?能熟练把握函数的概念,确定变量关系

?能够了解并确定函数的定义域与对应法则

?能够熟练判断两个函数是不是同一个函数

?能够掌握复匼函数分解与合成

任务1  查阅资料函数的历史

任务2  理解函数的两个要素

任务3  如何求解函数的定义域

任务4  如何判断两个函数是同一个函数

任務5  阅读教材第3页 总结函数的表示方法

任务6  什么是分段函数图像及举例？学生分组讨论给出自己的想法

任务7  函数四个特性回忆与加强

任务8  複合函数分解与合成

案例1（速度距离问题）  一个物体速度是v，行驶路程是s那么经过时间t，它形式了多么长的距离

案例2（纳税问题）  搜集中国的个人收入所得税纳税标准，设某人月工资元请建立他的纳税税额函数。

案例3  任意两个函数是否都能合成一个函数；如何分解一個复合函数

案例4（人口问题）  1982年底，我国人口10.3亿按照年均20%的自然增长率，到2013年底我国人口将是多少？

案例5（奖学金等级问题）  了解峩们漯河职业技术学院的奖学金发放规则建立奖学金的分段函数图像及举例

案例6（贷款抵押模型）设二室一厅的商品房价值100000元，某人自籌资金40000元要购房还需要借款60000元，条件是每年还一些25年还清，房子就归债权人该人具备什么能力才能借款？

《高等数学》武术胜、劉贞民主编，吉林大学出版社2010.

?函数概念；?定义域；?对应法则；?函数表示；

?分段函数图像及举例；?函数性质；?复合函数

出礻案例1，引入函数概念

函数的两个要素：对应法则、定义域

由学生自己得出函数定义

求解函数的函数值和定义域：

如何判断两个函数是同┅个函数判断下列函数是不是同一个函数？

教师重复提示函数的两个要素引导学生注意

阅读教材第3页 总结函数的表示方法

（1） 图表法：列表表示x,y的关系

案例应用：统计我们漯河职业技术学院某月每天的温度，做出温度和日期的对应图表

（2） 图像法：画图表示x,y的关系

案唎应用：将上述温度和日期的对应图表用图像表示出来，x轴表示日期y轴表示温度

（3） 解析法：用一个式子来表达函数，例如等。

学生根据函数含义自行举例

例2、 画出分段函数图像及举例

学生阅读课本自主学习

定义2 设是个对称区域，如果任意的有，则称在上是偶函数；如果任意的有，则称在上是奇函数

例3判断下列函数的奇偶性

定义3（1）如果与定义域内任意两个点有，则在上单调增加

（1）如果与定義域内任意两个点有，则在上单调减少

例4 证明在区间上的单调性

定义4 若存在正数M使得，则称在上有界例如在实数域上有界。

例5 由三角函数说明其有界性

定义5如果存在不为零的数,使得任意的，有则称在上周期函数。例如正弦函数是最小正周期。例6 求 的周期

1、基本嘚初等函数定义

这是重点内容直接涉及后面的复合函数求导

注意：复合函数分解到简单函数为止。简单函数就是有基本初等函数经过有限次四则运算合成的函数

例7、指出下列函数的复合过程：

应用案例在课堂进行中解答

将案例6上作业  设二室一厅的商品房价值100000元，某人自籌资金40000元要购房还需要借款60000元，条件是每年还一些25年还清，房子就归债权人该人具备什么能力才能借款？

能够熟练掌握极限的六种过程

任务1  查阅资料了解极限的含义

任务2  了解数列极限概念

任务3 阅读课本，学习函数极限

任务4  在任务2完成嘚基础上自学，，，

案例1（老人分遗产）  一个老人有17头牛他打算把这17头牛的分给老大，分给老二分给老三，请问改怎么分提礻：采取极限思想，一头牛分剩下。答案：老大9头老二6头，老三2头牛

案例2 （无穷直角三角形面积）

《高等数学》，武术胜、刘贞民主编吉林大学出版社，2010.

2、掌握函数的六种极限过程，，

2、了解数列极限含义，会用数列极限概念做简单极限问题

例1、讨论下列数列是否有极限如果有，说出它的极限

设一个函数当时，如果函数无限趋近于确定的常数那么就叫做函数当时的极限，记做或当时

唎2、求当函数，当时的变化趋势

例4、考察的极限，其中为常数

（1）表示自变量x从右侧（数轴的正方向）趋向，随着x从右侧趋向,f(x)函数值趨向一个数这个数就是f(x)的右极限，记作

（2）表示自变量x从左侧（数轴的负方向）趋向，随着x从左侧趋向,f(x)函数值趋向一个数这个数就昰f(x)的左极限，记作

可见，随着时。因此=2

注：此极限2也就是把x=1代入所得到的

这个极限就不能直接把x=1导入到函数里面，因为无意义所鉯应当先分解。

在任务2完成的基础上自学，，

例1 ，画出函数图像讨论，

教师提示，引导学生注意

?能够理解无穷小的概念

?能够应用无穷小性质计算某些函数极限

?能够理解无穷大的概念

?能够掌握无穷小和无穷大的倒数关系并相互求解

任务2  阅读课本，学习无穷小性质及应用

任务3  学习无穷大概念理解无穷大与无穷小关系

案例3  求在什么情况下是无穷小，在什么情况下是无穷大

《高等数学》，武术胜、刘贞民主编吉林大学出版社，2010.

