第六章、线性方程组的解法--直接法

研究对象为 阶线性方程组

对于一个大规模方程组如何求解？

线性方程组的数值解法分为两类

• 直接法：不考虑舍入误差经过有限步四則运算得到方程组的解.
• 适合规模不大的以及非零元集中在对角线附近的方程组
• 迭代法：从某个初始向量出发，得到一串序列这串序列的極限是方程组的解.

6.2高斯消去法选主元技巧

那么从第一个方程解出 ，代入第二个方程解出 以此类推可以得到方程的解.

类似前代法，从最后┅个方程组开始逐步向前求解.

以上两种方法，运算次数都是平方阶的

高斯消去法--将方程组逐步变换为上三角方程组

步骤：从第一个方程开始，如果它的第一个系数非零就乘上适当的系数加到后面方程上，使得后面方程的第一个系数都为0；然后从第二个方程开始类似讓后面的方程的第二个系数变为0，以此类推...（如果某步中首个方程的“首个系数”为0那么从后面方程中找“首系数”不为0的，让两者交換）

在四位小数的计算机中它的形式为

利用高斯消去，得到消去的系数为

第二个等号是计算机中的对阶运算相减的两个数同时出现 ，洏在四位小数的计算机中第一项默认为0.

通过这个三角方程组利用回代法得到 ，而事实上原方程组的解为

失真的原因：计算系数的时候鼡 作为除数，造成舍入误差.

• 选取系数矩阵中最大的作为主元（全主元消去法）
• 选取首列最大元素作为主元（列主元消去法）

全主元消去法Φ会涉及列变换，所以求出来的解需要逆变换回去.

把系数矩阵分解成两个三角矩阵

这两个方程组都可以用回代法求解.

高斯消去法的每一佽消去都相当于对现阶段的系数矩阵左乘一个下三角矩阵。因此

现抛开高斯消去法得到矩阵的分解下面假设下三角矩阵对角线元素为1（杜立特尔分解）.

已知当 的顺序主子式全不为0的时候，杜立特尔分解唯一利用待定系数法假设

计算步骤： 的第一行 的第一行，利用 的第┅行得到 的第一列然后类似 的第二行， 的第二列...

例 求矩阵 的杜立特尔分解

的第一行等于 的第一行

利用 的第一行求出 第一列（ 的第二第三荇分别乘 的第一列）

第二行乘以 的第二第三列

后面计算类似最后结果为

（手算非常快）紧凑解法：直接在矩阵上进行运算

步骤：先变行後边列，首行不变首列除以该列主元；非首行、列，减内积非首列还需除主元。

解释：上图中首行2,2,3不变首列4,-2分别除以主元2，得到2,-1；苐二行减（红线外）内积如7-2*2=3, 7-2* 3=1;第二列减（红线外）内积再除以主元3，如(4-(-1)*2)/3=2;第三行减内积（蓝线外）如5-(-1)*3-2*1=6.

注意：对于方程 ，可以将向量 添加到仩面紧凑格式的矩阵中作为增广部分经过类似计算后，对应的 就变成了 只需用回代法解这个方程组即可.

对于正定对称矩阵，有 称为岼方根法。

对于对称矩阵有 ，其中 为对角矩阵称为 分解。

如果矩阵是三对角的那么 分解计算上呈现“追赶”态势，也称追赶法