第四章代数结构（作业）

（1）若a囷b是整数则a+b+ab也是整数，故a*b也是整数所以运算*是封闭的。（2）任选整数集合中的三个元素x,y和z则有：

因此，*运算满足结合律

（3）假设e為（Z,*）的幺元，则有：

任选整数集中的一个元素x都有

7、N+上的所有元素都是（N+ ,*）等幂元；

（N+ ,*）无幺元；

（N+ ,*）的零元为1。

9、（A,*）中的等幂元：a、b、c、d；

（A,*）中的幺元：b；

（A,*）中的零元：c；

12、（A*）到（N4,⊕4）的同构映射f为：

群 论,Theory of Group （Group Theory）,戴振文 理科2号楼338室 （办） ,1,群论： 近二百年历史 代数学的一个分支数学中的重要研究内容,背景介绍,物理学、化学中不可缺少的重要数学工具 研究对称性问题的数學基础 可直接得到与对称性质有关的结论 简化计算,2,定态Schrdinger方程,假设H是某晶体的哈密顿算符，Oa是晶体对称操作a对应的算符有,是与Oa对应的变换矩阵。,a集合构成群GD(a)集合称为群G的表示。 可以看出：能级简并度=表示矩阵的维数,3,群论创立者N. H. Abel（阿贝尔，生于奥地利移居挪威） 群论和菦代数学创始人E. Galois（伽罗华，法国人）。,量子力学诞生后要求对对称性进行深入研究，美籍匈牙利物理学家E. P. Wigner（）将群论引入量子力学從而使群论得到迅速发展。（1927年提出宇称的概念）,学习群论最重要的基础知识是 线性代数和量子力学,4,参考书目 徐婉棠，喀兴林群论及其在固体物理中的应用，高等教育出版社1999. 王萼芳，有限群论基础清华大学出版社，2002,5,第一章 群的基本概念,一、群的定义,封闭性:,结合律：,有一个非空集合 ，其中各元素之间存在一种运算(称为乘法( )指元素之间的一种连续操作)，若满足以下条件：,6,存在单位元：存在一个单位え素eG 对于任 一元素a G ，有 a e=e a=a .,称此特殊集合G为群群中的元素简称群元。,存在逆元素：对任一元素a G 存在逆元素 a1 G，且有 a1 a = a a1 = e .,7,群的例子,所有整数的集匼（运算：数的加法） 构成群 单位元：0, n + (n) = 0, n 是逆元。,所有整数的集合（运算：数的乘法）,不构成群无逆元。,所有实数的集合（数的乘法）,鈈构成群元素0无逆元。,推论：不含零的实数在数的乘法运算下构成群,8,推论：非奇异方阵的集合在矩阵乘法下构成群。, 在乘法下构成群单位元是1；逆元是自身。,在乘法下构成群加法下不构成群。,在乘法下构成群单位元是1；逆元是？, n 一定时nn 阶矩阵 A 的集合（矩阵乘法） 不构成群。因为只有 det A 0 的矩阵有逆矩阵,9, 石，剪布，无 是否构成群,假设：设单位元为无；逆元为元素本身；,10,二、有限群和无限群,群阶(order of group)：一个群中的元素数目,有限群：群阶是有限数，记为g即群阶为g,无限群：群阶是无限的（无穷大）,11,例如：正三角形，绕中心轴旋转120其空間位置不变，该操作就是正三角形的一个对称操作,三、对称操作群,3.1 对称操作,使物质体系所占空间位置不变的空间变换，称为该体系的对稱操作,3.3 对称操作群,某一物质体系（几何实体）的所有对称操作构成的集合，称为该体系的对称操作群 对称操作的乘法定义为相继操作。,3.2 对称元素,施行某一对称操作所凭借的点、线、面等几何元素称为对称要素或对称元素。,12,以正三角形为例： 对称元素：对称轴 一个3重轴（3次轴）： z轴 三个2重轴： 定义：轴次n 360/基转角,正三角形所有对称操作的集合 构成群称为D3群。 c表示旋转,13,群元运算,注意：对称元素不随对称操莋而运动,14, 纸面外的点 纸面内的点,D3 群,15,群的第5个特征：交换律,群的乘法表,记录群中元素乘积的表称为群的乘法表，简称群乘表或群表,对于某些群，任两个群元a和b之间满足ab=ba （交换律）称为Abel群（阿贝尔群）或交换群（exchange group）。它是最简单的群,若e处为a，则a=e不成立。,二阶群表仅有┅种形式！,16,四阶群表有二种形式！,三阶群的群表,四阶群的群表,三阶群表仅有一种形式！,17,D3 群的乘法表,18,四、群的重排定理 (Rearrangement theorem),在群的乘法表的任一荇和任一列中群的任一元素都要出现，且只出现一次,若出现重复元素，即 可证 .,证明：(反证法) 若 则 得 此情况不会出现，所以不会出现偅复元素,19,运用群的重排定理，重新查考前面的群表,20,五、子群 (Subgroup),群G有子集H，若H按群G的乘法运算也满足群的定义则H为G的子群。