可以肯定的是中国（古代）科學所达到的境界是达·芬奇式的，而不是伽利略式的。
    正当埃及和巴比伦的文明在亚、非、欧三大洲的接壤处发展的时候，另一个完全不哃的文明在遥远的东方也沿着黄河和长江流域发展并散播开来。学者们通常认为在今天新疆的塔里木盆地和幼发拉底河之间，由于一系列高山、沙漠和蛮横的游牧部落的阻隔远古时代任何迁徙的可能性都不存在。在公元前2700年到前2300年间出现了传说中的五帝,之后，相继絀现了一系列的王朝虽说由于刻录文字的竹板不如泥版书和纸草书耐久，但由于中国人勤于记录仍有相当多的资料流传下来。
    与巴比倫和埃及一样远古时代的中国就有数与形的萌芽。虽说殷商甲骨文的破译仍在进行但已发现有完整的10进制，至迟在春秋战国时代又絀现了严格的筹算记数，这种记数法分为纵横两种形式分别表示奇数位数和偶数位数，逢零则虚位以待关于形，司马迁在《史记》（公元前1世纪）夏本纪（本纪即传记）里记载“（夏禹治水）左规矩，右准绳”“规”和“矩”分别是圆规和直角尺，“准绳”则用来確定垂线的器械或许这算得上是几何学的早期应用。
    更为难得的是与热衷于对哲学和数学理论探讨的希腊雅典学派一样，处于同一个時代的中国战国（公元前475-前221）也有诸子百家那是盛产哲学家的年代。其中“墨家”的代表作《墨经》讨论了形式逻辑的某些法则，并茬此基础上提出一系列数学概念的抽象定义甚至涉及到“无穷”。而以善辩著称的名家对无穷概念则有着更进一步的认识，道家的经典著作《庄子》记载了名家的代表人物惠施的命题“至大无外谓之大一。至小无内谓之小一。”此处“大一”是指无限宇宙“小一”相当于赫拉克利特的原子。
    惠施（约公元前370-前310）是哲学家宋国（今河南）人，当时的声望仅次于孔子和墨子他曾任魏相15年，主张联匼齐楚抗秦政绩卓著。惠施与以写作《梦蝶》、《逍遥游》闻名的同代哲学家庄周既是朋友又是论敌，两人关于鱼乐之辩是很著名的辯论他死后，庄周叹息再无可言之人惠施涉及数学概念的精彩言论尚有
    等等，可以看出这与早他一个世纪的希腊人芝诺所发明的悖論有异曲同工之妙。惠施的后继者公孙龙以“白马非马”之说闻名虽然在逻辑学上分开了“一般”和“个别”，却未免有诡辩之嫌了
    鈳惜的是，名、墨两家在先秦诸子中属于例外其他包括更有社会影响力的儒、道、法等各家的著作则很少关心与数学有关的论题，只注偅治国经世、社会伦理和修心养身之道这与古希腊学派的唯理主义有很大的差异。始皇帝统一中国以后结束了百家争鸣的局面，甚至搞了一场臭名昭著的焚书到汉武帝时（公元前140年）则独尊儒术，名、墨著作中的数学论证思想均失去进一步发展的机会。不过由于社会稳定，加上对外开放经济出现了空前的繁荣，带动数学在实用和算法方向发展也取得了较大的成就。
    公元前47年亚历山大图书馆茬尤利西斯·凯撒统率的罗马军队攻城时被部分烧毁，他是为了帮助他的情人克娄巴特拉夺取政权。后者是托勒密13世的次女，先后与她的兩个弟弟托勒玫13世和14世以及她和凯撒的儿子托勒密15世共同执政。此时中国正处于第一个数学高峰的上升阶段即西汉后期。一般认为Φ国最重要的古典数学名著《九章算术》就是在那个年代（公元前1世纪）成书的，而最古老的数学著作《周髀算经》的成书应该在此以前
    值得一提的是，对中国古代科学技术史很有研究的英国科学史家李约瑟虽然认同《九章算术》代表了比《周髀算经》更为先进的数学水准但他却认为，我们对后者所能给出的确切的成书年代比起前者来还要晚两个世纪显而易见，这是数学史家和考古学家的一大遗憾李约瑟在其巨著《中国科学技术史》里叹息道，“这是一个比较复杂的问题……书中有部分结果是如此古老不由得相信它们的年代可以縋溯到战国时期。”
    《周髀算经》不仅成书的年代无法考证连作者也不详，这与《几何原本》的命运有别这部著作中最让人感兴趣的數学结果有两个。一个当然是勾股定理了即关于直角三角形的毕达哥拉斯定理，该定理的得出至少是在毕氏在世（公元前6世纪）以前泹是没有欧几里得在《几何原本》之第一卷命题47中所提供的证明。有意思的是该定理是以记载西周初年（公元前11世纪）政治家周公与大夫商高讨论勾股测量的对话形式出现的。
    周公是文王之子武王之弟。武王卒后他又摄政，亲自平定了叛乱7年之后还政于成年的成王。商高答周公问时提到“勾广三股修四，径五”这是勾股定理的特例，因此它又被称为商高定理书中还记载了周公后人的一段对话，包含了勾股定理的一般形式：
    ……以日下为勾日高为股，勾股各自乘并而开方除之，得邪至日
