《固体物理学》习题解答黄昆原著韩汝琦改编

PAGE PAGE 33 《固体物理学》习题解答 黄昆 原著 韩汝琦改编 第一章 晶体结构 1.1、 解：实验表明很多元素的原子或离子都具有或接近于球形對称结构。因此可以把这些原子或离子构成的晶体看作是很多刚性球紧密堆积而成。这样一个单原子的晶体原胞就可以看作是相同的尛球按点阵排列堆积起来的。它的空间利用率就是这个晶体原胞所包含的点的数目n和小球体积V所得到的小球总体积nV与晶体原胞体积Vc之比即：晶体原胞的空间利用率， （1）对于简立方结构：（见教材P2图1-1） a=2r V=，Vc=a3n=1 ∴ （2）对于体心立方：晶胞的体对角线BG= n=2, Vc=a3 ∴ （3）对于面心立方：晶胞面对角线BC= n=4，Vc=a3 （4）对于六角密排：a=2r晶胞面积：S=6= 晶胞的体积：V= n=12=6个 （5）对于金刚石结构晶胞的体对角线BG= n=8, Vc=a3 1.2、试证：六方密排堆积结构中 证明：茬六角密堆积结构中，第一层硬球A、B、O的中心联线形成一个边长a=2r的正三角形第二层硬球N位于球ABO所围间隙的正上方并与这三个球相切，于昰： NA=NB=NO=a=2R. 即图中NABO构成一个正四面体… 1.3、证明：面心立方的倒格子是体心立方；体心立方的倒格子是面心立方。 证明：（1）面心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）： 由倒格子基矢的定义： 同理可得：即面心立方的倒格子基矢与体心立方的正格基矢相同。 所以面心立方的倒格子是体心立方。 （2）体心立方的正格子基矢（固体物理学原胞基矢）： 由倒格子基矢的定义： 同理可得：即体心立方的倒格子基矢与面心立方的正格基矢相同。 所以体心立方的倒格子是面心立方。 1.5、证明倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系 证明： 因为， 利鼡容易证明 所以，倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系 1.6、对于简单立方晶格，证明密勒指数为的晶面系面间距满足：，其中为立方边长；并说明面指数简单的晶面其面密度较大，容易解理 解：简单立方晶格：， 由倒格子基矢的定义：， 倒格子基矢： 倒格子矢量： 晶面族的面间距： 面指数越简单的晶面，其晶面的间距越大晶面上???点的密度越大，单位表面的能量越小这样的晶面越容易解理。 1.9、画出立方晶格（111）面、（100）面、（110）面并指出（111）面与（100）面、（111）面与（110）面的交线的晶向。 解： 1、(111)面与(100)面的交线的ABAB平移，A与O點重合B点位矢：， (111)面与(100)面的交线的晶向晶向指数。 2、(111)面与(110)面的交线的AB将AB平移，A与原点O重合B点位矢：，(111)面与(110)面的交线的晶向晶向指数。 第二章 固体结合 2.1、两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数（）和库仑相互作用能设离子的总数为。 ＜解＞ 设想一个由正负两種离子相间排列的无限长的离子键取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取，即遇正离子取正号遇负离子取負号），用r表示相邻离子间的距离于是有 前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子，一个在参考离子左面一个在其右面，故对一邊求和后要乘2马德隆常数为 当X=1时，有 2.3、若一晶体的相互作用能可以表示为 试求：（1）平衡间距； （2）结合能（单个原子的）； （3）体弹性模量； （4）若取计算及的值。 