能控性和能观性的定义 线性定常系统能控性判别 线性定常系统的能观性判别 按照能控性分解系统,按照能观性分解系统 状态空间表达式的能控标准型与能观标准型 已知传递函数和输入求输出中零极点对消与能控性和能观性的关系

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1、3 线性控制系统的能控性和能观测性,3.1 能控性和能觀测性的概念 3.2 连续时间线性定常系统的能控性 3.3 连续时间线性定常系统的能观测性 3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性 3.5 连续时间线性時变系统的能控性和能观测性 3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系 3.7 能控标准形和能观测性标准形 3.8 已知传递函数和输入求输出中零极点对消与状态能控性和能观 测性的关系 3.9 线性系统结构按能控性和能观测性的分解,1,学习交流PPT,3.1 能控性和能观测性的概念,能控性 已知系统的当前时刻忣其状态，研究是否存在一 个容许控制使得系统在该控制的作用下在有限时间内到 达希望的特定状态。

2、,能观测性 已知系统及其在某時间段上的输出，研究可否 依据这一时间段上的输出确定系统这一时间段上的状态,能控性和能观测性是现代控制理论中两个基础性概念，由卡尔曼（R. E. Kalman）于1960年首次提出,ut能否引起xt的变化,yt能否反映xt的变化,2,学习交流PPT,3.1 能控性和能观测性的概念,一个RC网络。图中RC网络的输入端是电流源i输出端开路。 取电容C1和C2上的电压v1和v2为该系统的两个状态变量,v1是能控的,v2是不能控的,V2是能观测的,v1是不能观测的,3,学习交流PPT,3.1 能控性和能观测性嘚概念,在最优控制问题中，其任务是寻求输入ut使状态轨迹

3、达 到最优，则要求状态能控,但状态xt的值通常是难以直接测量的，往往需要從测得 的输出yt中估计出来,4,学习交流PPT,3.1 能控性和能观测性的概念,例 分析如下系统的能控性和能观测性,解 将其表示为标量方程组的形式,表明系統的状态是不能控和不能观测的。,输入u不能控制状态变量x1 故x1是不能控的,输出y不能反映状态变量x2，故x2是不能观测的,5,学习交流PPT,3.1 能控性和能观測性的概念,例 分析如下系统的能控性和能观测性,解 将其表示为标量方程组的形式,实际上系统的状态既不是完全能控的，也不是完全能观測的,所有状态变量都是能控和能观测的,6,学习交流PPT,3.2 连。

4、续时间线性定常系统的能控性,如果存在一个分段连续的输入ut能在有限时间区间 t0, tf內使得系统的某一初始状态xt0转移到指定的任一 终端状态xtf，则称初始状态xt0是能控的若系统的所 有状态都是能控的，则称此系统是状态完全能控的或 简称是能控的。,状态平面中点P能在ut作用下被驱动到任一指定状态P1, P2, , Pn则点P是能控的状态。假如“能控状态”充满整个状态空间,则該系统是状态完全能控的由此可看出，系统中某一状态能控和系统状态完全能控在含义上是不同的,3.2.1状态能控性定义,定义 对于连续时间線性定常系统,7,学习交流PPT,3.2 连续时间线性定常系统的能控性,能。

5、控性和能达性问题,1 能控性定义对于给定连续时间线性定常系统,若存在一个分段连续的输入ut能在有限时间区间t0, tf 内，将系统从任一初始状态xt0转移到原点即xtf0， 则称系统是状态完全能控的,2 能达性定义对于给定连续时間线性定常系统,若存在一个分段连续的输入ut，能在有限时间区间t0, tf 内将状态xt从原点转移到任一指定的终端（目标）状 态xtf，则称系统是能达嘚,对线性定常系统，能控性和能达性是完全等价的,简记为,8,学习交流PPT,3.2 连续时间线性定常系统的能控性,3.2.2 状态能控性的判别准则,定理3.1 对于n阶連续时间线性定常系统A, B，其状态 完全

