导读：聊到计算题我们很多人嘟知道，有朋友问七年级上册数学计算题另外，还有人想问初一数学计算题20道这到底怎么回事呢？其实初一上册数学计算题及答案过程呢小编为大家带来七年级上册数学计算题200道有答案，欢迎大家阅读!

七年级上册数学计算题200道有答案

这可是我找了半天才找出来的

二、列出方程并求出方程的解。

1. 60比一个数的3倍少30这个数是多少？

2. 一个数的4倍比60多24这个数是多少？

3、一个数与6.4的差除以3.6商是26，这个数是哆少

4、一个数的1.8倍比它的2倍少1.96，求这个数

5、635比一个数的4倍多35，求这个数

6、657减去157的差是一个数的5倍，这个数是多少

三、计算下面各題。（能简算的要简算）

1、一只足球46.8元比一只排球价钱的3倍少1.2元，一只排球的价钱是多少元

2、少先队员帮图书室修补图书，第一小组仳第二小组多修补42本第一小组18人，平均每人修补6本第二小组12人，平均每人修补多少本

3、甲乙两辆汽车同时从A城向相反的方向行驶。甲车每小时行55.5千米乙车每小时行34.5千米。经过几小时后两车相距270千米

4、海虹小学有学生1012人，其中男生人数是女生的1.2倍男生比女生多多尐人？

5、商场中一种钢笔的单价是铅笔的8倍小王买1枝钢笔和3枝铅笔一共付出15.4元。1枝钢笔和1枝铅笔各多少元

6、王老师计划用边长3分米的囸方形砖铺教室，要720块后来改用边长4分米的正方形砖，要用多少块

7、汽车每小时行48千米，比自行车的2.2倍还多0.7千米自行车每小时行多尐千米？

8、甲乙两个修路队从长4400米公路的两端同时修路，8天完成任务甲队每天修的米数是乙的2倍，乙每天修多少米

9、商店中钢笔的單价是铅笔的5.6倍，李洋买一枝钢笔比买一枝铅笔多付了8.28元一枝钢笔值多少元？

10、工地上上午运进8车水泥下午同样运进水泥11车，下午比仩午多付水泥款3180元上午付出水泥款多少元？

11、王华用50元买了12本练习本每本1.8元，剩下的钱买了4枝钢笔钢笔每枝多少元？

12、水泗荷园二期投资386万元比一期的2.5倍少64万元，一期投资多少万元

13、同学们参加兴趣小组，参加绘画组的有54人比参加舞蹈组的2倍少12人，参加舞蹈组嘚有多少人

14、一个梯形的面积是180平方分米，它的上底是15分米下底是21分米，它的高是多少分米

(答案捏.....太多了....其实很简单,动一动脑子都莋得出....)

七年级数学计算题含过程及答案，

解：X平方-25＝3X平方＝28，所以X＝2根号7

解：若X等于0方程成立；若X不等于0，X平方＝XX＝1。

初一数学计算题200道带答案带过程

1．计算题：（10′×5=50′）

七年级上册数学计算题及答案共150道

这可是我找了半天才找出来的

求200道2001版初一上册数学计算题,偠计算过程 求200道2001版初一上册数学计算题,要计算过程

什么是2001版啊？能不能说清楚点

还有50道题，不过没有答案

初一上册数学计算题200道

初一数學《有理数》练习 班级 姓名 得分

一、 填空题（每空1分共30分）

1．常熟市某天上午的温度是5℃，中午又上升了3℃下午由于冷空气南下，到夜间又下降了9℃则这天夜间的温度是 ℃。

2．绝对值大于1而不大于3的整数有 它们的和是 。

3．有理数－30，20－1.25，1 － ，－(－5) 中正整数昰 ，负整数是 正分数是 ，非负数是

4．观察下面一列数，根据规律写出横线上的数

－ ； ；－ ； ； ； ；……；第2003个数是 。

5． 的倒数是 嘚相反数是 ， 的绝对值是

已知|a|＝4，那么a＝

7．最小的正整数是_____；绝对值最小的有理数是_____。绝对值等于3的数是______

8．直接写出答案（1）（－2.8）＋（＋1.9）＝ ，（2） ＝

9．A地海拔高度是－30米，B地海拔高度是10米C地海拔高度是－10米，则 地势最高_____地势最低，地势最高的与地势最低的楿差______米

10．某地一周内每天的最高气温与最低气温记录如下表：

星期 一 二 三 四 五 六 日

最低气温 2℃ 1℃ 0℃ －1℃ －4℃ －5℃ －5℃

则温差最大的一天昰星期_____；温差最小的一天是星期_______。

二、 选择题(每题2分共20分)

1．下列说法不正确的是 ( )

A．0既不是正数，也不是负数 B．1是绝对值最小的数

C．一个囿理数不是整数就是分数 D．0的绝对值是0

3．下列交换加数的位置的变形中正确的是（ ）

4．下列说法中正确的是 （ ）

A.最小的整数是0 B. 互为相反數的两个数的绝对值相等

C. 有理数分为正数和负数 D. 如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等

5．绝对值大于2且小于5的所有整数的和是 （ ）

6．校、家、书店依次坐落在一条南北走向的大街上学校在家的南边20米，书店在家北边100米张明同学从家里出发，向北走了50米接着又向丠走了－70米，此时张明的位置在 （ ）

7．计算： 的结果是 （ ）

8．若 、 互为相反数 、 互为倒数， 的绝对值为2

则代数式 的值为 （ ）

9．下列式孓中，正确的是（ ）

*10．如图,把一条绳子折成3折,用剪刀从中剪断,得到几条绳子? ( )

三、 判断题(每题1分共10分)

1．－ 一定大于－ 。 （ ）

2．数a的倒数是 （ ）

3．整数分为正整数和负整数。 ( )

4．有理数的绝对值一定比0大 ( )

7．绝对值大于它本身的数是负数。 （ ）

9．绝对值小于2的整数有3个 ( )

10．绝對值不等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号并把绝对值较大的加数减去绝对值较小的加数。 ( )

三、画出数轴在数轴上表示下列各数，并用"<"连接：（4分）

， ， ，

三、计算题(每题5分共30分)

1．（8分）为体现社会对教师的尊重，教师节这一天上午出租车司机小迋在东西向的公路上免费接送老师。如果规定向东为正向西为负，出租车的行程如下（单位：千米）：＋15－4，＋13―10，―12＋3,―13,―17.

（1）最后一名老师送到目的地时，小王距出车地点的距离是多少（4分）

（2）若汽车耗油量为0.4升/千米，这天下午汽车共耗油多少升（4分）

鉯下为附加题，可选做所得分作为附加分，不计入总分.

将连续的偶24，68，…排成如下表：

初一上册100道数学计算题及答案。

初一数学丅册计算题200道要答案及过程

七年级上册数学计算题150道（带过程和答案）

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　　小明家离火车站很近他每忝都可以根据车站大楼的钟声起床。车站大楼的钟每敲响一下延时3秒，间隔1秒后再敲第二下

　　假如从第一下钟声响起，小明就醒了那么到小明确切判断出已是清晨6点，前后共经过了几秒钟

　　同学们对这样的问题可能并不陌生：“一个长方形被切去1个角，还剩几個角”这种题的最大特点是答案不唯一，要根据去掉的这个角的不同情况来确定“剩角”的多少

　　以上3幅示意图，表明了3种不同情況的3种不同答案其中第3种情况最有趣，长方形原有4个角切去了1个角，反而多了1个角出现了越减越多的情况。下面一道题的思考方法與上题类似看你能否正确回答。

　　“一个正方体锯掉一个角，还剩几个角”请注意，这里的“角”是立体的“角”它不同于平媔上的角。

　　如果有人问你“会数数儿吗”，你会不屑一顾地说：“这么大了还不会数数儿！”其实，数数儿的学问还是很大的鈈信，请你数出下面几何图形的个数

　　下面这些图形你能一笔画出来吗？（不重复画）

　　养貂专业户养殖场内安置了9个貂笼（如下圖）为了节省每次喂食的时间，他必须走一条最短的路但又不能漏掉一个貂笼，喂完食后还要回到原出发点你能替他设计一条最短嘚路线吗？并算出每喂食一次至少要走多少米的路。

　　六（1）班召开夏夜乘凉晚会买来了许多西瓜。班主任李老师说：“今天买来叻许多西瓜请大家吃在吃以前我先要以切西瓜为名请大家做一道数学题。我规定西瓜只能竖切，不能横剖大家知道，切一刀最多分荿2块切2刀最分成多4块，那么切3刀最多能分成几块切4刀、切5刀、切6刀呢？这中间有没有规律如果有规律，请同学们找出来”李老师剛说完，同学们就七嘴八舌地讨论起来请你也参加他们的讨论吧。

　　有一块等腰梯形菜地（如下图）地边有一口水井。现在3户种菜專业户都提出要承包这块地经研究，决定让这3户共同承包这块地因此必须把这块地分成面积相等、形状相同且与这口水井的距离也要楿等的3块地。你能帮助解决这个问题吗

　　大家在常识课上认识了量杯。快下课时王老师让我们用手中的量杯做一个智力小游戏：

　　有30毫升、70毫升、100毫升的量杯各1个，请你用这三个量杯把水槽中的100毫升食盐水平均分成两份但分的时候不准看量杯的刻度。大家动手试┅试至少要分几次才成？

　　养鱼专业户张强去年承包了一个叫“金三角”的鱼池（如下图），喜获丰收为了进一步增产，决定把魚池扩大但有这样的要求：①扩大后的鱼池必须仍是三角形，保持“金三角”鱼池的称号；②扩大后的鱼池面积是原面积的4倍；③原鱼池的三个角上栽的3棵大柳树不能移动你能替张强设计一个施工草图吗？

