由数学模型（比如公式）产生的誤差

由观测得到的观测数据产生的误差。

模型的准确解与应用数值方法求得的解的差

例3： 用Taylor公式计算指数

对于无限小数，计算时只能取有限项位小数引起的误差

1. 浮点数的表示方法

定义 任何一个有限位浮点数均可以表示成

ω=0.α1?α2?…αt?表示尾数，其中

x=0.α1?α2?…αt?×βJ其中尾数第一项

2. 计算机位数与浮点数

一个n位的计算机内浮点数的表示一定是有限的，而且受限于位数所以对于一个出厂的计算機来说，它内部表示的浮点数的尾数尾数 t t t是固定的

表示 β \beta β进位制计数系统的全体浮点数， L L L表示 上溢限 U U ?0.99…×10L时，计算机无法表示这個浮点数（十进制意义）

x的准确值的一个近似值，将近似值与准确值之差称之为近似值 x ? x^* x?的绝对误差

1. 误差为正：强近似；误差为负：弱近似

2.1 定义 由于准确值 x x x可能无法得出，所以我们成误差的绝对值的上界为误差限:

∣e?∣=∣x??x∣≤??→误差限

x?=1235mm而米尺的误差不拆過

把一个数 x x x按四舍五入方法取得近似数的准则是：按照舍入到第几位小数，查看其下一位数小于五则直接舍入；若大于五，舍去此位嘫后前一位进一。

x?的某一位的半个单位则该位到 x ? x^* x?的第一位非零数字一共有 n n n位，就称近似值

如果用四舍五入方法取准确值的前n位作為近似值那么这个近似值就有n位有效数字。

3.2 误差限与有效数字的关系

x?=0.α1?α2?…αn?…×10P如果误差限

则称 x ? x^* x?具有n位有效数字。

定義 近似数的误差和准确值的比值称为近似数的相对误差。

2. 相对误差限的定义

定义 相对误差绝对值的上界称为近似值的相对误差限

3. 相对誤差与有效数字的关系

（2）若近似数 x ? x^* x?的相对误差限满足

那么近似数 x ? x^* x?至少有n位有效数字。

1. 基本四则运算结果的误差限

??(y?x??)=∣y?∣2∣y?∣??(x?)+∣x?∣??(y?)?

这些误差限都可以用定义结合三角不等式得出

2. 基本四则运算结果的相对误差限

x?,y?的相对误差限为

例10： 求例9的数的相对误差限

3. 函数运算后的误差限

f(x)时，误差可用Taylor展开式得到