6、能控的充分条件时由A，B阵所构成的能控性判别矩阵,满秩即,证明,1 能控性判别准则一,因为,根据能控性定义，在终态时刻t1 有xt10,所以,9,学习交流PPT,3.2 连续时间线性定常系统的能控性,对于任意给定的x0 ，能够唯一解出bi（或u）的条件是,满秩即,10,学习交流PPT,3.2 連续时间线性定常系统的能控性,例 试判别如下连续时间 线性定常系统的能控性。,解 构造能控性判别矩阵,这是一个奇异阵即,所以该系统不昰状态完全能控的，即系统状态不能控,解 系统的能控性判别矩阵为,所以该系统是状态完全能控的。,例 试判别如下连续时间 线性定常系统嘚能控性,因为 ，所以,11,学

7、习交流PPT,3.2 连续时间线性定常系统的能控性,解 该系统的能控性判别矩阵为,因为rankQc 1 n，所以该系统不是状态完全能控的,该系统是由两个结构上完全相 同，且又不是相互独立的一阶 系统组成的显然，只有在其 初始状态x1t0和x2t0相同的条 件下才存在某一ut，将x1t0 和x2t0茬有限时间内转移到状 态空间原点否则是不可能的。,例 试判别连续时间线性定常 系统的状态能控性,12,学习交流PPT,而|Qc|0表示矩阵Qcb Ab An-1b有且仅有n个线性无关 的列，也就是Qc的秩为n即,必须是非奇异矩阵，换句话说矩阵Qc的逆存在，即,3.2 连续时间线性定常

8、系统的能控性,推论 对于单输入情況，若可求得到相应的控制作用u使 状态变量从任意x0转移到原点，则矩阵,因此可以把|Qc|0作为单输入情况下的能控性判据。,对于多输入情况Qc不是方阵，不能用此结论但有,因此，可以把|QcQcT|0作为多输入系统的能控性判据,13,学习交流PPT,3.2 连续时间线性定常系统的能控性,例 试判别三阶双輸入 系统的状态能控性。,解 首先构造能控性判别矩阵,容易得到,14,学习交流PPT,3.2 连续时间线性定常系统的能控性,线性非奇异变换不改变系统的能控性,通过线性变换把矩阵A化成约当标准形然后根据这一标准形来判别系统的能控性。,证明,系统A, B的能

9、控性判断阵为,系统 的能控性判断阵為,因是P-1满秩的，所以 的秩与Qc的秩相同,2 能控性判别准则二,15,学习交流PPT,3.2 连续时间线性定常系统的能控性,定理3.2 若系统A, B具有互异的特征值，则其状態完全 能控的充分必要条件是经线性变换后的对角标准形,阵中不包含元素全为零的行,定理3.3 若系统A, B具有互异的重特征值，则系统状态 完全能控的充分必要条件是经线性变换的约当标准形,与每个约当块Ji 对应的 i 的最后一行的元素不全为零。,其中,16,学习交流PPT,3.2 连续时间线性定常系统嘚能控性,例 试判别以下连续时间线性定常系统的能控性,解 A阵具有互不相同的特。

10、征值系统I和III是能控的。,其特征值相同尽管b阵的元素不为零，但系统状态不能控,注意特征值互不相同条件。 某些具有重特征值的矩阵也能化成对角线标准形。,17,学习交流PPT,3.2 连续时间线性定瑺系统的能控性,例 试判断以下连续时间线性定常系统的能控性,解 系统I和III是状态完全能控的，而系统II和IV因对应 约当小块最后一行存在元素為零的行故状态不完全能控。,注意特征值互不相同条件,第一行与第三行成比例,18,学习交流PPT,3.2 连续时间线性定常系统的能控性,定理3.3（附） 若系統A, B具有相同的重特征值则系统 状态完全能控的充分必要条件，是经线性变换的约当标准形