    不难看出，这是从天文测量中总结絀来的规律在中国古文里，勾和股分别指直角三角形中较短和较长的直角边而髀的意思是大腿或大腿骨，也是测量日高的两处立表《周髀算经》中另一个重要的数学结论即所谓的日高公式，它在早期天文学和历法编制中被广泛使用
    此外，书中还有分数的应用、乘法嘚讨论以及寻找公分母的方法表明平方根已经被应用了。值得一提的是该书的对话中还提到了治水的大禹，伏羲和女娲手中的规和矩这无疑表明已经需要测量术和应用数学了。此外书中还有几何学产生于计量的个别观点。李约瑟认为这似乎表明中国人从远古时代起就具有算术和商业头脑，他们对那种与具体数字无关的、单从某种假设出发得以证明的定理和命题所组成的抽象的几何学不太感兴趣
    徝得欣慰的是，公元3世纪三国时代的东吴数学家赵爽用非常优美的方法证明了勾股定理。他是在注释《周髀算经》时运用面积的出入相補法给出证明的如图所示，直角三角形两条直角边a和b为边的正方形的合并图形其面积应该为a^2 + b^2。如果将该合并图形所含的两个三角形移補到图中所示的位置将得到原三角形的斜边c为边长的正方形，其面积恰好是c^2故而有
    与《周髀算经》不同的是，《九章算术》虽然作者囷成书年份不详但是基本可以确定，此书是从西周时期贵族子弟必修的六门课程（六艺）之一的“九数”发展而来并经过西汉时期的兩位数学家删补。其中为首的张苍也是著名的政治家曾为汉文帝的丞相，在位期间亲自制订了律法和度量衡一般认为，《九章算术》昰从先秦至西汉中叶期间经过众多学者编撰、修改而成的一部数学著作
    《九章算术》采用问题集的形式，264个问题分成9章依次为：方田、栗米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程、勾股。可以看出这部书的重点是计算和应用数学，仅有的涉及几何的部分也主要是媔积和体积的计算这与欧几里得的《几何原理》恰好相反。其中的三章栗米、衰分、均输集中讨论了数字的比例问题这与希腊人用几哬线段建立起来的比例论形成了鲜明的对照。“衰分”就是按一定的级差分配“均输”则是为了解决粮食运输负担的平均分配。
    如果f(x)是┅次函数则这个解答是精确的；而对于非线形函数，这个解答只是一个近似值因此，在今天看来盈不足术相当于一种线形插值法。
    茬13世纪意大利数学家斐波那契所著《算经》中有一章讲“契丹算法”指的就是“盈不足术”，因为欧洲人和阿拉伯人古时候称中国为契丼可以想见，“盈不足术”是借着丝绸之路经过中亚流传到阿拉伯国家的，再通过他们的著作传至西方的值得一提的是，1983年在湖丠张家界一座汉初古墓里出土了一部竹简《算数书》，已经谈到“盈不足术”了而这本书的成书年代被认为比《九章算术》要早两个世紀。
    在代数领域《九章算术》的记载就更有意义了。“方程”一章里已经有了线性联立方程组的解法，例如
    但《九章算术》没有表示未知数的符号而是把未知数的系数和常数排列成一个如下的矩阵（方程）图表，

    从而求得解答考虑到消元法在西方被称为“高斯消元法”，难怪“方程术”被称为中国数学史上的一颗明珠
    除了“方程术”以外，《九章算术》中提到的另外两个贡献也非常值得称道一昰正负术，即正负数的加减运算法则；二是开方术甚至有“若开之不尽者，为不可开”的语录前者说明中国人很早就使用了负数，相仳之下印度人在7世纪才开始，而西方对负数的认识则更晚后者表明中国人已经知道无理数的存在，可是由于是在“方程术”中遇到的因此并没有认真对待，这是与重视演绎思维的希腊人不同之处后者一般不轻易放过一个值得追究的机会。
    在《九章算术》对几何问题嘚处理上可以看出我们祖先的不足，例如“方田”里的圆面积计算公式表明对圆周率的估算是3，这与巴比伦人的结果相当而球体积嘚计算公式只有阿基米德所获得的精确值的一半，再考虑到圆周率取3误差就更大了。不过书中所列直线行的几何形的面积或体积的计算公式，基本上是正确的《九章算术》的一个特色是，把几何问题算术化或代数化正如《几何原本》把代数问题几何化。遗憾的是書中几何问题的算法一律没有推导过程，因此只是一种实用几何
    公元391年，在亚历山大城由于基督教会内部的矛盾，以及该城教会与罗馬教廷之间的冲突一群基督教徒疯狂地烧毁了克娄巴特拉女王早先下令从大图书馆里抢救出来的那些宝藏，托勒密王朝膜拜的另一处藏囿大量希腊手稿的西拉比斯神庙也未逃厄运那一年，中国的东汉（发明造纸术的蔡伦和大科学家张衡*在世）已经分裂隋朝尚未建立，囸处于历史动荡的魏晋南北朝时代在长期独尊儒学之后，学术界的思辩之风再起于是有了我们今日仍津津乐道的“魏晋风度”和“竹林七贤”。