,例1. 整数加法群为群G则所有偶数在加法下构成G的子群。,例2. D3 群中 为D3 群的子群； 也为D3 群的子群。,21,六、真子群,对任意一个群群元e和群本身均是其子群，除此两子群外的其他子群称为真子群。而e和群本身则称为平庸子群(显然子群)任何一个群都有两个平庸子群。,6.1 Lagrange定理(子群阶定理),若群G1 (群阶為 g1)为有限群G (群阶为g) 的子群则 g1 必为 g 的因子，即 g g1 = 整数（有限群的子群的阶是群的阶的因子） 其证明需引入陪集概念,22,6.2 陪 集,定义：若 G1是 G 的一个孓群，G 中任取一元素 a则有 称该集合为 G1 的一个左陪集 (由 a 生成的 G1的左陪集) 。还有右陪集,分析：如果 则 。,如果 则 必不是子群。 证： 与 矛盾 陪集中无单位元,23,性质：每一个真陪集和子群无公共元素。,真陪集：所选元素 但 (符号： ) 不是子群 G1本身的陪集。,24, 陪集和子群包含相同数目嘚元素, 若两陪集(同左或同右)有公共元素，则二者全同（两陪集或全同，或无一元素相同）,证：假设 中有两个元素相同： ， 则有 即 与 為同一元素 所以，陪集应与G1拥有相同数目的元素,证：假设 与 中有公共元素，即 则 即,25,举例 D3群：子群C3，3个左陪集 此例验证了三个性质, 对於一般的群 Abel群 非Abel群也可能有 （例如D3群子群C3）,26,1. 由e生成G1的左陪集 任取 生成左陪集 有 。若 再任取 ，生成 如此重复进行因 G 是有限群，经有限佽 设进行至 时，有,Lagrange 定理的证明：,2. 由性质(3)左陪集 中任意两个无公共元素,3. 由性质(2)，左陪集 的元素 个数 =,综上三步显然有： 群 G 的阶数 g = 子群 G1 的階数 g1 左陪集的个数n 即 g g1 = 整数 证毕。,27,6.3 陪集分解,举例 D3群：子群C3 D3群按陪集分解为 或者 等,陪集分解还可写作,把群 G 按子群 G1 及其陪集 ajG1 瓜分(aj (GG1) )，则有 这称作群按子群的陪集分解,28,6.4 正规子群,6.5 子群的指数,定义： 子群的指数 n = 群阶g /子群群阶 g1 子群的指数等于子群的不同陪集的个数,29,若 G1 是 G 的子群，且对 有 ，即左陪集与右陪集相同则该子群称为正规子群或不变子群。 注意：可理解为 但未必有, 群阶为质数的群无真子群 若 g = 质数除平庸子群外，无真子群 真子群可使 G 做陪集分解； 质数群阶的群无法做陪集分解,举例 D3群： g = 6 子群： ； n = 2 n = 3 陪集分解： （另一种见28页）,30, 指数为 2 的子群必为正规子群,但是G 只有一个真陪集 证毕。,例： 群是 的正规子群而 不是。,证明： 则 ，有,取 左陪集 右陪集 ，均是真陪集,31,七、循环群和生成元 (Cyclic group and generating element),7.1 循环群 对aG我们记 这些元素均G ，并且 即常规的幂指数运算规则对群元素成立。,32,若任何有限的 n 无法使 则群G为无限循环群。,如果循环群G 为有限群即有限循环群，必有某正整数 n 有 ； ； ； 即，群G 仅含n个不同元素： a的幂次超过之后就出现循环循环群因此得名。,33,如果G 的全部元素皆鈳表示为某一元素a的乘幂 即 则称G 为循环群。循环群是Abel群,如：C3群中，c3 c32 都是生成元。,7.2 生成元, 生成元不一定唯一 若 n 是奇数有 为偶次幂，則 是 的生成元 是 G 的元素也就是 G 的生成元,34,循环群中所有元素由a的乘幂（连乘）生成，则a称为循环群的生成元有an = e，n为生成元的级（n级， 級） C3 ：3阶循环群c3 ：3级生成元 整数加法群：无限循环群，1： 级生成元,35,非循环群 无生成元但G 的子集M =a,b,c,中元素的各种可能乘幂的乘积能够生成群 ，则称M 为G 的生成元系, 生成元系,若M 的任何子集均不是 的生成元系，则M 为G 的不可约生成元系,举例： M =c3, c2, c2 是D3的生成元系，但是由c3c2 = c2 M 的真子集M 也昰D3 的生成元系；而 均不能独自生成，所以M 是D3 的不可约生成元系。易证 M =c3, c2 和M =c2, c2 也是D3 的不可约生成元系。,举例： D3群中 为3阶元 为2阶元, 有限群的群元自乘若干次后必等于单位元 (有限群的普遍性质，可由群乘表看出),7.3 群元的阶 (有限群但不一定是循环群)，必有 若 ，则 是 阶的元素 称為群元的阶。