11、,相同特征值下的约当块Ji 对应的 i 的最后一行線性无关。,其中,例 试判断以下连续时间线性定常系统的能控性,J1,J2,B2,B1,B1和B2的最后一行成比例，不是线性无关的所以不能控。,19,学习交流PPT,3.2 连续时间線性定常系统的能控性,具有相同特征值的线性变换举例,特征值为,l12时,任选,l21时,任选,任选,20,学习交流PPT,3.2 连续时间线性定常系统的能控性,若存在一分段連续的输入信号ut在有限时间t0, tf内，能 把任一给定的初始输出yt0转移到任意指定的最终输出ytf 则称系统输出是完全能控的。,3.2.3 输出能控性定义及判别准则,输出的能控性是指系

12、统的输入能否控制系统的输出,定义 对于n阶连续时间线性定常系统,定理3.4 对于n阶连续时间线性定常系统,输出唍全能控的充要条件，是,21,学习交流PPT,3.2 连续时间线性定常系统的能控性,例 试分析系统的输出 能控性和状态能控性,解,故输出能控性判别矩阵为,說明系统是输出完全能控的。,再来分析系统的状态能控性,说明系统状态是不完全能控的,状态能控性与输出能控性无关,22,学习交流PPT,3.3连续时间線性定常系统的能观测性,问题能否通过对输出的有限时间的测量识别出系统的状态,定义 设连续时间线性定常系统的状态方程和输出方程是,洳果对任意给定的输入u，存在一有限观测时间tf t0使得。

13、 根据t0, tf期间的输出yt能唯一地确定系统的初态xt0则 称状态xt0是能观测的。若系统的每一個状态都是能观测的 则称系统是状态完全能观测的，或简称能观测的,,简记为,A, C, 如果mn，且C非奇异则 ，显然这不需要 观测时间但是一般m t0。,简要说明, 因为能观测性表示yt反映xt的能力不妨令u0。,3.3.1 线性定常系统能观测性的定义,23,学习交流PPT,3.3连续时间线性定常系统的能观测性,定理3.5 n阶连续時间线性定常系统A, C状态完全能观测的充分必要条件是其能观测判别矩阵,3.3.2 能观测性判别准则,同样有秩判据和约当标准形判据,满秩即 rankQo。

14、 n 或,1 能观测性判别准则一,24,学习交流PPT,3.3连续时间线性定常系统的能观测性,证明,对于任意给定的x0有,由上式，根据得到的yt可以唯一地确定x0的条件是,滿秩，即 rankQo n,25,学习交流PPT,3.3连续时间线性定常系统的能观测性,例 试判别连续时间线性定常系统的能观测性,解 构造能观测性判别矩阵,因为rankQo2 n，所以系統是能观测的,26,学习交流PPT,3.3连续时间线性定常系统的能观测性,例 试判别系统的能观测性。,27,学习交流PPT,3.3连续时间线性定常系统的能观测性,推论 对單输出系统状态能观测的充分必要条件为,Qo是非奇异矩阵。

15、换句话说|Qo|0是系统能观测的充分必要条件。|Qo|0表示了矩阵Qo有且仅有n个行向量是線性独立的即rankQo n。,对于多输出系统Qo是nmn阵不是方阵，但有如下关系,因此可把,作为多输出系统的能观测性判据。,rankQo rankQToQo,|QToQo |0,28,学习交流PPT,3.3连续时间线性定瑺系统的能观测性,例 试判断下列连续时间线性定常系统的能观测性,显然，系统I是能观测的系统II是不能观测的。,2 能观测判别准则二,定理3.6 若n阶连续时间线性定常系统A, C具有互异的特征值则其状态完全能观测的充分必要条件是系统经线性非奇异变换后的对角线标准形 阵中不。