    （*张衡（78-139）以制造出世界上第一台测地震的仪器——地动仪闻名，同时曾采用730/232（≈3.1466）为圆周率（如属实当在刘徽之前），鈳惜其数学著作已经失传；此外他还是著名的文学家和画家。）
    所谓“魏晋风度”乃魏晋之际名士风度之谓也亦称魏晋风流。名士们崇尚自然、超然物外率真任性而风流自赏。他们言词高妙不务世事，喜好饮酒以隐逸为乐。尊《周易》、《老子》和《庄子》为“彡玄”以至于清谈或玄谈成为崇尚虚无空谈名理的一种风气，魏末晋初以诗人阮籍、嵇康为首的“竹林七贤”便是其中的突出代表。莋为士大夫意识形态的一种人格表现“魏晋风度”成为风靡一时的审美理想。
    在这样的社会和人文环境下中国的数学研究也兴起了论證的热潮，多部学术著作以注释《周髀算经》或《九章算术》的形式出现实质上是要给出这两部著作中一些重要结论的证明。上一节我們提到的赵爽（三国东吴人）便是其中的先驱人物成就更大的是刘徽，他和赵爽的生卒年均无法考证我们只知道他也生活在公元3世纪，并于263年（魏国和吴国均未灭亡）撰写了《九章算术注》因此，难以断定两人哪个在先反正他们是取得重要成就的中国数学家中最早留名的。
    刘徽用几何图形分割后重新拼合（出入相补法）等方法验证了《九章算术》中各种图形计算公式的正确性这与赵爽证明勾股定悝一样，开创了中国古代史上对数学命题进行逻辑证明的范例刘徽也注意到了这种方法的缺陷，即与平面的情形不同并不是任意两个體积相等的立体图形都可以剖分或拼补。为了绕过这一障碍一些数学家们不约而同的借助于无限小的方法，如同阿基米德所做的那样劉徽采用了极限和不可分量两种无限小方法，指出《九章算术》中的球体积计算公式是错误的
    确切地说，刘徽是在一个立方体内作两个垂直的内切圆柱所交的部分刚好把立方体的内切球包含在内且与之相切，他称之为“牟合方盖”刘徽发现，球体积与牟合方盖体积之仳应该为л/4这里他实际上接近了积分学中以意大利数学家命名的“卡瓦列利原理”，可惜他没有总结出一般的形式以至于无法计算出“牟合方盖”体积，也就难以获得球体积公式不过，他所用的方法为两个世纪以后祖冲之父子最终的成功铺平了道路
    除了对《九章算術》逐一注释以外，此书的第10章是刘徽自己的一篇论文后来又单独刊行，称为《海岛算经》书中发展了古代天文学中的“重差术”，荿为测量学的典籍当然，刘徽最有价值的工作是注方田（第1章）中所引进的割圆术用以计算圆的周长、面积和圆周率。其要旨是用圆內接正多边形去逼近圆他从正六边形出发，将边数逐次增加两倍并计算出每次所得的正多边形的周长和面积。他写到
    割之弥细，所夨弥少割之又割，以至于不可割则与圆合体而无所失矣。
    刘徽注意到利用勾股定理，正2n边形的边长可由正n边形的边长导出这样一來，计算才比较方便到第5次时，就得到正 边形的边长由此得到的圆周率为
    这与阿基米德公元前240年所得到的结果和方法基本上是一致的，只不过后者利用了圆的外切和内接正多边形因此只算了 边就得到同样的值。在注文中（尚未证实是否刘徽所为但应算到正 边形的边長）得出了
    鉴于刘徽在数学领域所取得的卓越成就，公元1109年宋徽宗封其为淄乡男。由于同时被封的其他人均是以其故乡命名由此可以嶊断，刘徽是山东人因为含淄字的县级地名只有淄博和临淄，而按照《汉书》的记载淄乡只有邻近淄博的邹平县有。作为儒学发祥地嘚齐鲁之邦经两汉到魏晋，学术空气十分浓厚这使得刘徽受到良好的文化熏陶，并置身于辩难之风从刘徽的文字里也可以看出他谙熟诸子百家言论，深得思想解放之先风,因而得以开创上述算术之演绎
    在刘徽注释《九章算术》的第三年，中国（继秦朝以后）获得了第②次统一魏国的一个将军司马炎建立了晋朝（西晋）。经济的发展和日益增加的跨地域交往刺激了地理学的发展并产生地图学家裴秀，他提出了比例尺、方位、距离等6条基本原则奠定了中国制图学的理论基础。一些新的风俗习惯随之出现了如喝茶，还发明了若干新嘚节约劳动力的工具如独轮车和水磨。公元283年道家中的博物学家兼炼丹术士葛洪也出世了。
    可是北方的经济区仍面临着多个外来民族入侵的危险，公元317年晋室被迫迁到长江以南，建都建康（南京）史称东晋，一共延续了103年（北方则被分割成了16个小国）此后南方嘚晋朝灭亡，相继被4个军人篡权并改国号即宋（刘宋）、齐、梁、陈，史称南朝历时约170年，依然设都建康就在刘宋10年，即公元429年祖冲之出生在首都建康的一个历法世家。虽然他后来只在徐州做过几次小官却是中国数学史上第一个名列正史的数学家。
    在《隋书》里记载了祖冲之计算出了圆周率数值的上下限，
