我们知道指数就是重复的乘法這是个很好的介绍，但是它不能解释3^1.5 同样也无法让人理解0⁰ 。你怎么能说清楚让0乘以自己0次然后就得到1了

你不能，当你把指数解释为重複的乘法时你就没法解释今天我们就要把这个模型做一次升级。

10.1 把算术看作是变换

让我们再退回去看看——我们是怎么学习算术的我們知道数字是指一些东西的个数（手指），加法就是把这些个数组合起来（3 4＝7）而乘法就是重复的加法（2×3＝2 2 2＝6）。

这种解释在约整数身上很正确但是用在像-1与根号2这类数字上就比较奇怪了。为什么呢

我们的模型并不完整。数字不只是个数；更好的观点是吧它们当作矗线上的一点这个点可以是负的（-1），也可以是其它数（根号2）或者是在另一个维度（i）。

算术就是对数进行变化的一种一般方法加法就是沿着数轴进行移动（ 3就是向右移动三个单位），乘法就是按比例缩放（×3就是放大三倍）

先让我介绍一下创世界3000 。

是的这台設备看起来像是一台劣质的微波炉——但是它并不是用来加热食物而是用来使数字增长的。输入一个数字它就产生一个新的数。以下是整个过程：

• 设置1秒后的增长倍数（2×，3×，10.3×）

太上老君如律令快变！铃声响起，然后我们就得到了新鲜闪耀的数字假设我们想把1变為9：

• 在“创世界”中输入1.0
• 设置增长倍数为“3×”，时间为2秒。

我们按下开始后，数字就开始发生变化：我们看到1.01.1，1.2……就在第一秒刚剛结束的时候，我们得到了3.0.然后继续增长：3.13.5，4.06.0，7.5……然后就在第二秒结束的时候我们得到了9.0 我们看到了闪亮的新数字。

从数学角度來讲“创世界”（指数函数）是在做：

原始数字·增长率^时间 ＝新数字

增长率^时间 ＝新数字/原始数字

举例来说，3² ＝9/1 底就是每单位增长嘚量（3×），而指数就是增长的时间（2）。2ⁿ 这样的公式就是说“使用’创世界‘以2倍的增长率增长n秒”。

记住在“创世界”中我们总是鉯1开始，然后来观察每单位的变化如果我们想看看以3开始会发生什么，我们只需放大结果就可以了举例如下：

每当你看到一个普通的指数时（比如说2³），那就是暗示它是以1开始以2倍的增长率增长3秒所达到的值。

10.3 理解指数缩放因子

当我们做乘法运算时我们可以表明最終的缩放因子。希望它有八倍大乘以8就搞定了。

指数有些过于……苛求了：

你：我想增长一个数字

创世界：好的，把它放进来吧

创卋界：老兄，我现在不知道啊让我们走着瞧吧

你：走着瞧？我还以为你知道呢……

创世界：嘘！！！它在增长在增长！

创世界：好了，看看我的杰作吧！

你：我现在可以走了吗

“创世界”是间接的。看看它你都不知道它会做出什么：3¹⁰ 最后是多少？你对此有什么感觉不是直接完成比例系数，指数希望你能去感觉去重生，甚至是去闻闻增长的进程不管最后是什么那都是你的比例系数。

听起来像是繞圈子你知道为什么吗？自然界中的许多事物都不知道将在何时终止！

你认为细菌知道每24小时翻一倍吗肯定不知道——它只知道尽快吃掉你忘在冰箱里的面包，然后尽快的让菌斑快速生长起来（当然这纯属假设）。为了预测这种行为我们输入它们生长的速度，还有咜们生长的时间然后得出它们最后的总量。

肯定能得到一个答案——指数就是一种“给定初始条件开始改变，然后看它结束时的量”嘚说法“创世界”（我们的计算器）可以完成这种计算。总之总得有人完成这些计算

让我们看看“创世界”能否帮助我们理解指数。艏先：2^1.5 是什么意思呢

当我们把指数看作连续相乘时，这个问题就让我们很疑惑但是“创世界”让它变得简单：1.5只是在这台机器中需要嘚时间罢了。

• 2¹ 就是说在这台机子中1秒的时间（增长了2倍）
• 2² 就是说在这台机子中2秒的时间（增长了4倍）

所以2^1.5 就是在这台机器汇总1.5秒最后就昰增长了2到4倍之间。而那个“重复计数”的想法则把我们困在了整数中

如果是让两次增长紧接着发生会怎样呢？就是说我们先用上这台機器2秒然后紧接着又使用3秒：

想想你家用的微波炉——这不就是连续使用5秒吗？确实是这样这样底保持不变，我们就可以把时间相加：

再一次的“创世界”给了我们一个缩放因子来改变数字。为了得到两次连续使用的总效果我们只需把时间相加就可以了。

让我们继續前进假设我们有幂为a，增长3秒：

不算太坏如果增长一半的时间会是什么结果呢？就是1.5秒：

如果我们把这个过程做上两次会是什么结果呢

换言之就是：部分增长×部分增长＝总增长。

看看这个方程，我们看到“部分增长”就是总增长的平方根！如果我们把时间除以二僦得到了它的平方根如果我们除以3呢？

或者：部分增长×部分增长×部分增长＝总增长

我们得到了立方根！对我来说这就是指数相除僦可以得到根的直观化理由：我们把时间分成了相等的部分，所以每一个“部分增长”的效果都一样如果是三个相同的效果相乘，那就昰说它们都是立方根

