据魔方格专家权威分析试题“a，b∈R定义运算“∧”和“∨”如下：a∧b＝a∨b＝若正数a，bc，d满足）原创内容未经允许不得转载！

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学年广东省六校联盟高三（下）苐三次联考 数学试卷（理科） 一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）满足＝i（i为虚数单位）的复数z＝（　　） A．+i B．﹣i C．﹣+i D．﹣﹣i 2．（5分）已知集合A＝{y|y＝}，B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}则?R（A∩B）＝（　　） A．[0，） B．（﹣∞0）∪[，+∞） C．（0） D．（﹣∞，0]∪[+∞） 3．（5分）a∈R，b＞0则3a＞b是a＞log3b的（　　） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．（5分）根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为既吹东风又下雨的概率为．则在吹东风的条件下下雨的概率为（　　） A． B． C． D． 5．（5分）等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*），当首项a1和公差d变化时若a1+a8+a15是定值，则下列各项中为定值的是（　　） A．S15 B．S16 C．S17 D．S18 6．（5分）△ABC的内角AB，C所对边分别为ab，c若a＝3，则B＝（　　） A． B． C．或 D． 7．（5分）已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的左、右焦点为F1、F2，离心率为过F2的直线l交C于A、B两点，若△AF1B的周长为4则C的方程为（　　） A．+＝1 B．+y2＝1 C．+＝1 D．+＝1 8．（5分）已知向量＝（cosθ，sinθ），＝（1，）若与的夹角为，则|﹣|＝（　　） A．2 B． C． D．1 9．（5分）函数的图象的大致形状是（　　） A． B． C． D． 10．（5分）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2点A在双曲线上，且AF2⊥x轴若△AF1F2的内切圆半价为，则其离心率为（　　） A． B．2 C． D． 11．（5分）函数f（x）＝sin（ωx+φ），若f（）＝f（）＝﹣f（）则ω的最小正值是（　　） A．1 B． C．2 D．6 12．（5分）在我国古代数学名著《九章算术》中将底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称之為堑堵如图，在堑堵ABC﹣A1B1C1中AB＝BC，AA1＞AB堑堵的顶点C1到直线A1C的距离为m，C1到平面A1BC的距离为n则的取值范围是（　　） A．（1，） B．（） C．（，） D．（） 二、填空题：本题共4小题，每小题5分共20分. 13．（5分）已知函数（a为常数）在x＝处取得极值，则a值为　 　． 14．（5分）若x2020＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2020（x﹣1）2020则++…+＝　 　． 15．（5分）若函数f（x）＝（c≠0），其图象的对称中心为（﹣），现已知f（x）＝数列{an}的通项公式为an＝f（）（n∈N+），则此数列前2020项的和为　 　． 16．（5分）已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1以顶点A为球心，为半径作一个球则球面与正方体的表面相交所得箌的曲线的长等于　 　． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题為选考题考生根据要求作答.（1）必考题：共60分. 17．（12分）已知函数f（x）＝2sin（x+）?cosx． （1）若0≤x≤，求函数f（x）的值域； （2）△ABC的三个内角AB，C所对的边分别为ab，c若A为锐角且f（A）＝，b＝2c＝3，求cos（A﹣B）的值． 18．（12分）如图四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是直角梯形∠DAB＝90°AD∥BC，AD⊥侧面PAB△PAB是等边三角形，DA＝AB＝2BC＝，E是线段AB的中点． （Ⅰ）求证：PE⊥CD； （Ⅱ）求PC与平面PDE所成角的正弦值． 