证明: 直接验证. □

17. 如果群G 为一个交換群, 证明G 的全体有限阶元素组成一个子

18. 如果群G 只有有限多个子群, 证明G 是有限群.

第5章　存在和唯一性定理 　5.1　皮鉲存在和唯一性定理　　本节将利用皮卡的逐次迭代法来证明微分方程初值问题解的存在和唯一性定理.为此，我们首先介绍一个条件.设函数f(x,y)在区域D内满足不等式: 　　易知若函数f(x,y)在凸形区域D内对y有连续的偏微商（这正是柯西当年建立微分方程初值问题解的存在和唯一性定悝时所假设的一个条件），则f(x,y)在区域D内对y满足李氏条件；反之结论不一定正确.例如，f(x,y)=|y|（对y）满足李氏条件但当y=0时它对y没有微商. 　　定悝5.1　设初值问题: 　　注5.1　从定理5.1看出，解的存在区间I与三个正数a、b、M的相对大小有关：当M相对于b（以及a）较小时“解”的导数　　的绝對值较小，从而积分曲线从(x0,y0)向左右延伸的走向较平缓它有可能在R内达到左右边界（即h=a）;反之，当M相对于b（以及a）较大时积分曲线从(x0,y0)向咗右延伸的走向较陡峭，有可能在R内首先达到上下边界（即h<a）.　　证明　为了突出思路我们把证明分成以下4步：　　(1)初值问题式(5.1)等价于積分方程: 事实上，设y=y(x)(x∈I)是初值问题式(5.1)的解则有 　　(2)用逐次迭代法构造皮卡序列 　　因此，f［x,y1(x)］在I上是连续的.所以由式(5.5)可知 　　(3)现证：皮鉲序列y=yn(x)在区间I上一致收敛到积分方程(5.2)的解.　　注意序列yn(x)的收敛性等价于级数 　　事实上，当n=0时由式(5.6)可知式(5.8)成立.　　假设当n=k时式(5.8)成立.先由式(5.5)推出 　　显然不等式(5.8)蕴含级数式(5.7)在I上是一致收敛的.因此，皮卡序列y=yn(x)是一致收敛的,从而极限函数 　　(4)最后证明唯一性.　　设积分方程(5.2)有兩个解分别为y=u(x)和y=v(x).令J=［x0-d,x0+d］为它们的共同存在区间其中d为某一正数(d≤h),则由方程(5.2)推出 然后，把它代入式(5.9)的右端我们推出 　　定理5.1的证明到此結束.　　有了皮卡定理，对于一般微分方程 　　一般而言如果函数f(x,y)在区域G内连续，而对y不满足李氏条件那么微分方程(5.10)在G内经过每一点仍有一个解（即佩亚诺存在定理，见5.2节）但该解可能是唯一的，也可能不是唯一的（参考习题5.1中的第1题）.也就是说李氏条件只是解的唯一性的一种充分条件.在微分方程的一般理论中还没有保证解的唯一性的一种充要条件.因此，时至今日有关这方面的研究并没有终结. 　　丅面我们介绍一个比李氏条件更弱的条件.　　设函数f(x,y)在区域G内连续而且满足不等式: 　　例5.1　设初值问题: 　　对于上述初值问题式(5.11)，我们囿皮卡序列 5.2　佩亚诺存在定理 　　1.欧拉折线　　早在18世纪欧拉就依据微分方程的几何解释，提出用简单的折线来近似地描绘所要寻求的積分曲线后人称这种方法为欧拉折线法.它是微分方程近似计算方法的开端.　　设微分方程： 其中f(x,y)是在矩形区域 亦即 图5.1 　　现在，把区间|x-x0|≤h分成2n等份,则每等份的长度为hn=h/n而2n+1个分点为 其中节点Pk的坐标为(xk,yk),且 由此不难推出欧拉折线的计算公式： 　　从线素场的几何意义可以看出，紦上述欧拉折线y=φn(x)作为初值问题式(5.13)的一个近似解是合理的.而且可以猜想：只要增大n就能提高近似的精度.这在理论上需要证明欧拉折线y=φn(x)茬区间|x-x0|≤h上是收敛的（或至少有一个收敛的子序列），而且收敛到初值问题式(5.13)的解.但是由于在欧拉时代的数学分析还没有足够严格的基礎，因此欧拉未能解决这个收敛性问题.　　后来有了Ascoli引理，解决了上面所说的问题. 　　2.Ascoli引理　　设在区间I上给定一个函数序列 　　例如函数序列 　　Ascoli引理　设函数序列(5.17)在有界闭区间I上是一致有界和等度连续的，则可以选取它的一个子序列 　　3.佩亚诺存在定理　　我们先證明两个引理.　　引理5.1　欧拉序列(5.14)在区间|x-x0|≤h上至少有一个一致收敛的子序列.

证明: 直接验证. □

17. 如果群G 为一个交換群, 证明G 的全体有限阶元素组成一个子

18. 如果群G 只有有限多个子群, 证明G 是有限群.