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对某一量进行一系列等精度测量得到的测量值x1，x2…，xn应以全部测量值的算术平均值作为测量结果的最佳估计即

若被测量值x是具有正态分布N(μ，σ)的随机变量，今通过测量得到n个测量值，即为容量大小为n的子样本数据

若测量设备的最大测量單位为△x，x的测量值为xi,则意味着x落在中心为xi、区间为 (-△x,+△x)的范围中，其概率为

因为x服从正态分布其概率密度函数为

所以，出现式(3-2)的概率根据概率乘法定理全部测量值落在区间(一△x+△x)中的概率应为

这个概率值，对于不同的μ和σ?值对应有不同的数值。根据最大似然性方法使此概率值达到最大的一组参数值(u，σ?)可用求极值的方法解出，即使

达到最大也就是使lnL(μ，σ?)达到最大，即

这就是用被测量的算术平均值作为测量结果最佳估计的理由称之为算术平均值原理。

2.算术平均值的标准差的计算公式实例差

在处理一组等精度重复测量数據时常取算术平均值作为该测量结果的最佳估计;但是这个估计量依赖于所取的测量样本。选取不同的样本求得的算术平均值会有所不哃，也就是说样本的算术平均值本身也是随机变量，用它作为测量总体的一个估计仍有一定程度的分散;但是这种分散比单一测量值的汾散性要小。尽管算术平均值是围绕在被测量的真值附近但也说明将它作为被测量真值的估计仍有一定程度的不可靠性。因此有必要進一步对样本算术平均值的标准差的计算公式实例差做出估计。

根据概率论中方差的性质和估算规则有

4)表明，对n次独立重复测量到的数據取算术平均值后其标准差的计算公式实例差为单次测量标准差的计算公式实例差的，测量次数n越大越小，即其愈接近真值可是，增加测量次数是减小随机误差的一种途径。但是不能靠增加测量次数n，无限地提高算术平均值的精度由图3-2可知，当n>10且σ—定时，已減小得较缓慢此外，测量次数越多越难以保证测量条件的稳定，从而带来新的误差因此一般情况下，取10≤n≤15较为适宜测量次数的具体取值，应根据实验目的和测量精度的要求而定例如，为确定随机误差的分布规律n>>20。

对于一组测量数据常常用其标准差的计算公式实例差来表述这组数据的分散性，如果这组数据是来自于某测量总体的一个样本则该组数据的标准差的计算公式实例差是对总体标准差的计算公式实例差的一个估计，称其为样本标准差的计算公式实例差亦称为实验标准差的计算公式实例差。由于随机误差的真值通常無法求得故计算标准差的计算公式实例差时,应以残差u来代替。

设xi为等精度测量的测量值测量次数为n，此量的真值为xz算术平均值为，根据误差的意义有

式中：δi——随机误差的真值；

当n足够大时，上式的第二项趋于零将代入式（3 - 5)中，并将等式除以n得

式(3-6)为贝塞尔（Bessel)公式的另一种表达形式。根据此式可由残余误差求得单次测量的标准差的计算公式实例差的估计量

若等精度多次测量的测量值x1，x2.....，xn服從正态分布其中最大值为xmax，最小值为 xmin则它们的差值称为极差叫，即

用对极差求数学期望的方法可推导出

式中：dn——极差法系数，其徝见表3-2

 极差法计算方便，并具有一定精度一般n<10时可采用，适用于正态分布总体故在一些测量领域中可采用。

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