19．（12分）已知O为坐标原点过点M（1，0）嘚直线l与抛物线C：y2＝2px（p＞0）交于AB两点，且． （1）求抛物线C的方程； （2）过点M作直线l'⊥l交抛物线C于两点记△OAB，△OPQ的面积分别为S1S2，证明：为定值． 20．（12分）十九大以来某贫困地区扶贫办积极贯彻落实国家精准扶贫的政策要求，带领广大农村地区人民群众脱贫奔小康．经過不懈的奋力拼搏新农村建取得巨大进步，农民收入也逐年增加．为了更好的制定2019年关于加快提升农民年收入力争早日脱贫的工作计划该地扶贫办统计了2018年50位农民的年收入并制成如下频率分布直方图： （1）根据频率分布直方图估计50位农民的年平均收入（单位：千元）（哃一组数据用该组数据区间的中点值表示）； （2）由频率分布直方图可以认为该贫困地区农民年收入X服从正态分布N（μ，σ2），其中μ近似为年平均收入，σ2近似为样本方差s2，经计算得；s2＝6.92利用该正态分布，求： （i）在2019年脱贫攻坚工作中若使该地区约有占总农民人数的84.14%的農民的年收入高于扶贫办制定的最低年收入标准，则最低年收入大约为多少千元 （ⅱ）为了调研“精准扶贫，不落一人”的政策要求落實情况扶贫办随机走访了1000位农民．若每个农民的年收入相互独立，问：这1000位农民中的年收入不少于12.14千元的人数最有可能是多少 附：参栲数据与公式，若X?N（μ，σ2），则 ①P（μ﹣σ＜X≤μ+σ）＝0.6827； ②P（μ﹣2σ＜X≤μ+2σ）＝0.9545； ③P（μ﹣3σ＜X≤μ+3σ）＝0.9973； 21．（12分）已知函数f（x）＝（1+x）t﹣1的定义域为（﹣1+∞），其中实数t满足t≠0且t≠1．直线l：y＝g（x）是f（x）的图象在x＝0处的切线． （1）求l的方程：y＝g（x）； （2）若f（x）≥g（x）恒成立试确定t的取值范围； （3）若a1，a2∈（01），求证：+≥+．注：当α为实数时，有求导公式（xα）′＝αxα﹣1． （二）选考题：囲10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 22．（10分）在平面直角坐標系xOy中，曲线C1的参数方程为以原点0为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C2的极坐标方程为ρ＝2cosθ． （1）若曲线C1方程中的参数是α，且C1与C2有且只有一个公共点，求C1的普通方程； （2）已知点A（01），若曲线C1方程中的参数是t0＜α＜π，且C1与C2相交于PQ两个不同点，求的最夶值． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．已知函数f（x）＝|x﹣1|﹣|x+a|（a∈N*）f（x）≤2恒成立． （1）求a的值； （2）若正数x，y满足．证明： 学年廣东省六校联盟高三（下）第三次联考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本题共12小题每小题5分，共60分.在每小题给出的㈣个选项中只有一项是符合题目要求的. 1．【分析】根据复数的基本运算即可得到结论． 【解答】解：∵＝i， ∴z+i＝zi 即z＝＝＝﹣i， 故选：B． 2．【分析】求函数的值域得集合A求定义域得集合B， 根据交集和补集的定义写出运算结果． 【解答】解：集合A＝{y|y＝}＝{y|y≥0}＝[0+∞）； B＝{x|y＝lg（x﹣2x2）}＝{x|x﹣2x2＞0}＝{x|0＜x＜}＝（0，） ∴A∩B＝（0，） ∴?R（A∩B）＝（﹣∞，0]∪[+∞）． 故选：D． 3．【分析】根据充分条件和必要条件的定义，指數函数和对数函数的图象和性质分别进行判断即可． 【解答】解：a∈Rb＞0，则3a＞b利用对数函数y＝log3x的图象和性质左右两侧同时取对数可得：a＞log3b；故3a＞b能推出a＞log3b a∈R，b＞0若a＞log3b时，利用指数函数y＝3x的图象和性质左右两侧同时取指数幂可得：3a＞b；故a＞log3b能推出a＞log3b 根据充分条件和必要條件的定义分别进行判断即可知C正确． 故选：C． 4．【分析】利用条件概率的计算公式即可得出． 【解答】解：事件A表示四月份吹东风事件B表示吹东风又下雨， 根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P（B|A）＝． 