典型的同步刷题教辅，因为不是分节安排，而是以每章为单位进行组织。题目难度较高，综合型强，分类较细，是一套不错的逐章同步总结刷题类教辅。初中教辅的地域性很强，有些教辅你看不出来名字，但的确也是地域性比较强的，比如《实验校》，它是哪里的教辅吗？量很足，难度很高，是武汉地区比较常用的教辅。这种教辅，你说好不好，也挺好，综合性挺强，偏压轴，但是分类不是很细，属于量足那类的教辅，不是适合所有地区，所有人。说到这里就要聊一聊武汉了。武汉真是初中教辅高地，有不少优秀的教辅作者，比如明心的刘嘉，比如黄东坡，也有不少本地的教辅系列，比如实验校、名校学典、新观察、勤学早大培优等一系列教辅，比较有难度。在家长圈流传的比较多的就是实验校以及《勤学早大培优》。
难度很高，算是名校培优班常用的基础教辅，比启东略难一点。至于其他武汉教辅，地域性太强，就不再介绍了。与武汉类似的还有上海，也是一票本地教辅，比如《一课一练》、《交大之星》等，在此不再赘述。还有《钱塘甬真重高》，大家看看这名字，就知道是哪里的教辅了吧。在这一节中出现的教辅，如果我们按照难度列一个天梯图，会是什么样呢？《典中点》/《必刷题》<《一遍过》<《实验班》/ 《启东》<《学霸》<《勤学早大培优》，然后附带一本不走寻常路的《B版必刷》。另外需要说明的是，如果学校也发了同步教材，其实基本上是贴着本校学生的大致水平安排的，甚至有时候用的就是上述的教辅，那就没有必要再买了。如果一定要买，就考虑选择难度更高一个层次的。（三）拔高类教辅因为是针对普娃，所以我这里的拔高类教辅将把一些奥数教辅也放进讨论范围。拔高类教辅懒省事的推荐方式就是黄东坡三件套——新思维、新方法以及大视野，难度依次递增。关于新思维，我写过评测。《新思维》的难度大概就是课内顶尖。《新方法》的难度就是课内顶尖、竞赛初步，基本上如果目标是中考，到这里就可以了。《大视野》基本就都是竞赛了，如果是孩子们有竞赛需求，或者是自招需求，高中招生考试包含这方面内容的话，倒是可以看一看，但是吧，还有更好一点的选择，就是小蓝书——《奥林匹克数学教程》。为什么说这套书好？因为它一套八本书，每一本书各有侧重点。竞赛可用，用其中某一本或几本作为专题拔高也可以，比如因式分解技巧、一次函数与二次函数等。书的质量也非常高。几本上对于普娃来说，到这里就足够、足够了，这一类的书当然还有，比如《超级课堂》、《奥精》，其实可以和前面所列互换，不过因为《新思维》网络上流传有刷题课视频，所以更倾向于新思维系列。说到这个刷题啊......算了，改天我们再讲吧。（四）专题类教辅《一题一课》这本书我也是写过的，这套书我其实一开始是放在同步刷题类教辅这一块里，但是想了想，我还是放在了专题教辅中。因为它虽然也是与课本同步，但却不是同步练习的形式，而是以题为纲，每一节都相当于一个小专题。与之类似的还有《优等生数学》，也是类似的结构——一例三练一综合。但是我本人没有使用过，是家长朋友的推荐。《挑战压轴题》巧了，这套我也写过。《平面几何天天练》这个吧，谨慎推荐，黑龙江出的。因为是家长发的，我没有研究过，所以不太敢评论，但是这本书的体例还是不错的，一天一题。为什么我在这里要提一下黑龙江，因为大家普遍认为哈尔滨的平面几何题出的难度比较高，这就涉及到我之前给大家强调过的一件事——中考命题地域性差别很大，在选择教辅的时候，基本的可以通用，但是像压轴题练习这一部分还是以学校老师推荐为主，以本地主流教辅为主。《初中数学千题解》属于专题的习题汇编类教辅，一套四本，看看书名就知道它针对的就是压轴题的练习，量大管饱，解析也比较完善。这是一位数学大牛老师推荐的教辅，课内培优足够了。《爱与恨的初中平面几何》黄东坡的作品，黄东坡真是高产啊。