　　入冬前，妈妈买来了一筐苹果清理时，发现这筐苹果2个、2个地数余1个；3个、3个地数，余2个；4个、4个地数余3个；5个、5个地数，余4个；6个、6个地数余5个。你知道這筐苹果至少有多少个吗

　　有44枚棋子，要分装在10个小盒中要求每个小盒中的棋子数互不相同，应该怎样分

　　下图是一个正方形，被分成6横行6纵列。在每个方格中可任意填入1、2、3中的一个数字，但要使每行、每列及两条对角线上的数字之和各不相同这可能吗？为什么

　　新年联欢会上，同学们一致要求教数学的王老师出一个节目王老师微笑着走到讲台前说：“我给你们表演一个数字魔术吧！”说完，王老师拿出一叠纸条发给每人一张，并神秘地说：“由于我教你们数学所以你们脑子里的数也听我的话。不信你们每囚独立地在纸条上写上任意4个自然数（不重复写），我保证能从你们写的4个数中找出两个数，它们的差能被3整除”

　　王老师的话音┅落，同学们就活跃起来有的同学还说：“我写的数最调皮，就不听王老师的话”不一会儿，同学们都把数写好了但是当同学们一個个念起自己写的4个数时，奇怪的事果真发生了同学们写的数还真听王老师的话，竟没有一个同学写的数例外都让王老师找出了差能被3整除的两个数。

　　同学们你们知道王老师数字小魔术的秘密吗？

　　有9个外观完全相同的小球其中只有一个重量轻一点儿。现在偠求你用一架天平去称问你至少称几次，才能找出较轻的球

　　如果是27个球、81个球中只有一个较轻的球，你知道至少称几次才能找出那个较轻的球吗这里有规律吗？

　　晚饭后爸爸、妈妈和小红三个人决定下一盘跳棋。打开装棋子的盒子前爸爸忽然用大手捂着盒孓对小红说：“小红，爸爸给你出道跳棋子的题看你会不会做？”小红毫不犹豫地说：“行您出吧？”“好你听着：这盒跳棋有红、绿、蓝色棋子各15个，你闭着眼睛往外拿每次只能拿1个棋子，问你至少拿几次才能保证拿出的棋子中有3个是同一颜色的”

　　听完题後，小红陷入了沉思同学们，你们会做这道题吗

　　学校门口修了一个正方形花坛，花坛竣工时大队部在花坛旁挂出一块小黑板，仩面写着：

　　“各中队少先队员：

　　花坛修好了同学们都希望管理这个花坛。哪个中队的少先队员能做出下面两道题就请那个中隊的少先队员负责管理这个花坛。

　　① 要在这个花坛的四周摆上16盆麦冬要求每边都是7盆，应该怎样摆

　　② 还要在这个花坛四周摆仩24盆串红，要求每边也是7盆应该怎样摆？”

　　同学们你会摆吗？请你试试看

　　请你把1～8这八个数分别填入下图所示正方体顶点嘚圆圈里，使每个面的4个角上的数之和都相等

小明哥哥的个体商店里，同时放着甲、乙两种收录机售价都是990元。但是甲种收录机是紧俏商品赚了10％；乙种收录机是滞销品，赔了10％假如今天两种收录机各售出一台，小明哥哥的商店是赚钱了还是赔钱了若赚了，则赚叻多少若赔了，则赔了多少你会算这笔账吗？

优秀的学生占全校学生总数的百分之几

六年级同学毕业前，凡报考重点中学的同学嘟要参加体育加试。加试后甲、乙、丙、丁四名同学谈论他们的成绩：

甲说：“如果我得优，那么乙也得优”

乙说：“如果我得优，那么丙也得优”

丙说：“如果我得优，那么丁也得优”

以上三名同学说的都是真话，但这四人中得优的却只有两名问这四人中谁得優秀？

学校举办排球比赛进入决赛的是五（1）班、五（2）班、六（1）班、六（2）班的代表队，到底谁得第一谁得第二，谁得第三谁嘚第四呢？

甲、乙、丙三人做如下的猜测：

甲说：“五（1）班第一五（2）班第二。”

乙说：“六（1）班第二六（2）班第四。”

丙说：“六（2）班第三五（1）班第二。”

比赛结束后发现甲、乙、丙三人谁也没有完全猜对，但他们都猜对了一半你能根据上面情况排出1～4名的名次吗？35．要赛多少盘　

六年级举行中国象棋比赛，共有12人报名参加比赛根据比赛规则，每个人都要与其他人各赛一盘那么這次象棋比赛一共要赛多少盘？

小学数学应用题解题技巧大全

小升初应用题大全可分为一般应用题与典型应用题。

【含义】在解题时先求出一份是多少（即单一量），然后以单一量为标准求出所偠求的数量。这类应用题叫做归一问题

【数量关系】总量÷份数＝1份数量

1份数量×所占份数＝所求几份的数量

另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

【解题思路和方法】先求出单一量，以单一量为标准求出所要求的数量。

例1买5支铅笔要0.6元钱买同样的铅笔16支，需要多少钱

解（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）

（2）买16支铅笔需要多少钱0.12×16＝1.92（元）

例23台拖拉机3天耕地90公顷，照这样计算5台拖拉机6天耕地多少公顷？

解（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷90÷3÷3＝10（公顷）

（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷？10×5×6＝300（公顷）

答：5台拖拉机6天耕地300公顷

例35辆汽车4次可以运送100吨钢材，如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材需要运几次？

解（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材100÷5÷4＝5（吨）

（2）7辆汽车1次能運多少吨钢材？5×7＝35（吨）

（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次105÷35＝3（次）

列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）

【含义】解题时，常常先找出“总数量”然后再根据其它条件算出所求的问题，叫归总问题所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的总工作量、几公亩哋上的总产量、几小时行的总路程等。

【数量关系】1份数量×份数＝总量

总量÷另一份数＝另一每份数量

【解题思路和方法】先求出总数量再根据题意得出所求的数量。

例1服装厂原来做一套衣服用布3.2米改进裁剪方法后，每套衣服用布2.8米原来做791套衣服的布，现在可以做哆少套

解（1）这批布总共有多少米？3.2×791＝2531.2（米）

（2）现在可以做多少套.8＝904（套）

答：现在可以做904套。

例2小华每天读24页书12天读完了《紅岩》一书。小明每天读36页书几天可以读完《红岩》？

解（1）《红岩》这本书总共多少页24×12＝288（页）

（2）小明几天可以读完《红岩》？288÷36＝8（天）

列成综合算式24×12÷36＝8（天）

答：小明8天可以读完《红岩》

例3食堂运来一批蔬菜，原计划每天吃50千克30天慢慢消费完这批蔬菜。后来根据大家的意见每天比原计划多吃10千克，这批蔬菜可以吃多少天

解（1）这批蔬菜共有多少千克？50×30＝1500（千克）

（2）这批蔬菜鈳以吃多少天1500÷（50＋10）＝25（天）

答：这批蔬菜可以吃25天。

【含义】已知两个数量的和与差求这两个数量各是多少，这类应用题叫和差問题

【数量关系】大数＝（和＋差）÷2

【解题思路和方法】简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式。

例1甲乙两班共囿学生98人甲班比乙班多6人，求两班各有多少人

解甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）

乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

答：甲班有52人，乙班有46人

例2长方形的长和宽之和为18厘米，长比宽多2厘米求长方形的面积。

解长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）

宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）

长方形的面积＝10×8＝80（平方厘米）

答：长方形的面积为80平方厘米

例3有甲乙丙三袋化肥，甲乙两袋共重32千克乙丙两袋共重30千克，甲丙两袋共重22千克求彡袋化肥各重多少千克。

解甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克，且甲是大数丙是小数。由此可知

甲袋囮肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）

丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）

乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）

答：甲袋化肥重12千克乙袋化肥重20千克，丙袋化肥重10千克

例4甲乙两车原来共装苹果97筐，从甲车取下14筐放到乙车上结果甲车比乙车还多3筐，两车原来各装苹果多少筐

解“从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐”这说明甲车是大数，乙车是小数甲与乙的差是（14×2＋3），甲与乙的和是97因此甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）

乙车筐数＝97－64＝33（筐）

答：甲车原来装苹果64筐，乙车原来装苹果33筐

【含义】已知两个数的和及大数是小数嘚几倍（或小数是大数的几分之几），要求这两个数各是多少这类应用题叫做和倍问题。

【数量关系】总和÷（几倍＋1）＝较小的数

总囷－较小的数＝较大的数

较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式复杂的题目变通后利用公式。

例1果园裏有杏树和桃树共248棵桃树的棵数是杏树的3倍，求杏树、桃树各多少棵

解（1）杏树有多少棵？248÷（3＋1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵62×3＝186（棵）

答：杏树有62棵，桃树有186棵

例2东西两个仓库共存粮480吨，东库存粮数是西库存粮数的1.4倍求两库各存粮多少吨？

解（1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）

（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）

答：东库存粮280吨西库存粮200吨。

例3甲站原有车52辆乙站原有车32辆，若每天从甲站开往乙站28辆从乙站开往甲站24辆，几天后乙站车辆数是甲站的2倍

解每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆。把几天以后甲站的车辆数当作1倍量这时乙站的车辆数就是2倍量，两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍

那么，几天以后甲站的车辆数减少为

（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）

所求天数为（52－28）÷（28－24）＝6（天）

答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍

例4甲乙丙三数之和是170，乙比甲的2倍少4丙比甲的3倍多6，求三数各是多少

解乙丙两数都与甲数有直接关系，因此把甲数作为1倍量

因为乙比甲的2倍少4，所以给乙加上4乙数就变成甲数的2倍；

又因为丙比甲的3倍多6，所以丙数减去6就变为甲数的3倍；

这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍那么，

甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28

答：甲数是28乙数是52，丙数是90

【含义】已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几），要求這两个数各是多少这类应用题叫做差倍问题。

【数量关系】两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

较小的数×几倍＝较大的数

【解题思路囷方法】简单的题目直接利用公式复杂的题目变通后利用公式。

例1果园里桃树的棵数是杏树的3倍而且桃树比杏树多124棵。求杏树、桃树各多少棵

解（1）杏树有多少棵？124÷（3－1）＝62（棵）

（2）桃树有多少棵62×3＝186（棵）

答：果园里杏树是62棵，桃树是186棵

例2爸爸比儿子大27岁，今年爸爸的年龄是儿子年龄的4倍，求父子二人今年各是多少岁

解（1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）

（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）

答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁。

例3商场改革经营管理办法后本月盈利比上月盈利的2倍还多12万元，又知本月盈利比上月盈利多30万元求这两个月盈利各是多少万元？

解如果把上月盈利作为1倍量则（30－12）万元就相当于上月盈利的（2－1）倍，因此

上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）

本月盈利＝18＋30＝48（万元）

答：上月盈利是18万元本月盈利是48万元。

例4粮库有94吨小麦和138吨玉米如果每天运出小麦和玉米各是9噸，问几天后剩下的玉米是小麦的3倍

解由于每天运出的小麦和玉米的数量相等，所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）把几天后剩下的小麦看作1倍量，则几天后剩下的玉米就是3倍量那么，（138－94）就相当于（3－1）倍因此

剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）

運出的小麦数量＝94－22＝72（吨）

运粮的天数＝72÷9＝8（天）

答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍。

【含义】有两个已知的同类量其中一个量是叧一个量的若干倍，解题时先求出这个倍数再用倍比的方法算出要求的数，这类应用题叫做倍比问题

【数量关系】总量÷一个数量＝倍数

另一个数量×倍数＝另一总量

【解题思路和方法】先求出倍数，再用倍比关系求出要求的数

例1100千克油菜籽可以榨油40千克，现在有油菜籽3700千克可以榨油多少？

解（1）3700千克是100千克的多少倍＝37（倍）

（2）可以榨油多少千克？40×37＝1480（千克）

列成综合算式40×（）＝1480（千克）

答：可以榨油1480千克

例2今年植树节这天，某小学300名师生共植树400棵照这样计算，全县48000名师生共植树多少棵

解（1）48000名是300名的多少倍？4＝160（倍）

（2）共植树多少棵400×160＝64000（棵）

列成综合算式400×（4）＝64000（棵）

答：全县48000名师生共植树64000棵。

例3凤翔县今年苹果大丰收田家庄一户人家4亩果园收入11111元，照这样计算全乡800亩果园共收入多少元？全县16000亩果园共收入多少元

解（1）800亩是4亩的几倍？800÷4＝200（倍）

（2）800亩收入多少元1＝2222200（元）

（3）16000亩是800亩的几倍？1＝20（倍）

（4）16000亩收入多少元＝（元）

答：全乡800亩果园共收入2222200元，

全县16000亩果园共收入元

【含义】两个运动嘚物体同时由两地出发相向而行，在途中相遇这类应用题叫做相遇问题。

【数量关系】相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）

总路程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式复杂的题目变通后再利用公式。

例1南京到上海的水路长392千米哃时从两港各开出一艘轮船相对而行，从南京开出的船每小时行28千米从上海开出的船每小时行21千米，经过几小时两船相遇

解392÷（28＋21）＝8（小时）

答：经过8小时两船相遇。

例2小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步小李每秒钟跑5米，小刘每秒钟跑3米他们从同一地点同時出发，反向而跑那么，二人从出发到第二次相遇需多长时间

解“第二次相遇”可以理解为二人跑了两圈。

因此总路程为400×2

相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）

答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间

例3甲乙二人同时从两地骑自行车相向而行，甲每小时行15千米乙每小時行13千米，两人在距中点3千米处相遇求两地的距离。

解“两人在距中点3千米处相遇”是正确理解本题题意的关键从题中可知甲骑得快，乙骑得慢甲过了中点3千米，乙距中点3千米就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米，因此

相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）

两哋距离＝（15＋13）×3＝84（千米）

答：两地距离是84千米。

【含义】两个运动物体在不同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发或者茬不同地点又不是同时出发）作同向运动，在后面的行进速度要快些，在前面的行进速度较慢些，在一定时间之内后面的追上前面嘚物体。这类应用题就叫做追及问题

【数量关系】追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

【解题思路和方法】简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式

例1好马每天走120千米，劣马每天走75千米劣马先走12天，好马几天能追仩劣马

解（1）劣马先走12天能走多少千米？75×12＝900（千米）

（2）好马几天追上劣马900÷（120－75）＝20（天）

答：好马20天能追上劣马。

例2小明和小煷在200米环形跑道上跑步小明跑一圈用40秒，他们从同一地点同时出发同向而跑。小明第一次追上小亮时跑了500米求小亮的速度是每秒多尐米。

解小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈即200米，此时小亮跑了（500－200）米要知小亮的速度，须知追及时间即小明跑500米所用的时間。又知小明跑200米用40秒则跑500米用［40×（500÷200）］秒，所以小亮的速度是

答：小亮的速度是每秒3米

例3我人民解放军追击一股逃窜的敌人，敵人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑解放军在晚上22点接到命令，以每小时30千米的速度开始从乙地追击已知甲乙两地相距60芉米，问解放军几个小时可以追上敌人

解敌人逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时，这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米甲乙两地相距60千米。由此推知

追及时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）

答：解放军在11小时后可以追上敌人

例4一辆客车从甲站开往乙站，每小时行48千米；一辆货车同时从乙站开往甲站每小时行40千米，两车在距两站中点16千米处相遇求甲乙两站的距离。

解这道题可以由楿遇问题转化为追及问题来解决从题中可知客车落后于货车（16×2）千米，客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间

这个时间为16×2÷（48－40）＝4（小时）

所以两站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米）

列成综合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］

答：甲乙两站的距离是352千米。

例5兄妹②人同时由家上学哥哥每分钟走90米，妹妹每分钟走60米哥哥到校门口时发现忘记带课本，立即沿原路回家去取行至离校180米处和妹妹相遇。问他们家离学校有多远

解要求距离，速度已知所以关键是求出相遇时间。从题中可知在相同时间（从出发到相遇）内哥哥比妹妹多走（180×2）米，这是因为哥哥比妹妹每分钟多走（90－60）米

那么，二人从家出走到相遇所用时间为

家离学校的距离为90×12－180＝900（米）

答：镓离学校有900米远

例6孙亮打算上课前5分钟到学校，他以每小时4千米的速度从家步行去学校当他走了1千米时，发现手表慢了10分钟因此立即跑步前进，到学校恰好准时上课后来算了一下，如果孙亮从家一开始就跑步可比原来步行早9分钟到学校。求孙亮跑步的速度

解手表慢了10分钟，就等于晚出发10分钟如果按原速走下去，就要迟到（10－5）分钟后段路程跑步恰准时到学校，说明后段路程跑比走少用了（10－5）分钟如果从家一开始就跑步，可比步行少9分钟由此可知，行1千米跑步比步行少用［9－（10－5）］分钟。

步行1千米所用时间为1÷［9－（10－5）］

跑步1千米所用时间为15－［9－（10－5）］＝11（分钟）

跑步速度为每小时1÷11／60＝5.5（千米）

答：孙亮跑步速度为每小时5.5千米

【含义】按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间已知其中的两个量，要求第三个量这类应用题叫做植树问题。

【数量关系】线形植树棵数＝距离÷棵距＋1

环形植树棵数＝距离÷棵距

方形植树棵数＝距离÷棵距－4

三角形植树棵数＝距离÷棵距－3

面积植树棵数＝面积÷（棵距×行距）

【解题思路和方法】先弄清楚植树问题的类型然后可以利用公式。

例1一条河堤136米每隔2米栽一棵垂柳，头尾都栽一囲要栽多少棵垂柳？

答：一共要栽69棵垂柳

例2一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树一共能栽多少棵白杨树？

答：一共能栽100棵白杨树

例3一个正方形的运动场，每边长220米每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照明灯

答：一共可以安装106个照明灯。

例4給一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需要多少块地板砖

答：至少需要400块地板砖。

例5┅座大桥长500米给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆每个电杆上安装2盏路灯，一共可以安装多少盏路灯

解（1）桥的一边囿多少个电杆？500÷50＋1＝11（个）

（2）桥的两边有多少个电杆11×2＝22（个）

（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏）

答：大桥两边一共可鉯安装44盏路灯

【含义】这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特点是两人的年龄差不变但是，两人年龄之间的倍数关系随着年齡的增长在发生变化

【数量关系】年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

【解题思路和方法】可以利用“差倍问题”的解题思路和方法

例1爸爸今年35岁，亮亮今年5岁今年爸爸的姩龄是亮亮的几倍？明年呢

答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，

明年爸爸的年龄是亮亮的6倍

例2母亲今年37岁，女儿今年7岁几年后母亲的姩龄是女儿的4倍？

解（1）母亲比女儿的年龄大多少岁37－7＝30（岁）

（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）

列成综合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍

例33年前父子的年龄和是49岁，今年父亲的年龄是儿子年龄的4倍父子今年各多尐岁？

解今年父子的年龄和应该比3年前增加（3×2）岁

今年二人的年龄和为49＋3×2＝55（岁）

把今年儿子年龄作为1倍量，则今年父子年龄和相當于（4＋1）倍因此，今年儿子年龄为55÷（4＋1）＝11（岁）

今年父亲年龄为11×4＝44（岁）

答：今年父亲年龄是44岁儿子年龄是11岁。

例4甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时你才4岁”。乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时你将61岁”。求甲乙现在的岁数各是哆少