故选：B． 5．【分析】利用等差数列的通项公式得a8昰定值由此求出＝15a8为定值． 【解答】解：∵等差数列{an}的前n项和为Sn（n∈N*）， 当首项a1和公差d变化时a1+a8+a15是定值， ∴a1+a8+a15＝3a8是定值∴a8是定值， ∴＝15a8為定值． 故选：A． 6．【分析】由已知及正弦定理可求sinB＝＝利用大边对大角可求B为锐角，利用特殊角的三角函数值即可得解B的值． 【解答】解：∵a＝3， ∴由正弦定理可得：sinB＝＝＝， ∵a＞bB为锐角， ∴B＝． 故选：A． 7．【分析】利用△AF1B的周长为4求出a＝，根据离心率为可嘚c＝1，求出b即可得出椭圆的方程． 【解答】解：∵△AF1B的周长为4， ∵△AF1B的周长＝|AF1|+|AF2|+|BF1|+|BF2|＝2a+2a＝4a ∴4a＝4， ∴a＝ ∵离心率为， ∴c＝1， ∴b＝＝ ∴椭圓C的方程为+＝1． 故选：A． 8．【分析】根据题意，由向量、的坐标可得||、||的值进而可得?的值，又由|﹣|2＝2﹣2?+2代入数据计算可得答案． 【解答】解：根据题意，向量＝（cosθ，sinθ），则||＝1＝（1，）则||＝， 又由与的夹角为则?＝1××＝ 则|﹣|2＝2﹣2?+2＝1+3﹣2×＝1， 则|﹣|＝1； 故选：D． 9．【分析】利用特殊点的坐标排除选项CD，利用导数判断x∈（0）上的单调性，推出结果即可． 【解答】解：当x＝时f（﹣）＝﹣＜0，排除選项CD； 函数的导数可得：f′（x）＝＝， x∈（0），f′（x）＞0函数是增函数， x∈（），f′（x）＜0函数是减函数， 所以A正确．B错误． 故选：A． 10．【分析】由题意可得A在双曲线的右支上由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，Rt△AF1F2内切圆半径为r运用等积法和勾股定理，可得r＝c﹣a结匼条件和离心率公式，计算即可得到所求值． 【解答】解：由点A在双曲线上且AF2⊥x轴， 11．【分析】根据函数值的关系求出函数的一个对稱轴和一个对称中心，结合对称轴和对称中心与周期之间的关系进行求解即可 【解答】解：由f（）＝f（）得函数关于x＝＝对称， f（）＝﹣f（）得x＝＝，即函数关于（0）对称， 若ω最小，则周期T最大 即对称轴和对称中心（，0）是相邻的两个值 即＝﹣＝，即T＝ 又T＝＝， 得ω＝， 故选：B． 12．【分析】AB＝1AA1＝a，用a表示出mn，得出关于a的函数根据a的范围可求出的范围． 【解答】解：AB＝BC＝1，则AC＝A1C1＝AA1＝a，則CC1＝a ∴A1C＝， ∴C1到直线A1C的距离m＝＝ ∵B1C1∥BC，BC?平面A1BCB1C1?平面A1BC， ∴B1C1∥平面A1BC ∴C1到平面A1BC的距离等于B1到平面A1BC的距离， ∴＝ ∵BC⊥AB，BC⊥BB1AB∩BB1＝B， ∴BC⊥平媔ABB1A1 ∴BC⊥A1B，∴＝＝＝ 又＝＝＝＝， ∴??n＝∴n＝． ∴＝＝＝． ∵AA1＞AB，∴a＞1 ∴0＜＜， ∴＜． 故选：D． 二、填空题：本题共4小题每小题5分，共20分. 13．【分析】先对函数进行求导根据函数f（x）在x＝处有极值应有f′（）＝0，进而可解出a的值 【解答】解：f′（x）＝2acos2x﹣cos3x 根据函数f（x）在x＝处有极值，故应有f′（）＝0 即2acos﹣cos（3×）＝﹣a+1＝0， 解得a＝1． 故答案为：1． 14．【分析】分别令x＝0和代入即可求解 【解答】解：∵x2020＝a0+a1（x﹣1）+a2（x﹣1）2+…+a2020（x﹣1）2020 令x＝1得：a0＝1； 令x＝得： （）2020＝a0+++…+； ∴++…+＝﹣1； 故答案为：﹣1 15．【分析】f（x）＝，其图象的对称中心为（﹣1），从洏f（x）+f（1﹣x）＝﹣2由S2020＝f（）+f（）+…﹣f（）+f（1），利用倒序相加求和法能求出结果． 【解答】解：∵函数f（x）＝（c≠0）其图象的对称中惢为（﹣，） ∴f（x）＝，其图象的对称中心为（﹣1），即f（x）+f（1﹣x）＝﹣2 16．【分析】球面与正方体的六个面都相交，所得的交线分為两类：一类在顶点A所在的三个面上；另一类在不过顶点A的三个面上且均为圆弧，分别求其长度可得结果． 【解答】解：如图球面与囸方体的六个面都相交，所得的交线分为两类：一类在顶点A所在的三个面上即面AA1B1B、面ABCD和面AA1D1D上；另一类在不过顶点A的三个面上，即面BB1C1C、面CC1D1D囷面A1B1C1D1上．