如果f(x)在区间I上有原函数即有一個函数F(x)使对任意x∈I，都有F'(x)=f(x)那么对任何常数显然也有[F(x)+C]'=f(x).即对任何常数C，函数F(x)+C也是f(x)的原函数这说明如果f(x)有一个原函数,那么f(x)就有无限多个原函數。

连续函数一定存在定积分和不定积分；若在有限区间[a,b]上只有有限个间断点且函数有界，则定积分存在；若有跳跃、可去、无穷间断點则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑使嘚它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论可以转化为计算积分。这个重要悝论就是大名鼎鼎的牛顿-莱布尼兹公式

一个定积分式的值，就是原函数在上限的值与原函数在下限的值的差正因为这个理论，揭示了積分与黎曼积分本质的联系可见其在微积分学以至更高等的数学上的重要地位，因此牛顿-莱布尼兹公式也被称作微积分基本定理。

对於一个函数f如果在闭区间[a,b]上，无论怎样进行取样分割只要它的子区间长度最大值足够小，函数f的黎曼和都会趋向于一个确定的值S那麼f在闭区间[a,b]上的黎曼积分存在，并且定义为黎曼和的极限S这时候称函数f为黎曼可积的。