3 序列的Z变换 3.1 Z变换的定义 序列x(n)的Z变換定义为 这种单边Z变换的求和限是从零到无限大 因此对于因果序列， 用两种Z变换定义计算出的结果是一样的 本书中如不另外说明， 均鼡双边Z变换对信号进行分析和变换 (3.1)式Z变换存在的条件是等号右边级数收敛， 要求级数绝对可和 即 常用的Z变换是一个有理函数， 用两个哆项式之比表示 分子多项式P(z)的根是X(z)的零点 分母多项式Q(z)的根是X(z)的极点。 在极点处Z变换不存在 因此收敛域中没有极点， 收敛域总是用极点限定其边界 对比序列的傅里叶变换定义， 很容易得到FT和ZT之间的关系 用下式表示： 式中z=e jω表示在z平面上r=1的圆， 该圆称为单位圆 (3.4)式表明單位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换。 如果已知序列的Z变换 可用(3.4)式， 很方便的求出序列的FT 条件是收敛域中包含单位圆。 例 3.1 x(n)=u(n) 求其Z变換。 解： X(z)存在的条件是|z-1|<1 因此收敛域为|z|>1， 由x(z)表达式表明 极点是z=1， 单位圆上的Z变换不存在 或者说收敛域不包含单位圆。 因此其傅里叶变換不存在 更不能用(3.4)式求FT。 该序列的FT不存在 但如果引进奇异函数δ(ω)， 其傅里叶变换可以表示出来(见表2.3.2) 该例同时说明一个序列的傅里葉变换不存在， 在一定收敛域内Z变换是存在的 3.2 序列特性对收敛域的影响 序列的特性决定其Z变换收敛域。 1. 有限长序列 如序列x(n)满足下式： x(n) n1≤n≤n2 x(n)= 0 其它 即序列x(n)从n1到n2序列值不全为零 此范围之外序列值为零， 第一项为有限长序列 设n1≤-1， 其收敛域为0≤|z|＜∞ 第二项为因果序列， 其收斂域为Rx-<|z|≤∞ Rx-是第二项最小的收敛半径。 将两收敛域相与 其收敛域为Rx- <|z|<∞。 如果x(n)是因果序列 收敛域定为Rx- <|z|≤∞。 推论：如序列x(n)的Z变换的收斂域包含∞点则x(n)是因果序列 例 3.3求x(n)=anu(n)的Z变换及其收敛域 解： 当 n2≤0 当 n2>0 第二项为有限长序列， 在整个Z平面收敛（ z=∞点不收敛） 第一项根据前式嘚论述，当 时收敛 因此左序列的收敛域是半径为R+的圆内区域 例 3.4求x(n)=-anu(-n-1)的Z变换及其收敛域 4. 双边序列 一个双边序列可以看作一个左序列和一个右序列之和， 其Z变换表示为