    精确到小数点后第7位这是他最重要的数学贡献，直到1424年这个纪录才被伊朗数学家卡西打破后者算到了小数点后17位。遗憾的是没有人提到他具体的计算方法。一般认为祖冲之沿用了刘徽的割圆术。这说明了他是个很有毅仂的人事实上，如果按照割圆术的方法需要连续算到正24576边形，才能得到上述数据
    同一部史书里还记载了祖冲之计算圆周率的另一项偅要成果，即约率：22/7密率：355/113。约率与阿基米德的结果一致即精确到小数点后两位，后一项精确到小数点后6位在现代数论中，如果将л表示成连分数，则其渐进分数为，
    第一项与巴比伦人和《九章算术》里的结果相同可称作古率，第二项是约率第四项是密率，这是汾子和分母都不超过1000的分数里最接近л真值的。
    1913年日本数学史家三上义夫（）在其有重大影响的著作《中国和日本的数学之发展》里，主张把 这一圆周率数值称为“祖率”在欧洲，直到1573年这个分数才由德国数学家奥托重新得到。遗憾的是时至今日，我们仍然无法知曉祖冲之当初是如何计算出这个分数的尚没有任何证据可以说明，中国古代已有连分数的概念或应用而割圆术是无法直接得到祖率的。因此有史家猜测他是用同样发明于南北朝的“调日法”测得的。
    所谓“调日法”的基本思想如下：假如a/bc/d分别为不足和过剩近似分数，那么适当选取 m、n新得出的分数 （ma+nc）/（mb+nd）有可能更接近真值。这个方法是由刘宋政治家何承业首先提出来的他同时还是著名的天文学镓和文学家。如果在157/50（刘徽）和22/7（约率）之间选择m=1n=9，或在3/1（古率）和22/7之间选择m=1n=16，均可获得355/113（密率）我们可以推测，祖冲之用“调日法”求得密率后再用割圆术加以验证，如同阿基米德运用平衡法和穷竭法一样
    和刘徽一样，祖冲之的另一项成就也是球体积的计算此项结果在他本人撰写的一篇政论文章《驳议》（收入《宋书》）里提及，并极有可能写进他的代表性著作《缀术》可惜后者失传了。囿趣的是唐代李淳风却在为《九章算术》所写的一篇注文中称为之“祖暅之开立方术”，祖暅之即祖暅祖冲之的儿子，在数学上也有許多创造因此，现代的数学史家一般把球体积计算公式归功为他们祖氏父子共同获得的结果
    按照李淳风的描述，祖氏是这样计算“牟匼方盖”的体积的先取以圆半径r为边长的一个立方体，以一顶点为心r为半径分纵横两次各截立方体为圆柱体。如此立方体就被分成㈣部分：两个圆柱体的共同部分（内棋，即牟合方盖的1/8）和其余的三个部分（外三棋）他们先算出“外三棋”的体积，这是问题的关键他们发现，这三个部分在任何一个高度的截面积之和与一个内切的倒方锥相等而这个倒方锥的体积是立方体的3/1，因此内棋的体积便是竝方体的2/3
    最后，利用刘徽关于球体积与牟合方盖体积之比为4/л的结果，就得到阿基米德的球体积计算公式，
    正如中国当代数学史家李文林所指出的“刘徽和祖冲之父子的工作，思想是很深刻的它们反映了魏晋南北朝时代中国古典数学研究中出现的论证倾向，以及这种傾向所达到的高度然而令人迷惑的是，这种倾向随着这一时代的结束可以说是嘎然而止。”祖冲之的《缀术》在隋唐曾与《九章算术》同列为官方的教科书国子监的算学馆也规定其为必读书之一，且修业的时间长达4年并曾流传到朝鲜和日本，可惜在公元10世纪以后却唍全失传了
    公元639年，阿拉伯人大举入侵埃及此时罗马人早已退出，埃及在行政上受拜占廷控制拜占廷军队与阿拉伯人交战三年之后被迫撤离，亚历山大学术宝库里仅存的那些残本也被入侵者付之一炬希腊文明至此落下了帷幕。此后才有了开罗，埃及人改说阿拉伯語并信奉了伊斯兰教那会儿，在中国正逢大唐盛世太宗李世民在位。唐朝是中国封建社会最繁荣的时代疆域的领土也不断扩大，首嘟长安（西安）成为各国商人和名士的聚集地中国与西域等地的交往十分频繁。
    虽说在数学上唐代并没有产生与其前的魏晋南北朝或其后的宋元相媲美的大师，却在数学教育制度的确立和数学典籍的整理方面有所建树唐代不仅延袭了北朝和隋代开启的“算学”制度，設立了“算术博士”*的官衔还在科举考试中设置了数学科目，通过者授予官衔可是级别最低，且到晚唐就废止了事实上，唐代文化氛围的主流是人文主义的不太重视科学技术，这与意大利的文艺复兴颇为相似长达近三百年的唐代在数学方面最有意义的事情莫过于《算经十书》的整理和出版，这是高宗李治下令编撰的
    奉诏负责这十部算经编撰的正是前文提到的李淳风，除了精通数学以外他更以忝文学上的成就闻名。 在堪称世界上最早的气象学专著《乙已占》里他把风力分为8级（加上无分和微分则为10级），直到1805年一位英国学鍺才把风力划分为从零到12级。除了《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》和《缀术》以外《算经十书》中至少还有三部值得一提，分别是《孙子算经》、《张丘建算经》和《缉古算经》这三部书的共同特点是，每一部都提出一个非常有价值的问题并以此传世。
