已知函数fx是定义域为r的偶函数（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=x²-3x，则当x＜0时，f（x）=

点击联系发帖人 时间：2020-09-20 11:09

已知函数fx是定义域为r的偶函数

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已知f（x）是定义域为R的偶函数当x≥0时，f（x）=x²-4x那么，不等式f（x+2）＜5的解集是______．

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由偶函数性质得：f（|x+2|）=f（x+2）则f（x+2）＜5可变为f（|x+2|）＜5，代入已知表达式可表示出不等式先解出|x+2|的范围，再求x范围即可．

函数单调性的性质；一元二次不等式的解法．

本题考查函数的奇偶性、一元二次不等式的解法借助偶函數性质把不等式具体化是解决本题的关键．

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已知函数y=f（x）是定义域为R的偶函數当x≥0时，f（x）=若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根则实数a的取值范围是．

【考点】函数的零点与方程根的关系；函數奇偶性的性质；根的存在性及根的个数判断．

【专题】函数的性质及应用；不等式的解法及应用．

【分析】求出f（x）的单调性，以及极徝和值域可得要使关于x的方程[f（x）]2+af（x）+=0，a∈R有且仅有8个不同实数根，转化为t2+at+=0的两根均在（﹣1﹣），由二次方程实根的分布列出不等式组，解得即可．

【解答】当0≤x≤2时y=﹣x2递减，当x＞2时y=﹣（）x﹣递增，

由于函数y=f（x）是定义域为R的偶函数

则f（x）在（﹣∞，﹣2）和（02）上递减，在（﹣20）和（2，+∞）上递增

当x=0时，函数取得极大值0；

当x=±2时取得极小值﹣1．

当x＞2时，y=﹣（）x﹣∈[﹣1﹣）

有且仅有8個不同实数根，

设t=f（x）则t2+at+=0的两根均在（﹣1，﹣）．

即有实数a的取值范围是（）．

【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的运用，主偠考查方程与函数的零点的关系掌握二次方程实根的分别是解题的关键，属于中档题．

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定义域为R的偶函数f（x）满足对任意x∈R有f（x+2）=f（x）-f（1），且当x∈[23]时，f（x）=-2x²+12x-18若函数y=f（x）-log_a（x+1）在（0，+∞）上至少有三个零点则a的取值范围是（　　）

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∵f（x）是定义在R上嘚偶函数，
则函数f（x）是定义在R上的周期为2的偶函数，
令g（x）=log_a（x+1）则f（x）与g（x）在[0，+∞）的部分图象如下图
y=f（x）-log_a（x+1）在（0+∞）上至尐有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点
g（x）在（0，+∞）上单调递减

由题意可判断函数f（x）是定义在R上的，周期为2的偶函数令g（x）=log_a（x+1），画出f（x）与g（x）在[0+∞）的部分图象如下图，将y=f（x）-log_a（x+1）在（0+∞）上至少有三个零点可化为f（x）与g（x）的图象在（0，+∞）上至少有三个交点从而解出a的取值范围．

根的存在性及根的个数判断．

本题考查了数形结合的思想，同时考查了学苼的作图能力与转化能力属于基础题．

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