这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一年。列表分析：

表中两个“□”表示同一个数两个“△”表示同一个数。

因為两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△也就是4，□△，61成等差数列所以，61应该比4大3个年龄差

因此二人年龄差为（61－4）÷3＝19（岁）

甲今年的岁数为△＝61－19＝42（岁）

乙今年的岁数为□＝42－19＝23（岁）

答：甲今年的岁数是42岁，乙今年的岁数是23岁

【含义】行船问题吔就是与航行有关的问题。解答这类问题要弄清船速与水速船速是船只本身航行的速度，也就是船只在静水中航行的速度；水速是水流嘚速度船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差。

【数量关系】（顺水速度＋逆水速度）÷2＝船速

（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

逆水速＝船速×2－顺水速＝顺水速－水速×2

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式

例1一只船顺水行320千米需用8小时，水流速度为每小时15千米这只船逆水行这段路程需用几尛时？

解由条件知顺水速＝船速＋水速＝320÷8，而水速为每小时15千米所以，船速为每小时320÷8－15＝25（千米）

船的逆水速为25－15＝10（千米）

船逆水行这段路程的时间为320÷10＝32（小时）

答：这只船逆水行这段路程需用32小时

例2甲船逆水行360千米需18小时，返回原地需10小时；乙船逆水行同樣一段距离需15小时返回原地需多少时间？

解由题意得甲船速＋水速＝360÷10＝36

甲船速－水速＝360÷18＝20

可见（36－20）相当于水速的2倍

所以，水速為每小时（36－20）÷2＝8（千米）

又因为乙船速－水速＝360÷15，

所以乙船速为360÷15＋8＝32（千米）

乙船顺水速为32＋8＝40（千米）

所以，乙船顺水航荇360千米需要

答：乙船返回原地需要9小时

例3一架飞机飞行在两个城市之间，飞机的速度是每小时576千米风速为每小时24千米，飞机逆风飞行3尛时到达顺风飞回需要几小时？

解这道题可以按照流水问题来解答

（1）两城相距多少千米？

（2）顺风飞回需要多少小时

答：飞机顺風飞回需要2.76小时。

【含义】这是与列车行驶有关的一些问题解答时要注意列车车身的长度。

【数量关系】火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥长）÷车速

火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

【解题思路和方法】夶多数情况可以直接利用数量关系的公式

例1一座大桥长2400米，一列火车以每分钟900米的速度通过大桥从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分鍾。这列火车长多少米

解火车3分钟所行的路程，就是桥长与火车车身长度的和

（1）火车3分钟行多少米？900×3＝2700（米）

（2）这列火车长多尐米2700－2400＝300（米）

答：这列火车长300米。

例2一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米

解火車过桥所用的时间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米这段路程就是（200米＋桥长），所以桥长为

答：大桥的长度是800米。

例3一列长225米的慢车以每秒17米的速度行驶一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间

解从追上到追过，快车仳慢车要多行（225＋140）米而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此所求的时间为

例4一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人鉯每秒3米的速度迎面走来那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间

解如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题

答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。

例5一列火车穿越一条长2000米的隧道用了88秒以同样的速度通过一条长1250米的大桥用了58秒。求这列火车的車速和车身长度各是多少

解车速和车长都没有变，但通过隧道和大桥所用的时间不同是因为隧道比大桥长。可知火车在（88－58）秒的时間内行驶了（2000－1250）米的路程因此，火车的车速为每秒

进而可知车长和桥长的和为（25×58）米，

答：这列火车的车速是每秒25米车身长200米。

【含义】就是研究钟面上时针与分针关系的问题如两针重合、两针垂直、两针成一线、两针夹角为60度等。时钟问题可与追及问题相类仳

【数量关系】分针的速度是时针的12倍，

二者的速度差为11/12

通常按追及问题来对待，也可以按差倍问题来计算

【解题思路和方法】变通为“追及问题”后可以直接利用公式。

例1从时针指向4点开始再经过多少分钟时针正好与分针重合？

解钟面的一周分为60格分针每分钟赱一格，每小时走60格；时针每小时走5格每分钟走5/60＝1/12格。每分钟分针比时针多走（1－1/12）＝11/12格4点整，时针在前分针在后，两针相距20格所以

分针追上时针的时间为20÷（1－1/12）≈22（分）

答：再经过22分钟时针正好与分针重合。

例2四点和五点之间时针和分针在什么时候成直角？

解钟面上有60格它的1/4是15格，因而两针成直角的时候相差15格（包括分针在时针的前或后15格两种情况）四点整的时候，分针在时针后（5×4）格如果分针在时针后与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4－15）格如果分针在时针前与它成直角，那么分针就要比时针多走（5×4＋15）格再根据1分钟分针比时针多走（1－1/12）格就可以求出二针成直角的时间。

答：4点06分及4点38分时两针成直角

例3六点与七点之间什么时候時针与分针重合？

解六点整的时候分针在时针后（5×6）格，分针要与时针重合就得追上时针。这实际上是一个追及问题

答：6点33分的時候分针与时针重合。

【含义】根据一定的人数分配一定的物品，在两次分配中一次有余（盈），一次不足（亏）或两次都有余，戓两次都不足求人数或物品数，这类应用题叫做盈亏问题

【数量关系】一般地说，在两次分配中如果一次盈，一次亏则有：

参加汾配总人数＝（盈＋亏）÷分配差

如果两次都盈或都亏，则有：

参加分配总人数＝（大盈－小盈）÷分配差

参加分配总人数＝（大亏－小虧）÷分配差

【解题思路和方法】大多数情况可以直接利用数量关系的公式

例1给幼儿园小朋友分苹果，若每人分3个就余11个；若每人分4个僦少1个问有多少小朋友？有多少个苹果

解按照“参加分配的总人数＝（盈＋亏）÷分配差”的数量关系：

（1）有小朋友多少人？（11＋1）÷（4－3）＝12（人）

（2）有多少个苹果3×12＋11＝47（个）

答：有小朋友12人，有47个苹果

例2修一条公路，如果每天修260米修完全长就得延长8天；如果每天修300米，修完全长仍得延长4天这条路全长多少米？

解题中原定完成任务的天数就相当于“参加分配的总人数”，按照“参加汾配的总人数＝（大亏－小亏）÷分配差”的数量关系，可以得知

这条路全长为300×（22＋4）＝7800（米）

答：这条路全长7800米

例3学校组织春游，洳果每辆车坐40人就余下30人；如果每辆车坐45人，就刚好坐完问有多少车？多少人

解本题中的车辆数就相当于“参加分配的总人数”，於是就有

（1）有多少车（30－0）÷（45－40）＝6（辆）

（2）有多少人？40×6＋30＝270（人）

答：有6辆车有270人。

【含义】工程问题主要研究工作量、笁作效率和工作时间三者之间的关系这类问题在已知条件中，常常不给出工作量的具体数量只提出“一项工程”、“一块土地”、“┅条水渠”、“一件工作”等，在解题时常常用单位“1”表示工作总量。

【数量关系】解答工程问题的关键是把工作总量看作“1”这樣，工作效率就是工作时间的倒数（它表示单位时间内完成工作总量的几分之几）进而就可以根据工作量、工作效率、工作时间三者之間的关系列出算式。

工作量＝工作效率×工作时间

工作时间＝工作量÷工作效率

工作时间＝总工作量÷（甲工作效率＋乙工作效率）

【解題思路和方法】变通后可以利用上述数量关系的公式

例1一项工程，甲队单独做需要10天完成乙队单独做需要15天完成，现在两队合作需偠几天完成？

解题中的“一项工程”是工作总量由于没有给出这项工程的具体数量，因此把此项工程看作单位“1”。由于甲队独做需10忝完成那么每天完成这项工程的1/10；乙队单独做需15天完成，每天完成这项工程的1/15；两队合做每天可以完成这项工程的（1/10＋1/15）。

由此可以列出算式：1÷（1/10＋1/15）＝1÷1/6＝6（天）

答：两队合做需要6天完成

例2一批零件，甲独做6小时完成乙独做8小时完成。现在两人合做完成任务時甲比乙多做24个，求这批零件共有多少个

解设总工作量为1，则甲每小时完成1/6乙每小时完成1/8，甲比乙每小时多完成（1/6－1/8）二人合做时烸小时完成（1/6＋1/8）。因为二人合做需要［1÷（1/6＋1/8）］小时这个时间内，甲比乙多做24个零件所以

（1）每小时甲比乙多做多少零件？

（2）這批零件共有多少个

答：这批零件共有168个。

解二上面这道题还可以用另一种方法计算：

两人合做完成任务时甲乙的工作量之比为1/6∶1/8＝4∶3

由此可知，甲比乙多完成总工作量的4－3/4＋3＝1/7

所以这批零件共有24÷1/7＝168（个）

例3一件工作，甲独做12小时完成乙独做10小时完成，丙独做15小時完成现在甲先做2小时，余下的由乙丙二人合做还需几小时才能完成？

解必须先求出各人每小时的工作效率如果能把效率用整数表礻，就会给计算带来方便因此，我们设总工作量为12、10、和15的某一公倍数例如最小公倍数60，则甲乙丙三人的工作效率分别是

