这里给出纯几何的解法只需利鼡反射变换、解直角三角形等简单的几何工具。

首先将 固定住，研究如下问题：对每一个已取定的点 何时周长最小

分别作 关于 的反射對称点 显然将有 于是，对于 的周长将有

这是因为当 固定之后 也随之而固定。此时根据两点之间线段最短的公理，当且仅当 恰都位于 上也即 共线时，所求周长最小

经过此步放缩，我们现在仅需研究 的最小值

注意到 是 的一条边， 这表明 是一个等腰直角三角形 取得最尛值，当且仅当两直角边（等价于 ）取得最小值 何时最小？显然当 时此时 进而，此时

最后附赠题主一个小知识，它作为本例更一般性的结论称为「施瓦茨（Schwarz）定理」：

锐角三角形的诸内接三角形中，垂足三角形周长最短

这个结论仍可借助反射变换，利用两点间线段最短的公理证得题主可自行检阅有关文献，此处从略

1. 即顶点分别位于原三角形各边上的三角形。
2. 即以原三角形三条高的垂足为顶点嘚三角形