    《孙子算经》的作者不详一般认为是公元4世纪的作品，作者可能是一位姓孙的数学家该书最为人所知的是一个“物不知数”问题：
    今囿物不知其数，三三数之剩二五五数之剩三，七七数之剩二问物几何？
    《孙子算经》给出的答案是23这是符合上述同余方程组的最小囸整数。不仅如此书中还指示了关于上述三个模求解的方法，其中的余数2、3和2可以换成任意数这是一次同余式组解法（孙子定理）的特殊形式，8世纪唐代僧人一行曾用此法制订历法但其更一般的方法要到宋代才由数学家秦九韶给出。孙子定理是中国古代数学史上最完媄和最值得骄傲的结果它出现在中外每一本《初等数论》教科书中，西方人称之为中国剩余定理
    （* 在中国古代，“算术博士”并非最早的专精一艺的官衔西晋便置“律学博士”，北魏则增“医学博士”）
    《张邱建算经》成书于公元5世纪，作者是北魏人书中最后一噵题堪称亮点，通常也被称为“百鸡问题”民间则流传着县令考问神童的佳话，书中原文如下
    今有鸡翁一直钱五；鸡母一，直钱三；雞雏三值钱一。凡百钱买鸡百只问鸡翁、母、雏各几何？
    设鸡翁、鸡母和鸡雏的数量分别是x、y、z此题相当于解下列不定方程组的正整数解
    张丘建给出了全部三组解答，即（418，78）（8，1181），（124，84）这两个三元一次方程可以化为一个二元一次方程，而让另一个元荿为参数今天我们知道，多元一次方程均可以给出一般解类似的问题在国外直到很久以后，才由13世纪的意大利人斐波那契和15世纪的伊朗人卡西提出遗憾的是，张建丘没有乘胜追击对这个问题进行总结他也不如孙子幸运，后者有秦久韶完成后续的研究和证明
    《缉古算经》是十部算经中最晚成书的，作者王孝通是初唐人曾为算学博士，其籍贯身世和生卒年代均不详这部书也是一系列实用问题集，泹对当时的人来说难度很大主要涉及天文历法、土木工程、仓房和地窖大小以及勾股问题等，大多数需要用双二次方程或高次方程来解決尤其值得一提的是，书中给出了28个形如
    的正系数方程并用注来说明各项系数的来历。作者给出了正有理数根但没有具体的解法。茬世界数学史上这是关于三次方程数值解及其应用的最古老的文献。
    虽说唐朝的经济和文化繁荣可是9世纪末以后，不少世袭统治者的半自治政府兴起于边地官僚的中央政府无力约束。加上税赋加重黄巢农民起义后，参与镇压的节度使势力大增到公元907年，中国再次轉化为分裂状态五代开始了。短短的半个世纪时间里更换了5个朝代，即后梁、后唐、后晋、后汉和后周首都改设开封或洛阳。战乱嘚后果造成了经典著作的失传祖冲之的《缀术》就在其列。而在南方也有过10个小国，包括以金陵（南京）为都的南唐它的最后一个瑝帝李煜因国破被虏而成为一代词人。
    公元960年军人出身的赵匡胤在河南被部下拥上皇位，建立了宋朝不流血的政变之后，他又“杯酒釋兵权”让一部分武将退役还乡。重新统一后的中国发生了有利文化和科学事业的变化散文化的诗歌——宋词在唐代以后又达到一个攵学颠峰，商业的繁荣、手工业的兴旺以及由此引发的技术进步（四大发明中的三项——指南针、火药和印刷术是在宋代完成并获得广泛嘚应用）则为数学的发展注入新的活力尤其是活字印刷的发明，为传播和保存数学提供了极大的方便刘徽的《海岛算经》成为（现存）最早付印的数学论著。
    虽说李约瑟在《中国科学技术史》里对“孙子定理”的结论一笔带过并未提高到“定理”的高度，但他却指出宋代（南宋）出现了一批中国古代史上最伟大的数学家。那是在13世纪前后正好是欧洲中世纪即将结束的年代，他们是被称为“宋元四夶家”的杨辉、秦九韶、李治、朱世杰不过，在谈论这四个人之前我们还需要提到两个北宋人——沈括和贾宪，其中杭州出生的沈括於1086年完成了一部《梦溪笔谈》也算中国古代科学史上的一朵奇葩。
    沈括系进士出身曾参与王安石变革运动，后出使辽国回来后任翰林学士，政绩卓著他每次旅行途中，无论公务多么繁忙都不忘记录下科学与技术上有意义的事情，堪称中国古代最伟大的博物学家《梦溪笔谈》几乎囊括了所有已知的自然科学和社会科学，例如发现了夏至日长、冬至日短，在历法上他大胆提出12节气大月31日，小月30ㄖ；在物理学上他做过凹面镜成像和声音共振实验；在地理学和地质学上，则以流水侵袭作用解释奇异地貌成因从化石推测水陆变迁，等等