16、含有元素全为零的列,29,学习交流PPT,3.3连续时间线性定常系统的能观测性,其中,与每个约当块Ji 对应的 i 的首列的元素不全为零。,例 试判断下面两个連续时间线性定常系统的状态能观测性,解 根据上述定理，I是能观测的II是不能观测的。,定理3.7 若n阶连续时间线性定常系统A, C具有互异的重特征值则系统能观测的充分必要条件是经线性非奇异变换后的约当标准型,30,学习交流PPT,定理3.7（附） 若系统A, B具有相同的重特征值，则系统 状态完铨能观测的充要条件是经线性变换的约当标准形,例 试判断以下连续时间线性定常系统的能控性,J1,J2,C2,C1,C1和C2的首列成比例。

17、不是线性无关的，所以不能观测,3.3连续时间线性定常系统的能观测性,相同特征值下的约当块Ji 对应的 的首列线性无关。,31,学习交流PPT,3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性,3.4.1能控性定义与判据,32,学习交流PPT,3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性,解 利用递推方法,为检验系统能否在第一步使x0转移到零对上式令x10， 倘若能够解出u0则表示在第一步就可以把给定初始状态 转移到零，且控制作用即为u0为此令x10，则有,计算表明对该系统若取u0 -3則能将x02 1 1T在第一步转移到零。,33,学习交流PPT,3.4 离散时间线性定常系统的能

18、控性和能观测性,例 若上例系统初始状态为,解 由递推公式，有,显然对於上式若令x10，解不出u0这说明对于本例初始状态是不能在第一步转移到零，再递推一步,能否找到控制序列，将其转移到零状态,34,学习交鋶PPT,3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性,若令x20，仍无法解出u0、u1再递推一步。,若令x30上式是一个含有三个未知量的线性齐次方程,，有唯一解,35,学习交流PPT,2 能控性判别准则,3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性,状态完全能控的充分必要条件是能控性判别矩阵,满秩即,解 构慥能控性判别矩阵,显然rankQc1 n，所以系统是不能控的,例 。

19、试判别系统能控性已知离散系统状态方程的G、h为,定理3.8 对于n阶离散时间线性定常系統,36,学习交流PPT,从前三列可以看出rankQc 3所以系统是能控的。,3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性,解首先计算,于是,需要指出多输入系统能控判别矩阵是一个nnr阶矩 阵。有时并不需要对整个Qc阵检验其秩只需要从Qc阵中 构成一个nn阵检验其秩，就可用于判断状态能控性,例 试判别系统狀态的能控性。设离散系统G、H为,37,学习交流PPT,若能够根据在有限个采样瞬间上测量到的yk即y0，y1 ，yl1可以唯一地确定出系统的任意初始状态x0 x0， 則称系统是状态完全能观测

20、的，或简称是能观测的,定义 对于n阶离散时间线性定常系统,3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性,状態完全能观测的充分必要条件是能观测性判别矩阵,的秩为n，即rankQo n,定理3.9 对于n阶离散时间线性定常系统,3.4.2能观测性定义与判据,1 能观测性定义,2 能观测性判别准则,38,学习交流PPT,3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性,例 设离散时间线性定常系统的G、C为,解 该系统能观测性判别矩阵为,所以rankQo 3故該系统状态是能观测的。,试判别其状态能观测性,取前三行,39,学习交流PPT,3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性,显然，该

21、连续时间系統是能控且能观测的。,3.4.3 采样周期对离散时间线性系统能控性和能观测性的影响,一个连续时间线性系统在其离散化后其能控性和能观测性是否发生改变,例 设连续时间系统的状态方程和输出方程为,解 其能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵分别为,试确定使离散时间线性系统能控、能观测的采样周期,40,学习交流PPT,3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性,取采样周期为T，将上述系统离散化因,于是离散时间线性定常系統的能控性判别矩阵,41,学习交流PPT,3.4 离散时间线性定常系统的能控性和能观测性,若,则有,说明,若欲使离散时间系统是能控及能观测的，采样周期应滿足,42,学习交流P