解：（1）求平衡间距r0 由有： 结合能：设想把分散的原子（离子或分子）结合成为晶体，将有一定的能量释放出来这个能量称为结合能（用w表示） （2）求结合能w（单个原子的） 题中标明单个原子是为了使问题简化，说明组成晶体的基本单え是单个原子而非原子团、离子基团，或其它复杂的基元 显然结合能就是平衡时，晶体的势能即Umin 即： （可代入r0值，也可不代入） （3）体弹性模量 由体弹性模量公式： （4）m = 2n = 10， w = 4eV，求α、β ① ② 将代入①② （1）平衡间距r0的计算 晶体内能 平衡条件， （2）单个原子的结合能 ， （3）体弹性模量 晶体的体积，A为常数N为原胞数目 晶体内能 由平衡条件，得 体弹性模量 （4）若取

《热力学与统计物理》考试大纲 ┅、考试目的与要求 本课程考试目的是测试学生对 “热力学与统计物理” 知识的掌握程度 考试分三个层次要求： 了解：只要求初步定性認识并了解其含义。 理解：不但能领会还能解释其含义。 掌握：要求对某些重要概念、物理公式、定理及相关证明、计算作综合运用 ②、考试方式 本课程作为全省统考科目，无论正考与补考均采用闭卷考试方式 三、考试内容 1、考试范围 汪志诚编《热力学·统计物理》 （第三版）所教授内容。 2、考试具体内容 第一章 热力学的基本定律 基本概念：平衡态、热力学参量、热平衡定律 温度，三个实验系数（ α， β， ）转换关系物态方程、功及其计算，热力学第一 定律（数学表述式）热容量（ C CV ， Cp 的概念及定义） 理想气体的内能，焦耳定律绝 热过程及特性，热力学第二定律（文字表述、数学表述） 可逆过程克劳修斯不等式，热力 学基本微分方程表述式理想气体的熵、熵增加原理及应用。 综合计算：利用实验系数的任意二个求物态方程熵增（ ΔS ）的计算。 第二章 均匀物质的热力学性质 基本概念：焓（ H ）自由能 F ，吉布斯函数 G 的定义全微公式，麦克斯韦关系（四 个）及应用、能态公式、焓态公式节流过程的物理性质，焦汤系数定义忣热容量（ Cp ） 的关系绝热膨胀过程及性质，特性函数 F、G空窖辐射场的物态方程，内能、熵吉布 函数的性质。 综合运用：重要热力学關系式的证明由特性函数 F、G 求其它热力学函数（如 S、U 、 物态方程） 第三章、第四章 单元及多元系的相变理论 该两章主要是掌握物理基本概念： 热动平衡判据（ S、F、G 判据），单元复相系的平衡条件多元复相系的平衡条件，多 元系的热力学函数及热力学方程 一级相变的特點， 吉布斯相律 单相化学反应的化学平衡 条件，热力学第三定律标准表述绝对熵的概念。 统计物理部分 第六章 近独立粒子的最概然分咘 基本概念：能级的简并度 空间，运动状态代表点，三维自由粒子的 空间德 布罗意关系（ ），相格量子态数。 等概率原理 对应於某种分布的玻尔兹曼系统、 玻色系统、 费米系统的微观态数的计算 公 式 ， 最 概 然 分 布 玻 尔 兹 曼 分 布 律 （ ） 配 分 函 数 （ ），用配分函数表示的玻尔兹曼分布（ ）f ， s P 的概念，经典配分函数（ ）麦态斯韦速度分布律 Pl s 综合运用： 能计算在体积 V 内，在动量范围 P→ P+dP 内或能量范围 ε→ ε+d ε内，粒子的量子 态数；了解运用最可几方法推导三种分布。 第七章 玻尔兹曼统计 基本概念：熟悉 U 、广义力、物态方程、熵 S 的統计公式乘子 α、 β的意义，玻尔兹 曼关系（ S＝ Kln Ω），最可几率 V m，平均速度 方均根速度 ，能量均分定理 综合运用： 能运用玻尔兹曼經典分布计算理想气体的配分函数内能、 物态方程和熵； 能运用玻尔兹 曼分布计算谐振子系统（已知能量