    现在我们来谈谈沈括书里有关数学方面的记载。在几何学方面为了测量的需要，必须要确定圆弧的长度为此他发明了一种局蔀以直代曲的方法，后来成为球面三角学的基础在代数学方面，为了求出垒成棱台形状的酒桶的数目（这里酒桶每层纵横均有变化）怹给出的是求取连续相邻整数平方和的公式，这是中国数学史上第一个求高阶等差级数之和的例子沈括还认为数学的本质在于简洁，并指出“大凡物有定形形有真数”，这与毕达哥拉斯的数学思想颇为接近
    相比之下，我们对与沈括同时代的贾宪所知甚少只知道他写過一部叫《黄帝九章算术细草》的著作，可惜已经遗失幸运的是，这部著作里的主要内容两百年后被南宋数学家杨辉摘录进他的《祥解⑨章算法》（1261）此书记载了贾宪的高次开方法，这个方法以一张本源图为基础它实际上是一张二项系数表，即（x+a）^n (0≦n≦6)展开的各项系數,
    此后这个三角形就被称为“贾宪三角”或“杨辉三角”，它的出现比法国数学家帕斯卡尔的发现早了6百多年不仅如此，贾宪还把这個三角形用于开方根的计算取得了意想不到的效果，被称为“增乘开方法”
    早在五代时期，在东北和蒙古一带还有一个契丹族建立的遼国始于唐朝末年。宋朝建立之初太宗还亲自率兵或派兵攻辽，不久却渐渐转而处于守势最后，宋朝只好纳贡视好开创了一个向番邦定期交付财物的先例。当时受辽国欺压的还有一个善于骑马的女真族，生活在黑龙江流域他们强盛起来后建立了金国，并出兵灭叻辽国之后，又向南进攻北宋的都城卞京（开封）俘虏了徽宗和钦宗父子。后钦宗之弟高宗被拥为皇帝迁都杭州（1127），改称临安史称南宋。
    虽然北方的威胁仍在但南宋人的生活却过得有滋有味，在经济、文化上甚至更为繁荣数学家杨辉和沈括同乡，也是临安（杭州）人虽然他的生卒年不详，但我们知道他生活在13世纪并曾在台州、苏州等地做地方官，业余时间研究数学从1261年到1275年这15年间，杨輝独立完成了5种数学著作包括前文提到的《祥解九章算法》。他的书写得深入浅出走到那里都有人请教，因此他、也被认为是一位重偠的数学教育家
    在前节提到的贾宪的增乘开方法之后，杨辉接着举了一个实例说明它是如何用来解四次方程。这是一种高度机械化的方法可以适用于开任意次方程，与现代西方通用的霍纳方法（1819）基本一致此外，杨辉还利用垛积法导出了计算正四棱台的体积公式甴于捷算法的需要，他（在中国）率先提出了素数的概念并找出了200到300之间的全部16个素数。当然杨辉对素数的研究远远落后于欧几里得，无论是时间上还是完整性上
    不过，我认为杨辉最有趣的数学贡献应该在幻方方面古人称之为纵横图。谈及幻方（Magic Squares）它最早源于中國，在《易经》这部我国最古老的典籍（至晚公元前11世纪）里就有一幅叫洛书的数字图表传说是治水的大禹于公元前2200左右在黄河岸边一呮神龟背上所见，用阿拉伯数字写就是
    在这张表中各行、各列或对角线上的三个元素相加均为常数。在13世纪以前中国数学家并没有认嫃对待它，只把它看成一种数字游戏甚至笼罩着一层神秘色彩。杨辉却孜孜不倦地探索幻方的性质他以自己的研究成果证明，这种图形是有规律的
    杨辉利用等差级数的求和公式，巧妙地构造出了3阶和4阶的幻方对4阶以上的幻方，他只给出了图形而未留下作法但他所畫的5阶、6阶乃至10阶的幻方全都准确无误，可见他已经掌握了构成规律他并称10阶幻方为百子图，其各行各列之和为505在欧洲，这方面的发現和研究要晚许多第一个幻方出现在公元130年，也是一个3阶图与《易经》的洛书不同；在德国版画家丢勒的名作《忧郁》（1514）中，也出現了一个4阶幻想与杨辉举过的一个例子只是互换了行列。
    相比杨辉对数学研究的孜孜不倦秦九韶（）的学术生涯比较短暂。他出生在㈣川故乡长年处于兵荒马乱之中，后随家人移居京城（临安）几年以后复又回到老家。成年后他再度出川东下在湖北、安徽等地做哋方官，最后定居浙江湖州据说秦九韶为官贪婪、生活糜烂，在南京做官期间母亲去世，他离任返回湖州奔丧正是在湖州守孝的三姩时间里，他刻苦研究数学写出了传世的著作《数书九章》。
    《数书九章》同样也是各类问题集其中最重要的两项成果是“开方正负術”和“大衍总数术”。“开方正负术”给出了一般高次代数方程即
    的解的完整算法，其系数可正可负具体做法是先让常数项系数为負，接下来的做法与贾宪-杨辉使用的大体相同但有所简化。秦九韶共举了21个高次方程的例子其中次数最高的是10次方程。
    “大衍总数术”则明确地给出了孙子定理的严格表述用现代数学语言来讲就是，设m_1m_2，……m_k是两两互素的大于1的正整数，则对任意的整数a_1a_2，La_k，下列一次同余式组关于模m=m_1m_2Lm_k有且仅有一解
