函数13级 函数的奇偶性

函数12级 （二）与对称性 函数的单调增函数性 与奇偶性（一）

函数11级 函数概念的深入理解

下一讲的内容是《函数的奇偶性（二）与对称性》对于尖子癍来说只有2小时的内容，

对于目标班来还有一个函数的周期性板块总共是3小时的内容．所以这一讲尖子班与目标班区别不是很大，目标癍3小时尖子班可以作为3.5个小时的课程．

函数的单调增函数性问题主要集中在三个领域，其中第一与第二领域为基本问题①告诉你函数

圖象或给你一些信息，你能画出函数的草图；②给你常见函数及由这些函数组成的复合函数你可以自己得到单调增函数性；③仅告诉你┅些抽象的条件，如f(x?y)?f(x)?f(y)当x?0时，f(x)?0求证f(x)在R上单调增函数递减．给具体函数时，从①②理解没有给出具体函数时从③理解．

所谓的函数的性質都是在描述当自变量变化时，函数值怎样变化．

单调增函数性是指自变量与函数值是否往同一个方向变化是否同时增大或同时减小； 渏偶性是指当自变量取相反数时，函数值如何变化；这就可以理解为什么所有的奇偶性问题处理的核心都是取一对互为相反数的自变量．

1． 一般地，设函数y?f(x)的定义域为D区间I?D：

⑴ 增函数：如果对于I上的任意两个自变量的值x1，x2当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)那么就

称函数f(x)在区间I上是增函数； x2，当x1?x2时都有f(x1)?f(x2)，那么就称⑵ 减函数：如果对于I上的任意两个自变量的值x1函数f(x)在区间I上是减函数；

2．单调增函数性：如果函数y?f(x)在某个区間I上是增函数或减函数，那么就说函数y?f(x)在这个区间

上具有单调增函数性区间I叫做y?f(x)的单调增函数区间．

3．判断函数单调增函数性的基本方法：

⑵ 图象法：判断常见函数的单调增函数性，包括一次函数、二次函数与反比例函数； ⑶ 复合函数的单调增函数性――同增异减．

对于函数的单调增函数性需要注意的是：

① 任取x1，x2但任意性不代表不可能用存在性的方式做，也就是当你无法判断函数单调增函数性时鈳以取几个点估计一下；当然，要证明单调增函数性只能任取．

② 也可设x1?x2，单调增函数性只取决于x1x2的大小与f(x1)，f(x2)的大小关系是否一致； ③ 单调增函数性是建立在某个局部上的关系我们通常讨论某个区间上的单调增函数性，除非在整个定义域上单调增函数否则在说单调增函数性时一定要指出单调增函数区间．

10)和(0，??)不能写成并集． ④ y?的单调增函数区间是(??，x⑤ 高一刚学习单调增函数性时单调增函数区间包括边界的可以都取闭区间，如二次函数y?x2的单0]单调增函数递增区间为[0，??)； 调递减区间为(??关于很多概念的说明在暑假时我们也强调过，泹因为这些内容比较重要所以值得再强调一遍．

1．下列函数中，在区间(1??)上为减函数的是（ ）

2．判断下列函数的单调增函数性：

x?2x?31?x3]． ???，单調增函数递增区间为(??【解析】 ⑴ 单调增函数递减区间是?3，

x1x2x1?x2?0x1，x2同时属于这四个区间中的任意一个时都有x1x2?0，

并且可以知道在(0，??)上f(x)在x?a處取到最小值2a；在(??，0)上f(x)在x??a处取到最大值?2a．

形如f(x)?x?a（a?0）的函数称为对勾函数，是我们比较常见的一种函数． x ya?0时f(x)在(??，0)与(0??)上单调增函数递增； a?0时，f(x)在(???a)与(a，??)上单调增函数递增在

这两类函数的图象都是关于原点中心对称的，都是奇函数． 在x???时f(x)???；在x???时，f(x)???． 并且会越来越接近直線y?x所以y?x称为这个函数的一条渐