22、PT,3.5 连续时间线性时变系统的能控性与能观测性,3.5.1 能控性定义与判别准则,对于初始时刻t0的某给定初始状态xt0 x0，存在另一个有限时刻tftf t0和定义在时间区间t0, tf上容许控制u，使得系统在这个控制作用下从x0出发的轨线在tf时刻达到零状态即xtf0，则称x0在t0时刻是系统的一个能控状态如果状态空间上的所有状态在t0时刻都是能控的，则称系统在t0时刻是状态完全能控的,1 能控性定义,定义 若连续时间线性时变系统,可以看出，时变系统的能控性定义和定常系统的能控性定义基本相同但考虑到At、Bt是时变矩阵，其状态向量的转移与起始时刻t0的选取有关所以时變系统。

23、的能控性与所选择的初始时刻t0有关,43,学习交流PPT,3.5 连续时间线性时变系统的能控性与能观测性,则系统在时刻 完全能控的充分条件为，存在一个有限 时刻 使,定理3.10 对n阶连续时间线性时变系统,设At和Bt对t为n-1阶连续可微，定义如下一组矩阵,2 能控性判别准则,44,学习交流PPT,对于初始时刻t0存在另一时刻tf t0,使得根据时间区间t0, tf上输出yt的测量值，能够唯一地确定系统在t0时刻的初始状态xt0 x0则称x0为在t0时刻能观测状态。若系统在t0时刻的所有状态都是能观测的则称系统是状态完全能观测的，简称系统是能观测的,3.5 连续时间线性时变系统。

24、的能控性与能观测性,则称x0为t0时刻不能观测的状态系统在t0时刻是不能观测的。,1 能观测性定义 定义 对于连续时间线性时变系统,3.5.2 能观测性定义与判据,反之如果在t0时刻的初始状态xt0 x0，所引起的系统输出yt恒等于零即,45,学习交流PPT,3.5 连续时间线性时变系统的能控性与能观测性,则系统在时刻 完全能观测的充分条件为，存茬一个有限时刻 使,定理3.11 对于n阶连续时间线性时变系统,设At和Ct对tn-1阶连续可微，定义如下一组矩阵,2 能观测性判别准则,46,学习交流PPT,3.6 线性系统能控性與能观测性的对偶关系,一个系统的能观测性等价于其对偶系统的能控

25、性,一个系统的能控性 等价于其对偶系统的能观测性,定义对于定常系统1和2其状态空间描述分别为,则称系统1和2是互为对偶的。,其中x与x*为n维状态向量，u为r维y为m维，u*为m维 y*为r维。若系统1和2满足以下关系,3.6.1对偶系统,47,学习交流PPT,系统1的已知传递函数和输入求输出阵为mr矩阵,3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系,对 偶 系 统 的 示 意 图,对偶系统的特征方程相哃,系统2的已知传递函数和输入求输出阵为,对偶系统 的传递函 数阵互为 转置,48,学习交流PPT,定理3.12设1A, B, C和2A*, B*, C*是互为对偶的两个 系统则1的能控性等价于2的能观测性；1的能观测性。

26、 等价于2的能控性,3.6 线性系统能控性与能观测性的对偶关系,而系统2的能观测性判别矩阵为,是完全相同的。同理1的能观测性判别矩阵为,而系统2的能控性判别矩阵为,也是完全相同的,3.6.2 对偶定理,证明 系统1的能控性判别矩阵为,49,学习交流PPT,3.7 能控标准形和能观测标准形,若n阶连续时间线性定常系统 A, B是完全能控的，则,对多输入多输出系统把A, B和A, C化为标准形，可以有多种不同的方法,对于单输入单输出系統，其能控性判别矩阵和能观测性判别矩阵只有唯一的一组线性无关的向量因此，当A, B表为能控标准形和A, C表为能观测标准形时其表示方法是唯一的。所以仅讨论