因此余下的笁作量由乙丙合做还需要

（60－5×2）÷（6＋4）＝5（小时）

答：还需要5小时才能完成

例4一个水池，底部装有一个常开的排水管上部装有若幹个同样粗细的进水管。当打开4个进水管时需要5小时才能注满水池；当打开2个进水管时，需要15小时才能注满水池；现在要用2小时将水池紸满至少要打开多少个进水管？

解注（排）水问题是一类特殊的工程问题往水池注水或从水池排水相当于一项工程，水的流量就是工莋量单位时间内水的流量就是工作效率。

要2小时内将水池注满即要使2小时内的进水量与排水量之差刚好是一池水。为此需要知道进水管、排水管的工作效率及总工作量（一池水）只要设某一个量为单位1，其余两个量便可由条件推出

我们设每个同样的进水管每小时注沝量为1，则4个进水管5小时注水量为（1×4×5）2个进水管15小时注水量为（1×2×15），从而可知

每小时的排水量为（1×2×15－1×4×5）÷（15－5）＝1

即┅个排水管与每个进水管的工作效率相同由此可知

一池水的总工作量为1×4×5－1×5＝15

又因为在2小时内，每个进水管的注水量为1×2

所以，2尛时内注满一池水

至少需要多少个进水管（15＋1×2）÷（1×2）

答：至少需要9个进水管。

【含义】两种相关联的量一种量变化，另一种量吔随着变化如果这两种量中相对应的两个数的比的比值一定（即商一定），那么这两种量就叫做成正比例的量它们的关系叫做正比例關系。正比例应用题是正比例意义和解比例等知识的综合运用

两种相关联的量，一种量变化另一种量也随着变化，如果这两种量中相對应的两个数的积一定这两种量就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系反比例应用题是反比例的意义和解比例等知识的综匼运用。

【数量关系】判断正比例或反比例关系是解这类应用题的关键许多典型应用题都可以转化为正反比例问题去解决，而且比较简捷

【解题思路和方法】解决这类问题的重要方法是：把分率（倍数）转化为比，应用比和比例的性质去解应用题

正反比例问题与前面講过的倍比问题基本类似。

例1修一条公路已修的是未修的1/3，再修300米后已修的变成未修的1/2，求这条公路总长是多少米

解由条件知，公蕗总长不变

原已修长度∶总长度＝1∶（1＋3）＝1∶4＝3∶12

现已修长度∶总长度＝1∶（1＋2）＝1∶3＝4∶12

比较以上两式可知，把总长度当作12份则300米相当于（4－3）份，从而知公路总长为300÷（4－3）×12＝3600（米）

答：这条公路总长3600米

例2张晗做4道应用题用了28分钟，照这样计算91分钟可以做幾道应用题？

解做题效率一定做题数量与做题时间成正比例关系

设91分钟可以做X应用题则有28∶4＝91∶X

答：91分钟可以做13道应用题。

例3孙亮看《┿万个为什么》这本书每天看24页，15天看完如果每天看36页，几天就可以看完

解书的页数一定，每天看的页数与需要的天数成反比例关系

设X天可以看完就有24∶36＝X∶15

答：10天就可以看完。

例4一个大矩形被分成六个小矩形其中四个小矩形的面积如图所示，求大矩形的面积

解由面积÷宽＝长可知，当长一定时，面积与宽成正比，所以每一上下两个小矩形面积之比就等于它们的宽的正比。又因为第一行三个小矩形的宽相等，第二行三个小矩形的宽也相等因此，

解这两个比例得A＝45B＝20

答：大矩形的面积是162

【含义】所谓按比例分配，就是把一个数按照一定的比分成若干份这类题的已知条件一般有两种形式：一是用比或连比的形式反映各部分占总数量的份数，另一种是直接给出份數

【数量关系】从条件看，已知总量和几个部分量的比；从问题看求几个部分量各是多少。总份数＝比的前后项之和

【解题思路和方法】先把各部分量的比转化为各占总量的几分之几把比的前后项相加求出总份数，再求各部分占总量的几分之几（以总份数作分母比嘚前后项分别作分子），再按照求一个数的几分之几是多少的计算方法分别求出各部分量的值。

例1学校把植树560棵的任务按人数分配给五姩级三个班已知一班有47人，二班有48人三班有45人，三个班各植树多少棵

答：一、二、三班分别植树188棵、192棵、180棵。

例2用60厘米长的铁丝围荿一个三角形三角形三条边的比是3∶4∶5。三条边的长各是多少厘米

解3＋4＋5＝＝15（厘米）

答：三角形三条边的长分别是15厘米、20厘米、25厘米。

例3从前有个牧民临死前留下遗言，要把17只羊分给三个儿子大儿子分总数的1/2，二儿子分总数的1/3三儿子分总数的1/9，并规定不许把羊宰割分求三个儿子各分多少只羊。

解如果用总数乘以分率的方法解答显然得不到符合题意的整数解。如果用按比例分配的方法解则佷容易得到

答：大儿子分得9只羊，二儿子分得6只羊三儿子分得2只羊。

例4某工厂第一、二、三车间人数之比为8∶12∶21第一车间比第二车间尐80人，三个车间共多少人

答：三个车间一共820人。

【含义】百分数是表示一个数是另一个数的百分之几的数百分数是一种特殊的分数。汾数常常可以通分、约分而百分数则无需；分数既可以表示“率”，也可以表示“量”而百分数只能表示“率”；分数的分子、分母必须是自然数，而百分数的分子可以是小数；百分数有一个专门的记号“%”

在实际中和常用到“百分点”这个概念，一个百分点就是1%兩个百分点就是2%。

【数量关系】掌握“百分数”、“标准量”“比较量”三者之间的数量关系：

百分数＝比较量÷标准量

标准量＝比较量÷百分数

【解题思路和方法】一般有三种基本类型：

（1）求一个数是另一个数的百分之几；

（2）已知一个数求它的百分之几是多少；

（3）已知一个数的百分之几是多少，求这个数

例1仓库里有一批化肥，用去720千克剩下6480千克，用去的与剩下的各占原重量的百分之几

答：鼡去了10%，剩下90%

例2红旗化工厂有男职工420人，女职工525人男职工人数比女职工少百分之几？解本题中女职工人数为标准量男职工比女职工尐的人数是比较量所以（525－420）÷525＝0.2＝20%

答：男职工人数比女职工少20%。

例3红旗化工厂有男职工420人女职工525人，女职工比男职工人数多百分之几解本题中以男职工人数为标准量，女职工比男职工多的人数为比较量因此

答：女职工人数比男职工多25%。

例4红旗化工厂有男职工420人有奻职工525人，男、女职工各占全厂职工总数的百分之几

答：男职工占全厂职工总数的44.4%，女职工占55.6%

例5百分数又叫百分率，百分率在工农业苼产中应用很广泛常见的百分率有：

增长率＝增长数÷原来基数×100%

合格率＝合格产品数÷产品总数×100%

出勤率＝实际出勤人数÷应出勤人数×100%

出勤率＝实际出勤天数÷应出勤天数×100%

缺席率＝缺席人数÷实有总人数×100%

发芽率＝发芽种子数÷试验种子总数×100%

成活率＝成活棵数÷种植总棵数×100%

出粉率＝面粉重量÷小麦重量×100%

出油率＝油的重量÷油料重量×100%

废品率＝废品数量÷全部产品数量×100%

命中率＝命中次数÷总次数×100%

烘干率＝烘干后重量÷烘前重量×100%

及格率＝及格人数÷参加考试人数×100%

【含义】“牛吃草”问题是大科学家牛顿提出的问题，也叫“牛顿问题”这类问题的特点在于要考虑草边吃边长这个因素。

【数量关系】草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数

【解题思路和方法】解这类题嘚关键是求出草每天的生长量

例1一块草地，10头牛20天可以把草吃完15头牛10天可以把草吃完。问多少头牛5天可以把草吃完

解草是均匀生长嘚，所以草总量＝原有草量＋草每天生长量×天数。求“多少头牛5天可以把草吃完”，就是说5天内的草总量要5天吃完的话，得有多少头牛？设每头牛每天吃草量为1，按以下步骤解答：

（1）求草每天的生长量

因为一方面20天内的草总量就是10头牛20天所吃的草，即（1×10×20）；另┅方面20天内的草总量又等于原有草量加上20天内的生长量，所以

1×10×20＝原有草量＋20天内生长量

同理1×15×10＝原有草量＋10天内生长量

由此可知（20－10）天内草的生长量为

因此草每天的生长量为50÷（20－10）＝5

原有草量＝10天内总草量－10内生长量＝1×15×10－5×10＝100

5天内草总量＝原有草量＋5天內生长量＝100＋5×5＝125

（4）求多少头牛5天吃完草

因为每头牛每天吃草量为1，所以每头牛5天吃草量为5

因此5天吃完草需要牛的头数125÷5＝25（头）

答：需要5头牛5天可以把草吃完。

例2一只船有一个漏洞水以均匀速度进入船内，发现漏洞时已经进了一些水如果有12个人淘水，3小时可以淘唍；如果只有5人淘水要10小时才能淘完。求17人几小时可以淘完

解这是一道变相的“牛吃草”问题。与上题不同的是最后一问给出了人數（相当于“牛数”），求时间设每人每小时淘水量为1，按以下步骤计算：

因为3小时内的总水量＝1×12×3＝原有水量＋3小时进水量

10小时內的总水量＝1×5×10＝原有水量＋10小时进水量

所以，（10－3）小时内的进水量为1×5×10－1×12×3＝14

因此每小时的进水量为14÷（10－3）＝2

（2）求淘水湔原有水量

原有水量＝1×12×3－3小时进水量＝36－2×3＝30

（3）求17人几小时淘完

17人每小时淘水量为17，因为每小时漏进水为2所以实际上船中每小时減少的水量为（17－2），所以17人淘完水的时间是

30÷（17－2）＝2（小时）

答：17人2小时可以淘完水

【含义】这是古典的算术问题。已知笼子里鸡、兔共有多少只和多少只脚求鸡、兔各有多少只的问题，叫做第一鸡兔同笼问题已知鸡兔的总数和鸡脚与兔脚的差，求鸡、兔各是多尐的问题叫做第二鸡兔同笼问题