学生阅读无穷小量概念

极限为零的函数叫做在该极限过程下的无穷小量。特别注意无穷小量不是很小很小的数。

下列函数在什么情况下是无穷小量

（1）四条无穷小性质中最重要的是什么？

a) 囿限个无穷小的代数和是无穷小

b) 无穷小与无穷小的积是无穷小

c) 常数与无穷小的积是无穷小

d) 有限个无穷小的积是无穷小

在某极限过程下函數值的绝对值无限变大的函数叫做在该极限过程下的无穷大。

（1）无穷大就是很大很大的一个数吗

（2）无穷大与无穷小什么关系

无穷大與无穷小是倒数关系。

下列函数在怎么样的情况下是无穷大

案例3  求在什么情况下是无穷小，在什么情况下是无穷大

教师提示，引导学苼注意

具有用极限思想分析问题的意识感知极限与生活的紧密联系

掌握极限的四则运算法则

任务1：對某种电子产品的销售作出预测

任务2：运用极限的四则运算法则求极限

案例1某商场推出某种电子产品时，在短期内销量会迅速增加然后丅降，其函数关系为请你对该产品的长期销售作出预测

所以购买次电子产品的人将越来越少，转而买新的电子产品

《高等数学》武术勝、刘贞民主编，吉林大学出版社2010.

    由极限定义来求极限是不可取的，也是不行的因此需寻求一些方法来求极限。

定理1：若则存在，苴

注：本定理可推广到有限个函数的情形

定理2：若，则存在且

推论2：（为正整数）。

注：以上定理对数列亦成立

分析：定理和推论呮要求掌握它的意义和运用，对证明不作要求

这个极限就不能直接把x=2导入到函数里面因为无意义。所以应当先分解

在任务3完成的基础仩，练习

解：当时这是无穷多项相加，故不能用定理1先变形：

教师提示，引导学生注意

?能够运用無穷小替换求极限

任务2  在若干极限中的应用

任务4  在若干极限中的应用

任务5  无穷小替换定理

案例4  注：这个问题是个竞赛题需要学生讨论解決

《高等数学》，武术胜、刘贞民主编吉林大学出版社，2010.

 （1）这个极限要注意三点那三点？

 （2）这个极限如何使用

 （3）这个极限如哬证明？

学生先讨论：如何应用这个极限对吗？为什么

（1）这个极限要注意什么？

（2）你打算如何使用这个极限

例3 （注：这个也是公式）

教师提示，引导学生注意

（1）无穷小替换要注意什么事项

（2）你都知知道那些常用等价无穷小？总结出来并记忆

用无穷小替换萣理处理下题

案例1 求（要求：两种方法）

案例4  （注：这个问题是个竞赛题，需要学生讨论解决

?能够理解自变量增量、函数的增量概念

?能够理解函数的连续的图像定义和两个公式定义

?能够理解函数的间断点并简单判断

掌握自变量增量、函数的增量概念

任务2  利用增量定义函数连续

案例4 设问常数何值时，函数f(x)在上连续

《高等数学》武术胜、刘贞民主编，吉林大学出版社2010.

例1 设一个物体以每秒3米的速度行进，，那么从到时间增加了多少这个增加的时间就是时间的增量

随着自变量的增量而改变的函数的增量

例1 当到时间增加时，路程增加了多少这就是时间t的函数路程的增量。

例2 x从1增加到3.5时函数y增加了多少？

以后自变量增量记作；函數增量记作，

例1、在下列条件下求函数的增量

（1）、当x由2变到3；

（2）、当x由2变到1；

函数的连续，从图像上来说就是函数图像不间断

第┅个定义：函数在连续，那么

第二个定义：函数在连续

根据连续的第二个定义，启发学生函数在一个点如果不连续，会有几种情况：

（1）与均存在但是不相等

（2）与均存在（即存在），但是不等于函数值

（3）与至少一个不存在

案例4 设问常数何值时，函数f(x)在上连续

例2、适当的选取a的值使函数在处连续

教师提示，引导学生注意

1、连续函数的和差积商的连续性

如果函数在点处连续，那么它们的和差积商（分母在处不等于0）也在点处连续

例3、判断和在处的连续性

如果函数在点处连续，且而函数在点处连续，那么复合函数在点处也连續

例4、判断在处的连续性

3、初等函数的连续性定理

基本初等函数在其定义域内是连续的．一切初等函数在其定义区间内都是连续的

4、闭区間上连续函数的性质

最大值和最小值存在定理 闭区间上连续函数一定能取得最大值和最小值．

根的存在定理 设为闭区间上的连续函数且異号，则至少存在一点使得．

介值定理 设是闭区间上连续函数，且则对介于之间的任意一个数，则至少存在一点

在闭区间上是否由最徝

例7、证明方程在内至少由一个实根。

    由于初等函数在它的定义区间内总是连续所以函数的连续性讨论多指分段函数图像及举例在分段处的连续性．