建议从系列开头看起第一篇文嶂传送门：

下面实战演练拉格朗日高数拉格朗日中值定理理的证明。

先给出拉格朗日高数拉格朗日中值定理理的定义：

• 如果函数f(x)满足：
• （2）在(a,b)内可导；
• 那么在开区间(a,b)内至少有一点

其实通俗来讲就是在光滑曲线上，对于任意两点所连成直线的斜率必存在一点切线处的斜率等于所连直线的斜率。

1.想出证明定理的直观思路：

我这里有两种直观的思路都可以证明：

第一种：观察上图，想要证明曲线上一点斜率等于AB其实可以利用Rolle定理（上一篇已证），Rolle定理的图像与上图很相似只不过角度不一样，我们如果能把上图旋转一下不就可以直接用Rolle萣理证明了！

第二种：只需证明存在一条与AB平行的直线与曲线相切

2.分析直观思路是否可行

第一种：想在数学上旋转曲线，呵呵太难了。退一步用矩阵乘除可以表示曲线旋转，但由于曲线由公式而非节点表示这个计算机图形学上的旋转也靠不住，那么怎么办？我既然提出来了自然有应对的办法，既然旋转太难我们就没必要非得旋转，可以找间接旋转的那怎么找呢？就需要观察图像中的点处的特征（很多数学证明都是从特征处入手）我发现点处红蓝间虚线是极大值，又想到数学证明两个元素相等的常用套路是证明两者相减等于0考虑到斜率相等即导数值相等，而加减并不影响每一模块的导数值计算所以可以采用曲线减AB来生成公式，最后证明这个公式的某点的導数值为0即可就可得出拉格朗日中值证明的标准辅助公式：，由于这个公式在a、b两点值相等故用Rolle定理可证。

第二种：需要用到高中的判断相切的思路即方程只有一个解。不太用的来这个公式编辑器我就手写拍照过程吧：