7.1.1 多元多元函数求偏导的极限与连續性

 设多元函数求偏导f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义P0(x0,y0)是D的内点或边界点。如果对于任意给定的正数ε，总存在正数δ使得对于适合不等式

可见，对任何ε>0取，则当

我们必须注意所谓二重极限存在，是指P（x,y）以任何方式趋于P0（x0,y0）时多元函数求偏导都无限接近于A。

定義 设多元函数求偏导f(x,y)在开区域（或闭区域）D内有定义P0(x0,y0)是D的内点或边界点且P0∈D。 如果

性质1（最大值和最小值定理） 在有界闭区域D上的多元連续多元函数求偏导在D上一定有最小值和最大值。

性质2（介值定理） 在有界闭区域D上的多元连续多元函数求偏导如果在D上取得两个不哃的多元函数求偏导值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次

一切多元初等多元函数求偏导在其定义区域内是连续的。所謂定义区域是指包含在定义域内的区域或闭区域。

由多元初等多元函数求偏导的连续性如果要求它在点P0处的极限，而该点又在此多元函数求偏导的定义区域内则极限值就是多元函数求偏导在该点的多元函数求偏导值，即

存在则称此极限为多元函数求偏导z=f(x,y) 在点(x0,y0)处对x的偏导数，记作

对于多元函数求偏导z=f(x,y)求时，只要把y暂时看作常量而对y求导

定理 如果多元函数求偏导z=f（x,y）的两个二阶混合偏导数在区域D内連续，那末在该区域内这两个二阶混合偏导数必相等

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