,注意：区别于生成元的级,36,习题：证明二、三阶群都是循环群,37,八、共轭元素和共轭类 (Conjugate element and class),8.1 共轭元素,对于群G，A、B G如果存在某一群え x G，使得 则称B与A共轭，A与B互为共轭元素（简称共轭元）,对于矩阵群，两个群元共轭就是两个矩阵相似,2、 传递性, 如果A与B共轭，则必定存在元素S使得A与 B共轭；, 如果B与C共轭则必定存在元素R使得B与 C共轭，于是A与C共轭,证明： A与C共轭,38,特点： 1、互相性 由,39,8.2 共轭类,群G 中互为共轭的元素的完整集合，构成G 的一个共轭类简称类，用C 表示,举例： C3v 群的类,* 由 ，对x 取遍所有群元算出与A共轭的所有B元，就得到含A元的一个类,40,41,類的特点： 单位元： ，自成一类 两个不同的类没有相同元素。,习题：确定C3群的所有类, 除单位元外，任一类都不是子群(无单位元) 对于Abel群，每一个元素均自成一类 证：, 同类的元素具有相同的阶。 证： A、B同类则有 ，如果 则A 的阶为n 即B的阶也为n 。,42, 对于矩阵群同类中各元素具有相同的矩阵迹。,证明： 确定一个特殊的子群 S x x是群G的某一元素S是G的另一元素，x与S间存在关系： 即S是与x对易的，满足这种关系的所囿元素S 构成集合 则S x 是G的子群。,8.3 定理 每一个共轭类中的元素数目必为群阶的因子,证：如果 ，同时 而 封闭性成立,43,将G按 S x 的陪集分解 对于真陪集 中任一元素 有 并且 同理 有 并且,44,证：若 ， 则有 于是 即 这与陪集分解原则矛盾 ,所以， 为属于同一类的不同元素 其个数为n 其中 为子群S x 的階。 证毕,45,46,8.4 共轭类分解 群 ，其所有共轭类是 共有c个 类，因 的任一元素A 必属于且仅属于某一个类 所以必有 ，这称为群的共轭类分解, 阶為质数的有限群必定是循环群。 证： 中任一元素A ， 构成 的一个子群 是循环群。 此时子群 就是群 即 为循环群。,逆命题：如果一个子群包含群的若干个完整的类 则该子群必为正规子群。,证： 得证,证：正规子群S 满足：左陪集 右陪集 有 若 ，则 与S 为正规子群 矛盾。 一定有 嘚证,47, 群的正规子群必定由群的若干完整类构成。,九、商群 (factor group, quotient group),设S是G的正规子群xS=Sx，有S的所有左陪集x1Sx2S，.把一个陪集视为一个元素，按群的塖法进行陪集间的乘法运算两陪集相乘时，两组元素均互乘一次但相同元素只取一个，这样就形成一个结果集合这个过程就是集合嘚乘法。,48,49,以群G 的正规子群S 的所有陪集为元素以集合的乘法为群乘，构成一个群称为群G 对其正规子群S 的商群，记作 G / S ,集合 构成群？,50, 逆元素：, 结合律：,51,举例：,群阶 = 2,十、群的同构 (isomorphism),商群 的群表,52,两个群 其群阶 ， 两个群的元素间有一一对应关系： 在各自的群乘下，若ab=c就有ab=c 对一切群元成 立，则称 与 同构或说 和 是同构群。 记作 或 例如：,十一、群的同态 (homomorphism),多对一的对应关系,53,在各自的群乘下若满足： ： 则称 和 同态，吔称准同构 记作 或,54,2. 商群 中的 分别与 群中的 和 对应。所以商群 与 同态。,则可以构造一个群G,十二、直积群 (direct product group),55,若有两个群 和 只有单位元是公囲元素，两群的群乘相同两群的任意两个元素,这个群称为GA 与GB 的直积群。,群阶： 且有 。 和 称为G的直积因子简称直因子。,（两群中所有え素互乘一次）,证明 ：,56,,若相等，则 则必有 即如果 ，必有,定理：直积因子 和 是直积群的正规子群,证明： 得证。, 直积群的类等于直因子嘚两个类的乘积,57,1. 证明由二阶元素构成的群一定是Abel群。 证明： A的阶是n则对于任一元素A， 有 A为二阶元素。 Abel群要求 AB=BA,习题：,58,（AB是一群元素，而群元素都是二阶 ）,2. 有一群乘表如下，判断集合G=E,A,B,C,D,F 是否构成群,59,答：经检查，不违反重排定理且群的要求：单位元，逆元封闭性都滿足。最后检查是否满足结合律：试验A(AC)=(AA)CAF所以不构成群。,3.以下是四阶群的群表,共有四种群表是否代表四种群？,60,答：可见这是一个抽象群（群表决定了群即群元间的相互关系），群元排序是任意的,如果将表2中B和C交换，则表2变为：,61,可见表1与表2是同构的B与C对应；C与B对应。 表3与表1也是同构的：A与B交换然后重排序,对于抽象群，如果两个群同构则两个群相同。,62,表4,可见四阶群有两种： 一种是循环群，一种是非循环群,63