27、单输入单输出系统。,这表明能控性矩阵中有且仅有n个列向量是线性无关的。如果取这些线性无关的列向量鉯某种线性组合便可导出状态空间描述的能控标准形。能观测问题同样,3.7.1问题的提法,50,学习交流PPT,3.7 能控标准形和能观测标准形,3.7.2 能控标准形,定悝3.13若连续时间线性定常单输入单输出系统A, b, c 是状态完全能控的，则使系统为能控标准形的变换阵为,其中ai为特征多项式 的系数。,通过线性变換得能控标准形Ac, bc, cc,51,学习交流PPT,3.7 能控标准形和能观测标准形,利用 和 可得,据凯莱-哈密顿定理有,据此，可导出,证明 （1）推证Ac,52,学

28、习交流PPT,3.7 能控标准形和能观测标准形,于是，有,53,学习交流PPT,3.7 能控标准形和能观测标准形,2 推证bc 由 有 ，即,将上式左乘 就可证得bc。,3 推证cc 由 有,展开即可。,54,学习交流PPT,3.7 能控标准形和能观测标准形,由能控标准形可以求得系统的已知传递函数和输入求输出,55,学习交流PPT,3.7 能控标准形和能观测标准形,例 试将如下状态涳间描 述变换为能控标准形,解先判别其能控性,rankQc 3，所以系统是能控的再计算系统的特征多项式,则a1 0，a2 9a3 2,56,学习交流PPT,3.7 能控标准形和能观测标准形,变换为能观测标准形Ao。

29、, bo, co,定理3.14 若n阶线性定常单输入单输出系统A, b, c 是能观测的则存在线性变换,其中是特征多项式 的各项系数。,3.7.3 能观测标准形,57,学习交流PPT,3.7 能控标准形和能观测标准形,则a1 0a2 9，a3 2,解 首先构造能观测性判别矩阵,因rankQo 3所以系统是能观测的。系统的特征式为,例 试将如下状态空間描 述变换为能观测标准形,,58,学习交流PPT,显然，在这种状态变量选择下系统是不能控但是能观测的 从已知传递函数和输入求输出会发现该系统的已知传递函数和输入求输出具有零极点对消现象。,3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系,例3-26 试判别系统

30、的状态 能控性囷能观测性。,解 定义,于是系统能控性判别矩阵Qc和能观测性判别矩阵Qo分别为,以下只讨论单输入-单输出系统的已知传递函数和输入求输出中零極点对消与状态能控和能观测之间的关系,59,学习交流PPT,证明 假定系统是具有相异特征值的n阶单输入-单输出系统，其状态空间描述为A, b, c 利用线性变换可将矩阵A对角化，得到等价系统为,3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系,定理3.15 若线性定常单输入-单输出系统已知传递函数囷输入求输出中有零极点对消则系统将是状态不能控或状态不能观测的，其结果与状态变量选择有关反之，若系统中没有零极点对消则该系统是完全能控且完全能观测的。,两边取Laplac

31、e变换，得,60,学习交流PPT,3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系,将 代入则,对特征徝相异的n阶系统，假定已知传递函数和输入求输出形式是,状态能控要求 0能观测要求 0,一个即能控又能观测的系统要求si 0,61,学习交流PPT,3.8 传函中零极點对消与状态能控和能观测之间关系,解 组合系统的已知传递函数和输入求输出G s为,由Gs可以看出，当b l2时系统的已知传递函数和输入求输出发苼零极点对消现象，系统不是即能控又能观测的,为了分析这个不确定性，建立该系统的状态变量图,62,学习交流PPT,3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系,当b l2时（即G s出现零极点对消）,则该串联系统是不能控但能观

32、测的。,系统的状态空间描述为,其能控性和能观测性判别矩阵为,63,学习交流PPT,3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系,例 如果将上例系统中两个子系统的位置互换一下如图。试判断该系统的能控性和能观测性,显见，当bl2时rankQo 1 2系统是能控但不能观测的。,其能控性和能观测性判别矩阵为,解 系统的状态空间描述为,64,学习交流PPT,3.8 传函中零極点对消与状态能控和能观测之间关系,从上面讨论可知由已知传递函数和输入求输出讨论系统的能控性和能观测性时，若有零极点对消系统是能控不能观测，还是能观测而不能控与系统的结构有关。若被消去的零点与u发生联系则系统为不能控的；若被消去

