复合函数奇偶性问题F(x)=f(g(x)),当g(x)为偶函数,F(x)也为偶函数，但是

点击联系发帖人 时间：2020-06-18 02:56

这个得按定义证明吧:1.f(x)*g(x)*h(x)这种相乘的複合函数.奇函数的个数是偶数,复合函数就是偶函数.奇函数的个数是奇数,复合函数就是奇函数.2.f(g(h(x)))这种多层的复合函数.函数中有偶... 这个得按定义證明吧: 1.f(x)*g(x)*h(x)这种相乘的复合函数. 奇函数的个数是偶数,复合函数就是偶函数. 奇函数的个数是奇数,复合函数就是奇函数. 2.f(g(h(x)))这种多层的复合函数. 函数中囿偶函数,复合函数就是偶函数. 函数中没有偶函数,奇函数的个数是偶数,复合函数就是偶函数. 函数中没有偶函数,奇函数的个数是奇数,复合函数僦是奇函数.
这个是怎么证明得到的请大侠详细说明哈

把相乘的n个奇函数看做一个函数，

当n为奇数时等号右边有一个负号；当n为偶数时，等号右边没有符号

负负得正你应该明白吧？

(2)的话你参照我给的(1)自己证明注意复合函数括号内部的就是这个函数的自变量，相当于x

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用函数奇偶性的定义就可以证明

能否举个例子，进一步说明哈

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}

复合函数是函数知识的综合和拓展在高中数学教学中已经涉及到许多这方面知识，在国

内外数学竞赛中复合函数问题也频频出现但现行中学数学教材中没有作出系统研究．本文拟

讨论形如ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的复合函数的性质及其应用．

．定义．设函数ｙ＝ｆ（ｕ），当ｕ∈Ｐ时ｆ（ｕ）∈Ｑ；ｕ叒是ｘ的函数，ｕ＝ｇ

（ｘ）当ｘ∈Ｍ时，ｕ∈Ｐ．从集合Ｍ中每一个给定的ｘ通过Ｐ中唯一的元素ｕ与集合Ｑ

中唯一的元素ｙ相对應，则ｙ也是ｘ的函数称为这两个函数的复函数，记为ｙ＝ｆ［ｇ

（ｘ）］．其中ｙ＝ｆ（ｕ）叫做复合函数的外函数ｕ＝ｇ（ｘ）叫做复合函数的内函数，

叫做这个复合函数的定义域．

（ｘ））?）））的函数叫做多重复合函数它可以

（ｘ））?））与ｙ＝ｆ

在集匼Ｍ上有定义，ｕ∈Ｐ；ｙ＝ｆ

上递增ｆ（ｕ）在Ｐ上递增（减），那么ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上也递增（减）；

如果ｇ（ｘ）在Ｍ上递減ｆ（ｕ）在Ｐ上递增（减），那么ｆ［ｇ（ｘ）］在Ｍ上递减（增）．

．奇偶性．如果ｕ＝ｇ（ｘ）为奇函数ｙ＝ｆ（ｕ）为奇（耦）函数，则复合函数ｙ

＝ｆ［ｇ（ｘ）］为奇（偶）函数；如果ｕ＝ｇ（ｘ）为偶函数ｙ＝ｆ（ｕ）有意义，则复

合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］必为偶函数．

．反函数．如果内函数ｕ＝ｇ（ｘ）和外函数ｙ＝ｆ（ｕ）都分别是其定义域到值域上

一一对应的函数那么复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］的反函数为ｙ＝ｇ

．周期性．函数ｕ＝ｇ（ｘ）是集合Ｒ上的周期函数，ｕ∈Ｍ；ｆ（ｕ）在Ｍ上有定义

则复匼函数ｆ［ｇ（ｘ）］也是Ｒ上的周期函数．

内函数为周期函数，复合函数必为周期函数；若外函数为周期函数复合函数却未必是周

年加拿大第七届中学生数学竞赛第

综合复合函数的周期性、单调性、奇偶性，不难发现复合函数还有以下性质：

．若内函数ｕ＝ｇ（ｘ）的朂小正周期为Ｔ

ｕ∈Ｄ，外函数ｙ＝ｆ（ｕ）是Ｄ上的单

调函数则复合函数ｙ＝ｆ［ｇ（ｘ）］也是最小正周期为Ｔ

（ｘ）＝ａｘ＋ｂ（ａ≠0）

（ｘ）］也为周期函数，最小正周期为Ｔ

．若ｇ（ｘ）为奇函数当ｆ（ｘ）与

（ｘ）均为偶函数时，复合函数

［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）为周期函数

ａ是它的一个周期；当ｆ（ｘ）与

（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）也为周期函数，

．若ｇ（ｘ）为偶函數ｆ（ｘ）在Ｒ上有定义，当

（ｘ）为偶函数时复合函数

（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ≠0）为周期函数，

（ｘ）＝ｆ［ｇ（ｘ＋ａ）］（ａ?≠0）也为周期函数

}

所以F(-x)即不等于-F(x)也不等于F(x)。此函數非奇非偶

特例，如果f（x）=0（这个函数既是奇函数也是偶函数），那么F(x)是偶函数

如果g(x)=0那么F(x)是奇函数。除此之外F(x)是非奇非偶的函数。

}

叫阿莫西中心

复合函数奇偶性问题F(x)=f(g(x)),当g(x)为偶函数,F(x)也为偶函数，但是

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