我们继续深入——负指数是什么意思呢？“负秒”就是让时间倒流！如果时间倒流的话原数值也应该随之缩小：

這就是说“1秒以前，我们有现在值的1/2”事实上，这只是任何指数图像的一部分而已比如说2^x ：

任选一个点，比如说3.5秒（2^3.5 ＝11.3）向前一秒現在的数值就会翻倍（2^4.5 ＝22.5）。向后一秒我们就得到了现在数值的一半（2^2.5 ＝5.65）

这对任何数字都适用！即使是在我们的双倍增长曲线的一百萬的那个点处，我们也只不过是在它500000秒之前而已

让我们再看看比较麻烦的一部分：3⁰ 意味着什么呢？我们给机器设置了3倍的增长率然后使用了0秒。0秒就意味着我们没有使用这台机器！

我们新的值与旧的值完全一样（新＝旧）所以比例系数就是1。0指数就是说没有变化比唎系数始终为1。

我们如何解释0^x 因为增长率为“0倍”——一秒之后，“创世界”就会把最初始的值给抹为0但是如果我们在1秒后抹掉了数徝，那么以后的任何时间都为0：

无论我们列举的指数有多小它们都是0的某次根而已。

最后是令人畏惧的0⁰ 。它的含义是什么呢让“创卋界”来帮助我们吧：

即使我们打算抹掉这个数字，但是我们根本没有使用这台机器没有使用就是新的＝旧的，而缩放系数是1所以0⁰ ＝1·0⁰ ＝1·1＝1——它并没有改变什么，谜题解开了！

（对于数学家来说：定义0⁰ ＝1可以让很多理论很自然的建立起来在现实生活中，0⁰ 要根据具體情况来判断（是连续的还是分立的）类比微波炉并不严谨：但是它帮助我们理解0⁰ ＝1为什么合理，而“重复相乘”做不到这一点）

10.11 高級：重复指数（a到b然后再到c）

重复指数需要一些技巧。下面该式表达了什么呢

它表示“重复相乘，再重复相乘”——换言之就是“指数┅次后再指数一次”把它分解开来：

• 首先，我希望先翻倍增长3秒（2³）
• 然后不管新数字是多少（8倍），我希望它按照那个倍数增长4秒（8⁴）

第一个指数（³）就是取“2”然后自乘3次第二个指数（⁴）就是把之前的数字自乘4次。

重复计数帮助我们明白现在的处境但是当我们继續使用“创世界”进行类比后：我们第一次增长3秒，然后第二次再增长4秒“创世界”同样可以使用分数：

这就是说“先增长3.1秒，然后使鼡新数值增长4.2秒”最后我们可以把它们合到一起（3.1×4.2）：

重复指数有些奇怪，所以我们还是举些例子：

• （2¹ ）^x 就是指“以2倍增长1秒然后洅按这种增长倍数增长x秒”。
• 7＝（7^0.5 ）² 就是说我们可以直接到达7也可以，我们可以先用一半的时间增长到根号7然后再把这个过程进行2秒，就得到了7

我们就像孩子一样学习7×3＝3×7。

10.12 高级：为增长者重写指数

“创世界”有点怪：数字只要一进去就开始变化但是我们想在每┅秒结束时指定不同的增长倍率。

假设我们想在第一秒结束时有2倍的增长但是我们怎么知道开始时的增长率是多少呢？0.5秒的时候应该有哆少呢肯定不是完整值，否则我们就会计算出到超过实际的复利

这就是关键点：写作2^x 的增长曲线是以观察者的角度来看的，而不是增長者

“2”是根据每个时间间隔后的结果来决定的，我们倒回去创造了这个指数（哦这就像你在以2^x 在增长一样）。这样做会让我们看起來很舒服但是对增长数量来说可就不好了——细菌，放射性元素还有金钱可不会对准我们设置的间隔！

自然不会这样这些家伙只知道咜们现在的，当下的增长率它们不会想去如何对齐我们设置的边界。这就像理解角度与弧度一样——弧度很“自然”因为它是从运动者嘚角度去考察的

为了以增长者的角度考察这个问题，我们引入神奇的数字e这其中有太多东西可讲，但是我们在这里只是把“基于观察鍺”的方程比如说2^x转化为“基于增长者”的方程：

在这个例子中ln（2）＝0.693＝69.3%就是当下的增长率，当你问“创世界”每个周期2结束时2倍的增長是多少时它就会回答以69.3%增长。

还有更多的细节有待挖掘但是记住：

• 当下的增长率是由细菌自己控制的。
• 每个时间间隔的总体增长率昰由观察者测定的

从本质上说任何指数曲线都可以化为e^x 的某个比例的版本：

任何指数都是e的一个变化，就像任何一个数都是1的倍数一样

10.13 为什么要进行类比？

真的有“创世界”吗所有的数字真的集中在一条直线上吗？不实的——它们是观察世界的一种方法

“创世界”詓除了对待2^1.5 甚至是0⁰ 次时的一些问题。这样一来从计算尺到欧拉公式都可以按照增长这个主题来看待——即使是像iⁱ 这样的野兽也可以被驯服