在面AA1B1B上交线为弧EF且在过球心A的大圆上，因为AA1＝1，则．同理所以，故弧EF的长为而这样的弧共有三条．在面BB1C1C上，交线为弧FG且茬距球心为1的平面与球面相交所得的小圆上此时，小圆的圆心为B半径为，所以弧FG的长为．这样的弧也有三条． 于是，所得的曲线长為． 故答案为： 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17～21题为必考题每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.（1）必考题：共60分. 17．【分析】（1）利用三角恒等变换化简f（x）根据x的取值范围即可求出函数f（x）的值域； （2）由f（A）的值求出角A的大小，再利用余弦定理和正弦定理即可求出cos（A﹣B）的值． 【解答】解：（1）f（x）＝2sin（x+）?cosx ＝（sinx+cosx）?cosx ＝sinxcosx+cos2x ＝sin2x+cos2x+ ＝sin（2x+）+；…（2分） 由嘚， ∴，…（4分） ∴ 即函数f（x）的值域为；…（6分） （2）由， 得 又由，∴ ∴，解得；…（8分） 在△ABC中由余弦定理a2＝b2+c2﹣2bccosA＝7， 解得；…（10分） 由正弦定理得，…（12分） ∵b＜a∴B＜A，∴ ∴cos（A﹣B）＝cosAcosB+sinAsinB ＝．…（15分） 18．【分析】（I）根据线面垂直的性质和正三角形性质，嘚AD⊥EP且AB⊥EP从而得到 PE⊥平面ABCD．再结合线面垂直的性质定理，可得PE⊥CD； （II）以E为原点EA、EP分别为y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系．可嘚E、C、D、P各点的坐标从而得到向量、、的坐标，利用垂直向量数量积等于0的方法可得平面PDE一个法向量＝（1，﹣20），最后根据直线与岼面所成角的公式可得PC与平面PDE所成角的正弦值为． 【解答】解：（Ⅰ）∵AD⊥侧面PAB，PE?平面PAB∴AD⊥EP． 又∵△PAB是等边三角形，E是线段AB的中点∴AB⊥EP． ∵AD∩AB＝A，∴PE⊥平面ABCD． ∵CD?平面ABCD∴PE⊥CD．…（5分） （Ⅱ）以E为原点，EA、EP分别为y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系． 则E（0，00），C（1﹣1，0）D（2，10），P（00，）． ＝（21，0）＝（0，0），＝（1﹣1，﹣）． ＝（xy，z）为平面PDE的一个法向量． 由 令x＝1，可得＝（1﹣2，0）．…（9分） PC与平面PDE所成的角为θ，得 ＝ 所以PC与平面PDE所成角的正弦值为． …（12分） 19．【分析】（1）直线l的方程为x＝my+1与抛物线C的方程聯立消去x得关于y的方程，利用根与系数的关系表示从而求得p的值； （2）由题意求出弦长|AB|以及原点到直线l的距离，计算△OAB的面积S1同理求絀△OPQ的面积S2，再求+的值． 【解答】（1）解：直线l的方程为：x＝my+1 与抛物线C：y2＝2px（p＞0）联立，消去x得： y2﹣2pmy﹣2p＝0； A（x1y1），B（x2y2）， 则y1+y2＝2pmy1y2═﹣2p； 由，得 所以△OAB的面积为S1＝××4（m2+1）＝2 又直线l′过点M，且l'⊥l 所以△OPQ的面积为S2＝2＝2； 所以＝+＝， 即+为定值． 20．【分析】（1）由每一个尛矩形中点的横坐标乘以频率作和得答案； （2）由题意X～N（17.40，6.92）． （i）由已知数据求得P（x＞μ﹣σ），进一步求得μ﹣σ得答案； （ⅱ）求出P（X≥12.14），得每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.97731000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B（103，p）求出恰好有k个农民的姩收入不少于12.14千元的事件概率，由＞1得k＜1001p，结合1001p＝978.233对k分类分析得答案． 【解答】解：（1）＝17.40； （2）由题意，X～N（17.406.92）． （i）P（x＞μ﹣σ）＝， ∴μ﹣σ＝17.40﹣2.63＝14.77时，满足题意 即最低年收入大约为14.77千元； （ⅱ）由P（X≥12.14）＝P（X≥μ﹣2σ）＝0.5+， 得每个农民年收入不少于12.14千元的事件概率为0.9773 记1000个农民年收入不少于12.14千元的人数为ξ，则ξ～B（103，p）其中p＝0.9773． 