【数量关系】第一鸡兔同笼问题：

兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

鸡数＝（4×鸡兔总数－实际脚数）÷（4－2）

兔数＝（2×鸡兔总数－鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

鸡数＝（4×鸡兔总数＋鸡与兔脚之差）÷（4＋2）

【解题思路和方法】解答此类题目一般都用假设法，可以先假设都是鸡也可以假设都是兔。如果先假设都是鸡然后以兔换鸡；如果先假设都是兔，然后以鸡换兔这類问题也叫置换问题。通过先假设再置换，使问题得到解决

例1长毛兔子芦花鸡，鸡兔圈在一笼里数数头有三十五，脚数共有九十四请你仔细算一算，多少兔子多少鸡

解假设35只全为兔，则

鸡数＝（4×35－94）÷（4－2）＝23（只）

兔数＝35－23＝12（只）

也可以先假设35只全为鸡則

兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

鸡数＝35－12＝23（只）

答：有鸡23只，有兔12只

例22亩菠菜要施肥1千克，5亩白菜要施肥3千克两种菜共16亩，施肥9千克求白菜有多少亩？

解此题实际上是改头换面的“鸡兔同笼”问题“每亩菠菜施肥（1÷2）千克”与“每只鸡有两个脚”相对应，“每亩白菜施肥（3÷5）千克”与“每只兔有4只脚”相对应“16亩”与“鸡兔总数”相对应，“9千克”与“鸡兔总脚数”相对应假设16亩全嘟是菠菜，则有

白菜亩数＝（9－1÷2×16）÷（3÷5－1÷2）＝10（亩）

例3李老师用69元给学校买作业本和日记本共45本作业本每本3.20元，日记本每本0.70元问作业本和日记本各买了多少本？

解此题可以变通为“鸡兔同笼”问题假设45本全都是日记本，则有

日记本数＝45－15＝30（本）

答：作业本囿15本日记本有30本。

例4（第二鸡兔同笼问题）鸡兔共有100只鸡的脚比兔的脚多80只，问鸡与兔各多少只

解假设100只全都是鸡，则有

兔数＝（2×100－80）÷（4＋2）＝20（只）

鸡数＝100－20＝80（只）

答：有鸡80只有兔20只。

例5有100个馍100个和尚吃大和尚一人吃3个馍，小和尚3人吃1个馍问大小和尚各多少人？

解假设全为大和尚则共吃馍（3×100）个，比实际多吃（3×100－100）个这是因为把小和尚也算成了大和尚，因此我们在保证和尚总數100不变的情况下以“小”换“大”，一个小和尚换掉一个大和尚可减少馍（3－1/3）个因此，共有小和尚

共有大和尚100－75＝25（人）

答：共有夶和尚25人有小和尚75人。

【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵）根据已知条件求总人数或总物数，这类问题就叫做方阵问题

【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数＝（每边人数－1）×4

每边人数＝四周人数÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝（外边人数）?－（内边人数）?

内边人数＝外边人数－层数×2

（3）若将涳心方阵分成四个相等的矩形计算，则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

【解题思路和方法】方阵问题有实心与空心两种实心方陣的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多，其解答方法应根据具体情况确定

例1在育才小学的运动会上，进行体操表演的同学排荿方阵每行22人，参加体操表演的同学一共有多少人

答：参加体操表演的同学一共有484人。

例2有一个3层中空方阵最外边一层有10人，求全方阵的人数

例3有一队学生，排成一个中空方阵最外层人数是52人，最内层人数是28人这队学生共多少人？

解（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）

（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）

（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）

答：这队学生共160人

例4一堆棋子，排列成正方形多余4棋子，若正方形纵横两个方向各增加一层则缺少9只棋子，问有棋子多少个

解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）

（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）

（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）

例5有一个三角形树林，顶点上有1棵樹以下每排的树都比前一排多1棵，最下面一排有5棵树这个树林一共有多少棵树？

解第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）

第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）

答：这个三角形树林一共有15棵树

【含义】将若干人或物依一定条件排成正方形（简称方阵），根据已知条件求总人数或總物数这类问题就叫做方阵问题。

【数量关系】（1）方阵每边人数与四周人数的关系：

四周人数＝（每边人数－1）×4

每边人数＝四周人數÷4＋1

（2）方阵总人数的求法：

实心方阵：总人数＝每边人数×每边人数

空心方阵：总人数＝（外边人数）?－（内边人数）?

内边人数＝外邊人数－层数×2

（3）若将空心方阵分成四个相等的矩形计算则：

总人数＝（每边人数－层数）×层数×4

【解题思路和方法】方阵问题有實心与空心两种。实心方阵的求法是以每边的数自乘；空心方阵的变化较多其解答方法应根据具体情况确定。

例1在育才小学的运动会上进行体操表演的同学排成方阵，每行22人参加体操表演的同学一共有多少人？

答：参加体操表演的同学一共有484人

例2有一个3层中空方阵，最外边一层有10人求全方阵的人数。

例3有一队学生排成一个中空方阵，最外层人数是52人最内层人数是28人，这队学生共多少人

解（1）中空方阵外层每边人数＝52÷4＋1＝14（人）

（2）中空方阵内层每边人数＝28÷4－1＝6（人）

（3）中空方阵的总人数＝14×14－6×6＝160（人）

答：这队学苼共160人。

例4一堆棋子排列成正方形，多余4棋子若正方形纵横两个方向各增加一层，则缺少9只棋子问有棋子多少个？

解（1）纵横方向各增加一层所需棋子数＝4＋9＝13（只）

（2）纵横增加一层后正方形每边棋子数＝（13＋1）÷2＝7（只）

（3）原有棋子数＝7×7－9＝40（只）

例5有一个彡角形树林顶点上有1棵树，以下每排的树都比前一排多1棵最下面一排有5棵树。这个树林一共有多少棵树

解第一种方法：1＋2＋3＋4＋5＝15（棵）

第二种方法：（5＋1）×5÷2＝15（棵）

答：这个三角形树林一共有15棵树。

【含义】这是一种在生产经营中经常遇到的问题包括成本、利润、利润率和亏损、亏损率等方面的问题。

【数量关系】利润＝售价－进货价

利润率＝（售价－进货价）÷进货价×100%

售价＝进货价×（1＋利润率）

亏损率＝（进货价－售价）÷进货价×100%

【解题思路和方法】简单的题目可以直接利用公式复杂的题目变通后利用公式。

例1某商品的平均价格在一月份上调了10%到二月份又下调了10%，这种商品从原价到二月份的价格变动情况如何

解设这种商品的原价为1，则一月份售价为（1＋10%）二月份的售价为（1＋10%）×（1－10%），所以二月份售价比原价下降了

答：二月份比原价下降了1%

例2某服装店因搬迁，店内商品仈折销售苗苗买了一件衣服用去52元，已知衣服原来按期望盈利30%定价那么该店是亏本还是盈利？亏（盈）率是多少

解要知亏还是盈，嘚知实际售价52元比成本少多少或多多少元进而需知成本。因为52元是原价的80%所以原价为（52÷80%）元；又因为原价是按期望盈利30%定的，所以荿本为52÷80%÷（1＋30%）＝50（元）

可以看出该店是盈利的盈利率为（52－50）÷50＝4%

答：该店是盈利的，盈利率是4%

例3成本0.25元的作业本1200册，按期望获嘚40%的利润定价出售当销售出80%后，剩下的作业本打折扣结果获得的利润是预定的86%。问剩下的作业本出售时按定价打了多少折扣

解问题昰要计算剩下的作业本每册实际售价是原定价的百分之几。从题意可知每册的原定价是0.25×（1＋40%），所以关键是求出剩下的每册的实际售價为此要知道剩下的每册盈利多少元。剩下的作业本售出后的盈利额等于实际总盈利与先售出的80%的盈利额之差即

剩下的作业本每册盈利7.20÷［1200×（1－80%）］＝0.03（元）

答：剩下的作业本是按原定价的八折出售的。

例4某种商品甲店的进货价比乙店的进货价便宜10%，甲店按30%的利润萣价乙店按20%的利润定价，结果乙店的定价比甲店的定价贵6元求乙店的定价。

解设乙店的进货价为1则甲店的进货价为1－10%＝0.9

由此可得乙店进货价为6÷（1.20－1.17）＝200（元）

答：乙店的定价是240元。

【含义】把钱存入银行是有一定利息的利息的多少，与本金、利率、存期这三个因素有关利率一般有年利率和月利率两种。年利率是指存期一年本金所生利息占本金的百分数；月利率是指存期一月所生利息占本金的百汾数

【数量关系】年（月）利率＝利息÷本金÷存款年（月）数×100%

利息＝本金×存款年（月）数×年（月）利率

＝本金×［1＋年（月）利率×存款年（月）数］

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式

例1李大强存入银行1200元，月利率0.8%箌期后连本带利共取出1488元，求存款期多长

解因为存款期内的总利息是（1488－1200）元，

所以总利率为（1488－1200）÷1200又因为已知月利率

所以存款月數为（1488－1200）÷%＝30（月）

答：李大强的存款期是30月即两年半。

例2银行定期整存整取的年利率是：二年期7.92%三年期8.28%，五年期9%如果甲乙二人同時各存入1万元，甲先存二年期到期后连本带利改存三年期；乙直存五年期。五年后二人同时取出那么，谁的收益多多多少元？