1近线．并且，当a?0时以f(x)?x?为例，当x是一个很小很

x1小的正数时f(x)趋于负无穷；a?0时，以f(x)?x?为例

x当x是一个很小很小嘚正数时，f(x)趋于正无穷．如右图．

关于对勾函数的相关结论后面可以直接使用，把它们当作常见函数的一种．

暑假预习时我们没有讲單调增函数性的运算，即具有单调增函数性的函数经过加减乘除运算后的单调增函数性有什么对应的结论，这也是函数单调增函数性的┅种判别方式．

单调增函数性的运算：函数间?、?、?、?的运算的单调增函数性规律：（默认在函数的公共定义域上讨论） ⑴ 函数f(x)与常数k：

② f(x)昰增函数g(x)是减函数时，f(x)?g(x)是增函数；（这可以由⑴⑵①直接推出）

单调增函数性的运算可以直接由单调增函数性的定义给出证明我们以丅面的结论为例给出证明：

当然，如果没有f(x)?0g(x)?0的条件，显然得不到这个结论．

f(x)1上面没有涉及到因为这个函数可以看成g(x)（内层）与（外层）的复合后，再

备注：知识点睛中的练习是针对暑假没有介绍过的知识与方法配的一些简单的练习题学生版出现． 【练习1】判断下列函數的单调增函数性

x【解析】 ⑴f(x)在定义域[0，??)上单调增函数递增；

0)和(0??)上单调增函数递增； ⑵f(x)在(??，10]上单调增函数递减． ⑶f(x)在定义域[2⑷f(x)在定义域[1，??)上是增函数．

讲完单调增函数性的运算所有判断单调增函数性的方法就都讲完了，但预习时我们只介绍了比较简

单的复合函数的單调增函数性，对于更复杂的复合函数的单调增函数性见例1．关键点在于划分出单调增函数区间再对每个区间分别判断．

考点1：复合函數的单调增函数性 【例1】

首先可以先画图观察函数单调增函数性：

(??，1] [12]123[2，3][3??) 当用代数做不清时，画图象找单调增函数性是非常好非常直觀的方法，唯一的麻烦就是不能做

大题选择填空时，类似于这类问题若能画出图来是非常好的，没有任何问题． 但事实上y是由u?x2?4x?3和y?u构建起来的． u?x2?4x?3，判断单调增函数性时是用x的范围来判定的；

y?u在u?0时单调增函数递减，在u?0时单调增函数递增以u?0为分界点，单调增函数性用u判萣．

【结论】此类题做法：①根据限制条件把x的区间一个一个划开．

②根据划开的区间判断每个区间上的单调增函数性．

1]上单调增函数遞减，在[1??)上单调增函数递增． ⑶ f(x)在[0，

（1）通过已学过的函数特别是二佽函数理解函数的单调增函数性及其几何意义；

（2）学会运用函数图象理解和研究函数的性质；

（3）能够熟练应用定义判断数在某区间仩的的单调增函数性．

教学重点：函数的单调增函数性及其几何意义．

教学难点：利用函数的单调增函数性定义判断、证明函数的单调增函数性．

（1）从P36图2-15（全国从20519每日新增艾滋病例的变化统计图）看出，形势从何日开始好转

（2）从P36图2-16你能否说出y随x如何变化？

德国著名心悝学家艾宾浩斯研究数据

问：什么是增函数、减函数、函数的单调增函数性

问题1、作出下列函数的图象，并指出图象的变化趋势：

问题2、你能明确地说出“图象呈逐渐上升或下降趋势”的意思吗

图象在该区间呈上升趋势当x的值增大时，函数值y也增大

图象在该区间呈下降趨势当x的值增大时函数值y反而减小

如何用x与f（x）来描述上升的图象？

如果函数y=f（x）在区间I是单调增函数增函数或单调增函数减函数那麼就说函数y=f（x）在区间I上具有单调增函数性.

单调增函数增区间和单调增函数减区间统称为单调增函数区间.

§4.1二次函数的图像

教学目的：理解二次函数的图像中a，bc，hk的作用；领会二次函数图像移动的方法

教学重点：二次函数的图像中a，bc，hk的作用

教学难点：领会二次函數图像移动的方法

说出下列函数的开口方向、对称轴、顶点

和的图像之间有什么关系？

实践探究1：在同一坐标系中做出下列函数的图像;;;

１.②次函数y=ax2（a（0）的图像可由的y=x2图像各点纵坐标变为原来的a倍得到.

２.a决定了图像的开口方向：a>o开口向上a

3.a决定了图像在同一直角坐标系中的開口大小：|a|越小图像开口就越大

下列二次函数图像开口，按从小到大的顺序排列为（4）（2），（3）（1）.

和的图像之间有什么关系？

实踐探究2：在同一坐标系中做出下列函数的图像：

二次函数y=a（x+h）2+k（a（0）a决定了二次函数图像的开口大小及方向；

而且“a正开口向上，a负开ロ向下”；｜a｜越大开口越小；

h决定了二次函数图像的左右平移而且“h正左移，h负右移”；

k决定了二次函数图像的上下平移而且“k正仩移，k负下移”

１.将二次函数y=3x2的图像平行移动，顶点移到（－３２），则它的解析式为

2.二次函数y=f（x）与y=g（x）的图像开口大小相同开ロ方向也相同，已知函数g（x）=x2+1f（x）图像的顶点为（3，2）则f（x）的表达式为Y=（x-3）2+2。

和的图像之间有什么关系？

观察发现3：一般的二佽函数，通过配方就可以得到它的恒等形式：从而知道，由的图像经过平移就可以得到

1.由y=3（x+2）2+4的图像经过怎样的平移变换，可以得到y=3x2嘚图像.

右移2单位下移4单位

2.把函数y=x2-2x的图像向右平移２个单位，再向下平移３个单位所得图像对应的函数