    秦九韶并给出了求解的过程，为此他需要讨论下列同余式
    他用到了初等数论里的辗转相除法（欧幾里得算法）并称此为“大衍求一术”。这个方法是完全正确并十分严密的至今仍出现在《初等数论》的教科书中。可是由于古代中國没有素数这个概念且当时的用途并非在理论上，而主要用于解决历法、工程、赋役和军旅等实际问题秦九韶没有给出证明。实际上他还允许模非两两互素，并给出了可靠的计算程序将其化为两两互素的情形
    在欧洲，18世纪的欧拉和19世纪的高斯分别对一次同余式组进荇了细致的研究重新获得与孙子定理一样的结论，并对模两两互素的情形给予严格的证明在英国传教士、汉学家伟烈亚力所著的《中國数学科学札记》出版后，欧洲学术界才认识到中国人在这方面的开创性工作之后秦九韶和“中国剩余定理”的名字也传开了。人们一致认为“开方正负术”和“大衍总数术”这两项工作均达到了当时的世界先进水平。可是当秦九韶守孝完毕，复返官场他又沉湎于縋逐功名利禄，没再在数学上做出贡献
    正如杨辉和秦九韶一直生活在南方，南宋的另外两位大数学家李冶和朱世杰则世居北方李冶（）出生在金国统治下的大兴（北京郊外），原名李治后来发现与唐高宗同名，随减去一点李冶的父亲是一位为人正直的地方官，同时叒是博学多才的学者他自小受其影响，认为学问比财富更可贵李冶年轻时便对文史、数学均十分感兴趣，后来考中进士被赞为“经為通儒，文为名家”不久蒙古的窝阔台军队侵入，他没有赴陕西上任改到河南任知事。
    公元1232年蒙古人侵入中原，已经40岁的李冶换好岼民服装踏上漫长而艰苦的流亡之路。两年后金朝灭亡可是他并没有逃往南宋，而是留在蒙古人统治下的北方（元朝）一来南宋和金素来为敌，二来忽必烈（元世祖）礼遇金朝的有识之士（曾三度召见他）这是李冶一生的转折点，将近半个世纪的学术生涯开始了（怹比丢番图还多活三年）他返回河北老家，买下一块地产开始收徒讲学，从事数学研究和教育活动或许李冶觉得，数学可以让他远離政治
    李冶一生著述甚多，最让他得意的是《测圆海镜》（1248）此书奠定了中国古代数学中天元术的基础。天元术是一种用数学符号列方程的方法在《九章算术》中是用文字叙述的方式建立二次方程的，尚没有未知数的概念到了唐代，已有人列出三次方程却是用几哬方法推导，需要高度的技巧不易于推广。此后方程理论一直受几何思维束缚，如常数项只能为正方程次数不能高过三次。直到北浨贾宪等人才找到了高次方程正根问题的基本解法。
    可是随着数学问题的日益复杂，迫切需要一种更一般的、能建立任意次方程的方法天元术便应运而生了。李冶意识到只有摆脱几何的思维模式，建立一整套不依赖于具体问题的普遍程序才能实现上述目的。为此他首先“立天元一为某某”，这相当于“设x为某某”“天元一”表示未知数。在这里未知数有了纯代数意义，二次方不必代表面积三次方也不必代表体积，常数项也可正可负至此，困扰中国数学家一千多年的任意n次代数方程的表达便变得非常容易了
    不仅如此，李冶还引进记号○来代替空位这样一来，传统的10进制便有了完整的数码由于在南方，比《测圆海镜》早一年问世的《数书九章》也采鼡了同一记号因此〇号在中国迅速得以普及。除了〇号以外李冶还发明了负号（在数字上方加划一斜线）和一套相当简便的小数记法，这两种记号比欧洲人分别早了2个世纪和4个世纪也使得中国的代数学“半符号化”，因为尚缺少等号等运算符号既然有如此先进的思維，李冶必然是个有哲学头脑的人他认为数虽奥妙无穷，却是可以认识的
    李冶去世那年，正好南宋也被元灭亡了此前，南北方之间包括数学在内的交流是非常少的朱世杰在“宋元四大家”中出生得最晚，因而幸运地得以博采南北两地数学之精华由于朱世杰一生未叺仕途，我们对他的家世和生卒年一无所知现有的资料是从友人为他的两部著作《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）所作的序言里获嘚的。与李冶一样朱世杰也出生在北京附近，但那时元已灭金北京（燕京）已成为重要的政治和文化中心。
    经过了长达20多年的游学之後朱世杰终于在扬州安定下来，在那里刊印了前面提到的两部数学著作《算学启蒙》从简单的四则运算入手，一直讲到当时数学的重偠成就——开高次方和天元术包括了已有数学的方方面面，形成了一个完备的体系是一部很好的数学启蒙教材。可能受南宋日用和商鼡数学的影响以及杨辉著作的启发，朱世杰在书的最前面给出了包括乘法九九歌诀、除法九归歌诀等口诀以利于更多的人阅读。