这套也是拔高性质的。《学而思秘籍几何辅助线专项突破》学而思出品，难度和质量都是不错的，一套两本，一本专项突破，一本专项突破练习。《初中数学平面几何30讲》仍然写过评测——《于新华中考数学16讲》题目比较典型到位，就是解析有些少，其他都挺好的。《百题大过关》华东师范大学出版社出品，思路和《挑战压轴题》一致，中考综合复习使用，一套三本，由浅入深，侧重小题，解析详细具体。《万唯中考真题分类卷》万唯也是口碑很好的牌子了，真题分类卷做的是不错的，时效性强，全面，基本上是中考复习必备。三、初中数学学习教辅的搭配原则不仅仅是初中数学教辅，包括高中数学的教辅，搭配原则都是差不多的。（一）同步学习在同步学习的时候，搭配教辅首先要遵循以课内学习为主体，适当补充，高低搭配，专项突破的原则。在初中，本身学校就会配发教辅练习，一般是以同步刷题类教辅为主，之前我也说过，这种教辅其实大差不差，不需要另外再买一本同类型的教辅。而且要知道，学校老师也会自主印发一部分习题，这个也是会有难度的。如果感觉吃不饱，或者觉得课内使用的教辅比较难，那么可以升一档或者降一档，再买一本补充。也不能无脑的再全部刷一遍，太浪费时间，可以有选择的做一部分题目。除此之外，额外购置的话，可以买一本全解类教辅，便于梳理知识点和题型，查漏补缺，构建知识网络；如果这一部分知识是难点，在中考中是典型知识，会有典型题目，比如一元二次函数，那么就需要再买一本专题类的教辅，进行专项突破，这里比较推荐《一题一课》。也就是说，同步学习的教辅搭配是：同步刷题类教辅（一本或两本）+全解类教辅+专题类教辅（根据需要）。（二）中考复习首先要有一本真题分类汇编，中考数学的面相对还是比较窄，通过真题分类汇编，可以快速的查漏补缺，覆盖基础。其次要有专题类教辅，平面几何、函数，主要目标是突破压轴题。（三）能给普娃一套无脑搭配吗？不能！教辅这件事我不建议完全听别人的，因为不同的孩子、不同的地区，特点不同、需求不同、追求也不同，众口难调。但我其实在文章里时时刻刻都在给建议，看到这里的朋友，心里应该都有些数了。四、初中数学学习教辅如何使用？（一）刷题类教辅刷题类教辅不管难易，基本的作用就在于通过刷题巩固基础，查漏补缺，一方面要及时做，跟着课本进度做，一方面要定时做，给自己时间限制。对于刷题过程中呈现出来问题，不会做的题目，过程中的疏漏要及时解决。（二）专题类教辅专题类教辅是为了有针对性的解决某一问题，题目的难度一般比较高，解析过程一般比较详细具体，对于这类题要有选择的做，不要逐题做。一看就会的不要做，有些思路但不确定的上手做，没有思路的可以等等做，做完之后不要弃之不顾，而是要分析总结，实在需要看答案，看过之后要自己尝试着自己做一遍。（三）拓展拔高类教辅比如《新思维》这种拔高类教辅，最适合的是拿出整块时间，找一个心静的时间段，比如周末，结合刷题视频，集中精力猛火乱炖，因为这些题目普遍难度较高，放到每天蜻蜓点水的刷题，既浪费时间，也给孩子徒增压力。五、洋葱学园的作用关于洋葱学园的好处，我不再多少，之前已经写过。洋葱学园可以起到的作用，留痕，详细的知识点解析，有的放矢且步骤清晰的AI练习题，基本上可以起到替代课本的作用，效果可能比只看课本还要好，结合同步刷题教辅，效果会很好。六、结语这篇文章介绍了市面上我个人认为比较好的教辅，对其进行了分类介绍，同时也给出了如何使用的方法，在其中也加入了一些其他方面的内容。这是写给普娃的初中数学学习指南系列中一块重要的拼图，经过多天的努力，终于补上了，希望对大家有用！}

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