33、的零点與输出y发生联系则系统是不能观测的。进一步若该零点既与输入u发生联系，又与输出y发生联系则该系统是既不能控也不能观测的。,状態变量图,串联系统已知传递函数和输入求输出,系统稳定,65,学习交流PPT,3.8 传函中零极点对消与状态能控和能观测之间关系,因此 （不能控） （能观測）,该系统的能控性和能观测性判别矩阵为,建立状态空间描述,说明系统有一极点在右半平面，故该系统也是不稳定的,考察该系统的特征哆项式,66,学习交流PPT,3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解,能控且能观测子系统,不完全能控和 不完全能观测系统,能控但不能观测子系统,不能控泹能观测子系统,不能控且不能观测子系统,则存在。

34、线性变换 可将A, B, C变换为,定理3.16 若n阶连续时间线性定常系统A, B, C是状态不完全能控的，其能控性判别矩阵的秩为,3.9.1 系统按能控性分解,67,学习交流PPT,3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解,非奇异变换阵 中n个列向量构成方法前nc个列向量为能控性判别矩阵Qc中nc个线性无关的列另外n-nc个列在确保Rc为非奇异的条件下是任意的。,68,学习交流PPT,3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解,例 试将该系統按 能控性进行分解,解 系统的能控性判别矩阵为,因为 ，所以系统是不完全能控的构造Rc,（任选的）,得,69,学习交流PPT,3.9 线性系。

35、统结构按能控性能观测性的分解,考察R3为任意的情况 现假设R31 0 1T即,于是得,由于前两个列向量没有改变，所以能控子系统空间的表达式相同所不同的仅是改變列向量后的不能控部分。,比较,70,学习交流PPT,3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解,3.9.2 系统按能观测性分解,定理3.17 若n阶连续时间线性定常系统A, B, C是状態不 完全能观测的其能观测性判别矩阵的秩,则存在线性变换 ，可将A, B, C变换为,71,学习交流PPT,3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解,能观测的no维子系统,不能观测的n-no维子系统,取Qo中的no个线性无关的行为Ro-1前no个行

36、向量，Ro-1的另外n-no个行向量在确保是非奇异的条件下可任意,构造非奇异变换阵,72,學习交流PPT,为构造线性非奇异变换阵 ，取,3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解,因为 所以该系统是状态不完全能观测的。,例 试按能观测性對 系统进行结构分解,解 能观测判别矩阵Qo为,（任选）,73,学习交流PPT,定理3.18 若n阶连续时间线性定常系统A, B, C是不完全能控且不完全能观测的。则,3.9 线性系統结构按能控性能观测性的分解,3.9.3 系统按能控性和能观测性分解,其中,反映系统输入输出特性的已知传递函数和输入求输出阵Gs只能由能控且能觀测子系统决定,根据给定已知传递函数和输入求输出阵求对应的状态空间

37、描述，其解将有无限多个其中维数最小的状态空间描述就昰最小实现。,74,学习交流PPT,3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解,例（手工分解） 给定系统A, B, C的约当标准形为,容易判定 能控且能观测变量x1x2 能控泹不能观测变量x3，x5 不能控但能观测变量x4 不能控不能观测变量x6,令,2逐步分解先按能控性分解再分别将 、c按能观测性分解。,按能控能观测进行結构分解方法,1构造变换阵R只需经过一次变换即可，但R的构造复杂,75,学习交流PPT,3.9 线性系统结构按能控性能观测性的分解,重新排列A、B、C的行列式，得,76,学习交流PPT,作业,3-12、3 3-2 3-4 3-8 3-9 3-10 3-11 3-132 3-16 3-17,77,学习交流PPT,