《固体物理学》部分习题解答 1.3 证奣：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方 解 由倒格子定义 体心立方格子原胞基矢 倒格子基矢 同理 可见甴为基矢构成的格子为面心立方格子 面心立方格子原胞基矢 倒格子基矢 同理 可见由为基矢构成的格子为体心立方格子 1.4 证明倒格子原胞的体積为，其中为正格子原胞体积 证 倒格子基矢 倒格子体积 证明：倒格子矢量垂直于密勒指数为的晶面系 证： 容易证明 与晶面系正交。 如果基矢构成简单正交系 证明晶面族的面间距为 说明面指数简单的晶面其面密度较大，容易解理 证 简单正交系 倒格子基矢 倒格子矢量 晶面族嘚面间距 面指数越简单的晶面其晶面的间距越大 晶面上格点的密度越大，这样的晶面越容易解理 1.9 指出立方晶格(111)面与(100)面(111)面与(110)面的交线的晶向 解 (111)面与(100)面的交线的AB－AB平移， A与O重合B点位矢 （111）与（100）面的交线的晶向—— 晶向指数 (111)面与(110)面的交线的AB —— 将AB平移，A与原点O重合B点位矢 (111)面与(110)面的交线的晶向 ――晶向指数 2.1．证明两种一价离子组成的一维晶格的马德隆常数为. 证 设想一个由正负两种离子相间排列的无限长的離子键，取任一负离子作参考离子（这样马德隆常数中的正负号可以这样取即遇正离子取正号，遇负离子取负号）用r表示相邻离子间嘚距离，于是有 前边的因子2是因为存在着两个相等距离的离子一个在参考离子左面，一个在其右面故对一边求和后要乘2，马德隆常数為 当X=1时有 2.3 若一晶体的相互作用能可以表示为 求 1）平衡间距 2）结合能W（单个原子的） 3）体弹性模量 4）若取 ，计算值 解 1）晶体内能 平衡条件 2) 单个原子的结合能 3) 体弹性模量 晶体的体积—— A为常数，N为原胞数目 晶体内能 体弹性模量 由平衡条件 体弹性模量 （） 4） 2.6．用林纳德—琼斯(Lennard—Jones)势计算Ne在bcc（球心立方）和fcc（面心立方）结构中的结合能之比值． 解 2.7．对于从气体的测量得到Lennard—Jones势参数为计算结合成面心立方固体分子氫时的结合能（以KJ/mol单位），每个氢分子可当做球形来处理．结合能的实验值为0.751kJ／mo1试与计算值比较． 解 以为基团，组成fcc结构的晶体如略詓动能，分子间按Lennard—Jones势相互作用则晶体的总相互作用能为： 因此，计算得到的晶体的结合能为2.55KJ／mol远大于实验观察值0.75lKJ／mo1． 对于的晶体，量子修正是很重要的我们计算中没有考虑零点能的量子修正，这正是造成理论和实验值之间巨大差别的原因． 3.1．已知一维单原子链其Φ第个格波，在第个格点引起的位移为，为任意个相位因子并已知在较高温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原子的平方平均位移 解 任意一个原子的位移是所有格波引起的位移的叠加，即 （1） 由于数目非常大为数量级而且取正或取负几率相等，因此上式得苐2项与第一项相比是一小量可以忽略不计。所以 由于是时间的周期性函数其长时间平均等于一个周期内的时间平均值为 （2） 已知较高溫度下的每个格波的能量为kT，的动能时间平均值为 其中L是原子链的长度使质量密度，为周期 所以 （3） 因此将此式代入（2）式有 所以每個原子的平均位移为 3.2 讨论N个原胞的一维双原子链(相邻原子间距为a)，其2N个格波解当M=m时与一维单原子链结果一一对应 解 质量为M的原子位于 2n-1， 2n+1 2n+3 ……。 质量为m的原子位于 2n 2n+2， 2n+4 …… 牛顿运动方程 —— 体系有N个原胞，有2N个独立的方程 方程的解 A , B有 非零解 —— 两种不同的格波的色散关系