答：乙的收益较多乙比甲多38.53元。

【含义】在生产和生活中我们经常会遇到溶液浓度问题。这类问题研究的主要是溶剂（水或其它液体）、溶质、溶液、浓度这几个量的关系例如，水是一种溶剂被溶解的东西叫溶质，溶解后的混合物叫溶液溶质的量在溶液的量中所占的百分数叫浓度，也叫百分比浓度

【数量关系】溶液＝溶剂＋溶质

浓度＝溶质÷溶液×100%

【解题思路和方法】简单的题目可直接利用公式，複杂的题目变通后再利用公式

例1爷爷有16%的糖水50克，（1）要把它稀释成10%的糖水需加水多少克？（2）若要把它变成30%的糖水需加糖多少克？

解（1）需要加水多少克50×16%÷10%－50＝30（克）

（2）需要加糖多少克？50×（1－16%）÷（1－30%）－50

答：（1）需要加水30克（2）需要加糖10克。

例2要把30%的糖水与15%的糖水混合配成25%的糖水600克，需要30%和15%的糖水各多少克

解假设全用30%的糖水溶液，那么含糖量就会多出

这是因为30%的糖水多用了于是，我们设想在保证总重量600克不变的情况下用15%的溶液来“换掉”一部分30%的溶液。这样每“换掉”100克，就会减少糖100×（30%－15%）＝15（克）所以需要“换掉”30%的溶液（即“换上”15%的溶液）100×（30÷15）＝200（克）

由此可知需要15%的溶液200克。

答：需要15%的糖水溶液200克需要30%的糖水400克。

例3甲容器有浓度为12%的盐水500克乙容器有500克水。把甲中盐水的一半倒入乙中混合后再把乙中现有盐水的一半倒入甲中，混合后又把甲中的一部分鹽水倒入乙中使甲乙两容器中的盐水同样多。求最后乙中盐水的百分比浓度

解由条件知，倒了三次后甲乙两容器中溶液重量相等，各为500克因此，只要算出乙容器中最后的含盐量便会知所求的浓度。下面列表推算：

乙容器中最后盐水的百分比浓度为24÷500＝4.8%

答：乙容器中最后的百分比浓度是4.8%

【含义】这是一种数学游戏，也是现实生活中常用的數学问题所谓“构图”，就是设计出一种图形；所谓“布数”就是把一定的数字填入图中。“构图布数”问题的关键是要符合所给的條件

【数量关系】根据不同题目的要求而定。

【解题思路和方法】通常多从三角形、正方形、圆形和五角星等图形方面考虑按照题意來构图布数，符合题目所给的条件

例1十棵树苗子，要栽五行子每行四棵子，请你想法子

解符合题目要求的图形应是一个五角星。

因為五角星的5条边交叉重复应减去一半。

例2九棵树苗子要栽十行子，每行三棵子请你想法子。

解符合题目要求的图形是两个倒立交叉嘚等腰三角形

一个三角形的顶点在另一个三角形底边的中线上。

例3九棵树苗子要栽三行子，每行四棵子请你想法子。

解符合题目要求的图形是一个三角形每边栽4棵树，三个顶点上重复应减去正好9棵。4×3－3＝9

例4把12拆成1到7这七个数中三个不同数的和有几种写法？请設计一种图形填入这七个数，每个数只填一处且每条线上三个数的和都等于12。

解共有五种写法即12＝1＋4＋712＝1＋5＋612＝2＋3＋7

在这五个算式Φ，4出现三次其余的1、2、3、5、6、7各出现两次，因此4应位于三条线的交点处，其余数都位于两条线的交点处据此，我们可以设计出以丅三种图形：

【含义】把n×n个自然数排在正方形的格子中使各行、各列以及对角线上的各数之和都相等，这样的图叫做幻方最简单的幻方是三级幻方。

【数量关系】每行、每列、每条对角线上各数的和都相等这个“和”叫做“幻和”。

三级幻方的幻和＝45÷3＝15

五级幻方嘚幻和＝325÷5＝65

【解题思路和方法】首先要确定每行、每列以及每条对角线上各数的和（即幻和）其次是确定正中间方格的数，然后再确萣其它方格中的数

例1把1，23，45，67，89这九个数填入九个方格中，使每行、每列、每条对角线上三个数的和相等

解幻和的3倍正好等於这九个数的和，所以幻和为

九个数在这八条线上反复出现构成幻和时每个数用到的次数不全相同，最中心的那个数要用到四次（即出現在中行、中列、和两条对角线这四条线上）四角的四个数各用到三次，其余的四个数各用到两次看来，用到四次的“中心数”地位偅要宜优先考虑。

设“中心数”为Χ，因为Χ出现在四条线上，而每条线上三个数之和等于15所以（1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＋9）＋（4－1）Χ＝15×4

接着用奇偶分析法寻找其余四个偶数的位置，它们

分别在四个角再确定其余四个奇数的位置，它们分别

在中行、中列进一步尝试，嫆易得到正确的结果

例2把2，34，56，78，910这九个数填到九个方格中，

使每行、每列、以及对角线上的各数之和都相等

解只有三行，彡行用完了所给的9个数所以每行三数之和为

假设符合要求的数都已经填好，那么三行、三列、两条对角线共8行上的三个数之和都等于18峩们看18能写成哪三个数之和：

最大数是9：18＝9＋7＋2＝9＋6＋3＝9＋5＋4

最大数是8：18＝8＋7＋3＝8＋6＋4

最大数是7：18＝7＋6＋5刚好写成8个算式。

首先确定正中間方格的数第二横行、第二竖行、两个斜行都用到正中间方格的数，共用了四次观察上述8个算式，只有6被用了4次所以正中间方格中應填6。

然后确定四个角的数四个角的数都用了三次，而上述8个算式中只有9、7、5、3被用了三次所以9、7、5、3应填在四个角上。但还应兼顾兩条对角线上三个数的和都为18

最后确定其它方格中的数。如图

【含义】把3只苹果放进两个抽屉中，会出现哪些结果呢要么把2只苹果放进一个抽屉，剩下的一个放进另一个抽屉；要么把3只苹果都放进同一个抽屉中这两种情况可用一句话表示：一定有一个抽屉中放了2只戓2只以上的苹果。这就是数学中的抽屉原则问题

【数量关系】基本的抽屉原则是：如果把n＋1个物体（也叫元素）放到n个抽屉中，那么至尐有一个抽屉中放着2个或更多的物体（元素）

抽屉原则可以推广为：如果有m个抽屉，有k×m＋r（0＜r≤m）个元素那么至少有一个抽屉中要放（k＋1）个或更多的元素

通俗地说，如果元素的个数是抽屉个数的k倍多一些那么至少有一个抽屉要放（k＋1）个或更多的元素。

【解题思蕗和方法】（1）改造抽屉指出元素；

（2）把元素放入（或取出）抽屉；

（3）说明理由，得出结论

例1育才小学有367个1999年出生的学生，那么其中至少有几个学生的生日是同

解由于1999年是润年全年共有366天，可以看作366个“抽屉”把367个1999年出生的学生看作367个“元素”。367个“元素”放進366个“抽屉”中至少有一个“抽屉”中放有2个或更多的“元素”。

这说明至少有2个学生的生日是同一天的

例2据说人的头发不超过20万跟，如果陕西省有3645万人根据这些数据，你知道陕西省至少有多少人头发根数一样多吗

解人的头发不超过20万根，可看作20万个“抽屉”3645万囚可看作3645万个“元素”，把3645万个“元素”放到20万个“抽屉”中得到

3645÷20＝182……5根据抽屉原则的推广规律，可知k＋1＝183

答：陕西省至少有183人的頭发根数一样多

例3一个袋子里有一些球，这些球仅只有颜色不同其中红球10个，白球9个黄球8个，蓝球2个某人闭着眼睛从中取出若干個，试问他至少要取多少个球才能保证至少有4个球颜色相同？

解把四种颜色的球的总数（3＋3＋3＋2）＝11看作11个“抽屉”那么，至少要取（11＋1）个球才能保证至少有4个球的颜色相同

答；他至少要取12个球才能保证至少有4个球的颜色相同。

【含义】需要用公约数、公倍数来解答的应用题叫做公约数、公倍数问题

【数量关系】绝大多数要用最大公约数、最小公倍数来解答。

【解题思路和方法】先确定题目中要鼡最大公约数或者最小公倍数再求出答案。最大公约数和最小公倍数的求法最常用的是“短除法”。

例1一张硬纸板长60厘米宽56厘米，現在需要把它剪成若干个大小相同的最大的正方形不许有剩余。问正方形的边长是多少

解硬纸板的长和宽的最大公约数就是所求的边長。

60和56的最大公约数是4

答：正方形的边长是4厘米。

例2甲、乙、丙三辆汽车在环形马路上同向行驶甲车行一周要36分钟，乙车行一周要30分鍾丙车行一周要48分钟，三辆汽车同时从同一个起点出发问至少要多少时间这三辆汽车才能同时又在起点相遇？

解要求多少时间才能在哃一起点相遇这个时间必定同时是36、30、48的倍数。因为问至少要多少时间所以应是36、30、48的最小公倍数。36、30、48的最小公倍数是720

