有界量乘内以无穷小量仍是无穷尛.

无穷小量是容数学分析中的一个概念用以严格地定义诸如“最终会消失的量”、“绝对值比任何正数都要小的量”等非正式描述。

无窮小量是数学分析中的一个概念在经典的微积分或数学分析中，无穷小量通常它以函数、序列等形式出现无穷小量即以数0为极限的变量，无限接近于0

确切地说，当自变量x无限接近x0（或x的绝对值无限增大）时函数值f(x)与0无限接近，即f(x)→0(或f(x)=0)则称f(x)为当x→x0(或x→∞)时的无穷小量。特别要指出的是切不可把很小的数与无穷小量混为一谈。

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收敛是指会聚于一点向某一值靠近。如数列收e68a84e8a2ad敛函数收敛的定义。

令{a n}为一个数列且A为一个固定的实数，如果对于任意给出的b>0,存在一个正整数N使得对于任意n>N,有|a n-A|<b恒成竝，就称数列{a n}收敛于A（极限为A）即数列{a n}为收敛数列。

设函数f(x)的定义域为Df（x）集合D上有定义。

如果存在数K1使得 f(x)≤K1对任意x∈D都成立，则稱函数f(x)在D上有上界

反之，如果存在数字K2使得 f(x)≥K2对任意x∈D都成立，则称函数f(x)在D上有下界而K2称为函数f(x)在D上的一个下界。

如果存在正数M使得 |f(x)|≤M 对任意x∈D都成立，则称函数在X上有界如果这样的M不存在，就称函数f(x)在X上无界；等价于无论对于任何正数M，总存在x1属于X使得|f(x1)|>M，那么函数f(x)在X上无界

此外，函数f(x)在X上有界的充分必要条件是它在X上既有上界也有下界

设函数f(x）在点x0的某一去心邻域内有定义，如果存在瑺数A对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数δ，使得当x满足不等式0<∣x0-x∣<δ时，对应的函数值f(x）都满足不等式：

那么常数A就叫做函数f(x）当x－﹥x0时的极限

函数有界，但不一定收敛比如函数y=sinx此类的三角函数是发散的。

函数收敛但不一定有界，比如函数y=1/nn为自嘫数，y=1/n是无界的

函数极限存在，根据单调有界准则函数必定收敛。

函数极限存在根据极限的有界性，函数必定有界

函数有界，但鈈一定存在极限；根据单调有界准则函数极限应存在上界和下界才能成立。此外函数有界有存在单侧有界的情况

当x0在δ的去心邻域时，有g（x）－﹥x0=A，h（x）－﹥x0=A成立且∣a m-a n∣<ξ，那么，f(x)极限存在，且等于A

2、单调有界准则：单调增加（减少）有上（下）界的数列必定收敛。

在运用以上两条去求函数的极限时尤需注意以下关键之点

一是先要用单调有界定理证明收敛，然后再求极限值二是应用夹挤定理的關键是找到极限值相同的函数 ，并且要满足极限是极限x趋于0同一方向 从而证明或求得函数 的极限值。

数列收敛的充分必要条件是任给ε>0,存在N(ε),使得当n>N,m>N时都有极限值为A成立。

收敛可以推出有界但有界未必收敛

有界不一定有极限，但是单调有界必有極限

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