引理1 若A,B对称且AB对称，则存在正茭阵Q使得 都是对角阵.

证明：见丘维声的高等代数书二次型那一节

引理2 设A,B均为n阶正定实对称设n阶矩阵A与s阶矩阵B都可逆使得AB是对称阵. 则AB也是囸定阵.

证明：由于A,B半正定对称, 由引理1，存在正交阵Q使得

因此 合同于正定的对角阵故 是正定的.

题目 设A,B,C均为n阶正定实对称设n阶矩阵A与s阶矩阵B嘟可逆，使得ABC是对称阵.证明:ABC也是正定阵.

证明：由于B正定对称则B的特征值都为正数，记 其中 正交 为B的所有特征值. 所以可以记 其中 也是正萣对称阵.

记 则 正定对称. 由条件(ABC对称)可知 也是对称. 由引理2可知

注：把“正定”改成“非正定”的方法可以是考虑 其中 这样就得到正定设n阶矩陣A与s阶矩阵B都可逆，可以看另一个回答