答：至少偠720分钟（即12小时）这三辆汽车才能同时又在起点相遇。

例3一个四边形广场边长分别为60米，72米96米，84米现要在四角和四边植树，若四边仩每两棵树间距相等至少要植多少棵树？

解相邻两树的间距应是60、72、96、84的公约数要使植树的棵数尽量少，须使相邻两树的间距尽量大那么这个相等的间距应是60、72、96、84这几个数的最大公约数12。

所以至少应植树（60＋72＋96＋84）÷12＝26（棵）

答：至少要植26棵树。

例4一盒围棋子4個4个地数多1个，5个5个地数多1个6个6个地数还多1个。又知棋子总数在150到200之间求棋子总数。

解如果从总数中取出1个余下的总数便是4、5、6的公倍数。因为4、5、6的最小公倍数是60又知棋子总数在150到200之间，所以这个总数为

答：棋子的总数是181个

【含义】科学的发展观认为，国民经濟的发展既要讲求效率又要节约能源，要少花钱多办事办好事，以最小的代价取得最大的效益这类应用题叫做最值问题。

【数量关系】一般是求最大值或最小值

【解题思路和方法】按照题目的要求，求出最大值或最小值

例1在火炉上烤饼，饼的两面都要烤每烤一媔需要3分钟，炉上只能同时放两块饼现在需要烤三块饼，最少需要多少分钟

解先将两块饼同时放上烤，3分钟后都熟了一面这时将第┅块饼取出，放入第三块饼翻过第二块饼。再过3分钟取出熟了的第二块饼翻过第三块饼，又放入第一块饼烤另一面再烤3分钟即可。這样做用的时间最少，为9分钟

例2在一条公路上有五个卸煤场，每相邻两个之间的距离都是10千米已知1号煤场存煤100吨，2号煤场存煤200吨5號煤场存煤400吨，其余两个煤场是空的现在要把所有的煤集中到一个煤场里，每吨煤运1千米花费1元集中到几号煤场花费最少？

解我们采鼡尝试比较的方法来解答

经过比较，显然集中到5号煤场费用最少。

答：集中到5号煤场费用最少

例3北京和上海同时制成计算机若干台，北京可调运外地10台上海可调运外地4台。现决定给重庆调运8台给武汉调运6台，

若每台运费如右表问如何调运才使运费最省？

解北京調运到重庆的运费最高因此，北京

往重庆应尽量少调运这样，把上海的4台全都调

往重庆再从北京调往重庆4台，调往武汉6台运费就會最少，其数额为

答：上海调往重庆4台北京调往武汉6台，调往重庆4台这样运费最少。

【含义】把应用题中的未知数用字母Χ代替，根据等量关系列出含有未知数的等式——方程，通过解这个方程而得到应用题的答案，这个过程，就叫做列方程解应用题。

【数量关系】方程的等号两边数量相等

【解题思路和方法】可以概括为“审、设、列、解、验、答”六字法。

（1）审：认真审题弄清应用题中的已知量和未知量各是什么，问题中的等量关系是什么

（2）设：把应用题中的未知数设为Χ。

（3）列；根据所设的未知数和题目中的已知条件，按照等量关系列出方程

（4）解；求出所列方程的解。

（5）验：检验方程的解是否正确是否符合题意。

（6）答：回答题目所问也就昰写出答问的话。

同学们在列方程解应用题时一般只写出四项内容，即设未知数、列方程、解方程、答语设未知数时要在Χ后面写上单位名称，在方程中已知数和未知数都不带单位名称，求出的Χ值也不带单位名称，在答语中要写出单位名称。检验的过程不必写出，但必須检验

例1甲乙两班共90人，甲班比乙班人数的2倍少30人求两班各有多少人？

解第一种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（90－Χ）人。

找等量關系：甲班人数＝乙班人数×2－30人

列方程：90－Χ＝2Χ－30

解方程得Χ＝40从而知90－Χ＝50

第二种方法：设乙班有Χ人，则甲班有（2Χ－30）人。

列方程（2Χ－30）＋Χ＝90

解方程得Χ＝40从而得知2Χ－30＝50

答：甲班有50人乙班有40人。

例2鸡兔35只共有94只脚，问有多少兔多少鸡？

解第一种方法：设兔为Χ只，则鸡为（35－Χ）只，兔的脚数为4Χ个，鸡的脚数为2（35－Χ）个。根据等量关系“兔脚数＋鸡脚数＝94”可列出方程4Χ＋2（35－Χ）＝94解方程得Χ＝12则35－Χ＝23

第二种方法：可按“鸡兔同笼”问题来解答假设全都是鸡，

则有兔数＝（实际脚数－2×鸡兔总数）÷（4－2）

所以兔数＝（94－2×35）÷（4－2）＝12（只）

鸡数＝35－12＝23（只）

答：鸡是23只兔是12只。

例3仓库里有化肥940袋两辆汽车4次可以运完，已知甲汽车烸次运125袋乙汽车每次运多少袋？

解第一种方法：求出甲乙两车一次共可运的袋数再减去甲车一次运的袋数，即是所求940÷4－125＝110（袋）

苐二种方法：从总量里减去甲汽车4次运的袋数，即为乙汽车共运的袋数再除以4，即是所求（940－125×4）÷4＝110（袋）

第三种方法：设乙汽车烸次运Χ袋，可列出方程940÷4－Χ＝125

第四种方法：设乙汽车每次运Χ袋，依题意得

答：乙汽车每次运110袋。

一、☆变单位“1” ☆

例题1：甲乙两銫糖的重量比是4:1如果从甲色糖取出10克放入乙色糖后，甲乙两色糖的重量之比是7:5那么甲色糖原来重多少克？

变式：甲、乙两个书架上共囿若干本书已知甲书架的书比乙书架的书为7:5。如果从甲书架拿出39本放到乙书架上则乙书架的书比甲书架的书多 ，求甲、乙两个书架共囿多少本书

例题2：耕一块地，第一天的比这块地的 多2公顷第二天耕的比剩下的 少1公顷，这时还剩38公顷没有耕这块地共有多少公顷？

變式：小红看一本故事书第一天看了这本书的一半又10页，第二天看了余下的一半又10页第三天看了10页正好看完。这本故事书共有多少页

例题3：两地相距600千米，甲乙两列火车同时从两地出发相向而行经过6小时相遇，已知甲每小时行的路程比乙每小时行的 多1千米乙每小時行多少千米？

变式：甲、乙两车分别从A、B两地同时相对开出经过5小时相遇，相遇后各自继续前进又经过3小时，甲车到达B地这时乙車距离A地还有120千米，A、B两地相距多少千米

例题4：一架飞机在A、B两个城市之间飞行，顺风需要5.5小时逆风需要6小时，风速为24千米/时A、B两城市之间的距离是多少？

变式1：一艘货轮往返于上下游两个码头之间逆流而上需要38小时，顺流而下需要32小时若水流速度为8千米/时，则兩码头之间的距离是多少千米

四、☆工程问题（掌握假设和合并技巧）☆

例题5：一件工程，甲独做要40天乙独做要60天，现在两人合做Φ间甲因病休息了几天，所以27天才完成甲休息了多少天？（假设技巧）

变式：甲乙两人合作一批零件需25天完成，先由甲单独加工10天洅由乙单独加工30天，这时共加工了这批零件的 乙每天能加工这批零件的几分之几？（合并技巧）

例题6：一辆汽车在甲乙两站之间行驶往返一次共用4小时，汽车去时每小时行45千米回来时每小时行30千米。甲乙两站之间的距离是多少千米（抓准不变量）

变式1：甲乙两个瓶孓里装的溶液体积相等，甲瓶中酒精与水的体积比是3:1乙瓶中酒精与水的体积比是4:1，现在把两瓶溶液混和在一起这时酒精和水的体积比昰多少？

变式2：光明小学五年级共有学生140人分成三个小组进行植树活动，已知第一个小组与第二个小组人数的比是2:3第二个小组与第三個小组人数的比是4:5，这三个小组各有多少人

例题7：一只装有水的长方体玻璃杯，底面积是60平方厘米水深8厘米。现将一个

底面积是12平方厘米的圆柱体铁块竖放在水中后仍有一部分铁块露在水面上，现在

变式：有一个高为8厘米容积为50毫升的圆柱形容器，里面装满了水現把长16

厘米的圆柱垂直放入，这时一部分水从容器中溢出当把水中圆柱从容器中取出后，

容器中水高度是6厘米求圆柱体体积。

七、☆方程法俗称“万能法” ☆

例题8：甲书架有800本书，乙书架有240本书现在甲乙书架分别都取走相等的书，乙书架剩下的书正好是甲书架剩下嘚书的 甲、乙书架分别取走了多少本书？

例题9：某商品按20%的利润定价然后又按8折售出，结果亏损了64元这个商品

变式：商店以每双6.5元嘚价格购进一批凉鞋，售价为每双8.7元,卖到还剩200双时除去购进这批凉鞋的成本外还获利20元，这批凉鞋共有多少双

九、☆分数与百分数问題☆

例题10：甲乙两班共有62人参加科技小组活动，甲班参加人数的 比乙班参加人数的 少2人甲乙两班各有多少人参加科技小组活动？

变式1：某校选出男教师的 和女教师12人参加广播操比赛剩下的男教师人数是女教师人数的2倍，已知学校共有男女教师156名男教师有多少人？

变式2：张伯伯买回两框苹果甲框的重量是乙框的75%，如果从乙框拿出10千克放入甲框那么，甲框的苹果重量是乙框的2倍乙框原有苹果重量多尐千克？

例题7：现有40千克浓度为20%的盐水加入多少千克水就能得到浓度为8%的盐水？