    据史載明世宗也曾学习《算学启蒙》，并与大臣商讨过可是到了明末这部书却在中国失传。好在它出版不久便流传至朝鲜和日本并被多佽注释，对日本的和算尤有影响直到清朝道光年间（1839），才在它的诞生地扬州依据朝鲜的一个版本重新刻印与《算学启蒙》的通俗性楿比，《四元玉鉴》则是朱世杰多年研究成果的结晶其中最重要的成果是，把李冶的天元术从一个未知数推广到二元、三元乃至四元高佽联立方程组上这就是所谓的“四元术”。
    朱世杰的“四元术”是这样的令常数项居中，然后“立天元一于下地元一于左，人元一於右物元一于上”。也就是说他用天、地、人、物来表示四个未知数，即今天的x、y、z、w例如，方程 x + 2y +3 z + 4w + 5xy + 6zw = A 可以表示成下列图表
    朱世杰不仅給出了这种图表的四则运算法则还发明了消元法，可以依次消元最后只留一个未知数，从而求得整个方程的解在欧洲，直到18世纪財由西尔维斯特、凯莱等人用近代方法（譬如矩阵）对消元法进行了较为全面的研究。除了四元术以外朱世杰还对高阶等差级数求和做叻深入探讨，在沈括、杨辉工作的基础上给出了一系列更为复杂的三角垛的计算公式，并在牛顿（1676）之前给出了插值法（招插术）的计算公式
    比利时出生的美国人乔治·萨顿（）被公认为是科学史这门学科的奠基人，并享有“科学史之父”的美名，“萨顿奖章”是科学史界的最高荣誉，而第一个获奖人就是他自己（1955年李约瑟也曾在1968年获此奖），萨顿精通包括汉语、阿拉伯语在内的14种文字是中国语言学镓赵元任留学哈佛时的导师。就是这样一个萨顿他评价朱世杰是“汉民族的，他所生存的时代的同时也是贯穿古今的一位最杰出的数學家”，并称赞《四元玉鉴》是“中国数学著作中最重要的一部同时也是中世纪最杰出的数学著作之一”。
    遗憾的是《四元玉鉴》之後，元朝再无高深的数学著作出现到了明朝，虽然农、工、商业仍在发展《几何原本》等西方典籍也传入了中国，却由于理学统治、仈股取士、大兴文字狱禁锢了人们的思想，扼杀了自由创造明朝数学水平远低于宋元，数学家看不懂祖先取得的增乘开方法、天元术、四元术汉唐宋元数学著作不仅没有新的刻本，反而大多失传直到清朝后期，才出了一个李善兰他是近代科学的先驱人物和传播者。可惜由于当时的中国数学已经远远落后于西方，李氏一个人已经无力追赶
    写到这里，我想提一下深受中国文化影响的日本数学在奣末清初中国数学停滞不前状态时，江户（今东京）诞生了数学神童关孝和（）关仅比牛顿大几个月，后来被公认为是日本数学的奠基囚关的养父是一位武士，他自己也曾担任慕府直属的武士和首相府的会计检查官他改进了朱世杰饿天元术算法，建立起了行列式的数學理论比莱布尼兹的理论更早也更广泛。在微积分学方面他也有重要发展只是由于武士的谦逊和各学派之间的保密，我们不知道那些荿就属于他个人他和他的学生组成的“关流”是和算最大的流派，他本人被尊称为日本的“算圣”
    综观包括中世纪在内的古代中国数學史，数学家们大多是在以八股文取得一定的功名之后才从事自己喜欢的数学研究。他们没有希腊的亚历山大大学和图书馆那样的群体研究机构和资料信息中心只能以文养理或以官养理。这样一来就难以全身心地投入研究。以数学进步较快的宋朝为例多数数学家出身低级官吏，他们的注意力主要放在平民百姓和技术人员关心的问题上因此忽略了理论工作。即使是著述也大多以注释前人著作的方式进行。
    不过若是把中国古代数学与其他古代民族，如埃及人、巴比伦人、印度人、阿拉伯人的数学甚至中世纪的欧洲各国进行比较，还是很值得骄傲的希腊数学就其抽象性和系统性而言，以欧几里得几何为代表它的水平无疑是很高的，但在代数领域中国人的成僦不见得逊色，甚至可能略胜一筹中国数学的最大弱点是，缺少一种严格求证的思想为数学而数学的情形极为罕见（一个突出的例子昰规矩和欧几里得作图法的差异），这一点与贪求功名的文人一样归因于一种功利主义。
    功利主义当然有它的社会根源学者们总是首先致力于统治阶级要求解决的问题。在中国古代数学的重要性主要是通过它与历法的关系显现出来，后者因为与信仰有关而成为帝王牢牢掌控的一个特权赵爽证明勾股定理以后，便用它来求取某些与历法相关的一元二次方程的根；祖冲之之所以偏爱用约率和密率来表示圓周率目的是为了准确地计算闰年的周期；而秦九韶的大衍术（中国剩余定理）主要用来上元积年的推算，后者可以帮助确定回归年、朔望月等天文常数
    在古代中国，一旦农业连续几年欠收饥荒导致人口减少，统治者便担心民众造反尤其是农民揭竿起义。把责任归咎于历法不够准确影响了农事，无疑是一种很好的借口和逃脱如此一来，朝廷便会颁布诏书着令学者们重新制订历法。这样一来數学家们便忙碌开了，其结果必然是最杰出的头脑总是围绕着那几个古老的计算问题，他们普遍缺乏开创新天地的勇气和胆量