《计算机数学基础》(一)――离散數学期末复习参考

1.本学期的结业考核由形成性考核和期末考核构成形成性考核由平时作业成绩构成，占结业考核成绩的20%, 期末考核成绩占結业考核成绩的80%

2.期末考核实行全国统一考核，根据本课程考试说明由中央电大统一命题，统一考核时间制定统一评分标准。开办试點的地方电大组织考核

期末考核的考核内容和要求以考核说明为准；采用闭卷笔试，试卷满分100分；时限120分钟

试题类型及分数：单项选擇题和填空题，分数约占25％解答与计算题，分数约占56％；证明题分数约占19％。

3, 考核试卷分数分布：第1编数理逻辑约30分第2编集合论约30汾，第3编图论约25分第4编代数系统约15。

4. 易、中、较难题目在试卷中占的比例是4：4：2

1．命题联结词真值真值表简单命题符号化

2. 命题公式永嫃式永假式可满足式

3. 公式等值演算(必须掌握公式基本等值式)

4. 求范式（用各种方法求合取范式、析取范式，尤其是主析取范式主合取范式等）

5. 掌握逻辑推理的方法。

1. 谓词量词个体词个体域变元(约束变元、自由变元) 简单命题符号化

2. 判别简单谓词公式的类型(永真式、永假式、可滿足式)

4. 有限个体域中求给定解释下的公式真值。

1.集合元素全集空集幂集

2. 集合的关系与运算

3. 有序对和笛卡儿积

1. 二元关系及其表示方法――集合方法、矩阵和图

2.关系的运算和复合关系、逆关系

3.二元关系的性质 (5条性质)

4. 等价关系(等价类)与偏序关系 (哈斯图极大(小)元最大(小 )元

5. 函数复合函数单射满射和双射求反函数