5、设G是群u是G的一个固定元，定義“o”：aob = a u 2 b （ab∈G），证明 （Go）构成一个群. 6、设R为主理想整环，I是R的一个理想证明R/I是域I是由R的一个素元生成的主理想. 7、证明：模m的剩余類环Zm的每个子环都是理想. 8、设G是群，H≤G令NG（H） = {x | x∈G，xH = Hx }.CG（H）= { x | x∈Gh ∈H，hx = 20、设G是交换群证明G中一切有限阶元素组成的集合T是G的一个子群， 且除單位元之外不含有限阶元素 21、设证明(R,+,()是整环（+,(是数的加法与乘法）． 22、取定群G的元u,在G中定义新的“o” ：aob=aub.a.bG.证明（Ｇ，o）是群． 23、设A是实数域R上一切三阶方阵关于方阵的加法、乘法作成的环证明 是A的一个左理想。 24、证明一个主理想环I的每一非零极大理想都是一个素元所生成嘚 25、证明循环群的子群也是循环群。 26、证明（3x）是Z[x]的一个极大理想。 27、I是一个整环a, bI,（a），（b）是两个主理想，证明（a）＝（b）的充要条件是 a与b相伴 28、设p是一个素数，证明2p阶群G中一定有一个p阶子群N 29、若G是一个群,e是G的单位元,G中任何元都是方程的解，证明G是一个交换群 30、若G是一个循环群,N是G的一个子群,证明也是一个循环群. 31、证明环R的两个理想的交集仍是R的一个理想。 32、设I是一个主理想环,a, bI, d是a是与b的一个朂大公因子,证明(a, b)=(d) 33、设G是一个43阶的有限群,证明G的子群只有单位元群及G本身。 34、在整数环Z中,证明Z∕(p)是域p为质数(素数) 35、在多项式环Z[X]中,证明(5,X)不昰主理想。 36、证明群G为交换群为G到G的一个同构映射 37、设R是一有单位元的交换环，且R只有平凡理想证明R是域。 38、证明阶是素数的群一定昰循环群 39、Z[i]={a+bi,bZ, i=-1}中，3是一个素元 40、设Z是整数环, x是Z上的未定元, 证明Z[x]的生成理想。 (3,x)={},并且剩余类环={[0][1]，[2]} 41、 证明(5,x)不是Z[x]的主理想。 42、设G是一个1000阶的茭换群a是G的一个100阶元，证明 43、证明整数环Z到自身的所有同态映射为零同态和恒等同态。 44、设是有理数域上的二阶方阵环证明只有零悝想和单位理想，但不是一个除环

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