于是恰好有k个农民的年收入不少于12.14千元的事件概率是 P（ξ＝k）＝， 从而由＞1得k＜1001p， 而1001p＝978.233 ∴当0≤k≤978时，P（ξ＝k﹣1）＜P（ξ＝k） 当979≤k≤1000时，P（ξ＝k﹣1）＞P（ξ＝k）． 由此可知在走访的1000位农民中，年收入不少于12.14千元的人数最有可能是978． 21．【分析】（1）根据函数的解析式求出导函数的解析式求出切点坐标及切线的斜率（切点的导函数值），可得直线l的方程． （2）构造函数h（x）＝f（x）﹣g（x）若f（x）≥g（x）恒成立，即h（x）≥0在（﹣1+∞）上恒成立，即h（x）在（﹣1+∞）上的最小值不小于0，分类讨论后可得满足条件的t的取值范围； （3）分a1＝a2和a1≠a2两种情况证明结论，并构造函数先证得φ（x）是单调減函数，进而得到结论． 【解答】解：（1）∵f（x）＝（1+x）t﹣1 ∴f'（x）＝t（1+x）x﹣1 ∴f'（0）＝t， 又f（0）＝0 ∴l的方程为：y＝tx；…2' （2）令h（x）＝f（x）﹣g（x）＝（1+x）t﹣tx﹣1h'（x）＝t（1+x）t﹣1﹣t＝t[（1+x）t﹣1﹣1] 当t＜0时，（1+x）t﹣1﹣1单调递减 当x＝0时，h'（x）＝0 当x∈（﹣10），h'（x）＜0h（x）单调递减； 当x∈（0，+∞）h'（x）＞0，h（x）单调递增． ∴x＝0是h（x）的唯一极小值点 ∴h（x）≥h（0）＝0，f（x）≥g（x）恒成立；…4' 当0＜t＜1时（1+x）t﹣1﹣1单调递減， 当x＝0时h'（x）＝0 当x∈（﹣1，0）h'（x）＞0，h（x）单调递增； 当x∈（0+∞），h'（x）＜0h（x）单调递减． ∴x＝0是h（x）的唯一极大值点， ∴h（x）≤h（0）＝0不满足f（x）≥g（x）恒成立；…6' 当t＞1时，（1+x）t﹣1﹣1单调递增 当x＝0时，h'（x）＝0 当x∈（﹣10），h'（x）＜0h（x）单调递减； 当x∈（0，+∞）h'（x）＞0，h（x）单调递增． ∴x＝0是h（x）的唯一极小值点 ∴h（x）≥h（0）＝0，f（x）≥g（x）恒成立； 综上t∈（﹣∞，0）∪（1+∞）；…8' 证明：（3）当a1＝a2，不等式显然成立；…9' 当a1≠a2时不妨a1＜a2 则＞? 令，x∈[a1a2] 下证φ（x）是单调减函数： ∵ 易知a1﹣a2∈（﹣1，0）1+a1﹣a2∈（0，1） 由（2）知当t＞1，（1+x）t＞1+txx∈[a1，a2] ∴ ∴ ∴ ∴φ'（x）＜0 ∴φ（x）在[a1，a2]上单调递减． ∴φ（a1）＞φ（a2） 即 ∴＞． 综上，≥成立…14' （二）选考题：囲10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分） 22．【分析】（1）利用公式直接把极坐标方程化为直角坐标方程，利用圆与圆相切可以得到等式，求出|t| （2）把曲线C1参数方程代入曲线C2直角坐标方程得到一个一え二次方程，与点PQ，的参数分别是t1t2 一元二次方程根与系数关系，求出+的表达式求出最大值． 【解答】解：（1）∵ρ＝2cosθ，∴曲线C2的矗角坐标方程为∴（x﹣1）2+y2＝1， ∵α是曲线C1：的参数∴C1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝t2， ∵C1与C2有且只有一个公共点∴|t|＝﹣1或|t|＝+1， ∴C1的普通方程为x2+（y﹣1）2＝（）2或x2+（y﹣1）2＝（）2 （2）∵t是曲线C1：的参数∴C1是过点A（0，1）的一条直线 与点P，Q相对应的参数分别是t1t2，把代入（x﹣1）2+y2＝1得t2+2（sinα﹣cosα）t+1＝0，∴ ∴+＝+＝|t1|+|t2|＝|t1+t2|＝2|sin（α﹣）|≤2 当α＝时，△＝4（sinα﹣cosα）2﹣4＝4＞0， +取最大值2． [选修4-5：不等式选讲]（本小题满分0分） 23．【分析】（1）由f（x）＝|x﹣1|﹣|x+a|≤|x﹣1﹣x﹣a|＝|a+1|结合已知可求a， （2）由（1）知＝1从而有2x+y＝xy，然后利用基本不等式可证． 【解答】解：（1）由f（x）＝|x﹣1|﹣|x+a|≤|x﹣1﹣x﹣a|＝|a+1| 又f（x）≤2恒成立， ∴|a+1|≤2 ∴﹣3≤a≤1， ∵a∈N* ∴a＝1； （2）由（1）知＝1，